Nyní si promluvme o jak vypočítat průměr.
Klasickým způsobem obecná teorie statistika nám nabízí jednu verzi pravidel pro výběr průměrné hodnoty.
Nejprve je třeba vytvořit správný logický vzorec pro výpočet průměrné hodnoty (AFV). Pro každou průměrnou hodnotu existuje vždy pouze jeden logický vzorec pro její výpočet, takže zde těžko uděláte chybu. Ale musíme si vždy pamatovat, že čitatel (to je to, co je na vrcholu zlomku) obsahuje součet všech jevů a jmenovatel (to je to, co je na konci zlomku) obsahuje celkový počet prvků.

Po sestavení logického vzorce můžete použít pravidla (pro snazší pochopení je zjednodušíme a zkrátíme):
1. Pokud zdrojová data (určená četností) obsahují jmenovatel logického vzorce, pak se výpočet provádí pomocí vzorce váženého aritmetického průměru.
2. Pokud je ve zdrojových datech uveden čitatel logického vzorce, pak se výpočet provádí pomocí vzorce váženého harmonického průměru.
3. Pokud úloha obsahuje čitatel i jmenovatel logického vzorce (to se stává zřídka), provedeme výpočet pomocí tohoto vzorce nebo vzorce jednoduchého aritmetického průměru.
Toto je klasická myšlenka výběru správného vzorce pro výpočet průměru. Dále uvádíme posloupnost akcí při řešení úloh pro výpočet průměrné hodnoty.

Algoritmus pro řešení úloh na výpočet průměrné hodnoty

A. Určete metodu výpočtu průměrné hodnoty - jednoduché nebo vážené . Pokud jsou data uvedena v tabulce, pak použijeme váženou metodu, pokud jsou data prezentována jednoduchým výčtem, pak použijeme jednoduchou metodu výpočtu.

B. Určit nebo zařídit symboly – x - možnost, F – frekvence . Volba je jev, pro který chcete zjistit průměrnou hodnotu. Zbývající údaje v tabulce budou frekvence.

B. Určíme formu pro výpočet průměrné hodnoty - aritmetický nebo harmonický . Stanovení se provádí pomocí frekvenčního sloupce. Aritmetický tvar se používá, pokud jsou frekvence specifikovány explicitním množstvím (podmíněně lze dosadit slovo kusy, počet prvků „kusy“). Harmonická forma se používá, pokud frekvence nejsou specifikovány explicitní veličinou, ale komplexním ukazatelem (součin zprůměrované veličiny a frekvence).

Nejobtížnější je uhodnout, kde a jaké množství se dává, zvláště pro studenta nezkušeného v takových věcech. V takové situaci můžete použít jednu z následujících metod. Pro některé úkoly (ekonomické) je vhodné vyjádření vypracované léty praxe (bod B.1). V ostatních situacích budete muset použít bod B.2.

B.1 Pokud je frekvence uvedena v peněžních jednotkách (v rublech), pak se pro výpočet použije harmonický průměr, toto tvrzení platí vždy, pokud je zjištěná frekvence uvedena v penězích, v ostatních situacích toto pravidlo neplatí.

B.2 Použijte pravidla pro výběr průměrné hodnoty uvedená výše v tomto článku. Je-li četnost dána jmenovatelem logického vzorce pro výpočet průměrné hodnoty, pak počítáme pomocí tvaru aritmetického průměru, pokud je četnost dána čitatelem logického vzorce pro výpočet průměrné hodnoty, pak počítáme pomocí tvaru; harmonický střední tvar.

Podívejme se na příklady použití tohoto algoritmu.

A. Vzhledem k tomu, že data jsou prezentována v řádku, používáme jednoduchou metodu výpočtu.

B.V. Máme pouze údaje o výši důchodů a ty budou naší možností - x. Data jsou prezentována jako prosté číslo (12 osob), pro výpočet používáme prostý aritmetický průměr.

Průměrný důchod pro důchodce je 9208,3 rublů.

B. Protože musíme najít střední velikosti platby na dítě, pak možnosti jsou v prvním sloupci, tam dejte označení x, druhý sloupec se automaticky stane frekvencí f.

B. Frekvence (počet dětí) je dána explicitním množstvím (můžete dosadit slovní kusy dětí, z hlediska ruského jazyka je to nesprávná fráze, ale ve skutečnosti je velmi vhodné kontrola), což znamená, že pro výpočet se použije vážený aritmetický průměr.

Stejný problém lze vyřešit nikoli vzorcovou metodou, ale tabulkovou metodou, tedy zadáním všech údajů mezivýpočtů do tabulky.

Výsledkem je, že vše, co je nyní třeba udělat, je oddělit dva součty ve správném pořadí.

Průměrná platba na dítě za měsíc byla 1 910 rublů.

