Podle učebnice Sovetova a Jakovleva: „model (latinsky modul - míra) je náhradní objekt za původní objekt, který zajišťuje studium některých vlastností originálu. (str. 6) “Nahrazení jednoho objektu jiným za účelem získání informací o nejdůležitějších vlastnostech původního objektu pomocí objektu modelu se nazývá modelování.” (str. 6) „Matematickým modelováním rozumíme proces ustavení korespondence k danému reálnému objektu s určitým matematickým objektem, zvaným matematický model, a studium tohoto modelu, které nám umožňuje získat charakteristiky reálného objektu. posuzovaný objekt. Typ matematického modelu závisí jak na povaze skutečného objektu, tak na úkolech studia objektu a na požadované spolehlivosti a přesnosti řešení tohoto problému.“

Nakonec nejvýstižnější definice matematického modelu: „Rovnice vyjadřující myšlenku».

Klasifikace modelu

Formální klasifikace modelů

Formální klasifikace modelů je založena na klasifikaci použitých matematických nástrojů. Často konstruované ve formě dichotomií. Například jedna z oblíbených sad dichotomií:

a tak dále. Každý konstruovaný model je lineární nebo nelineární, deterministický nebo stochastický, ... Přirozeně jsou možné i smíšené typy: koncentrované v jednom ohledu (z hlediska parametrů), distribuované v jiném atd.

Klasifikace podle způsobu znázornění objektu

Spolu s formální klasifikací se modely liší ve způsobu, jakým představují objekt:

• Strukturální nebo funkční modely

Strukturální modely představují objekt jako systém s vlastní strukturou a mechanismem fungování. Funkční modely takové reprezentace nepoužívejte a odrážejí pouze zvenčí vnímané chování (fungování) objektu. Ve svém extrémním projevu se jim také říká modely „černé skříňky“. Možné jsou i kombinované typy modelů, které se někdy nazývají „ šedá krabice».

Obsahové a formální modely

Téměř všichni autoři popisující proces matematického modelování uvádějí, že nejprve je postavena speciální ideální struktura, obsahový model. Neexistuje zde ustálená terminologie a jiní autoři tento objekt nazývají ideálním objektem koncepční model , spekulativní model nebo předmodelovat. V tomto případě se nazývá konečná matematická konstrukce formální model nebo jednoduše matematický model získaný jako výsledek formalizace daného smysluplného modelu (pre-model). Konstrukce smysluplného modelu může být provedena pomocí sady hotových idealizací, jako v mechanice, kde ideální pružiny, tuhá tělesa, ideální kyvadla, elastická média atd. poskytují hotové konstrukční prvky pro smysluplné modelování. Avšak v oblastech znalostí, kde neexistují žádné plně dokončené formalizované teorie (špičková fyzika, biologie, ekonomie, sociologie, psychologie a většina dalších oblastí), se vytváření smysluplných modelů stává dramaticky obtížnějším.

Obsahová klasifikace modelů

Žádná hypotéza ve vědě nemůže být prokázána jednou provždy. Richard Feynman to formuloval velmi jasně:

"Vždy máme příležitost vyvrátit teorii, ale uvědomte si, že nikdy nemůžeme dokázat, že je správná." Předpokládejme, že jste předložili úspěšnou hypotézu, vypočítali, kam vede, a zjistili, že všechny její důsledky jsou experimentálně potvrzeny. Znamená to, že vaše teorie je správná? Ne, to prostě znamená, že jsi to nedokázal vyvrátit."

Pokud je postaven model prvního typu, znamená to, že je dočasně přijat jako pravda a člověk se může soustředit na jiné problémy. To však nemůže být bod ve výzkumu, ale pouze dočasná pauza: status modelu prvního typu může být pouze dočasný.

Typ 2: Fenomenologický model (chováme se jakoby…)

Fenomenologický model obsahuje mechanismus pro popis jevu. Tento mechanismus však není dostatečně přesvědčivý, nelze jej dostatečně potvrdit dostupnými daty nebo dobře nezapadá do existujících teorií a nashromážděných znalostí o objektu. Proto mají fenomenologické modely status dočasných řešení. Má se za to, že odpověď je stále neznámá a hledání „skutečných mechanismů“ musí pokračovat. Peierls zahrnuje jako druhý typ například kalorický model a kvarkový model elementárních částic.

Role modelu ve výzkumu se může v čase měnit a může se stát, že nová data a teorie potvrdí fenomenologické modely a ty budou povýšeny do stavu hypotézy. Stejně tak se nové poznatky mohou postupně dostat do rozporu s hypotézami prvního typu a mohou být převedeny do druhého. Kvarkový model se tak postupně přesouvá do kategorie hypotéz; atomismus ve fyzice vznikl jako dočasné řešení, ale postupem historie se stal prvním typem. Ale éterové modely si prošly cestu od typu 1 k typu 2 a nyní jsou mimo vědu.

Myšlenka zjednodušení je při stavbě modelů velmi populární. Zjednodušení však přichází v různých podobách. Peierls identifikuje tři typy zjednodušení v modelování.

Typ 3: Přiblížení (považujeme něco velmi velkého nebo velmi malého)

Pokud je možné sestrojit rovnice popisující zkoumaný systém, neznamená to, že je lze řešit i pomocí počítače. Běžnou technikou je v tomto případě použití aproximací (modely typu 3). Mezi nimi modely lineární odezvy. Rovnice jsou nahrazeny lineárními. Standardním příkladem je Ohmův zákon.

Zde přichází typ 8, který je rozšířen v matematických modelech biologických systémů.

Typ 8: Ukázka funkcí (hlavní věcí je ukázat vnitřní konzistenci možnosti)

To jsou také myšlenkové experimenty s imaginárními entitami, které to dokazují domnělý jev v souladu se základními principy a vnitřně konzistentní. To je hlavní rozdíl od modelů typu 7, které odhalují skryté rozpory.

Jedním z nejznámějších z těchto experimentů je Lobačevského geometrie (Lobačevskij ji nazval „imaginární geometrie“). Dalším příkladem je masová výroba formálně kinetických modelů chemických a biologických vibrací, autovln atd. Einstein-Podolsky-Rosenův paradox byl koncipován jako model 7. typu, aby se demonstrovala nekonzistentnost kvantové mechaniky. Zcela neplánovaně se nakonec proměnil v model typu 8 – ukázka možnosti kvantové teleportace informací.

Příklad

Uvažujme mechanický systém sestávající z pružiny připojené na jednom konci a hmoty hmoty připojené k volnému konci pružiny. Budeme předpokládat, že břemeno se může pohybovat pouze ve směru osy pružiny (například k pohybu dochází podél tyče). Pojďme sestavit matematický model tohoto systému. Stav systému popíšeme vzdáleností od středu zatížení k jeho rovnovážné poloze. Popišme interakci pružiny a zatížení pomocí Hookův zákon() a poté použijte druhý Newtonův zákon k vyjádření ve formě diferenciální rovnice:

kde znamená druhou derivaci s ohledem na čas: .

