Proč se medián rovná polovině přepony? Vlastnosti mediánu pravoúhlého trojúhelníku
Medián je úsečka vedená od vrcholu trojúhelníku do středu protější strany, to znamená, že jej v průsečíku rozděluje na polovinu. Bod, ve kterém medián protíná stranu protilehlou k vrcholu, ze kterého vychází, se nazývá základna. Každý medián trojúhelníku prochází jedním bodem, který se nazývá průsečík. Vzorec pro jeho délku lze vyjádřit několika způsoby.
Vzorce pro vyjádření délky mediánu
- V úlohách geometrie se studenti často musí vypořádat s úsečkou, jako je medián trojúhelníku. Vzorec pro jeho délku je vyjádřen ve stranách:
kde a, b a c jsou strany. Navíc c je strana, na kterou padá medián. Takhle to vypadá jednoduchý vzorec. Pro pomocné výpočty jsou někdy vyžadovány mediány trojúhelníku. Existují další vzorce.
- Pokud jsou během výpočtu známy dvě strany trojúhelníku a určitý úhel α mezi nimi, pak délka mediánu trojúhelníku, snížená na třetí stranu, bude vyjádřena následovně.
Základní vlastnosti
- Všechny mediány mají jeden společný průsečík O a jsou jím děleny v poměru dva ku jedné, pokud se počítá od vrcholu. Tento bod se nazývá těžiště trojúhelníku.
- Medián rozděluje trojúhelník na dva další, jejichž obsah je stejný. Takové trojúhelníky se nazývají rovnoplošné.
- Pokud nakreslíte všechny mediány, trojúhelník se rozdělí na 6 stejných čísel, což budou také trojúhelníky.
- Pokud jsou všechny tři strany trojúhelníku stejné, pak každý z mediánů bude také nadmořskou výškou a osou, tedy kolmou ke straně, na kterou je nakreslen, a půlí úhel, ze kterého vychází.
- V rovnoramenném trojúhelníku bude medián nakreslený z vrcholu, který je naproti straně, která se nerovná žádné jiné, také nadmořskou výškou a osou. Mediány spadlé z ostatních vrcholů jsou stejné. To je pro rovnoramenné také nutná a postačující podmínka.
- Je-li podstavou pravidelné pyramidy trojúhelník, pak se výška pokleslá na tuto podstavu promítne do průsečíku všech mediánů.
- V pravoúhlém trojúhelníku je medián nakreslený na nejdelší straně roven polovině jeho délky.
- Nechť O je průsečík střednic trojúhelníku. Níže uvedený vzorec bude platit pro jakýkoli bod M.
- Medián trojúhelníku má další vlastnost. Vzorec pro druhou mocninu jeho délky přes čtverce stran je uveden níže.
Vlastnosti stran, na které je vykreslen medián
- Pokud spojíte libovolné dva průsečíky střednic se stranami, na kterých jsou vypuštěny, pak výsledný segment bude středovou čárou trojúhelníku a bude jednou polovinou strany trojúhelníku, se kterou nemá společné body.
- Základny výšek a mediánů v trojúhelníku, stejně jako středy segmentů spojujících vrcholy trojúhelníku s průsečíkem výšek, leží na stejné kružnici.
Na závěr je logické říci, že jedním z nejdůležitějších segmentů je medián trojúhelníku. Jeho vzorec lze použít k nalezení délek jeho ostatních stran.
Při studiu tématu školní kurz je možné vybrat určité minimum problémů, po zvládnutí metod řešení, budou studenti schopni řešit jakýkoli problém na úrovni programových požadavků na studované téma. Navrhuji zvážit problémy, které vám umožní vidět vzájemné souvislosti jednotlivých témat v kurzu školní matematiky. Proto sestavený systém úloh je účinnými prostředky opakování, zobecňování a systematizace vzdělávací materiál při přípravě studentů na zkoušku.
Pro složení zkoušky bude užitečné mít další informace o některých prvcích trojúhelníku. Uvažujme vlastnosti mediánu trojúhelníku a problémy, při jejichž řešení lze tyto vlastnosti využít. Navržené úkoly implementují princip diferenciace úrovní. Všechny úkoly jsou podmíněně rozděleny do úrovní (úroveň je uvedena v závorce za každým úkolem).
Připomeňme si některé vlastnosti mediánu trojúhelníku
Nemovitost 1. Dokažte, že medián trojúhelníku ABC, nakreslený z vrcholu A, méně než polovina součtu stran AB A A.C..
Důkaz
https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}
Nemovitost 2. Medián rozdělí trojúhelník na dvě stejné oblasti.
Důkaz
Nakreslete z vrcholu B trojúhelníku ABC medián BD a výšku BE..gif" alt="Area" width="82" height="46">!}
Protože segment BD je medián, pak
Q.E.D.
https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Median" align="left" width="196" height="75 src=">!} Nemovitost 4. Mediány trojúhelníku rozdělují trojúhelník na 6 stejných trojúhelníků.