A. Vzhledem k tomu, že údaje jsou uvedeny v tabulce, používáme pro výpočet váženou formu.

B. Frekvence (výrobní náklady) je dána implicitní veličinou (frekvence je uvedena v rublů bod algoritmu B1), což znamená, že pro výpočet je použit vážený harmonický průměr. Obecně jsou v podstatě výrobní náklady komplexním ukazatelem, který se získá vynásobením nákladů na jednotku výrobku počtem takových výrobků, to je podstata harmonického průměru.

Aby bylo možné tento problém vyřešit pomocí vzorce aritmetického průměru, je nutné, aby místo výrobních nákladů byl počet výrobků s odpovídajícími náklady.

Upozorňujeme, že součet ve jmenovateli získaný po výpočtech je 410 (120+80+210), což je celkový počet vyrobených produktů.

Průměrné náklady na jednotku produktu byly 314,4 rublů.

A. Vzhledem k tomu, že údaje jsou uvedeny v tabulce, používáme pro výpočet váženou formu.

B. Protože potřebujeme zjistit průměrné náklady na jednotku produktu, možnosti jsou v prvním sloupci, tam dáme označení x, druhý sloupec se automaticky stane frekvencí f.

B. Četnost (celkový počet absencí) je dána implicitní veličinou (jedná se o součin dvou ukazatelů počtu absencí a počtu studentů s tímto počtem absencí), což znamená, že se používá vážený harmonický průměr. pro výpočet. Použijeme bod algoritmu B2.

Aby bylo možné tento problém řešit pomocí vzorce aritmetického průměru, je nutné, aby místo celkového počtu absencí byl uveden počet studentů.

Vytváříme logický vzorec pro výpočet průměrného počtu absencí na studenta.

Frekvence podle stavu úkolu Celkový počet vynechání. V logickém vzorci je tento ukazatel v čitateli, což znamená, že používáme vzorec harmonického průměru.

Upozorňujeme, že součet ve jmenovateli, který vznikne po výpočtech 31 (18+8+5), je celkový počet studentů.

Průměrný počet absencí na studenta je 13,8 dne.

Disciplína: Statistika

Možnost č. 2

Průměrné hodnoty používané ve statistice

Úvod……………………………………………………………………………………………….. 3

Teoretický úkol

Průměrná hodnota ve statistice, její podstata a podmínky aplikace.

1.1. Podstata průměrné velikosti a podmínek použití………….4

1.2. Druhy průměrů………………………………………………………………8

Praktický úkol

Úkol 1,2,3……………………………………………………………………………………………… 14

Závěr………………………………………………………………………………………………. 21

Seznam referencí………………………………………………………………...23

Zavedení

Tento test se skládá ze dvou částí – teoretické a praktické. V teoretické části bude podrobně prozkoumána tak důležitá statistická kategorie, jako je průměrná hodnota, s cílem identifikovat její podstatu a podmínky aplikace, jakož i upozornit na typy průměrů a metody jejich výpočtu.

Statistika, jak víme, studuje masové socioekonomické jevy. Každý z těchto jevů může mít různé kvantitativní vyjádření stejné charakteristiky. Například mzdy pracovníků stejné profese nebo tržní ceny za stejný výrobek atp. Průměrné hodnoty charakterizují kvalitativní ukazatele komerční činnosti: distribuční náklady, zisk, ziskovost atd.

Ke studiu jakékoli populace podle měnících se (kvantitativně se měnících) charakteristik používá statistika průměrné hodnoty.

Středně velká entita

Průměrná hodnota je zobecňující kvantitativní charakteristika souboru podobných jevů založená na jedné proměnlivé charakteristice. V hospodářské praxi se používá široká škála ukazatelů počítaných jako průměrné hodnoty.

Nejdůležitější vlastností průměrné hodnoty je, že představuje jedním číslem hodnotu určitého znaku v celé populaci i přes její kvantitativní rozdíly v jednotlivých jednotkách populace a vyjadřuje to, co je společné všem jednotkám zkoumané populace. . Skrze charakteristiky jednotky populace tedy charakterizuje celou populaci jako celek.

Průměrné hodnoty souvisí se zákonem velkých čísel. Podstatou tohoto spojení je, že při průměrování se náhodné odchylky jednotlivých hodnot působením zákona velkých čísel vzájemně ruší a v průměru se odhalí hlavní vývojový trend, nutnost a vzor. Průměrné hodnoty vám umožňují porovnávat ukazatele týkající se populace s různým počtem jednotek.