Výsledná rovnice popisuje matematický model uvažovaného fyzikálního systému. Tento model se nazývá "harmonický oscilátor".

Podle formální klasifikace je tento model lineární, deterministický, dynamický, koncentrovaný, spojitý. Při jeho konstrukci jsme vycházeli z mnoha předpokladů (o nepřítomnosti vnějších sil, o nepřítomnosti tření, o malosti výchylek atd.), které ve skutečnosti nemusí být splněny.

Ve vztahu k realitě se nejčastěji jedná o model 4. typu zjednodušení(„pro srozumitelnost vynecháme některé detaily“), protože některé základní univerzální vlastnosti (například rozptyl) jsou vynechány. K určitému přiblížení (řekněme, zatímco odchylka zatížení od rovnováhy je malá, s nízkým třením, po nepříliš dlouhou dobu a za určitých dalších podmínek), takový model popisuje skutečný mechanický systém docela dobře, protože vyřazené faktory mají zanedbatelný vliv na jeho chování. Model však lze upřesnit zohledněním některých z těchto faktorů. To povede k novému modelu s širším (i když opět omezeným) rozsahem použitelnosti.

Při zpřesňování modelu se však může výrazně zvýšit složitost jeho matematického výzkumu a model se může stát prakticky nepoužitelným. Jednodušší model často umožňuje lepší a hlubší prozkoumání reálného systému než složitější (a formálně „správnější“).

Pokud použijeme model harmonického oscilátoru na objekty daleko od fyziky, jeho věcný status může být odlišný. Například při aplikaci tohoto modelu na biologické populace by měl být s největší pravděpodobností klasifikován jako typ 6 analogie(„vezměme v úvahu jen některé funkce“).

Tvrdé a měkké modely

Harmonický oscilátor je příkladem tzv. „tvrdého“ modelu. Získává se jako výsledek silné idealizace skutečného fyzikálního systému. Pro vyřešení otázky její použitelnosti je nutné pochopit, jak významné jsou faktory, které jsme opomíjeli. Jinými slovy, je třeba studovat „měkký“ model, který se získá malou poruchou „tvrdého“. Může být dán například následující rovnicí:

Zde je nějaká funkce, která může vzít v úvahu třecí sílu nebo závislost koeficientu tuhosti pružiny na míře jejího natažení - nějaký malý parametr. Explicitní podoba funkce nás v tuto chvíli nezajímá. Pokud prokážeme, že chování měkkého modelu se zásadně neliší od chování tvrdého (bez ohledu na explicitní typ rušivých faktorů, pokud jsou dostatečně malé), problém se zredukuje na studium tvrdého modelu. V opačném případě bude aplikace výsledků získaných studiem rigidního modelu vyžadovat další výzkum. Například řešením rovnice harmonického oscilátoru jsou funkce tvaru , tedy kmity s konstantní amplitudou. Vyplývá z toho, že skutečný oscilátor bude kmitat donekonečna s konstantní amplitudou? Ne, protože uvážíme-li systém s libovolně malým třením (v reálném systému vždy přítomným), dostáváme tlumené oscilace. Chování systému se kvalitativně změnilo.

Pokud si systém zachová své kvalitativní chování i při malých poruchách, říká se, že je strukturálně stabilní. Harmonický oscilátor je příkladem strukturálně nestabilního (nehrubého) systému. Tento model však lze použít ke studiu procesů v omezených časových obdobích.

Všestrannost modelů

Nejdůležitější matematické modely obvykle mají důležitou vlastnost všestrannost: Zásadně odlišné reálné jevy lze popsat stejným matematickým modelem. Například harmonický oscilátor popisuje nejen chování zátěže na pružině, ale i další oscilační procesy, často zcela jiného charakteru: malé kmity kyvadla, kolísání hladiny kapaliny v nádobě ve tvaru A nebo změna síly proudu v oscilačním obvodu. Studiem jednoho matematického modelu tedy okamžitě studujeme celou třídu jevů, které popisuje. Právě tento izomorfismus zákonů vyjádřený matematickými modely v různých segmentech vědeckého poznání inspiroval Ludwiga von Bertalanffyho k vytvoření „Obecné teorie systémů“.

Přímé a inverzní úlohy matematického modelování

S matematickým modelováním je spojeno mnoho problémů. Nejprve je třeba vymyslet základní schéma modelovaného objektu, reprodukovat jej v rámci idealizací této vědy. Vlakový vůz se tak promění v soustavu desek a složitějších těles z různých materiálů, každý materiál je specifikován jako jeho standardní mechanická idealizace (hustota, moduly pružnosti, standardní pevnostní charakteristiky), načež se sestaví rovnice, podél cesty některé detaily jsou vyřazeny jako nedůležité, provádějí se výpočty, porovnávají se s měřeními, model se zpřesňuje atd. Pro vývoj technologií matematického modelování je však užitečné tento proces rozebrat na jeho hlavní součásti.

Tradičně existují dvě hlavní třídy problémů spojených s matematickými modely: přímé a inverzní.

Přímý úkol: struktura modelu a všechny jeho parametry jsou považovány za známé, hlavním úkolem je provést studii modelu, abyste získali užitečné znalosti o objektu. Jaké statické zatížení most vydrží? Jak bude reagovat na dynamickou zátěž (například na pochod roty vojáků nebo na průjezd vlaku různou rychlostí), jak letadlo překoná zvukovou bariéru, zda se rozpadne od flutteru - to jsou typické příklady přímého problému. Nastavení správného přímého problému (položení správné otázky) vyžaduje speciální dovednosti. Pokud nejsou položeny správné otázky, může se most zřítit, i když byl postaven dobrý model pro jeho chování. V roce 1879 se tedy ve Velké Británii zřítil kovový most přes řeku Tay, jehož konstruktéři postavili model mostu, vypočítali, že má 20násobný bezpečnostní faktor pro působení užitečného zatížení, ale zapomněli na větry. v těch místech neustále fouká. A po roce a půl se to zhroutilo.

V nejjednodušším případě (například rovnice jednoho oscilátoru) je přímý problém velmi jednoduchý a redukuje se na explicitní řešení této rovnice.

Inverzní problém: je známo mnoho možných modelů, je třeba vybrat konkrétní model na základě dodatečných údajů o objektu. Nejčastěji je struktura modelu známá a je třeba určit některé neznámé parametry. Další informace mohou obsahovat další empirická data nebo požadavky na objekt ( designový problém). Další data mohou přijít bez ohledu na proces řešení inverzního problému ( pasivní pozorování) nebo být výsledkem experimentu speciálně naplánovaného během řešení ( aktivní dohled).

