لماذا يساوي الوسيط نصف الوتر؟ خواص متوسط ​​المثلث القائم الزاوية

الوسيط هو القطعة الممتدة من رأس المثلث إلى منتصف الضلع المقابل، أي أنه يقسمها إلى نصفين عند نقطة التقاطع. النقطة التي يتقاطع عندها الوسيط مع الجانب المقابل للرأس الذي يخرج منه تسمى القاعدة. يمر كل وسيط في المثلث بنقطة واحدة تسمى نقطة التقاطع. يمكن التعبير عن صيغة طوله بعدة طرق.

صيغ للتعبير عن طول الوسيط

• في كثير من الأحيان، في المسائل الهندسية، يتعين على الطلاب التعامل مع قطعة مثل متوسط ​​المثلث. يتم التعبير عن صيغة طوله من حيث الجوانب:

حيث a وb وc هي الجوانب. علاوة على ذلك، c هو الجانب الذي يقع عليه الوسيط. هذا هو ما يبدو عليه الأمر صيغة بسيطة. في بعض الأحيان تكون متوسطات المثلث مطلوبة لإجراء العمليات الحسابية المساعدة. هناك صيغ أخرى.

• إذا كان معروفًا أثناء الحساب ضلعان للمثلث وزاوية معينة α تقع بينهما، فسيتم التعبير عن طول متوسط ​​المثلث، الذي تم تخفيضه إلى الجانب الثالث، على النحو التالي.

الخصائص الأساسية

• جميع المتوسطات لها نقطة تقاطع مشتركة واحدة O ويتم تقسيمها عليها بنسبة اثنين إلى واحد، إذا تم حسابها من قمة الرأس. وتسمى هذه النقطة مركز ثقل المثلث.
• يقسم الوسيط المثلث إلى قسمين آخرين مساحتهما متساوية. تسمى هذه المثلثات متساوية المساحة.
• إذا قمت برسم جميع المتوسطات، فسيتم تقسيم المثلث إلى 6 أرقام متساوية، والتي ستكون أيضًا مثلثات.
• إذا كانت أضلاع المثلث الثلاثة متساوية، فإن كل متوسط ​​سيكون أيضًا ارتفاعًا ومنصفًا، أي عموديًا على الجانب الذي يرسم عليه، وينصف الزاوية التي يخرج منها.
• في المثلث المتساوي الساقين، الوسيط المرسوم من الرأس المقابل للضلع الذي لا يساوي أي ضلع آخر سيكون أيضًا الارتفاع والمنصف. المتوسطات المسقطة من القمم الأخرى متساوية. وهذا أيضًا شرط ضروري وكافي لتساوي الساقين.
• إذا كان المثلث هو قاعدة الهرم العادي، فإن الارتفاع الذي انخفض إلى هذه القاعدة يتم إسقاطه إلى نقطة تقاطع جميع المتوسطات.

• في المثلث القائم، الوسيط المرسوم على الضلع الأطول يساوي نصف طوله.
• دع O تكون نقطة تقاطع متوسطات المثلث. ستكون الصيغة أدناه صحيحة لأي نقطة M.

• متوسط ​​المثلث له خاصية أخرى. فيما يلي صيغة مربع طوله من خلال مربعات الجوانب.

خصائص الجوانب التي يرسم عليها الوسيط

• إذا قمت بتوصيل أي نقطتين من نقاط تقاطع المتوسطات مع الجوانب التي تم إسقاطها عليها، فسيكون الجزء الناتج هو خط الوسط للمثلث ويكون نصف جانب المثلث الذي لا توجد به نقاط مشتركة.
• تقع قواعد الارتفاعات والمتوسطات في المثلث، وكذلك نقاط المنتصف للأجزاء التي تربط رؤوس المثلث بنقطة تقاطع الارتفاعات، على نفس الدائرة.

في الختام، من المنطقي أن نقول إن أحد أهم القطع هو متوسط ​​المثلث. ويمكن استخدام صيغته لإيجاد أطوال أضلاعه الأخرى.