V moderních podmínkách rozvoje tržních vztahů v ekonomice slouží průměry jako nástroj pro studium objektivních zákonitostí socioekonomických jevů. V ekonomické analýze se však nelze omezovat pouze na průměrné ukazatele, neboť obecné příznivé průměry mohou skrývat velké závažné nedostatky v činnosti jednotlivých ekonomických subjektů a zárodky nového, progresivního. Například rozdělení obyvatelstva podle příjmů umožňuje identifikovat tvorbu nových sociální skupiny. Spolu s průměrnými statistickými údaji je proto nutné brát v úvahu i charakteristiky jednotlivých jednotek populace.

Průměrná hodnota je výsledkem všech faktorů ovlivňujících zkoumaný jev. To znamená, že při výpočtu průměrných hodnot se vliv náhodných (poruchových, individuálních) faktorů ruší a je tak možné určit vzorec vlastní studovanému jevu. Adolphe Quetelet zdůraznil, že význam metody průměrů spočívá v možnosti přechodu od individuálního k obecnému, od náhodného k pravidelnému a existence průměrů je kategorií objektivní reality.

Statistika studuje hromadné jevy a procesy. Každý z těchto jevů má jak společné pro celý soubor, tak zvláštní, individuální vlastnosti. Rozdíl mezi jednotlivými jevy se nazývá variace. Další vlastností hromadných jevů je jejich inherentní podobnost charakteristik jednotlivých jevů. Interakce prvků množiny tedy vede k omezení variace alespoň části jejich vlastností. Tento trend objektivně existuje. Právě v její objektivitě tkví důvod nejširšího využití průměrných hodnot v praxi i v teorii.

Průměrná hodnota ve statistice je obecný ukazatel, který charakterizuje typickou úroveň jevu v konkrétních podmínkách místa a času, odrážející hodnotu proměnlivé charakteristiky na jednotku kvalitativně homogenní populace.

V hospodářské praxi se používá široká škála ukazatelů počítaných jako průměrné hodnoty.

Pomocí metody průměrů řeší statistika mnoho problémů.

Hlavní význam průměrů spočívá v jejich zobecňující funkci, to znamená nahrazení mnoha různých individuálních hodnot charakteristiky průměrnou hodnotou, která charakterizuje celý soubor jevů.

Pokud průměrná hodnota zobecňuje kvalitativně homogenní hodnoty charakteristiky, pak se jedná o typickou charakteristiku charakteristiky v dané populaci.

Není však správné redukovat roli průměrných hodnot pouze na charakterizaci typických hodnot charakteristik v populacích homogenních pro danou charakteristiku. V praxi mnohem častěji moderní statistiky používají průměrné hodnoty, které zobecňují jasně homogenní jevy.

Průměrný národní důchod na hlavu, průměrný výnos obilí v celé zemi, průměrná spotřeba různých potravinářských výrobků – to jsou charakteristiky státu jako jednotného národohospodářského systému, jedná se o tzv. systémové průměry.

Systémové průměry mohou charakterizovat jak prostorové nebo objektové systémy, které existují současně (stát, průmysl, region, planeta Země atd.), tak dynamické systémy rozšířené v čase (rok, dekáda, roční období atd.).

Nejdůležitější vlastností průměrné hodnoty je, že odráží to, co je společné všem jednotkám zkoumané populace. Hodnoty atributů jednotlivých jednotek populace kolísají jedním nebo druhým směrem pod vlivem mnoha faktorů, mezi nimiž mohou být základní i náhodné. Například cena akcií korporace jako celku je určena jejími finanční situaci. Zároveň v určité dny a na určitých burzách mohou být tyto akcie vzhledem k převažujícím okolnostem prodány za vyšší nebo nižší kurz. Podstata průměru spočívá v tom, že ruší odchylky charakteristických hodnot jednotlivých jednotek populace způsobené působením náhodných faktorů a zohledňuje změny způsobené působením hlavních faktorů. To umožňuje, aby průměr odrážel typickou úroveň vlastnosti a abstrahoval od individuálních charakteristik, které jsou jednotlivým jednotkám vlastní.

Výpočet průměru je jednou z nejběžnějších technik zobecnění; průměrný ukazatel odráží to, co je společné (typické) pro všechny jednotky studované populace, přičemž zároveň ignoruje rozdíly jednotlivých jednotek. V každém jevu a jeho vývoji se snoubí náhoda a nutnost.

Průměr je souhrnná charakteristika zákonitostí procesu v podmínkách, ve kterých se vyskytuje.

Každý průměr charakterizuje studovanou populaci podle jedné charakteristiky, ale pro charakterizaci jakékoli populace, popis jejích typických rysů a kvalitativních rysů je zapotřebí systém průměrných ukazatelů. Proto se v praxi domácí statistiky ke studiu socioekonomických jevů zpravidla vypočítává systém průměrných ukazatelů. Takže například ukazatel průměrné mzdy se posuzuje spolu s ukazateli průměrného výkonu, poměru kapitál-práce a poměru energie a práce, stupně mechanizace a automatizace práce atd.