Jedním z prvních příkladů mistrně zvládnutého řešení inverzního problému s maximálním využitím dostupných dat byla metoda zkonstruovaná I. Newtonem pro rekonstrukci třecích sil z pozorovaných tlumených kmitů.

Dalším příkladem je matematická statistika. Úkolem této vědy je vyvinout metody pro záznam, popis a analýzu pozorovacích a experimentálních dat za účelem sestavení pravděpodobnostních modelů hromadných náhodných jevů. Tito. množina možných modelů je omezena na pravděpodobnostní modely. Ve specifických úlohách je sada modelů omezenější.

Počítačové simulační systémy

Pro podporu matematického modelování byly vyvinuty počítačové matematické systémy, např. Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim aj. Umožňují vytvářet formální i blokové modely jednoduchých i složitých procesů a zařízení a snadno měnit parametry modelu během modelování. Blokové modely jsou reprezentovány bloky (nejčastěji grafickými), jejichž sestavu a zapojení určuje modelové schéma.

Další příklady

Malthusův model

Tempo růstu je úměrné aktuální velikosti populace. Je popsána diferenciální rovnicí

kde je určitý parametr určený rozdílem mezi porodností a úmrtností. Řešením této rovnice je exponenciální funkce. Pokud porodnost převyšuje úmrtnost (), velikost populace se neomezeně a velmi rychle zvyšuje. Je jasné, že ve skutečnosti se to kvůli omezeným zdrojům stát nemůže. Když je dosaženo určité kritické velikosti populace, model přestává být adekvátní, protože nebere v úvahu omezené zdroje. Zpřesněním Malthusova modelu může být logistický model, který je popsán Verhulstovou diferenciální rovnicí

kde je „rovnovážná“ velikost populace, při které je porodnost přesně kompenzována úmrtností. Velikost populace v takovém modelu směřuje k rovnovážné hodnotě a toto chování je strukturálně stabilní.

Systém dravec-kořist

Řekněme, že v určité oblasti žijí dva druhy zvířat: králíci (požírají rostliny) a lišky (požírají králíky). Nechť počet králíků, počet lišek. Pomocí Malthusova modelu s nezbytnými úpravami, které zohledňují požírání králíků liškami, dojdeme k následujícímu systému, tzv. modely Podnosy - Volterra:

Tento systém má rovnovážný stav, kdy je počet králíků a lišek konstantní. Odchylka od tohoto stavu má za následek kolísání stavů králíků a lišek, podobně jako kolísání harmonického oscilátoru. Stejně jako u harmonického oscilátoru není toto chování strukturálně stabilní: malá změna v modelu (například zohlednění omezených zdrojů požadovaných králíky) může vést ke kvalitativní změně chování. Například rovnovážný stav se může ustálit a kolísání čísel vymizí. Možná je i opačná situace, kdy jakákoli malá odchylka od rovnovážné polohy povede ke katastrofálním následkům, až k úplnému vyhynutí některého z druhů. Model Volterra-Lotka neodpovídá na otázku, který z těchto scénářů se realizuje: je zde nutný další výzkum.

Poznámky

1. „Matematické znázornění reality“ (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I. B., K filozofickým otázkám kybernetického modelování. M., Vědomosti, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Jakovlev S. A., Modelování systémů: Proc. pro vysoké školy - 3. vyd., přeprac. a doplňkové - M.: Vyšší. škola, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A., Michajlov A. P. Matematické modelování. Nápady. Metody. Příklady. - 2. vyd., rev. - M.: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A.D., Základy teorie matematických modelů. - 3. vydání, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4
6. Sevostyanov, A.G. Modelování technologických procesů: učebnice / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostjanov. – M.: Lehký a potravinářský průmysl, 1984. - 344 s.
7. Wikislovník: matematický model
8. CliffsNotes.com. Glosář vědy o Zemi. 20. září 2010
9. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
10. „Teorie je považována za lineární nebo nelineární v závislosti na tom, jaký druh matematického aparátu – lineární nebo nelineární – a jaký druh lineárních nebo nelineárních matematických modelů používá. ...aniž bych popíral to druhé. Moderní fyzik, pokud by musel znovu vytvořit definici tak důležité entity, jako je nelinearita, by s největší pravděpodobností jednal jinak, a dal by přednost nelinearitě jako důležitějšímu a rozšířenějšímu ze dvou protikladů, definoval by linearitu jako „nelinearita“. nelinearita." Danilov Yu., Přednášky o nelineární dynamice. Elementární úvod. Série "Synergie: od minulosti k budoucnosti." Vydání 2. - M.: URSS, 2006. - 208 s. ISBN 5-484-00183-8
11. „Dynamické systémy modelované konečným počtem obyčejných diferenciálních rovnic se nazývají koncentrované nebo bodové systémy. Jsou popsány pomocí konečnorozměrného fázového prostoru a jsou charakterizovány konečným počtem stupňů volnosti. Stejný systém za různých podmínek lze považovat za koncentrovaný nebo distribuovaný. Matematické modely distribuovaných systémů jsou parciální diferenciální rovnice, integrální rovnice nebo obyčejné rovnice zpoždění. Počet stupňů volnosti distribuovaného systému je nekonečný a k určení jeho stavu je zapotřebí nekonečné množství dat.“ Aniščenko V.S., Dynamické systémy, Sorosův vzdělávací časopis, 1997, č. 11, s. 77-84.
12. „V závislosti na povaze procesů studovaných v systému S lze všechny typy modelování rozdělit na deterministické a stochastické, statické a dynamické, diskrétní, spojité a diskrétně spojité. Deterministické modelování odráží deterministické procesy, tedy procesy, u kterých se předpokládá absence jakýchkoli náhodných vlivů; stochastické modelování zobrazuje pravděpodobnostní procesy a události. ... Statické modelování slouží k popisu chování objektu v libovolném okamžiku a dynamické modelování odráží chování objektu v průběhu času. Diskrétní modelování se používá k popisu procesů, u kterých se předpokládá, že jsou diskrétní, respektive spojité modelování nám umožňuje reflektovat spojité procesy v systémech a diskrétně spojité modelování se používá pro případy, kdy chtějí zvýraznit přítomnost jak diskrétních, tak spojitých procesů. “ Sovetov B. Ya., Jakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
13. Typicky matematický model odráží strukturu (zařízení) modelovaného objektu, vlastnosti a vztahy komponent tohoto objektu, které jsou podstatné pro účely výzkumu; takový model se nazývá strukturální. Pokud model odráží pouze to, jak objekt funguje – například jak reaguje na vnější vlivy – pak se nazývá funkční nebo obrazně černá skříňka. Možné jsou i kombinované modely. Myshkis A.D. ISBN 978-5-484-00953-4
14. „Samozřejmým, ale nejdůležitějším počátečním stádiem konstrukce nebo výběru matematického modelu je získání co nejjasnějšího obrazu o modelovaném objektu a upřesnění jeho smysluplného modelu na základě neformálních diskuzí. V této fázi byste neměli ztrácet čas a úsilí; na tom do značné míry závisí úspěch celé studie. Nejednou se stalo, že značná práce vynaložená na řešení matematického problému se ukázala jako neefektivní nebo dokonce promarněná kvůli nedostatečné pozornosti věnované této stránce věci.“ Myshkis A.D., Základy teorie matematických modelů. - 3. vydání, rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 s ISBN 978-5-484-00953-4, str. 35.
15. « Popis koncepčního modelu systému. V této dílčí fázi budování modelu systému: a) je konceptuální model M popsán v abstraktních termínech a konceptech; b) popis modelu je uveden pomocí standardních matematických schémat; c) hypotézy a předpoklady jsou nakonec přijaty; d) volba postupu aproximace reálných procesů při konstrukci modelu je opodstatněná.“ Sovetov B. Ya., Jakovlev S. A., Modelování systémů: Proc. pro vysoké školy - 3. vyd., přeprac. a doplňkové - M.: Vyšší. škola, 2001. - 343 s. ISBN 5-06-003860-2, str. 93.
16. Blekhman I. I., Myshkis A. D.,