Důkaz
Dokažme, že plocha každého ze šesti trojúhelníků, na které mediány rozdělují trojúhelník ABC, se rovná ploše trojúhelníku ABC. Chcete-li to provést, zvažte například trojúhelník AOF a pusťte kolmici AK z vrcholu A na přímku BF.
Kvůli majetku 2,
https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Median" align="left" width="105" height="132 src=">!}
Nemovitost 6. Medián v pravoúhlém trojúhelníku nakresleném z vrcholu pravý úhel, se rovná polovině přepony.
Důkaz
https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Median" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}
Důsledky:1. Centrum popsáno o pravoúhlý trojúhelník kružnice leží ve středu přepony.
2. Pokud je v trojúhelníku délka mediánu rovna polovině délky strany, na kterou je nakreslen, pak je tento trojúhelník pravoúhlý.
ÚKOLY
Při řešení každého následujícího problému se využívá osvědčených vlastností.
№1 Témata: Zdvojnásobení mediánu. Obtížnost: 2+
Znaky a vlastnosti rovnoběžníku Známky: 8,9
Stav
Na pokračování mediánu DOPOLEDNE. trojúhelník ABC za bod M segment odložen M.D., rovné DOPOLEDNE.. Dokažte, že čtyřúhelník ABDC- rovnoběžník.
Řešení
Použijme jeden ze znaků rovnoběžníku. Úhlopříčky čtyřúhelníku ABDC protínají v bodě M a rozdělte ji na polovinu, tedy čtyřúhelník ABDC- rovnoběžník.
1. Medián rozděluje trojúhelník na dva trojúhelníky o stejné ploše.
2. Mediány trojúhelníku se protínají v jednom bodě, který rozděluje každý z nich v poměru 2:1, počítáno od vrcholu. Tento bod se nazývá těžiště trojúhelník.
3. Celý trojúhelník je rozdělen svými mediány na šest stejných trojúhelníků.
Vlastnosti os trojúhelníku
1. Osa úhlu je těžiště bodů stejně vzdálených od stran tohoto úhlu.
2. Osa vnitřního úhlu trojúhelníku rozděluje protilehlou stranu na úsečky úměrné sousedním stranám: .
3. Průsečíkem os trojúhelníku je střed kružnice vepsané do tohoto trojúhelníku.
Vlastnosti výšek trojúhelníků
1. V pravoúhlém trojúhelníku výška nakreslená od vrcholu pravého úhlu jej rozděluje na dva trojúhelníky podobné původnímu.
2. V ostrém trojúhelníku z něj dvě jeho výšky odříznou podobné 
trojúhelníky.
Vlastnosti odvěsných os trojúhelníku
1. Každý bod kolmice k úsečce je stejně vzdálen od konců této úsečky. Platí to i obráceně: každý bod stejně vzdálený od konců úsečky leží na kolmici k ní.
2. Průsečík odvěsnic nakreslených ke stranám trojúhelníku je středem kružnice opsané tomuto trojúhelníku.
Vlastnost střednice trojúhelníku
Středová čára trojúhelníku je rovnoběžná s jednou z jeho stran a rovná se polovině této strany.
Podobnost trojúhelníků
Dva trojúhelníky podobný v případě jedné z následujících podmínek, tzv známky podobnosti:
· dva úhly jednoho trojúhelníku se rovnají dvěma úhlům jiného trojúhelníku;
· dvě strany jednoho trojúhelníku jsou úměrné dvěma stranám jiného trojúhelníku a úhly tvořené těmito stranami jsou stejné;
· tři strany jednoho trojúhelníku jsou úměrné třem stranám jiného trojúhelníku.
V podobných trojúhelníkech jsou odpovídající úsečky (výšky, mediány, osy atd.) úměrné.
Věta o sinech
Kosinová věta
a 2= b 2+ c 2- 2bc cos
Vzorce pro oblast trojúhelníku
1. Volný trojúhelník
a, b, c - strany; - úhel mezi stranami A A b; - poloobvod; R- poloměr opsané kružnice; r- poloměr vepsané kružnice; S- náměstí; h a - výška přitažená 
strana A.
S = ah a
S = ab sin
S = pr
2. Pravoúhlý trojúhelník
a, b - nohy; C- přepona; h c - výška vytažená do strany C.
S = ch c S = ab
3. Rovnostranný trojúhelník
Čtyřúhelníky
Vlastnosti rovnoběžníku 
· protilehlé strany jsou stejné;
· opačné úhly jsou stejné;
· úhlopříčky jsou rozděleny na polovinu průsečíkem;
· součet úhlů sousedících s jednou stranou je 180°;
Součet čtverců úhlopříček se rovná součtu čtverců všech stran:
d12+d22=2(a2+b2).
