Obecný vzorec pro sinusovou rovnici. Nejjednodušší goniometrické rovnice


Hlavní metody řešení goniometrických rovnic jsou: redukce rovnic na nejjednodušší (pomocí goniometrických vzorců), zavádění nových proměnných a faktoring. Podívejme se na jejich použití s ​​příklady. Pozor na formát zápisu řešení goniometrických rovnic.

Nezbytnou podmínkou úspěšného řešení goniometrických rovnic je znalost goniometrických vzorců (téma 13 práce 6).

Příklady.

1. Rovnice zredukované na nejjednodušší.

1) Řešte rovnici

Řešení:

Odpověď:

2) Najděte kořeny rovnice

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, patřící do segmentu.

Řešení:

Odpověď:

2. Rovnice redukující na kvadratické.

1) Vyřešte rovnici 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Řešení: Pomocí vzorce sin 2 x = 1 – cos 2 x dostaneme

Odpověď:

2) Řešte rovnici cos 2x = 1 + 4 cosx.

Řešení: Pomocí vzorce cos 2x = 2 cos 2 x – 1 dostaneme

Odpověď:

3) Vyřešte rovnici tgx – 2ctgx + 1 = 0

Řešení:

Odpověď:

3. Homogenní rovnice

1) Vyřešte rovnici 2sinx – 3cosx = 0

Řešení: Nechť cosx = 0, pak 2sinx = 0 a sinx = 0 – rozpor s tím, že sin 2 x + cos 2 x = 1. To znamená cosx ≠ 0 a rovnici můžeme vydělit cosx. Dostáváme

Odpověď:

2) Řešte rovnici 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Řešení:

Použijeme vzorce 1 = sin 2 x + cos 2 x a sin 2x = 2 sinxcosx, dostaneme

hřích 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Nechť cosx = 0, pak sin 2 x = 0 a sinx = 0 – rozpor s tím, že sin 2 x + cos 2 x = 1.
To znamená cosx ≠ 0 a rovnici můžeme vydělit cos 2 x . Dostáváme

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Označme tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
yi = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x = arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x = arctan2 + 2 k, k .

Odpověď: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k, k

4. Rovnice formuláře A sinx + b cosx = s, s≠ 0.

1) Řešte rovnici.

Řešení:

Odpověď:

5. Rovnice řešené faktorizací.

1) Vyřešte rovnici sin2x – sinx = 0.

Kořen rovnice F (X) = φ ( X) může sloužit pouze jako číslo 0. Zkontrolujte toto:

cos 0 = 0 + 1 – rovnost platí.

Číslo 0 je jediným kořenem této rovnice.

Odpověď: 0.

Můžete si objednat podrobné řešení vašeho problému!!!

Rovnost obsahující neznámou pod znaménkem goniometrické funkce (`sin x, cos x, tan x` nebo `ctg x`) se nazývá goniometrická rovnice a právě jejich vzorcem se budeme dále zabývat.

Nejjednodušší rovnice se nazývají `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, kde `x` je úhel, který má být nalezen, `a` je libovolné číslo. Zapišme si kořenové vzorce pro každý z nich.

1. Rovnice `sin x=a`.

Pro `|a|>1` nemá řešení.

Když `|a| \leq 1` má nekonečný počet řešení.

Kořenový vzorec: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Rovnice `cos x=a`

Pro `|a|>1` - stejně jako v případě sinus, nemá mezi reálnými čísly žádná řešení.

Když `|a| \leq 1` má nekonečný počet řešení.

Kořenový vzorec: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Speciální případy pro sinus a kosinus v grafech.

3. Rovnice `tg x=a`

Má nekonečný počet řešení pro jakékoli hodnoty „a“.

Kořenový vzorec: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Rovnice `ctg x=a`

Má také nekonečný počet řešení pro jakékoli hodnoty „a“.

Kořenový vzorec: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Vzorce pro kořeny goniometrických rovnic v tabulce

Pro sinus:
Pro kosinus:
Pro tečnu a kotangensu:
Vzorce pro řešení rovnic obsahujících inverzní goniometrické funkce:

Metody řešení goniometrických rovnic

Řešení jakékoli goniometrické rovnice se skládá ze dvou fází:

  • s pomocí přeměny na nejjednodušší;
  • vyřešit nejjednodušší rovnici získanou pomocí kořenových vzorců a tabulek napsaných výše.

Podívejme se na hlavní způsoby řešení pomocí příkladů.

Algebraická metoda.

Tato metoda zahrnuje nahrazení proměnné a její nahrazení rovností.