Matematické modelování

1. Co je to matematické modelování?

Od poloviny 20. stol. Matematické metody a počítače se začaly hojně využívat v různých oblastech lidské činnosti. Vznikly nové disciplíny jako „matematická ekonomie“, „matematická chemie“, „matematická lingvistika“ atd., které studují matematické modely relevantních objektů a jevů a také metody pro studium těchto modelů.

Matematický model je přibližný popis třídy jevů nebo objektů reálného světa v jazyce matematiky. Hlavním účelem modelování je prozkoumat tyto objekty a předpovědět výsledky budoucích pozorování. Modelování je však také metodou, jak porozumět světu kolem nás, díky čemuž je možné jej ovládat.

Matematické modelování a související počítačový experiment jsou nepostradatelné v případech, kdy je experiment v plném rozsahu z toho či onoho důvodu nemožný nebo obtížný. Například je nemožné založit přirozený experiment v historii, který by ověřil, „co by se stalo, kdyby...“ Je nemožné ověřit správnost té či oné kosmologické teorie. Je možné, ale nepravděpodobné, že by to bylo rozumné, experimentovat s šířením nemoci, jako je mor, nebo provést jaderný výbuch za účelem studia jeho následků. To vše však lze provést na počítači tak, že se nejprve sestrojí matematické modely studovaných jevů.

2. Hlavní fáze matematického modelování

1) Stavba modelu. V této fázi je specifikován nějaký „nematematický“ objekt – přírodní jev, design, ekonomický plán, výrobní proces atd. V tomto případě je zpravidla obtížný jasný popis situace. Nejprve jsou identifikovány hlavní rysy jevu a souvislosti mezi nimi na kvalitativní úrovni. Poté se nalezené kvalitativní závislosti formulují v jazyce matematiky, to znamená, že se sestaví matematický model. Toto je nejtěžší fáze modelování.

2) Řešení matematického problému, ke kterému model vede. V této fázi je velká pozornost věnována vývoji algoritmů a numerických metod pro řešení problému na počítači, s jejichž pomocí lze nalézt výsledek s požadovanou přesností a v přijatelném čase.

3) Interpretace získaných důsledků z matematického modelu. Důsledky odvozené z modelu v jazyce matematiky jsou interpretovány v jazyce akceptovaném v oboru.

4) Kontrola přiměřenosti modelu. V této fázi se zjišťuje, zda experimentální výsledky souhlasí s teoretickými důsledky modelu v rámci určité přesnosti.

5) Úprava modelu. V této fázi se buď model zkomplikuje, aby více odpovídal realitě, nebo se zjednoduší, aby bylo dosaženo prakticky přijatelného řešení.

3. Klasifikace modelů

Modely lze klasifikovat podle různých kritérií. Například podle charakteru řešených problémů lze modely rozdělit na funkční a strukturální. V prvním případě jsou kvantitativně vyjádřeny všechny veličiny charakterizující jev nebo předmět. Navíc některé z nich jsou považovány za nezávislé proměnné, zatímco jiné jsou považovány za funkce těchto veličin. Matematický model je obvykle soustava rovnic různých typů (diferenciálních, algebraických atd.), které stanovují kvantitativní vztahy mezi uvažovanými veličinami. V druhém případě model charakterizuje strukturu komplexního objektu skládajícího se z jednotlivých částí, mezi nimiž existují určité vazby. Obvykle nejsou tato spojení kvantifikovatelná. Pro konstrukci takových modelů je vhodné použít teorii grafů. Graf je matematický objekt, který představuje množinu bodů (vrcholů) v rovině nebo v prostoru, z nichž některé jsou spojeny čarami (hranami).

Na základě charakteru výchozích dat a výsledků lze predikční modely rozdělit na deterministické a pravděpodobnostně-statistické. Modely prvního typu poskytují jisté, jednoznačné předpovědi. Modely druhého typu jsou založeny na statistických informacích a předpovědi získané s jejich pomocí mají pravděpodobnostní charakter.

4. Příklady matematických modelů

1) Úlohy o pohybu střely.

Zvažte následující problém mechaniky.

Střela je odpálena ze Země počáteční rychlostí v 0 = 30 m/s pod úhlem a = 45° k jejímu povrchu; je potřeba najít trajektorii jeho pohybu a vzdálenost S mezi počátečním a koncovým bodem této trajektorie.

Potom, jak je známo ze školního kurzu fyziky, je pohyb projektilu popsán pomocí vzorců:

kde t je čas, g = 10 m/s 2 je gravitační zrychlení. Tyto vzorce poskytují matematický model problému. Vyjádřením t až x z první rovnice a jejím dosazením do druhé dostaneme rovnici pro dráhu střely:

Tato křivka (parabola) protíná osu x ve dvou bodech: x 1 = 0 (začátek trajektorie) a (místo, kam střela dopadla). Dosazením daných hodnot v0 a a do výsledných vzorců získáme

odpověď: y = x – 90x 2, S = 90 m.

Všimněte si, že při konstrukci tohoto modelu byla použita řada předpokladů: například se předpokládá, že Země je plochá a vzduch a rotace Země neovlivňují pohyb projektilu.

2) Problém s nádrží s nejmenší plochou.

Je potřeba najít výšku h 0 a poloměr r 0 plechové nádrže o objemu V = 30 m 3, která má tvar uzavřeného kruhového válce, při kterém je její povrch S minimální (v tomto případě nejmenší množství cínu bude použito na jeho výrobu).

