Pochopte, že číslo je prvočíslo. Jak najít prvočísla

Iljova odpověď je správná, ale nepříliš podrobná. V 18. století se mimochodem ještě jedna považovala za prvočíslo. Například takoví velcí matematici jako Euler a Goldbach. Goldbach je autorem jednoho ze sedmi problémů tisíciletí – Goldbachovy hypotézy. Původní formulace říká, že každé sudé číslo může být reprezentováno jako součet dvou prvočísel. Navíc zpočátku byla 1 brána v úvahu jako prvočíslo a vidíme toto: 2 = 1+1. Jde o nejmenší příklad, který splňuje původní formulaci hypotézy. Později to bylo opraveno a znění se stalo moderní vzhled: „každé sudé číslo počínaje 4 může být reprezentováno jako součet dvou prvočísel.“

Připomeňme si definici. Prvočíslo je přirozené číslo p, které má pouze 2 různé přirozené dělitele: samotné p a 1. Důsledek z definice: prvočíslo p má pouze jednoho prvočísla - samotné p.

Nyní předpokládejme, že 1 je prvočíslo. Podle definice má prvočíslo pouze jednoho prvočísla – samo sebe. Pak se ukáže, že každé prvočíslo větší než 1 je dělitelné prvočíslem, které se od něj liší (1). Dvě různá prvočísla ale nelze vzájemně dělit, protože jinak to nejsou prvočísla, ale složená čísla, a to je v rozporu s definicí. S tímto přístupem se ukazuje, že existuje pouze 1 prvočíslo - samotná jednotka. Ale to je absurdní. 1 tedy není prvočíslo.

1, stejně jako 0, tvoří další třídu čísel - třídu neutrálních prvků vzhledem k n-árním operacím v nějaké podmnožině algebraického oboru. Navíc, s ohledem na operaci sčítání, 1 je také generujícím prvkem pro kruh celých čísel.

S touto úvahou není těžké objevit analogy prvočísel v jiných algebraických strukturách. Předpokládejme, že máme multiplikativní grupu vytvořenou z mocnin 2, počínaje 1: 2, 4, 8, 16, ... atd. 2 zde působí jako formativní prvek. Prvočíslo v této skupině je číslo větší než nejmenší prvek a dělitelné pouze sebou samým a nejmenším prvkem. V naší skupině mají takové vlastnosti pouze 4. V naší skupině už žádná prvočísla nejsou.

Pokud by v naší skupině byla prvočíslem i 2, pak viz první odstavec - opět by se ukázalo, že prvočíslo je pouze 2.

Článek pojednává o konceptech prvočísel a složených čísel. Definice takových čísel jsou uvedeny s příklady. Předkládáme důkaz, že počet prvočísel je neomezený a zaznamenáme jej do tabulky prvočísel pomocí Eratosthenovy metody. Bude poskytnut důkaz, který určí, zda je číslo prvočíslo nebo složené.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prvočísla a složená čísla - definice a příklady

Prvočísla a složená čísla jsou klasifikována jako kladná celá čísla. Musí být větší než jedna. Děliče se také dělí na jednoduché a složené. Abyste pochopili koncept složených čísel, musíte si nejprve prostudovat koncepty dělitelů a násobků.

Definice 1

Prvočísla jsou celá čísla, která jsou větší než jedna a mají dva kladné dělitele, tedy samy sebe a 1.

Definice 2

Složená čísla jsou celá čísla, která jsou větší než jedna a mají alespoň tři kladné dělitele.

Jednička není ani prvočíslo, ani složené číslo. Má pouze jednoho kladného dělitele, takže se liší od všech ostatních kladných čísel. Všechna kladná celá čísla se nazývají přirozená čísla, to znamená, že se používají při počítání.

Definice 3

Prvočísla jsou přirozená čísla, která mají pouze dva kladné dělitele.

Definice 4

Složené číslo je přirozené číslo, které má více než dva kladné dělitele.