عند دراسة موضوع ما دورة المدرسةمن الممكن اختيار حد أدنى معين من المشكلات، بعد إتقان طرق حلها، سيتمكن الطلاب من حل أي مشكلة على مستوى متطلبات البرنامج حول الموضوع قيد الدراسة. أقترح النظر في المشكلات التي ستسمح لك برؤية العلاقات المتبادلة بين الموضوعات الفردية في دورة الرياضيات المدرسية. ولذلك، فإن نظام المهام المترجمة هو وسائل فعالةالتكرار والتعميم والتنظيم المواد التعليميةأثناء إعداد الطلاب للامتحان.

لاجتياز الامتحان، سيكون من المفيد الحصول على معلومات إضافية حول بعض عناصر المثلث. دعونا نفكر في خصائص متوسط ​​المثلث والمسائل التي يمكن استخدام هذه الخصائص في حلها. المهام المقترحة تنفذ مبدأ تمايز المستوى. يتم تقسيم جميع المهام بشكل مشروط إلى مستويات (يشار إلى المستوى بين قوسين بعد كل مهمة).

دعونا نتذكر بعض خصائص متوسط ​​المثلث

الخاصية 1. اثبات أن متوسط ​​المثلث اي بي سي، مأخوذة من قمة الرأس أ، أقل من نصف مجموع الجوانب أ.بو مكيف الهواء.

دليل

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

الملكية 2. يقطع الوسيط المثلث إلى منطقتين متساويتين.

دليل

دعونا نرسم من الرأس B للمثلث ABC الوسيط BD والارتفاع BE..gif" alt="Area" width="82" height="46">!}

وبما أن القطعة BD هي الوسيط، إذن

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Median" align="left" width="196" height="75 src=">!} الخاصية 4. متوسطات المثلث تقسم المثلث إلى 6 مثلثات متساوية.

دليل

لنثبت أن مساحة كل مثلث من المثلثات الستة التي يقسم إليها المتوسطات المثلث ABC تساوي مساحة المثلث ABC. للقيام بذلك، خذ بعين الاعتبار، على سبيل المثال، المثلث AOF وقم بإسقاط AK المتعامد من الرأس A إلى الخط BF.

بسبب الخاصية 2

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Median" align="left" width="105" height="132 src=">!}

العقار 6. الوسيط في المثلث القائم المرسوم من قمة الرأس الزاوية اليمنى، يساوي نصف الوتر.

دليل

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Median" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

عواقب:1. وصف المركز حول المثلث الأيمنتقع الدائرة في منتصف الوتر.

2. إذا كان طول الوسيط في مثلث يساوي نصف طول الضلع المرسوم عليه، فإن هذا المثلث قائم الزاوية.

المهام

عند حل كل مشكلة لاحقة، يتم استخدام الخصائص المثبتة.

№1 المواضيع: مضاعفة الوسيط. الصعوبة: 2+

علامات وخصائص متوازي الأضلاع الدرجات: 8,9

حالة

على استمرار الوسيط أكون.مثلث اي بي سيلكل نقطة متم تأجيل الجزء (دكتور في الطب)، متساوي أكون.. اثبات أن الرباعي اي بي دي سي- متوازي الأضلاع.

حل

دعونا نستخدم إحدى علامات متوازي الأضلاع. أقطار الشكل الرباعي اي بي دي سيتتقاطع عند نقطة ما موتقسيمه إلى نصفين، وبالتالي الشكل الرباعي اي بي دي سي- متوازي الأضلاع.

1. يقسم الوسيط المثلث إلى مثلثين متساويين في المساحة.

2. يتقاطع متوسطات المثلث عند نقطة واحدة، مما يقسم كل منها بنسبة 2:1، اعتباراً من الرأس. هذه النقطة تسمى مركز الثقلمثلث.

3. يتم تقسيم المثلث بأكمله حسب متوسطاته إلى ستة مثلثات متساوية.

خصائص منصفات المثلث

1. منصف الزاوية هو موضع النقاط المتساوية البعد عن جوانب هذه الزاوية.

2. يقسم منصف الزاوية الداخلية للمثلث الضلع المقابل إلى أجزاء متناسبة مع الأضلاع المجاورة: .