Napišme následující vzorce pro objem a povrch válce o výšce h a poloměru r:

V = pr 2 h, S = 2p r (r + h).

Vyjádřením h až r a V z prvního vzorce a dosazením výsledného výrazu do druhého dostaneme:

Z matematického hlediska je tedy problém určit hodnotu r, při které funkce S(r) dosáhne svého minima. Najděte ty hodnoty r 0, pro které je derivace

jde na nulu: Můžete zkontrolovat, že druhá derivace funkce S(r) změní znaménko z mínus na plus, když argument r prochází bodem r 0 . V důsledku toho má v bodě r0 funkce S(r) minimum. Odpovídající hodnota je h 0 = 2r 0 . Dosazením dané hodnoty V do výrazu pro r 0 a h 0 získáme požadovaný poloměr a výška

3) Dopravní problém.

Město má dva sklady mouky a dvě pekárny. Každý den se z prvního skladu přepraví 50 tun mouky, z druhého 70 tun do továren, do prvního 40 tun a do druhého 80 tun.

Označme podle A ij jsou náklady na dopravu 1 tuny mouky z i-tého skladu do j-tého závodu (i, j = 1,2). Nechat

A 11 = 1,2 rublů, A 12 = 1,6 rublů, A 21 = 0,8 rub., A 22 = 1 rub.

Jak plánovat dopravu, aby její náklady byly minimální?

Dejme problému matematickou formulaci. Označme x 1 a x 2 množství mouky, které musí být dopraveno z prvního skladu do první a druhé továrny, a x 3 a x 4 - z druhého skladu do první a druhé továrny. Pak:

x 1 + x 2 = 50, x 3 + x 4 = 70, x 1 + x 3 = 40, x 2 + x 4 = 80. (1)

Celkové náklady na veškerou dopravu jsou určeny vzorcem

f = 1,2 x 1 + 1,6 x 2 + 0,8 x 3 + x 4.

Z matematického hlediska je problém najít čtyři čísla x 1, x 2, x 3 a x 4, která splňují všechny zadané podmínky a dávají minimum funkce f. Vyřešme soustavu rovnic (1) pro xi (i = 1, 2, 3, 4) metodou eliminace neznámých. Chápeme to

x 1 = x 4 – 30, x 2 = 80 – x 4, x 3 = 70 – x 4, (2)

a x 4 nelze určit jednoznačně. Protože x i і 0 (i = 1, 2, 3, 4), pak z rovnic (2) vyplývá, že 30Ј x 4 Ј 70. Dosazením výrazu pro x 1, x 2, x 3 do vzorce pro f získat

f = 148 – 0,2 x 4.

Je snadné vidět, že minima této funkce je dosaženo při maximální možné hodnotě x 4, tedy při x 4 = 70. Odpovídající hodnoty ostatních neznámých jsou určeny vzorcem (2): x 1 = 40, x 2 = 10, x 3 = 0.

4) Problém radioaktivního rozpadu.

Nechť N(0) je počáteční počet atomů radioaktivní látky a N(t) je počet nerozložených atomů v čase t. Experimentálně bylo zjištěno, že rychlost změny počtu těchto atomů N"(t) je úměrná N(t), to znamená, že N"(t)=–l N(t), l >0 je radioaktivní konstanta dané látky. Ve školním kurzu matematické analýzy se ukazuje, že řešení této diferenciální rovnice má tvar N(t) = N(0)e –l t. Doba T, během níž se počet počátečních atomů snížil na polovinu, se nazývá poločas rozpadu a je důležitou charakteristikou radioaktivity látky. Abychom určili T, musíme zadat vzorec Pak Například pro radon l = 2,084 · 10 –6, a tedy T = 3,15 dne.

5) Problém cestujícího prodejce.

Obchodník žijící ve městě A 1 potřebuje navštívit města A 2 , A 3 a A 4 , každé město právě jednou, a poté se vrátit zpět do A 1 . Je známo, že všechna města jsou spojena ve dvojicích silnicemi a délky silnic b ij mezi městy A i a A j (i, j = 1, 2, 3, 4) jsou následující:

b 12 = 30, b 14 = 20, b 23 = 50, b 24 = 40, b 13 = 70, b 34 = 60.

Je nutné určit pořadí návštěv měst, ve kterých je délka odpovídající cesty minimální.

Každé město znázorněme jako bod na rovině a označme jej odpovídajícím štítkem Ai (i = 1, 2, 3, 4). Spojme tyto body přímkami: budou představovat silnice mezi městy. U každé „silnice“ uvádíme její délku v kilometrech (obr. 2). Výsledkem je graf - matematický objekt skládající se z určité množiny bodů v rovině (tzv. vrcholy) a určité množiny čar spojujících tyto body (tzv. hrany). Navíc je tento graf označen, protože jeho vrcholům a hranám jsou přiřazena nějaká označení - čísla (hrany) nebo symboly (vrcholy). Cyklus na grafu je posloupnost vrcholů V 1 , V 2 , ..., V k , V 1 taková, že vrcholy V 1 , ..., V k jsou různé a libovolný pár vrcholů V i, V i+1 (i = 1, ..., k – 1) a dvojice V 1, V k jsou spojeny hranou. Uvažovaným problémem je tedy najít na grafu cyklus procházející všemi čtyřmi vrcholy, pro který je součet všech vah hran minimální. Prohledejme všechny různé cykly procházející čtyřmi vrcholy a počínaje A 1:

1) Ai, A4, A3, A2, Ai;
2) Ai, A3, A2, A4, Ai;
3) A 1, A 3, A 4, A 2, A 1.

Najdeme nyní délky těchto cyklů (v km): L 1 = 160, L 2 = 180, L 3 = 200. První je tedy trasa nejkratší délky.

Všimněte si, že pokud je v grafu n vrcholů a všechny vrcholy jsou spojeny po párech hranami (takový graf se nazývá úplný), pak počet cyklů procházejících všemi vrcholy je Proto jsou v našem případě právě tři cykly.

6) Problém hledání souvislostí mezi strukturou a vlastnostmi látek.

Podívejme se na několik chemických sloučenin nazývaných normální alkany. Skládají se z n atomů uhlíku a n + 2 atomů vodíku (n = 1, 2 ...), vzájemně propojených, jak je znázorněno na obrázku 3 pro n = 3. Nechť jsou známé experimentální hodnoty bodů varu těchto sloučenin:

ye (3) = – 42°, ye (4) = 0°, ye (5) = 28°, ye (6) = 69°.

U těchto sloučenin je třeba najít přibližný vztah mezi bodem varu a číslem n. Předpokládejme, že tato závislost má tvar

y" A n+b,

Kde A, b - konstanty k určení. Najít A ab do tohoto vzorce dosazujeme postupně n = 3, 4, 5, 6 a odpovídající hodnoty bodů varu. máme:

– 42 » 3 A+ b, 0 » 4 A+ b, 28 » 5 A+ b, 69 » 6 A+ b.