Čtyřúhelník je rovnoběžník, pokud:
1. Jeho dvě protilehlé strany jsou stejné a rovnoběžné.
2. Opačné strany jsou ve dvojicích stejné.
3. Opačné úhly jsou ve dvojicích stejné.
4. Úhlopříčky jsou rozděleny na polovinu průsečíkem.
Vlastnosti lichoběžníku
· její střední čára je rovnoběžná se základnami a rovná se jejich polovičnímu součtu;
· pokud je lichoběžník rovnoramenný, pak jsou jeho úhlopříčky stejné a úhly na základně jsou stejné;
· je-li lichoběžník rovnoramenný, lze kolem něj popsat kruh;
· je-li součet základen roven součtu stran, pak do něj lze vepsat kružnici.
Vlastnosti obdélníku
Úhlopříčky jsou stejné.
Rovnoběžník je obdélník, pokud:
1. Jeden z jejích úhlů je rovný.
2. Jeho úhlopříčky jsou stejné.
Vlastnosti kosočtverce
· všechny vlastnosti rovnoběžníku;
Úhlopříčky jsou kolmé;
Úhlopříčky jsou osy jeho úhlů.
1. Rovnoběžník je kosočtverec, pokud:
2. Jeho dvě sousední strany jsou stejné.
3. Jeho úhlopříčky jsou kolmé.
4. Jedna z úhlopříček je sečna jejího úhlu.
Vlastnosti čtverce
· všechny rohy čtverce jsou pravé;
· úhlopříčky čtverce jsou stejné, vzájemně kolmé, průsečík půlí a půlí rohy čtverce.
Obdélník je čtverec, pokud má nějaké vlastnosti kosočtverce.
Základní vzorce
1. Libovolný konvexní čtyřúhelník 
d 1,d 2 -úhlopříčky; - úhel mezi nimi; S- náměstí.
S = d 1 d 2 hřích
Zachování vašeho soukromí je pro nás důležité. Z tohoto důvodu jsme vyvinuli Zásady ochrany osobních údajů, které popisují, jak používáme a uchováváme vaše informace. Přečtěte si prosím naše zásady ochrany osobních údajů a dejte nám vědět, pokud máte nějaké dotazy.
Shromažďování a používání osobních údajů
Osobní údaje jsou údaje, které lze použít k identifikaci určitá osoba nebo spojení s ním.
Kdykoli nás budete kontaktovat, můžete být požádáni o poskytnutí svých osobních údajů.
Níže jsou uvedeny některé příklady typů osobních údajů, které můžeme shromažďovat, a jak takové informace můžeme používat.
Jaké osobní údaje shromažďujeme:
- Když odešlete žádost na stránce, můžeme shromažďovat různé informace, včetně vašeho jména, telefonního čísla, adresy e-mail atd.
Jak používáme vaše osobní údaje:
- Shromážděno námi osobní údaje nám umožňuje kontaktovat vás a informovat vás o jedinečných nabídkách, akcích a dalších akcích a připravovaných akcích.
- Čas od času můžeme použít vaše osobní údaje k zasílání důležitých oznámení a sdělení.
- Osobní údaje můžeme také používat pro interní účely, jako je provádění auditů, analýzy dat a různé výzkumy, abychom zlepšili služby, které poskytujeme, a abychom vám poskytli doporučení týkající se našich služeb.
- Pokud se účastníte slosování o ceny, soutěže nebo podobné propagační akce, můžeme použít vámi poskytnuté informace ke správě takových programů.
Zpřístupnění informací třetím stranám
Informace, které od vás obdržíme, nesdělujeme třetím stranám.
Výjimky:
- V případě potřeby v souladu se zákonem soudní řízení, V soud a/nebo na základě veřejných žádostí nebo žádostí od vládní agentury na území Ruské federace – zveřejněte své osobní údaje. Můžeme také zveřejnit informace o vás, pokud usoudíme, že takové zveřejnění je nezbytné nebo vhodné pro účely bezpečnosti, vymáhání práva nebo jiné veřejné důležité účely.
- V případě reorganizace, fúze nebo prodeje můžeme osobní údaje, které shromažďujeme, předat příslušné nástupnické třetí straně.
Ochrana osobních údajů
Přijímáme opatření – včetně administrativních, technických a fyzických – k ochraně vašich osobních údajů před ztrátou, krádeží a zneužitím, stejně jako neoprávněným přístupem, zveřejněním, pozměněním a zničením.
Respektování vašeho soukromí na úrovni společnosti
Abychom zajistili, že jsou vaše osobní údaje v bezpečí, sdělujeme našim zaměstnancům standardy ochrany soukromí a zabezpečení a přísně prosazujeme postupy ochrany osobních údajů.