Průměr by se měl vypočítat s ohledem na ekonomický obsah zkoumaného ukazatele. Pro konkrétní ukazatel používaný v socioekonomické analýze lze tedy na základě vědecké metody výpočtu vypočítat pouze jednu skutečnou hodnotu průměru.

Průměrná hodnota je jedním z nejdůležitějších zobecňujících statistických ukazatelů, charakterizujících soubor podobných jevů podle nějaké kvantitativně proměnlivé charakteristiky. Průměry ve statistice jsou obecné ukazatele, čísla vyjadřující typické charakteristické dimenze sociálních jevů podle jedné kvantitativně proměnlivé charakteristiky.

Typy průměrů

Typy průměrných hodnot se liší především v tom, jaká vlastnost, jaký parametr počáteční proměnlivé hmotnosti jednotlivých hodnot atributu musí zůstat nezměněn.

Aritmetický průměr

Aritmetický průměr je průměrná hodnota charakteristiky, při jejímž výpočtu zůstává celkový objem charakteristiky v agregátu nezměněn. Jinak můžeme říci, že aritmetický průměr je průměrný člen. Při jeho výpočtu je celkový objem atributu mentálně rozdělen rovnoměrně mezi všechny jednotky populace.

Aritmetický průměr se použije, pokud jsou známy hodnoty zprůměrované charakteristiky (x) a počet jednotek populace s určitou charakteristickou hodnotou (f).

Aritmetický průměr může být jednoduchý nebo vážený.

Jednoduchý aritmetický průměr

Simple se používá, pokud se každá hodnota atributu x vyskytuje jednou, tzn. pro každé x je hodnota atributu f=1, nebo pokud zdrojová data nejsou uspořádaná a není známo, kolik jednotek má určité hodnoty atributu.

Vzorec pro aritmetický průměr je jednoduchý:

,

Pro účely analýzy a získání statistických závěrů na základě výsledků souhrnu a seskupení jsou vypočteny zobecňující ukazatele - průměrné a relativní hodnoty.

Problém s průměry – charakterizovat všechny jednotky statistického souboru jednou charakteristickou hodnotou.

Průměrné hodnoty charakterizují ukazatele kvality podnikatelská činnost: distribuční náklady, zisk, ziskovost atd.

Průměrná hodnota- to je zobecňující charakteristika jednotek populace podle nějaké proměnlivé charakteristiky.

Průměrné hodnoty vám umožňují porovnat úrovně stejné vlastnosti v různých populacích a najít důvody těchto nesrovnalostí.

V analýze studovaných jevů je role průměrných hodnot obrovská. Anglický ekonom W. Petty (1623-1687) široce používal průměrné hodnoty. V. Petty chtěl použít průměrné hodnoty jako měřítko nákladů na průměrné denní jídlo jednoho dělníka. Stabilita průměrné hodnoty je odrazem pravidelnosti studovaných procesů. Věřil, že informace lze transformovat, i když není dostatek původních dat.

Anglický vědec G. King (1648-1712) použil při analýze údajů o populaci Anglie průměrné a relativní hodnoty.

Teoretický vývoj belgického statistika A. Queteleta (1796-1874) je založen na rozporuplné povaze sociálních jevů – vysoce stabilních v masách, ale čistě individuálních.

Podle A. Queteleta působí konstantní příčiny stejně na každý zkoumaný jev a činí tyto jevy navzájem podobnými a vytvářejí vzorce společné všem.

Důsledkem učení A. Queteleta byla identifikace průměrných hodnot jako hlavní technika statistické analýzy. Řekl, že statistické průměry nepředstavují kategorii objektivní reality.

A. Quetelet vyjádřil své názory na průměr ve své teorii průměrného člověka. Průměrný člověk je člověk, který má všechny vlastnosti v průměrné velikosti (průměrná úmrtnost nebo porodnost, průměrná výška a hmotnost, průměrná rychlost běhu, průměrný sklon k manželství a sebevraždě, k dobrým skutkům atd.). Pro A. Quetelet průměrný člověk- To je ideál člověka. Nekonzistentnost teorie průměrného člověka A. Queteleta byla prokázána v ruské statistické literatuře na konci 19.-20.

Slavný ruský statistik Yu E. Yanson (1835-1893) napsal, že A. Quetelet předpokládá existenci v přírodě typu průměrného člověka jako něčeho daného, ​​od čeho se život odchýlil průměrné lidi dané společnosti a dané doby. , a to ho vede ke zcela mechanickému pohledu a k zákonitostem pohybu společenského života: pohyb je postupné zvyšování průměrných vlastností člověka, postupná obnova typu; následně takové vyrovnání všech projevů života společenského těla, za nímž ustává jakýkoli pohyb vpřed.