K určení toho nejlepšího A ab existuje mnoho různých metod. Použijme nejjednodušší z nich. Vyjádřeme b prostřednictvím A z těchto rovnic:

b » – 42 – 3 A, b" – 4 A, b » 28 – 5 A, b » 69 – 6 A.

Vezměme aritmetický průměr těchto hodnot jako požadované b, to znamená, že dáme b » 16 – 4,5 A. Dosadíme tuto hodnotu b do původní soustavy rovnic a výpočtu A, dostaneme za A následující hodnoty: A» 37, A» 28, A» 28, A“ 36. Vezměme to jako požadované A průměrnou hodnotu těchto čísel, tedy dejme tomu A 34. Takže požadovaná rovnice má tvar

y » 34n – 139.

Ověřme přesnost modelu na původních čtyřech sloučeninách, pro které vypočítáme body varu pomocí výsledného vzorce:

y р (3) = – 37°, y р (4) = – 3°, y р (5) = 31°, y р (6) = 65°.

Chyba ve výpočtu této vlastnosti u těchto sloučenin tedy nepřesahuje 5°. Výslednou rovnici použijeme k výpočtu bodu varu sloučeniny s n = 7, která není zahrnuta v původní množině, za kterou do této rovnice dosadíme n = 7: y р (7) = 99°. Výsledek byl poměrně přesný: je známo, že experimentální hodnota bodu varu y e (7) = 98°.

7) Problém stanovení spolehlivosti elektrického obvodu.

Zde se podíváme na příklad pravděpodobnostního modelu. Nejprve uvádíme některé informace z teorie pravděpodobnosti – matematické disciplíny, která studuje vzorce náhodných jevů pozorovaných při opakovaném opakování experimentů. Nazvěme náhodnou událost A možným výsledkem nějakého experimentu. Události A 1, ..., A k tvoří úplnou skupinu, pokud jedna z nich nutně nastane v důsledku experimentu. Události se nazývají nekompatibilní, pokud se nemohou vyskytnout současně v jedné zkušenosti. Nechť událost A nastane mkrát během n-násobného opakování experimentu. Frekvence události A je číslo W =. Je zřejmé, že hodnotu W nelze přesně předpovědět před provedením série n experimentů. Povaha náhodných událostí je však taková, že v praxi je někdy pozorován následující efekt: s rostoucím počtem experimentů hodnota prakticky přestává být náhodná a ustálí se kolem nějakého nenáhodného čísla P(A), zvaného pravděpodobnost událost A. Pro nemožný jev (který se v experimentu nikdy nevyskytuje) P(A)=0 a pro spolehlivou událost (která nastává vždy ve zkušenosti) P(A)=1. Pokud události A 1 , ..., Ak tvoří úplnou skupinu neslučitelných událostí, pak P(A 1)+...+P(A k)=1.

Nechť se experiment skládá například z hodu kostkou a pozorování počtu vyhozených bodů X. Potom můžeme zavést následující náhodné jevy A i = (X = i), i = 1, ..., 6. Oni tvoří úplnou skupinu neslučitelných stejně pravděpodobných událostí, proto P(A i) = (i = 1, ..., 6).

Součet událostí A a B je událost A + B, která spočívá v tom, že alespoň jedna z nich nastane ve zkušenosti. Součinem událostí A a B je událost AB, která se skládá ze současného výskytu těchto událostí. Pro nezávislé události A a B platí následující vzorce:

P(AB) = P(A) P(B), P(A + B) = P(A) + P(B).

8) Podívejme se nyní na následující úkol. Předpokládejme, že tři prvky jsou zapojeny v sérii do elektrického obvodu a fungují nezávisle na sobě. Pravděpodobnost selhání 1., 2. a 3. prvku je rovna P1 = 0,1, P2 = 0,15, P3 = 0,2. Obvod budeme považovat za spolehlivý, pokud pravděpodobnost, že v obvodu nebude proud, není větší než 0,4. Je nutné zjistit, zda je daný obvod spolehlivý.

Protože jsou prvky zapojeny do série, nebude v obvodu proudit (událost A), pokud alespoň jeden z prvků selže. Nechť A i je událost, že i-tý prvek funguje (i = 1, 2, 3). Potom P(A1) = 0,9, P(A2) = 0,85, P(A3) = 0,8. Je zřejmé, že A 1 A 2 A 3 je událost, ve které všechny tři prvky pracují současně, a

P(A1A2A3) = P(A1) P(A2) P(A3) = 0,612.

Pak P(A) + P(A 1 A 2 A 3) = 1, tedy P(A) = 0,388< 0,4. Следовательно, цепь является надежной.

Závěrem podotýkáme, že uvedené příklady matematických modelů (včetně funkčních a strukturálních, deterministických a pravděpodobnostních) jsou svou povahou ilustrativní a samozřejmě nevyčerpávají rozmanitost matematických modelů, které vznikají v přírodních a humanitních vědách.

V tomto článku nabízíme příklady matematických modelů. Dále se budeme věnovat fázím tvorby modelů a rozebereme některé problémy spojené s matematickým modelováním.

Další otázkou, kterou máme, jsou matematické modely v ekonomii, jejichž příklady se na definici podíváme o něco později. Navrhujeme začít náš rozhovor samotným pojmem „model“, krátce zvážit jejich klasifikaci a přejít k našim hlavním otázkám.

Pojem "model"

Často slyšíme slovo „model“. co to je? Tento termín má mnoho definic, zde jsou pouze tři z nich:

• specifický objekt, který je vytvořen k přijímání a uchovávání informací, odrážejících některé vlastnosti nebo charakteristiky, a tak dále, originálu tohoto objektu (tento specifický objekt může být vyjádřen v různých formách: mentální, popis pomocí znaků atd.);
• Model znamená také odraz konkrétní situace, života nebo řízení;
• model může být malou kopií objektu (jsou vytvořeny pro podrobnější studium a analýzu, protože model odráží strukturu a vztahy).

Na základě všeho, co bylo řečeno dříve, můžeme vyvodit malý závěr: model vám umožňuje podrobně studovat složitý systém nebo objekt.

Všechny modely lze klasifikovat podle řady charakteristik:

• podle oblasti použití (výukové, experimentální, vědecké a technické, herní, simulační);
• podle dynamiky (statické a dynamické);
• podle oboru znalostí (fyzikální, chemické, geografické, historické, sociologické, ekonomické, matematické);
• způsobem prezentace (materiální a informační).

Informační modely se zase dělí na symbolické a verbální. A to symbolické - do počítačových i nepočítačových. Nyní přejděme k podrobnému zvážení příkladů matematického modelu.