Jakékoli číslo, které je větší než 1, je buď prvočíslo, nebo složené. Z vlastnosti dělitelnosti máme, že 1 a číslo a budou vždy dělitelé pro libovolné číslo a, to znamená, že bude dělitelné samo sebou a 1. Uveďme definici celých čísel.

Definice 5

Přirozená čísla, která nejsou prvočísla, se nazývají složená čísla.

Prvočísla: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Jsou dělitelné pouze samy sebou a 1. Složená čísla: 6, 63, 121, 6697. To znamená, že číslo 6 lze rozložit na 2 a 3 a 63 na 1, 3, 7, 9, 21, 63 a 121 na 11, 11, to znamená, že jeho dělitelé budou 1, 11, 121. Číslo 6697 je rozloženo na 37 a 181. Všimněte si, že koncepty prvočísel a prvočísel jsou různé koncepty.

Aby bylo používání jednodušší prvočísla, musíte použít tabulku:

Tabulka pro všechna existující přirozená čísla je nereálná, protože jich je nekonečně mnoho. Když čísla dosáhnou velikosti 10000 nebo 1000000000, měli byste zvážit použití Eratosthenova síta.

Podívejme se na větu, která vysvětluje poslední tvrzení.

Věta 1

Nejmenší kladný dělitel jiného než 1 přirozeného čísla většího než jedna je prvočíslo.

Důkaz 1

Předpokládejme, že a je přirozené číslo větší než 1, b je nejmenší nejednotný dělitel čísla a. Je třeba dokázat, že b je prvočíslo metodou kontradikce.

Předpokládejme, že b je složené číslo. Z toho máme, že pro b existuje dělitel, který se liší od 1 i od b. Takový dělitel je označen jako b 1. Je nutné splnit podmínku 1< b 1 < b byla dokončena.

Z podmínky je zřejmé, že a je děleno b, b je děleno b 1, což znamená, že pojem dělitelnosti je vyjádřen takto: a = b q a b = b 1 · q 1 , odkud a = b 1 · (q 1 · q), kde q a q 1 jsou celá čísla. Podle pravidla násobení celých čísel máme, že součin celých čísel je celé číslo s rovností tvaru a = b 1 · (q 1 · q) . Je vidět, že b 1 je dělitel čísla a. Nerovnost 1< b 1 < b Ne odpovídá, protože zjistíme, že b je nejmenší kladný a ne-1 dělitel a.

Věta 2

Prvočísel je nekonečně mnoho.

Důkaz 2

Pravděpodobně vezmeme konečný počet přirozených čísel n a označíme je jako p 1, p 2, …, p n. Zvažme možnost nalezení prvočísla odlišného od uvedených.

Vezměme v úvahu číslo p, které se rovná p 1, p 2, ..., p n + 1. Nerovná se každému z čísel odpovídajících prvočíslům tvaru p 1, p 2, ..., p n. Číslo p je prvočíslo. Potom je věta považována za prokázanou. Pokud je složený, musíte vzít zápis p n + 1 a ukázat, že dělitel se neshoduje s žádným z p 1, p 2, ..., p n.

Pokud by tomu tak nebylo, pak na základě vlastnosti dělitelnosti součinu p 1, p 2, ..., p n , zjistíme, že by to bylo dělitelné pn + 1. Všimněte si, že výraz p n + 1 dělení čísla p se rovná součtu p 1, p 2, ..., p n + 1. Dostaneme, že výraz p n + 1 Druhý člen tohoto součtu, který se rovná 1, musí být rozdělen, ale to není možné.

Je vidět, že mezi libovolným počtem daných prvočísel lze nalézt libovolné prvočíslo. Z toho vyplývá, že prvočísel je nekonečně mnoho.

Protože existuje mnoho prvočísel, jsou tabulky omezeny na čísla 100, 1000, 10000 a tak dále.