Podstata této teorie našla své další vývoj v pracích řady statistických teoretiků jako teorie skutečných veličin. A. Quetelet měl následovníky - německého ekonoma a statistika V. Lexise (1837-1914), který přenesl teorii pravých hodnot do ekonomických fenoménů společenského života. Jeho teorie je známá jako teorie stability. Další verze idealistické teorie průměrů je založena na filozofii

Jejím zakladatelem je anglický statistik A. Bowley (1869–1957) – jeden z nejvýraznějších teoretiků poslední doby v oblasti teorie průměrů. Jeho pojetí průměrů je nastíněno v jeho knize Elements of Statistics.

A. Boley uvažuje průměrné hodnoty pouze z kvantitativní stránky, čímž odděluje kvantitu od kvality. Při určování významu průměrných hodnot (nebo „jejich funkce“) A. Boley předkládá Machovský princip myšlení. A. Boley napsal, že funkce průměrných hodnot by měla vyjadřovat komplexní skupinu

s pomocí několika prvočísla. Statistické údaje by měly být zjednodušeny, seskupeny a zredukovány na průměry Tyto názory: sdílí R. Fisher (1890-1968), J. Yule (1871 - 1951), Frederick S. Mills (1892) atd.

Ve 30. letech XX století a dalších letech je průměrná hodnota považována za společensky významnou charakteristiku, jejíž informační obsah závisí na homogenitě dat.

Nejvýznamnější představitelé italské školy R. Benini (1862-1956) a C. Gini (1884-1965), považující statistiku za odvětví logiky, rozšířili rozsah aplikace statistické indukce, ale propojili kognitivní principy tzv. logika a statistika s povahou zkoumaných jevů, navazující na tradice sociologické interpretace statistik.

V dílech K. Marxe a V. I. Lenina mají průměrné hodnoty zvláštní roli.

K. Marx tvrdil, že průměr kompenzuje jednotlivé odchylky od obecné roviny a střední úroveň se stává zobecňující charakteristikou hromadného jevu Průměrná hodnota se stává takovou charakteristikou hromadného jevu pouze v případě, že se vezme významný počet jednotek a tyto jednotky jsou kvalitativně homogenní. Marx napsal, že zjištěná průměrná hodnota by měla být průměrem „...mnoha různých individuálních hodnot stejného druhu“.

Průměrná hodnota nabývá v podmínkách zvláštního významu tržní ekonomika. Pomáhá určit nezbytnou a obecnou tendenci vzoru ekonomický rozvoj přímo prostřednictvím jednotného a náhodného čísla.

Průměrné hodnoty jsou obecné ukazatele, ve kterých je akce vyjádřena všeobecné podmínky, vzor studovaného jevu.

Statistické průměry se vypočítávají na základě hmotnostních dat ze statisticky správně organizovaného pozorování hmoty. Pokud se statistický průměr vypočítá z hromadných dat pro kvalitativně homogenní populaci (masové jevy), pak bude objektivní.

Průměrná hodnota je abstraktní, protože charakterizuje hodnotu abstraktní jednotky.

Průměr je abstrahován z různorodosti znaku u jednotlivých objektů. Abstrakce je fáze vědeckého výzkumu. V průměrné hodnotě se realizuje dialektická jednota jednotlivce a obecného.

Průměrné hodnoty by měly být aplikovány na základě dialektického chápání kategorií jednotlivce a obecné, individuální a hromadné.

Prostřední zobrazuje něco společného, ​​co je obsaženo v konkrétním jediném objektu.

K identifikaci vzorů ve hmotě sociální procesy důležitý je průměr.

Odklon jedince od obecného je projevem vývojového procesu.

Průměrná hodnota odráží charakteristickou, typickou, skutečnou úroveň studovaných jevů. Úkolem průměrných hodnot je charakterizovat tyto úrovně a jejich změny v čase a prostoru.

Průměrný ukazatel je běžnou hodnotou, protože se tvoří v normálních, přirozených, obecných podmínkách existence konkrétního hromadného jevu, uvažovaného jako celek.

Objektivní vlastnost statistického procesu nebo jevu se odráží v průměrné hodnotě.

Jednotlivé hodnoty zkoumaného statistického atributu se pro každou jednotku populace liší. Průměrná hodnota jednotlivých hodnot jednoho druhu je produktem nouze, který je výsledkem společného působení všech jednotek populace, projevujícího se v mase opakujících se nehod.

Některé jednotlivé jevy mají vlastnosti, které existují ve všech jevech, ale v různém množství - jedná se o výšku nebo věk člověka. Jiné znaky jednotlivého jevu jsou u různých jevů kvalitativně odlišné, to znamená, že u některých jsou přítomny a u jiných nepozorovány (z muže se nestane žena). Průměrná hodnota je vypočítána pro vlastnosti, které jsou kvalitativně homogenní a liší se pouze kvantitativně, které jsou vlastní všem jevům v daném souboru.