3. نقطة تقاطع منصفات المثلث هي مركز الدائرة المحصورة في هذا المثلث.

خصائص ارتفاعات المثلث

1. في المثلث القائم، الارتفاع المرسوم من رأس الزاوية القائمة يقسمه إلى مثلثين مشابهين للمثلث الأصلي.

2. في مثلث حاد الزوايا، يقطع ارتفاعان منه ارتفاعات متشابهة مثلثات.

خصائص المنصفات العمودية للمثلث

1. كل نقطة من المنصف العمودي على القطعة تكون متساوية البعد عن طرفي هذه القطعة. والعكس صحيح أيضًا: فكل نقطة متساوية البعد من طرفي القطعة تقع على المنصف العمودي عليها.

2. نقطة تقاطع المنصفات المتعامدة المرسومة على جانبي المثلث هي مركز الدائرة المحيطة بهذا المثلث.

خاصية خط الوسط للمثلث

خط المنتصف للمثلث يوازي أحد أضلاعه ويساوي نصف ذلك الضلع.

تشابه المثلثات

مثلثين مشابهإذا تم استدعاء أحد الشروط التالية علامات التشابه:

· زاويتان لمثلث واحد تساوي زاويتين لمثلث آخر.

· يتناسب ضلعان في مثلث مع ضلعين في مثلث آخر، وتكون الزوايا المتكونة من هذين الضلعين متساوية؛

· ثلاثة أضلاع لمثلث واحد تتناسب على التوالي مع ثلاثة أضلاع لمثلث آخر.

في المثلثات المتشابهة، تكون الخطوط المتناظرة (الارتفاعات والمتوسطات والمنصفات وما إلى ذلك) متناسبة.

نظرية الجيب

نظرية جيب التمام

2= ب 2+ ج2- 2قبل الميلادكوس

صيغ منطقة المثلث

1. المثلث الحر

أ، ب، ج -الجانبين. - الزاوية بين الجانبين أو ب; - نصف محيط؛ ص-نصف قطر الدائرة المقيدة؛ ص-نصف قطر الدائرة المنقوشة س-مربع؛ ح أ -الارتفاع المرسوم عليه جانب أ.

س = آه أ

S = أب الخطيئة

س = العلاقات العامة

2. المثلث الأيمن

أ، ب -الساقين. ج-الوتر. ح ج -الارتفاع المرسوم على الجانب ج.

S = الفصل ج S = أب

3. مثلث متساوي الأضلاع

رباعيات

خصائص متوازي الأضلاع

· تساوي الجانبين المتقابلين؛

· الزوايا المتقابلة متساوية؛

· تنقسم الأقطار إلى نصفين حسب نقطة التقاطع.

· مجموع الزوايا المجاورة لأحد الجانبين هو 180 درجة؛

مجموع مربعات الأقطار يساوي مجموع مربعات جميع جوانبها:

د 1 2 + د 2 2 =2(أ 2 + ب 2).

يكون الشكل الرباعي متوازي أضلاع إذا:

1. أن ضلعيه المتقابلين متساويان ومتوازيان.

2. الضلعان المتقابلان متساويان في الأزواج.

3. الزوايا المتقابلة متساوية في الأزواج.

4. يتم تقسيم الأقطار إلى نصفين حسب نقطة التقاطع.

خصائص شبه منحرف

· خط وسطه يوازي القاعدتين ويساوي نصف مجموعهما.

· إذا كان شبه المنحرف متساوي الساقين فإن أقطاره متساوية وزوايا القاعدة متساوية؛

· إذا كان شبه المنحرف متساوي الساقين فيمكن وصف دائرة حوله؛

· إذا كان مجموع القواعد يساوي مجموع الأضلاع فيمكن كتابة دائرة فيه.

خصائص المستطيل

الأقطار متساوية.

متوازي الأضلاع يكون مستطيلاً إذا:

1. أن تكون إحدى زواياه مستقيمة.

2. أقطارها متساوية.

خصائص المعين

· جميع خصائص متوازي الأضلاع.