Při sestavování tabulky prvočísel byste měli vzít v úvahu, že takový úkol vyžaduje sekvenční kontrolu čísel od 2 do 100. Pokud není dělitel, zaznamená se do tabulky, pokud je složený, pak se do tabulky nezapíše.

Pojďme se na to podívat krok za krokem.

Pokud začínáte číslem 2, pak má pouze 2 dělitele: 2 a 1, což znamená, že jej lze zapsat do tabulky. To samé s číslem 3. Číslo 4 je složené, musí se rozložit na 2 a 2. Číslo 5 je prvočíslo, což znamená, že může být zaznamenáno do tabulky. Udělejte to až do čísla 100.

Tato metoda nepohodlné a dlouhé. Můžete si vytvořit stůl, ale budete muset utratit velký početčas. Je nutné použít kritéria dělitelnosti, která urychlí proces hledání dělitelů.

Metoda využívající Eratosthenovo síto je považována za nejvhodnější. Podívejme se na ukázkové tabulky níže. Pro začátek se zapisují čísla 2, 3, 4, ..., 50.

Nyní musíte přeškrtnout všechna čísla, která jsou násobky 2. Proveďte sekvenční přeškrtnutí. Dostaneme tabulku jako:

Přejdeme k přeškrtnutí čísel, která jsou násobky 5. Dostáváme:

Přeškrtněte čísla, která jsou násobky 7, 11. Nakonec ten stůl vypadá

Přejděme k formulaci věty.

Věta 3

Nejmenší kladný a ne-1 dělitel základního čísla a nepřesahuje a, kde a je aritmetický kořen daného čísla.

Důkaz 3

Je třeba označit b nejmenšího dělitele složeného čísla a. Existuje celé číslo q, kde a = b · q, a máme, že b ≤ q. Nerovnosti formy jsou nepřijatelné b > q, protože je porušena podmínka. Obě strany nerovnosti b ≤ q by měly být vynásobeny kladným číslem b, které se nerovná 1. Dostaneme, že b · b ≤ b · q, kde b 2 ≤ a a b ≤ a.

Z osvědčené věty je zřejmé, že přeškrtávání čísel v tabulce vede k tomu, že je nutné začít s číslem, které se rovná b 2 a vyhovuje nerovnosti b 2 ≤ a. To znamená, že pokud škrtnete čísla, která jsou násobky 2, pak proces začíná 4 a násobky 3 9 a tak dále až do 100.

Sestavení takové tabulky pomocí Eratosthenovy věty naznačuje, že když jsou všechna složená čísla přeškrtnuta, zůstanou prvočísla, která nepřesahují n. V příkladu, kde n = 50, máme, že n = 50. Odtud dostáváme, že Eratosthenovo síto prosívá všechna složená čísla, jejichž hodnota není větší než hodnota odmocniny 50. Vyhledávání čísel se provádí přeškrtnutím.

Před řešením je třeba zjistit, zda je číslo prvočíslo nebo složené. Často se používají kritéria dělitelnosti. Podívejme se na to v příkladu níže.

Příklad 1

Dokažte, že číslo 898989898989898989 je složené.

Řešení

Součet číslic daného čísla je 9 8 + 9 9 = 9 17. To znamená, že číslo 9 · 17 je dělitelné 9 na základě testu dělitelnosti 9. Z toho vyplývá, že je kompozitní.

Taková znamení nejsou schopna prokázat prvočíslo čísla. Je-li nutné ověření, měla by být provedena jiná opatření. Nejvhodnějším způsobem je výčet čísel. Během procesu můžete najít prvočísla a složená čísla. To znamená, že čísla by neměla překročit hodnotu a. To znamená, že číslo a musí být rozloženo na prvočinitele. pokud je toto splněno, pak číslo a lze považovat za prvočíslo.

Příklad 2

Určete složené nebo prvočíslo 11723.

Řešení

Nyní musíte najít všechny dělitele pro číslo 11723. Nutno vyhodnotit 11723 .