Průměrná hodnota je odrazem hodnot studované charakteristiky a je měřena ve stejném rozměru jako tato charakteristika.

Teorie dialektického materialismu učí, že vše na světě se mění a vyvíjí. A také vlastnosti, které se vyznačují průměrnými hodnotami, se mění, a tedy i samotné průměry.

V životě je neustálý proces vytváření něčeho nového. Nositelem nové kvality jsou jednotlivé objekty, pak se počet těchto objektů zvyšuje a nové se stává masovým, typickým.

Průměrná hodnota charakterizuje studovanou populaci pouze podle jedné charakteristiky. Pro úplné a komplexní znázornění studované populace podle řady specifických charakteristik je nutné mít systém průměrných hodnot, který dokáže popsat jev z různých úhlů pohledu.

2. Typy průměrů

Při statistickém zpracování materiálu vznikají různé problémy, které je třeba řešit, a proto se ve statistické praxi používají různé průměrné hodnoty. Matematická statistika používá různé průměry, jako například: aritmetický průměr; geometrický průměr; harmonický průměr; střední čtverec.

Aby bylo možné aplikovat jeden z výše uvedených typů průměru, je nutné analyzovat zkoumanou populaci, určit materiální obsah studovaného jevu, to vše se děje na základě závěrů vyvozených z principu smysluplnosti výsledků, když vážení nebo sčítání.

Při studiu průměrů se používají následující ukazatele a zápisy.

Označení, podle kterého se průměr zjistí, se nazývá zprůměrovaná charakteristika a je označeno x; nazývá se hodnota zprůměrované charakteristiky pro libovolnou jednotku statistické populace jeho individuální význam, nebo možnosti, a označované jako x 1 , X 2 , x 3 ,… X n ; frekvence je opakovatelnost jednotlivých hodnot charakteristiky, značená písmenem F.

Aritmetický průměr

Jedním z nejběžnějších typů média je aritmetický průměr, který se vypočítá, když se objem zprůměrované charakteristiky vytvoří jako součet jejích hodnot v jednotlivých jednotkách studované statistické populace.

Pro výpočet aritmetického průměru se součet všech úrovní atributu vydělí jejich počtem.

Pokud se některé možnosti vyskytují vícekrát, lze součet úrovní atributu získat vynásobením každé úrovně odpovídajícím počtem jednotek v populaci a následným sečtením takto vypočítaných aritmetických součinů se nazývá vážený; aritmetický průměr.

Vzorec pro vážený aritmetický průměr je následující:

kde х já jsou možnosti,

f i – frekvence nebo váhy.

Vážený průměr by měl být použit ve všech případech, kdy mají možnosti různá čísla.

Aritmetický průměr jakoby rozděluje rovnoměrně mezi jednotlivé objekty celkovou hodnotu atributu, která se ve skutečnosti u každého z nich liší.

Výpočet průměrných hodnot se provádí pomocí dat seskupených ve formě intervalových distribučních řad, kdy varianty charakteristiky, ze které se průměr počítá, jsou prezentovány ve formě intervalů (od - do).

Vlastnosti aritmetického průměru:

1) aritmetický průměr součtu různých veličin se rovná součtu aritmetických středních veličin: Jestliže x i = y i +z i, pak

Tato vlastnost ukazuje, ve kterých případech je možné shrnout průměrné hodnoty.

2) algebraický součet odchylek jednotlivých hodnot proměnné charakteristiky od průměru je roven nule, protože součet odchylek v jednom směru je kompenzován součtem odchylek ve směru druhém:

Toto pravidlo ukazuje, že průměr je výsledek.

3) pokud se všechny možnosti v řadě zvýší nebo sníží o stejné číslo?, zvýší se nebo sníží průměr o stejné číslo?:

4) pokud se všechny varianty řady zvýší nebo sníží o A krát, pak se průměrná také zvýší nebo sníží o A krát:

5) pátá vlastnost průměru nám ukazuje, že nezávisí na velikosti škál, ale závisí na vztahu mezi nimi. Jako váhy lze brát nejen relativní, ale i absolutní hodnoty.

Pokud jsou všechny frekvence řady vyděleny nebo vynásobeny stejným číslem d, pak se průměr nezmění.

Harmonický průměr. Pro určení aritmetického průměru je nutné mít k dispozici řadu možností a frekvencí, tj. X A F.

Předpokládejme, že jednotlivé hodnoty charakteristiky jsou známé X a funguje X/, a frekvence F jsou neznámé, pak pro výpočet průměru označíme součin = X/; kde:

Průměr v této podobě se nazývá harmonický vážený průměr a označuje se x poškodit. nahoru

V souladu s tím je harmonický průměr shodný s aritmetickým průměrem. Platí, když skutečné hmotnosti nejsou známy F a dílo je známé fx = z

Když práce fx stejné nebo stejné jednotky (m = 1), použije se harmonický jednoduchý průměr vypočítaný podle vzorce:

Kde X– samostatné možnosti;

n- číslo.