Matematický model

Jak asi tušíte, matematický model odráží jakékoli rysy objektu nebo jevu pomocí speciálních matematických symbolů. Matematika je potřebná k modelování vzorců okolního světa v jeho vlastním specifickém jazyce.

Metoda matematického modelování vznikla poměrně dávno, před tisíci lety, spolu s nástupem této vědy. Impuls pro rozvoj této modelovací metody však dal vznik počítačů (elektronických počítačů).

Nyní přejdeme ke klasifikaci. Může být také provedeno podle některých znaků. Jsou uvedeny v tabulce níže.

Navrhujeme zastavit se a podívat se blíže na nejnovější klasifikaci, protože odráží obecné vzorce modelování a cíle vytvářených modelů.

Popisné modely

V této kapitole se navrhujeme podrobněji věnovat deskriptivním matematickým modelům. Aby bylo vše velmi jasné, bude uveden příklad.

Začněme tím, že tento typ lze nazvat popisným. To je způsobeno tím, že pouze provádíme výpočty a prognózy, ale nemůžeme žádným způsobem ovlivnit výsledek události.

Pozoruhodným příkladem popisného matematického modelu je výpočet dráhy letu, rychlosti a vzdálenosti od Země komety, která napadla rozlohy naší Sluneční soustavy. Tento model je popisný, protože všechny získané výsledky nás mohou pouze varovat před jakýmkoli nebezpečím. Výsledek akce bohužel ovlivnit nemůžeme. Na základě získaných výpočtů je však možné přijmout jakákoli opatření pro zachování života na Zemi.

Optimalizační modely

Nyní si povíme něco málo o ekonomických a matematických modelech, jejichž příklady mohou být různé aktuální situace. V tomto případě mluvíme o modelech, které za určitých podmínek pomáhají najít správnou odpověď. Nějaké parametry určitě mají. Aby to bylo úplně jasné, podívejme se na příklad ze zemědělského sektoru.

Máme sýpku, ale obilí se velmi rychle kazí. V tomto případě musíme zvolit správné teplotní podmínky a optimalizovat proces skladování.

Můžeme tedy definovat pojem „model optimalizace“. V matematickém smyslu jde o soustavu rovnic (lineárních i nelineárních), jejichž řešení pomáhá nalézt optimální řešení v konkrétní ekonomické situaci. Podívali jsme se na příklad matematického modelu (optimalizace), ale rád bych dodal: tento typ patří do třídy extrémních problémů, pomáhají popsat fungování ekonomického systému.

Všimněme si ještě jedné nuance: modely mohou být různé povahy (viz tabulka níže).

Vícekriteriální modely

Nyní vás zveme, abyste si promluvili trochu o matematickém modelu multikriteriální optimalizace. Předtím jsme uvedli příklad matematického modelu pro optimalizaci procesu podle libovolného kritéria, ale co když jich je mnoho?

Nápadným příkladem vícekriteriálního úkolu je organizace správné, zdravé a zároveň ekonomické výživy pro velké skupiny lidí. S takovými úkoly se často setkáváme v armádě, školních jídelnách, letních táborech, nemocnicích a podobně.

Jaká kritéria jsou nám v tomto úkolu dána?

1. Výživa by měla být zdravá.
2. Výdaje na jídlo by měly být minimální.

Jak vidíte, tyto cíle se vůbec neshodují. To znamená, že při řešení problému je nutné hledat optimální řešení, rovnováhu mezi dvěma kritérii.

Herní modely

Když mluvíme o herních modelech, je nutné porozumět pojmu „teorie her“. Jednoduše řečeno, tyto modely odrážejí matematické modely skutečných konfliktů. Musíte jen pochopit, že na rozdíl od skutečného konfliktu má herní matematický model svá specifická pravidla.

Nyní poskytneme minimum informací z teorie her, které vám pomohou pochopit, co je herní model. A tak model nutně obsahuje party (dvě a více), kterým se obvykle říká hráči.

Všechny modely mají určité vlastnosti.

Herní model může být párový nebo vícenásobný. Máme-li dva subjekty, pak je konflikt párový, je-li jich více, je vícenásobný. Můžete také rozlišit antagonistickou hru, nazývá se také hra s nulovým součtem. Jedná se o model, ve kterém se zisk jednoho z účastníků rovná ztrátě druhého.

Simulační modely

V této části se budeme věnovat simulačním matematickým modelům. Příklady úkolů:

• model populační dynamiky mikroorganismů;
• model molekulárního pohybu a tak dále.

V tomto případě mluvíme o modelech, které se co nejvíce blíží reálným procesům. Celkově napodobují nějaký projev v přírodě. V prvním případě můžeme například simulovat dynamiku počtu mravenců v jedné kolonii. Zároveň můžete pozorovat osud každého jednotlivého jedince. V tomto případě se zřídka používá matematický popis, častěji jsou přítomny písemné podmínky:

• po pěti dnech samice klade vajíčka;
• po dvaceti dnech mravenec zemře a tak dále.

Používají se tedy k popisu velkého systému. Matematickým závěrem je zpracování získaných statistických dat.

Požadavky

Je velmi důležité vědět, že tento typ modelu má určité požadavky, včetně těch, které jsou uvedeny v tabulce níže.

Všestrannost	Tato vlastnost umožňuje použít stejný model při popisu podobných skupin objektů. Je důležité poznamenat, že univerzální matematické modely jsou zcela nezávislé na fyzikální povaze studovaného objektu
Přiměřenost	Zde je důležité pochopit, že tato vlastnost umožňuje co nejpřesněji reprodukovat skutečné procesy. V operačních úlohách je tato vlastnost matematického modelování velmi důležitá. Příkladem modelu je proces optimalizace využití plynového systému. V tomto případě se porovnávají vypočítané a skutečné ukazatele, v důsledku čehož se kontroluje správnost sestaveného modelu
Přesnost	Tento požadavek implikuje shodu hodnot, které získáme při výpočtu matematického modelu a vstupních parametrů našeho reálného objektu
Hospodárný	Požadavek nákladové efektivity pro jakýkoli matematický model je charakterizován náklady na implementaci. Pokud s modelem pracujete ručně, musíte si spočítat, kolik času zabere vyřešení jednoho problému pomocí tohoto matematického modelu. Pokud mluvíme o počítačově podporovaném návrhu, pak se počítají ukazatele nákladů na čas a paměť počítače

Fáze modelování

Celkově je matematické modelování obvykle rozděleno do čtyř fází.

1. Formulace zákonitostí spojujících části modelu.
2. Studium matematických problémů.
3. Stanovení shody praktických a teoretických výsledků.
4. Analýza a modernizace modelu.

Ekonomický a matematický model

V této části stručně upozorníme na tento problém.

• vytvoření výrobního programu pro výrobu masných výrobků, který zajistí maximální zisky výroby;
• maximalizace zisku organizace výpočtem optimálního množství stolů a židlí vyrobených v továrně na nábytek a tak dále.