Odtud vidíme, že 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 a 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 menší počet 200 .

Pro přesnější odhad čísla 11723 je třeba napsat výraz 108 2 = 11 664 a 109 2 = 11 881 , To 108 2 < 11 723 < 109 2 . Z toho vyplývá, že 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

Při rozbalování zjistíme, že 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 jsou všechna prvočísla. Celý tento proces lze znázornit rozdělením sloupcem. To znamená, že vydělte 11723 19. Číslo 19 je jedním z jeho faktorů, protože dostáváme dělení beze zbytku. Představme rozdělení jako sloupec:

Z toho vyplývá, že 11723 je složené číslo, protože kromě sebe a 1 má dělitele 19.

Odpověď: 11723 je složené číslo.

Pokud si všimnete chyby v textu, zvýrazněte ji a stiskněte Ctrl+Enter

Výčet dělitelů. Podle definice číslo n je prvočíslo pouze tehdy, není-li rovnoměrně dělitelné 2 a dalšími celými čísly kromě 1 a sebe sama. Výše uvedený vzorec odstraňuje zbytečné kroky a šetří čas: například po kontrole, zda je číslo dělitelné 3, není třeba kontrolovat, zda je dělitelné 9.

Funkce podlaha(x) zaokrouhlí x na nejbližší celé číslo, které je menší nebo rovno x.

Přečtěte si o modulární aritmetice. Operace "x mod y" (mod je zkratka latinského slova "modulo", tedy "modul") znamená "rozdělit x y a najít zbytek." Jinými slovy, v modulární aritmetice, při dosažení určité hodnoty, která se nazývá modul, čísla se opět „otočí“ na nulu. Například hodiny udržují čas s modulem 12: ukazují 10, 11 a 12 hodin a poté se vrátí na 1.

Mnoho kalkulaček má mod klíč. Na konci této části je uvedeno, jak ručně vyhodnotit tuto funkci pro velká čísla.

Seznamte se s úskalími Fermatovy malé věty. Všechna čísla, pro která nejsou splněny podmínky testu, jsou složená, ale zbývající čísla jsou pouze pravděpodobně jsou klasifikovány jako jednoduché. Pokud se chcete vyhnout nesprávným výsledkům, hledejte n v seznamu „Carmichaelových čísel“ (složená čísla, která splňují tento test) a „pseudoprvočíselných Fermatových čísel“ (tato čísla splňují podmínky testu pouze pro některé hodnoty A).

Pokud je to vhodné, použijte Miller-Rabinův test. Přestože je tato metoda při ručním výpočtu poměrně těžkopádná, často se používá počítačové programy. Poskytuje přijatelnou rychlost a produkuje méně chyb než Fermatova metoda. Složené číslo nebude přijato jako prvočíslo, pokud jsou výpočty provedeny pro více než ¼ hodnot A. Pokud náhodně vyberete různé významy A a u všech z nich bude mít test pozitivní výsledek, můžeme s poměrně vysokou mírou jistoty předpokládat, že n je prvočíslo.

Pro velká čísla použijte modulární aritmetiku. Pokud nemáte po ruce kalkulačku s modem nebo vaše kalkulačka není navržena pro práci s tak velkými čísly, využijte vlastnosti mocnin a modulární aritmetiky pro usnadnění výpočtů. Níže je uveden příklad pro 3 50 (\displaystyle 3^(50)) mod 50:

Přepište výraz do pohodlnějšího tvaru: mod 50. Při ručních výpočtech mohou být nutná další zjednodušení.
(3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Zde jsme vzali v úvahu vlastnost modulárního násobení.
3 25 (\displaystyle 3^(25)) mod 50 = 43.
(3 25 (\displaystyle (3^(25)) mod 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 ∗ 43) (\displaystyle (43*43)) mod 50.
= 1849 (\displaystyle =1849) mod 50.
= 49 (\displaystyle =49).