Geometrický průměr

Pokud existuje n růstových koeficientů, pak vzorec pro průměrný koeficient je:

Toto je vzorec geometrického průměru.

Geometrický průměr se rovná odmocnině mocniny n ze součinu růstových koeficientů charakterizujících poměr hodnoty každého následujícího období k hodnotě předchozího.

Pokud hodnoty vyjádřené ve formě kvadratických funkcí podléhají průměrování, použije se střední čtverec. Například pomocí střední odmocniny můžete určit průměry trubek, kol atd.

Jednoduchý střední čtverec se určí tak, že se vezme druhá odmocnina z podílu dělení součtu druhých mocnin jednotlivých hodnot atributu jejich počtem.

Vážený střední čtverec se rovná:

3. Strukturní průměry. Režim a medián

Pro charakterizaci struktury statistické populace se používají ukazatele, které se nazývají strukturální průměry. Patří mezi ně režim a medián.

Móda (M Ó ) - nejběžnější možnost. Móda je hodnota atributu, která odpovídá maximálnímu bodu teoretické distribuční křivky.

Móda představuje nejčastěji se vyskytující nebo typický význam.

Móda se v komerční praxi používá ke studiu spotřebitelské poptávky a rekordních cen.

V diskrétní sérii je režim variantou s nejvyšší frekvencí. V intervalové variační řadě je modus považován za centrální variantu intervalu, která má nejvyšší frekvenci (specifičnost).

V rámci intervalu musíte najít hodnotu atributu, kterým je režim.

Kde X Ó– spodní hranice modálního intervalu;

h– hodnotu modálního intervalu;

f m– frekvence modálního intervalu;

f t-1 – četnost intervalu předcházejícího modálnímu;

f m+1 – frekvence intervalu následujícího po modálním.

Režim závisí na velikosti skupin a na přesné poloze hranic skupin.

Móda– číslo, které se skutečně vyskytuje nejčastěji (je určitou hodnotou), v praxi má nejširší uplatnění (nejčastější typ kupujícího).

Medián (M E je veličina, která rozděluje počet uspořádaných variačních sérií na dvě stejné části: jedna část má hodnoty proměnné charakteristiky, které jsou menší než průměrná varianta, a druhá má větší hodnoty.

Medián- prvek, který je větší nebo roven a zároveň menší nebo roven rovná polovině zbývající prvky distribuční řady.

Vlastností mediánu je, že součet absolutních odchylek hodnot atributu od mediánu je menší než od jakékoli jiné hodnoty.

Použití mediánu umožňuje získat přesnější výsledky než použití jiných forem průměrů.

Pořadí hledání mediánu v intervalové variační řadě je následující: jednotlivé hodnoty charakteristiky seřadíme podle pořadí; určíme akumulované frekvence pro danou seřazenou řadu; Pomocí nashromážděných údajů o frekvenci najdeme střední interval:

Kde x já– spodní hranice středního intervalu;

i Mě– hodnota středního intervalu;

f/2– poloviční součet četností řady;

S Mě-1 – součet akumulovaných frekvencí předcházejících střednímu intervalu;

F Mě– frekvence středního intervalu.

Medián dělí počet sérií na polovinu, proto je to tam, kde akumulovaná frekvence je polovina nebo více než polovina celkového součtu frekvencí a předchozí (akumulovaná) frekvence je menší než polovina počtu populace.

Průměrná hodnota je z analytického hlediska nejcennější a je univerzální formou vyjádření pro statistické ukazatele. Nejběžnější průměr - aritmetický průměr - má řadu matematických vlastností, které lze při jeho výpočtu využít. Při výpočtu konkrétního průměru je přitom vždy vhodné vycházet z jeho logického vzorce, kterým je poměr objemu atributu k objemu populace. Pro každý průměr existuje pouze jeden skutečný počáteční vztah, jehož realizace v závislosti na dostupných datech může vyžadovat různé formy průměrů. Avšak ve všech případech, kdy povaha průměrované hodnoty implikuje přítomnost vah, je nemožné použít jejich nevážené vzorce místo vzorců vážených průměrů.

Průměrná hodnota je nejcharakterističtější hodnotou atributu pro populaci a velikostí atributu populace rozdělené rovným dílem mezi jednotky populace.

Charakteristika, pro kterou se počítá průměrná hodnota, se nazývá zprůměrováno .