Ekonomicko-matematický model zobrazuje ekonomickou abstrakci, která je vyjádřena pomocí matematických termínů a symbolů.

Počítačový matematický model

Příklady počítačového matematického modelu jsou:

• hydraulické problémy pomocí vývojových diagramů, diagramů, tabulek atd.;
• problémy s mechanikou pevných látek a tak dále.

Počítačový model je obrázek objektu nebo systému, prezentovaný ve formě:

• stoly;
• bloková schémata;
• diagramy;
• grafika a tak dále.

Tento model navíc odráží strukturu a propojení systému.

Konstrukce ekonomického a matematického modelu

Už jsme mluvili o tom, co je to ekonomicko-matematický model. Příklad řešení problému bude zvažován právě teď. Musíme analyzovat výrobní program, abychom identifikovali rezervu pro zvýšení zisku s posunem v sortimentu.

Nebudeme se plně zabývat problémem, ale pouze sestavíme ekonomický a matematický model. Kritériem našeho úkolu je maximalizace zisku. Pak má funkce tvar: А=р1*х1+р2*х2..., směřující k maximu. V tomto modelu p je zisk na jednotku a x je počet vyrobených jednotek. Dále je na základě sestrojeného modelu nutné provést výpočty a shrnout.

Příklad sestavení jednoduchého matematického modelu

Úkol. Rybář se vrátil s následujícím úlovkem:

• 8 ryb - obyvatel severních moří;
• 20 % úlovku tvoří obyvatelé jižních moří;
• Z místní řeky nebyla nalezena jediná ryba.

Kolik ryb koupil v obchodě?

Příklad konstrukce matematického modelu tohoto problému tedy vypadá takto. Celkový počet ryb označíme x. Podle podmínky je 0,2x počet ryb žijících v jižních zeměpisných šířkách. Nyní zkombinujeme všechny dostupné informace a dostaneme matematický model úlohy: x=0,2x+8. Řešíme rovnici a dostáváme odpověď na hlavní otázku: koupil v obchodě 10 ryb.

Instrukce

Metoda statistického modelování (statistické testování) je široce známá jako metoda Monte Carlo. Tato metoda je speciálním případem matematického modelování a je založena na vytváření pravděpodobnostních modelů náhodných jevů. Základem každé náhodnosti je náhodná veličina nebo náhodný proces. V tomto případě je náhodný proces z pravděpodobnostního hlediska popsán jako n-rozměrná náhodná veličina. Úplná pravděpodobnost náhodné veličiny je dána její hustotou pravděpodobnosti. Znalost tohoto distribučního zákona umožňuje získat digitální modely náhodných procesů na počítači, spíše než s nimi experimentovat v plném rozsahu. To vše je možné pouze v diskrétní formě a v diskrétním čase, s čímž je nutné počítat při tvorbě statických modelů.

Ve statickém modelování je třeba upustit od uvažování o konkrétním jevu a zaměřit se pouze na jeho pravděpodobnostní charakteristiky. To umožňuje použít pro modelování jednoduché jevy, které mají pravděpodobnostní ukazatele podobné modelovanému jevu. Například jakékoli události, které nastanou s pravděpodobností 0,5, lze simulovat pouhým hozením symetrické mince. Každý jednotlivý krok statistického modelování se nazývá losování. K určení odhadu matematického očekávání tedy bude zapotřebí N výkresů náhodné proměnné (SV) X.

Hlavním nástrojem počítačové simulace jsou snímače náhodných čísel uniformních na intervalu (0, 1). V prostředí Pascalu se tedy takové náhodné číslo volá pomocí příkazu Random. Kalkulačky mají pro tento případ tlačítko RND. Existují také tabulky takových náhodných čísel (objemově až 1 000 000). Hodnota uniformy na (0, 1) SV Z se značí z.

Zvažte techniku ​​pro modelování libovolné náhodné proměnné pomocí nelineární transformace distribuční funkce. Tato metoda nemá metodologické chyby. Nechť distribuční zákon spojité SV X je dán hustotou pravděpodobnosti W(x). Zde se začínáte připravovat a realizovat modelování.

Najděte distribuční funkci X - F(x). F(x)=∫(-∞,x)W(s)ds. Vezměte Z=z a vyřešte rovnici z=F(x) pro x (to je vždy možné, protože Z i F(x) mají hodnoty od nuly do jedné Napište řešení x=F^(-1). )(z). Toto je modelovací algoritmus. F^(-1) je inverzní F. Zbývá pouze konzistentně získávat hodnoty xi digitálního modelu X* CD X pomocí tohoto algoritmu.

Příklad. SV je určeno hustotou pravděpodobnosti W(x)=λexp(-λx), x≥0 (exponenciální rozdělení). Najděte digitální model.Řešení.1.. F(x)=∫(0,x)λ∙exp(-λs)ds=1- exp(-λx).2. z=1- exp(-λx), x=(-1/λ)∙ln(1-z). Protože z i 1-z mají hodnoty z intervalu (0, 1) a jsou jednotné, lze (1-z) nahradit z. 3. Postup pro modelování exponenciálního SV se provádí podle vzorce x=(-1/λ)∙lnz. Přesněji, xi=(-1/λ)ln(zi).

Čtyři sedmáci.

V 7A je 15 dívek a 13 chlapců,

v 7B - 12 dívek a 12 chlapců,

v 7B - 9 dívek a 18 chlapců,

v 7G - 20 dívek a 10 chlapců.

Pokud potřebujeme odpovědět na otázku, kolik studentů je v každém ze sedmých ročníků, pak budeme muset stejnou operaci sčítání provést 4krát:

v 7A 15 + 13 = 28 studentů;
v 7B 12 +12 = 24 studentů;
v 7B 9 + 18 = 27 studentů;
v 7G 20 + 10 = 30 studentů.

A. V. Pogorelov, Geometrie pro ročníky 7-11, Učebnice pro vzdělávací instituce

Obsah lekce poznámky k lekci podpůrná rámcová lekce prezentace akcelerační metody interaktivní technologie Praxe úkoly a cvičení autotest workshopy, školení, případy, questy domácí úkoly diskuze otázky řečnické otázky studentů Ilustrace audio, videoklipy a multimédia fotografie, obrázky, grafika, tabulky, diagramy, humor, anekdoty, vtipy, komiksy, podobenství, rčení, křížovky, citáty Doplňky abstraktyčlánky triky pro zvídavé jesličky učebnice základní a doplňkový slovník pojmů ostatní Zkvalitnění učebnic a lekcíopravovat chyby v učebnici aktualizace fragmentu v učebnici, prvky inovace v lekci, nahrazení zastaralých znalostí novými Pouze pro učitele perfektní lekce kalendářní plán na rok; Integrované lekce