Příklad. Vyřešte rovnici: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

proveďte náhradu: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, poté `2y^2-3y+1=0`,

najdeme kořeny: `y_1=1, y_2=1/2`, z nichž vyplývají dva případy:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Odpověď: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizace.

Příklad. Vyřešte rovnici: `sin x+cos x=1`.

Řešení. Posuňme všechny členy rovnosti doleva: `sin x+cos x-1=0`. Pomocí , transformujeme a faktorizujeme levou stranu:

`sin x – 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

  1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
  2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Odpověď: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redukce na homogenní rovnici

Nejprve musíte tuto trigonometrickou rovnici zredukovat na jednu ze dvou forem:

`a sin x+b cos x=0` (homogenní rovnice prvního stupně) nebo `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogenní rovnice druhého stupně).

Poté obě části vydělte `cos x \ne 0` - pro první případ a `cos^2 x \ne 0` - pro druhý. Získáme rovnice pro `tg x`: `a tg x+b=0` a `a tg^2 x + b tg x +c =0`, které je potřeba vyřešit známými metodami.

Příklad. Vyřešte rovnici: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Řešení. Zapišme pravou stranu jako `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Jedná se o homogenní goniometrickou rovnici druhého stupně, její levou a pravou stranu vydělíme `cos^2 x \ne 0`, dostaneme:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Zavedeme náhradu `tg x=t`, výsledkem je `t^2 + t - 2=0`. Kořeny této rovnice jsou `t_1=-2` a `t_2=1`. Pak:

  1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
  2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Odpověď. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Přesun do polovičního úhlu

Příklad. Vyřešte rovnici: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Řešení. Aplikujme vzorce pro dvojitý úhel, výsledkem je: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Použitím výše popsané algebraické metody získáme:

  1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
  2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Odpověď. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Zavedení pomocného úhlu

V trigonometrické rovnici `a sin x + b cos x =c`, kde a,b,c jsou koeficienty a x je proměnná, vydělte obě strany `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))“.

Koeficienty na levé straně mají vlastnosti sinus a kosinus, konkrétně součet jejich druhých mocnin je roven 1 a jejich moduly nejsou větší než 1. Označme je takto: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C', pak:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Podívejme se blíže na následující příklad:

Příklad. Vyřešte rovnici: `3 sin x+4 cos x=2`.

Řešení. Vydělte obě strany rovnosti `sqrt (3^2+4^2)`, dostaneme:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2)).

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Označme `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Protože `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, bereme `\varphi=arcsin 4/5` jako pomocný úhel. Potom zapíšeme naši rovnost ve tvaru:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Použitím vzorce pro součet úhlů pro sinus zapíšeme naši rovnost v následujícím tvaru:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Odpověď. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Zlomkové racionální goniometrické rovnice

Jedná se o rovnosti se zlomky, jejichž čitatel a jmenovatel obsahuje goniometrické funkce.

Příklad. Vyřešte rovnici. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Řešení. Vynásobte a vydělte pravou stranu rovnosti `(1+cos x)`. V důsledku toho dostaneme:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Vzhledem k tomu, že jmenovatel nemůže být roven nule, dostaneme `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Srovnejme čitatele zlomku s nulou: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Potom `sin x=0` nebo `1-sin x=0`.

  1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
  2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Vzhledem k tomu, že ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, řešení jsou `x=2\pi n, n \in Z` a `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Odpověď. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometrie, a zejména goniometrické rovnice, se používají téměř ve všech oblastech geometrie, fyziky a inženýrství. Studium začíná v 10. třídě, vždy jsou úkoly na Jednotnou státní zkoušku, takže si zkuste zapamatovat všechny vzorce goniometrických rovnic - určitě se vám budou hodit!

Nemusíte se je však ani učit nazpaměť, hlavní je pochopit podstatu a umět ji odvodit. Není to tak těžké, jak se zdá. Přesvědčte se sami sledováním videa.

Nejjednodušší goniometrické rovnice jsou rovnice

Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a

Rovnice cos(x) = a

Vysvětlení a zdůvodnění

  1. Kořeny rovnice cosx = a. Když | a | > 1 rovnice nemá kořeny, protože | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 nebo v a< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

Nechte | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. Na intervalu funkce y = cos x klesá z 1 na -1. Ale klesající funkce nabývá každou ze svých hodnot pouze v jednom bodě své definiční oblasti, proto rovnice cos x = a má na tomto intervalu pouze jeden kořen, který je podle definice arkosinus roven: x 1 = arccos a (a pro tento kořen cos x = A).