Průměrná hodnota je ukazatel vypočítaný porovnáním absolutních nebo relativních hodnot. Průměrná hodnota je označena

Průměrná hodnota odráží vliv všech faktorů ovlivňujících zkoumaný jev a je pro ně výsledná. Jinými slovy, při uhašení jednotlivých odchylek a eliminaci vlivu případů působí průměrná hodnota, odrážející obecnou míru výsledků této akce, jako obecný vzorec studovaného jevu.

Podmínky použití průměrných hodnot:

Ø homogenita zkoumané populace. Pokud některé prvky populace podléhající vlivu náhodného faktoru mají hodnoty studované charakteristiky výrazně odlišné od ostatních, pak tyto prvky ovlivní velikost průměru této populace. V tomto případě průměr nebude vyjadřovat nejtypičtější hodnotu atributu pro populaci. Pokud je zkoumaný jev heterogenní, vyžaduje jeho rozdělení do skupin obsahujících homogenní prvky. V v tomto případě vypočítávají se skupinové průměry - skupinové průměry, vyjadřující nejcharakterističtější hodnotu jevu v každé skupině a následně se vypočítá celková průměrná hodnota pro všechny prvky, charakterizující jev jako celek. Vypočítá se jako průměr skupinových průměrů, vážený počtem prvků populace zahrnutých v každé skupině;

Ø dostatečný počet jednotek celkem;

Ø maximální a minimální hodnoty charakteristiky ve studované populaci.

Průměrná hodnota (ukazatel)je zobecněná kvantitativní charakteristika charakteristiky v systematickém agregátu za specifických podmínek místa a času.

Ve statistice se používají následující formy (typy) průměrů, nazývané výkonové a strukturální:

Ø aritmetický průměr(jednoduché a vážené);

Přednáška 5. Průměrné hodnoty

Pojem průměru ve statistice

Aritmetický průměr a jeho vlastnosti

Jiné typy průměrů výkonu

Režim a medián

Kvartily a decily

Průměrné hodnoty jsou široce používány ve statistice. Průměrné hodnoty charakterizují kvalitativní ukazatele komerční činnosti: distribuční náklady, zisk, ziskovost atd.

Průměrný- Toto je jedna z běžných technik zobecňování. Správné pochopení podstaty průměru určuje jeho zvláštní význam v tržní ekonomice, kdy průměr prostřednictvím individuálního a náhodného umožňuje identifikovat obecné a potřebné, identifikovat trend vzorců ekonomického vývoje.

Průměrná hodnota- jedná se o zobecňující ukazatele, ve kterých jsou vyjádřeny účinky obecných podmínek a zákonitostí studovaného jevu.

Průměrná hodnota (ve statistice) – obecný ukazatel charakterizující typickou velikost nebo úroveň sociálních jevů na jednotku populace při zachování ostatních podmínek.

Pomocí metody průměrů lze vyřešit následující: hlavní úkoly:

1. Charakteristika úrovně vývoje jevů.

2. Porovnání dvou a více úrovní.

3. Studium vzájemných vztahů socioekonomických jevů.

4. Analýza umístění socioekonomických jevů v prostoru.

Statistické průměry jsou počítány na základě hmotnostních dat ze správně statisticky organizovaného hromadného pozorování (kontinuálního a selektivního). Statistický průměr však bude objektivní a typický, bude-li vypočítán z hromadných dat pro kvalitativně homogenní populaci (masové jevy). Například když počítáte průměr mzdy v družstvech a státních podnicích a výsledek je rozšířen na celou populaci, pak je průměr fiktivní, protože byl vypočten na základě heterogenní populace a takový průměr ztrácí veškerý význam.

Pomocí průměru se vyrovnávají rozdíly v hodnotě charakteristiky, které z toho či onoho důvodu vznikají v jednotlivých jednotkách pozorování. Například průměrná produktivita prodejce závisí na mnoha důvodech: kvalifikace, délka služby, věk, forma služby, zdravotní stav atd.

Podstata průměru spočívá v tom, že ruší odchylky charakteristických hodnot jednotlivých jednotek populace způsobené působením náhodných faktorů a zohledňuje změny způsobené působením hlavních faktorů. To umožňuje, aby průměr odrážel typickou úroveň vlastnosti a abstrahoval od individuálních charakteristik, které jsou jednotlivým jednotkám vlastní.

Průměrná hodnota je odrazem hodnot studované charakteristiky, proto se měří ve stejném rozměru jako tato charakteristika.

Každá průměrná hodnota charakterizuje studovanou populaci podle jedné charakteristiky. Abychom získali úplné a komplexní porozumění zkoumané populaci podle řady základních charakteristik, je obecně nutné mít systém průměrných hodnot, který dokáže popsat jev z různých úhlů.

Existují různé průměry:

Aritmetický průměr;

Geometrický průměr;

Harmonický průměr;

střední čtverec;

Průměrně chronologicky.