الأقطار متعامدة.

الأقطار هي منصفات زواياه.

1. يكون متوازي الأضلاع معينًا إذا:

2. ضلعاه المتجاوران متساويان.

3. قطراه متعامدان.

4. أحد القطرين هو منصف زاويته.

خصائص المربع

· جميع أركان المربع صحيحة؛

· أقطار المربع متساوية ومتعامدة، ونقطة التقاطع تنصف وتنصف زوايا المربع.

المستطيل هو مربع إذا كان لديه أي خصائص المعين.

الصيغ الأساسية

1. أي شكل رباعي محدب
د 1,د 2 -الأقطار. - الزاوية بينهما؛ س-مربع.

س = د 1 د 2 خطيئة

الحفاظ على خصوصيتك مهم بالنسبة لنا. لهذا السبب، قمنا بتطوير سياسة الخصوصية التي تصف كيفية استخدامنا لمعلوماتك وتخزينها. يرجى مراجعة ممارسات الخصوصية الخاصة بنا وإعلامنا إذا كانت لديك أي أسئلة.

جمع واستخدام المعلومات الشخصية

تشير المعلومات الشخصية إلى البيانات التي يمكن استخدامها لتحديد الهوية شخص معينأو الارتباط معه.

قد يُطلب منك تقديم معلوماتك الشخصية في أي وقت عند الاتصال بنا.

فيما يلي بعض الأمثلة على أنواع المعلومات الشخصية التي قد نجمعها وكيف يمكننا استخدام هذه المعلومات.

ما هي المعلومات الشخصية التي نجمعها:

• عندما تقوم بتقديم طلب على الموقع، قد نقوم بجمع معلومات مختلفة، بما في ذلك اسمك ورقم هاتفك وعنوانك بريد إلكترونيإلخ.

كيف نستخدم معلوماتك الشخصية:

• تم جمعها من قبلنا معلومات شخصيةيسمح لنا بالاتصال بك وإبلاغك بالعروض الفريدة والعروض الترويجية والأحداث الأخرى والأحداث القادمة.
• من وقت لآخر، قد نستخدم معلوماتك الشخصية لإرسال إشعارات ومراسلات مهمة.
• قد نستخدم أيضًا المعلومات الشخصية لأغراض داخلية، مثل إجراء عمليات التدقيق وتحليل البيانات والأبحاث المختلفة من أجل تحسين الخدمات التي نقدمها وتزويدك بالتوصيات المتعلقة بخدماتنا.
• إذا شاركت في سحب جائزة أو مسابقة أو عرض ترويجي مماثل، فقد نستخدم المعلومات التي تقدمها لإدارة مثل هذه البرامج.

الكشف عن المعلومات لأطراف ثالثة

نحن لا نكشف عن المعلومات الواردة منك إلى أطراف ثالثة.

الاستثناءات:

• إذا لزم الأمر، وفقا للقانون، الإجراء القضائي، ف محاكمةو/أو بناءً على الطلبات العامة أو الطلبات الواردة من الوكالات الحكوميةعلى أراضي الاتحاد الروسي - الكشف عن معلوماتك الشخصية. يجوز لنا أيضًا الكشف عن معلومات عنك إذا قررنا أن هذا الكشف ضروري أو مناسب للأغراض الأمنية أو إنفاذ القانون أو أي أغراض أخرى ذات أهمية عامة.
• في حالة إعادة التنظيم أو الدمج أو البيع، يجوز لنا نقل المعلومات الشخصية التي نجمعها إلى الطرف الثالث الذي يخلفه.

حماية المعلومات الشخصية

نحن نتخذ الاحتياطات - بما في ذلك الإدارية والفنية والمادية - لحماية معلوماتك الشخصية من الضياع والسرقة وسوء الاستخدام، بالإضافة إلى الوصول غير المصرح به والكشف والتغيير والتدمير.

احترام خصوصيتك على مستوى الشركة

للتأكد من أن معلوماتك الشخصية آمنة، نقوم بتوصيل معايير الخصوصية والأمان لموظفينا وننفذ ممارسات الخصوصية بشكل صارم.