Kosinus je sudá funkce, takže na intervalu [-n; 0] rovnice cos x = a má také pouze jeden kořen - číslo naproti x 1, tzn

x 2 = -arccos a.

Tedy na intervalu [-n; p] (délka 2p) rovnice cos x = a s | a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

Funkce y = cos x je periodická s periodou 2n, proto se všechny ostatní kořeny liší od těch nalezených o 2n (n € Z). Získáme následující vzorec pro kořeny rovnice cos x = a když

x = ± arccos a + 2pp, n £ Z.

  1. Speciální případy řešení rovnice cosx = a.

Je užitečné si zapamatovat speciální označení kořenů rovnice cos x = a when

a = 0, a = -1, a = 1, které lze snadno získat pomocí jednotkové kružnice jako reference.

Protože kosinus je roven úsečce odpovídajícího bodu jednotkové kružnice, dostaneme cos x = 0 právě tehdy, když odpovídajícím bodem jednotkové kružnice je bod A nebo bod B.

Podobně cos x = 1 právě tehdy, když odpovídajícím bodem jednotkové kružnice je bod C, proto,

x = 2πп, k € Z.

Také cos x = -1 právě tehdy, když odpovídajícím bodem jednotkové kružnice je bod D, tedy x = n + 2n,

Rovnice sin(x) = a

Vysvětlení a zdůvodnění

  1. Kořeny rovnice sinx = a. Když | a | > 1 rovnice nemá kořeny, protože | hřích |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 nebo v a< -1 не пересекает график функции y = sinx).

Zachování vašeho soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.

Shromažďování a používání osobních údajů

Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci nebo kontaktování konkrétní osoby.

Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.

Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.

Jaké osobní údaje shromažďujeme:

  • Když odešlete žádost na webu, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, e-mailové adresy atd.

Jak používáme vaše osobní údaje:

  • Osobní údaje, které shromažďujeme, nám umožňují kontaktovat vás s jedinečnými nabídkami, akcemi a dalšími událostmi a nadcházejícími událostmi.
  • Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých oznámení a sdělení.
  • Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
  • Pokud se účastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné propagační akce, můžeme použít vámi poskytnuté informace ke správě takových programů.

Zpřístupnění informací třetím stranám

Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.

Výjimky:

  • V případě potřeby – v souladu se zákonem, soudním řízením, v soudním řízení a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí vládních orgánů na území Ruské federace – zpřístupnit vaše osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud usoudíme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné pro účely bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiné veřejné důležité účely.
  • V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné nástupnické třetí straně.

Ochrana osobních údajů

Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, jakož i neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.

Respektování vašeho soukromí na úrovni společnosti

Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům standardy ochrany soukromí a zabezpečení a přísně prosazujeme postupy ochrany osobních údajů.

Videokurz „Get an A“ obsahuje všechna témata potřebná k úspěšnému složení jednotné státní zkoušky z matematiky s 60-65 body. Kompletně všechny úkoly 1-13 Profilové jednotné státní zkoušky z matematiky. Vhodné i pro složení Základní jednotné státní zkoušky z matematiky. Pokud chcete složit jednotnou státní zkoušku s 90-100 body, musíte část 1 vyřešit za 30 minut a bezchybně!

Přípravný kurz k jednotné státní zkoušce pro ročníky 10-11 i pro učitele. Vše, co potřebujete k vyřešení 1. části jednotné státní zkoušky z matematiky (prvních 12 úloh) a úlohy 13 (trigonometrie). A to je na Jednotnou státní zkoušku více než 70 bodů a neobejde se bez nich ani stobodový student, ani student humanitních oborů.

Všechny potřebné teorie. Rychlá řešení, úskalí a tajemství jednotné státní zkoušky. Byly analyzovány všechny aktuální úkoly části 1 z FIPI Task Bank. Kurz plně vyhovuje požadavkům jednotné státní zkoušky 2018.

Kurz obsahuje 5 velkých témat, každé 2,5 hodiny. Každé téma je podáno od začátku, jednoduše a jasně.

Stovky úkolů jednotné státní zkoušky. Slovní úlohy a teorie pravděpodobnosti. Jednoduché a snadno zapamatovatelné algoritmy pro řešení problémů. Geometrie. Teorie, referenční materiál, analýza všech typů úkolů jednotné státní zkoušky. Stereometrie. Záludná řešení, užitečné cheat sheets, rozvoj prostorové představivosti. Trigonometrie od nuly k problému 13. Porozumění místo nacpávání. Jasné vysvětlení složitých pojmů. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkce a derivace. Podklad pro řešení složitých problémů 2. části jednotné státní zkoušky.