सामान्य समतल समीकरण से पैरामीट्रिक समीकरण कैसे प्राप्त करें। विशेष प्रकार के समतल समीकरण

निर्देशांक के संबंध में प्रत्येक प्रथम डिग्री समीकरण एक्स, वाई, जेड

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

एक समतल को परिभाषित करता है, और इसके विपरीत: किसी भी समतल को समीकरण (3.1) द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिसे कहा जाता है समतल समीकरण.

वेक्टर एन(ए, बी, सी) समतल को ओर्थोगोनल कहा जाता है सामान्य वेक्टरविमान। समीकरण (3.1) में, गुणांक ए, बी, सी एक ही समय में 0 के बराबर नहीं हैं।

विशेष स्थितियांसमीकरण (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - तल मूल बिंदु से होकर गुजरता है।

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - तल Oz अक्ष के समानांतर है।

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - विमान Oz अक्ष से होकर गुजरता है।

4. बी = सी = 0, एक्स + डी = 0 - विमान ओयज़ विमान के समानांतर है।

निर्देशांक तलों के समीकरण: x = 0, y = 0, z = 0.

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा निर्दिष्ट की जा सकती है:

1) दो तलों के प्रतिच्छेदन की एक रेखा के रूप में, अर्थात्। समीकरणों की प्रणाली:

ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 जेड + डी 1 = 0, ए 2 एक्स + बी 2 वाई + सी 2 जेड + डी 2 = 0; (3.2)

2) इसके दो बिंदुओं M 1 (x 1, y 1, z 1) और M 2 (x 2, y 2, z 2) से, तो उनसे गुजरने वाली सीधी रेखा समीकरणों द्वारा दी जाती है:

3) इससे संबंधित बिंदु एम 1 (एक्स 1, वाई 1, जेड 1) और वेक्टर ए(एम, एन, पी), इसके संरेख में। तब सीधी रेखा समीकरणों द्वारा निर्धारित की जाती है:

समीकरण (3.4) कहलाते हैं रेखा के विहित समीकरण.

वेक्टर एबुलाया दिशा वेक्टर सीधा.

एक रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणहम प्रत्येक संबंध (3.4) को पैरामीटर t के बराबर करके प्राप्त करते हैं:

एक्स = एक्स 1 + एमटी, वाई = वाई 1 + एनटी, जेड = जेड 1 + पीटी। (3.5)

अज्ञात के लिए रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में प्रणाली (3.2) को हल करना एक्सऔर य, हम रेखा के समीकरणों पर पहुंचते हैं अनुमानया करने के लिए सीधी रेखा के दिए गए समीकरण :

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

समीकरण (3.6) से हम विहित समीकरणों तक जा सकते हैं, ढूँढ़ रहे हैं जेडप्रत्येक समीकरण से और परिणामी मानों को बराबर करना:

सामान्य समीकरणों (3.2) से आप दूसरे तरीके से विहित समीकरणों पर जा सकते हैं, यदि आपको इस रेखा और इसके दिशा वेक्टर पर कोई बिंदु मिलता है एन= [एन 1 , एन 2 ], कहां एन 1 (ए 1, बी 1, सी 1) और एन 2 (ए 2 , बी 2 , सी 2 ) - दिए गए तलों के सामान्य सदिश। यदि हरों में से एक एम, एनया आरसमीकरणों में (3.4) शून्य के बराबर हो जाता है, तो संबंधित भिन्न का अंश शून्य के बराबर सेट किया जाना चाहिए, अर्थात। प्रणाली

सिस्टम के समतुल्य है; ऐसी सीधी रेखा ऑक्स अक्ष पर लंबवत होती है।

सिस्टम सिस्टम x = x 1, y = y 1 के बराबर है; सीधी रेखा ओज़ अक्ष के समानांतर है।

उदाहरण 1.15. यह जानते हुए कि बिंदु A(1,-1,3) मूल बिंदु से इस तल पर खींचे गए लंबवत के आधार के रूप में कार्य करता है, विमान के लिए एक समीकरण बनाएं।

समाधान।समस्या की स्थिति के अनुसार, वेक्टर ओए(1,-1,3) समतल का एक सामान्य सदिश है, तो इसका समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है
x-y+3z+D=0. समतल से संबंधित बिंदु A(1,-1,3) के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करते हुए, हम D पाते हैं: 1-(-1)+3 × 3+D = 0 Þ D = -11। तो x-y+3z-11=0.

उदाहरण 1.16. ओज़ अक्ष से गुजरने वाले और विमान 2x+y-z-7=0 के साथ 60° का कोण बनाने वाले विमान के लिए एक समीकरण लिखें।

समाधान। Oz अक्ष से गुजरने वाले समतल को समीकरण Ax+By=0 द्वारा दिया जाता है, जहाँ A और B एक साथ गायब नहीं होते हैं। चलो बी नहीं
0 के बराबर, A/Bx+y=0. दो तलों के बीच के कोण के लिए कोसाइन सूत्र का उपयोग करना

द्विघात समीकरण 3m 2 + 8m - 3 = 0 को हल करने पर, हम इसके मूल ज्ञात करते हैं
m 1 = 1/3, m 2 = -3, जहाँ से हमें दो समतल 1/3x+y = 0 और -3x+y = 0 मिलते हैं।

उदाहरण 1.17.रेखा के विहित समीकरण बनाएं:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

समाधान।रेखा के विहित समीकरणों का रूप है:

कहाँ एम, एन, पी- सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर के निर्देशांक, एक्स 1 , वाई 1 , जेड 1- एक रेखा से संबंधित किसी भी बिंदु के निर्देशांक। एक सीधी रेखा को दो तलों के प्रतिच्छेदन की रेखा के रूप में परिभाषित किया गया है। किसी रेखा से संबंधित एक बिंदु को खोजने के लिए, निर्देशांकों में से एक को तय किया जाता है (सबसे आसान तरीका सेट करना है, उदाहरण के लिए, x=0) और परिणामी प्रणाली को दो अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में हल किया जाता है। तो, मान लीजिए x=0, तो y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, इसलिए y=-1, z=1। हमें इस रेखा से संबंधित बिंदु M(x 1, y 1, z 1) के निर्देशांक मिले: M (0,-1,1)। मूल तलों के सामान्य सदिशों को जानकर, एक सीधी रेखा का दिशा सदिश खोजना आसान है एन 1 (5,1,1) और एन 2 (2,3,-2). तब

रेखा के विहित समीकरणों का रूप इस प्रकार है: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (जेड - 1)/13.

"एक समतल पर एक रेखा का समीकरण" विषय के उप-मदों में से एक एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक समतल पर एक रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण तैयार करने का मुद्दा है। नीचे दिए गए लेख में कुछ ज्ञात डेटा दिए गए ऐसे समीकरणों की रचना के सिद्धांत पर चर्चा की गई है। हम दिखाएंगे कि पैरामीट्रिक समीकरणों से भिन्न प्रकार के समीकरणों की ओर कैसे जाएं; आइए सामान्य समस्याओं को हल करने पर नजर डालें।

एक विशिष्ट रेखा को उस बिंदु को निर्दिष्ट करके परिभाषित किया जा सकता है जो इस रेखा से संबंधित है और रेखा का एक दिशा वेक्टर है।

मान लीजिए कि हमें एक आयताकार समन्वय प्रणाली O x y दी गई है। और एक सीधी रेखा a भी दी गई है, जो उस पर स्थित बिंदु M 1 (x 1, y 1) और दी गई सीधी रेखा के दिशा वेक्टर को दर्शाती है। ए → = (ए एक्स , ए वाई) . आइए समीकरणों का उपयोग करके दी गई सीधी रेखा का विवरण दें।

हम एक मनमाना बिंदु M (x, y) का उपयोग करते हैं और एक वेक्टर प्राप्त करते हैं एम 1 एम → ; आइए प्रारंभ और अंत बिंदुओं के निर्देशांक से इसके निर्देशांक की गणना करें: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) । आइए वर्णन करें कि हमें क्या मिला: एक सीधी रेखा को बिंदु M (x, y) के एक सेट द्वारा परिभाषित किया गया है, जो बिंदु M 1 (x 1, y 1) से होकर गुजरती है और इसमें एक दिशा वेक्टर है ए → = (ए एक्स , ए वाई) . यह सेट एक सीधी रेखा को केवल तभी परिभाषित करता है जब सदिश M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) और a → = (a x, a y) संरेख होते हैं।

सदिशों की संरेखता के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है, जिसमें इस मामले मेंसदिश M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) और a → = (a x, a y) के लिए एक समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है:

M 1 M → = λ · a → , जहां λ कोई वास्तविक संख्या है।

परिभाषा 1

समीकरण M 1 M → = λ · a → को रेखा का वेक्टर-पैरामीट्रिक समीकरण कहा जाता है।

समन्वय रूप में यह इस प्रकार दिखता है:

M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ a x y - y 1 = λ a y ⇔ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ

परिणामी प्रणाली के समीकरण x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ को आयताकार समन्वय प्रणाली में एक विमान पर एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण कहा जाता है। नाम का सार इस प्रकार है: एक सीधी रेखा पर सभी बिंदुओं के निर्देशांक x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ रूप के समतल पर पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा सभी वास्तविक की गणना करके निर्धारित किए जा सकते हैं। पैरामीटर का मान λ

उपरोक्त के अनुसार, समतल x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ पर एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण एक सीधी रेखा को परिभाषित करते हैं, जो एक आयताकार समन्वय प्रणाली में परिभाषित होती है, जो बिंदु M से होकर गुजरती है। 1 (x 1, y 1) और एक मार्गदर्शक वेक्टर है ए → = (ए एक्स , ए वाई) . नतीजतन, यदि किसी रेखा पर एक निश्चित बिंदु के निर्देशांक और उसके दिशा वेक्टर के निर्देशांक दिए गए हैं, तो किसी दी गई रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों को तुरंत लिखना संभव है।

उदाहरण 1

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक विमान पर एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण बनाना आवश्यक है यदि इससे संबंधित बिंदु एम 1 (2, 3) और इसकी दिशा वेक्टर दी गई है ए → = (3 , 1) .

समाधान

प्रारंभिक डेटा के आधार पर, हम प्राप्त करते हैं: x 1 = 2, y 1 = 3, a x = 3, a y = 1। पैरामीट्रिक समीकरण इस प्रकार दिखेंगे:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + 1 · λ ⇔ x = 2 + 3 · λ y = 3 + λ

आइए स्पष्ट रूप से बताएं:

उत्तर: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

यह ध्यान दिया जाना चाहिए: यदि वेक्टर a → = (a x , a y) रेखा a के दिशा वेक्टर के रूप में कार्य करता है, और बिंदु M 1 (x 1, y 1) और M 2 (x 2, y 2) इस रेखा से संबंधित हैं, तो इसे फॉर्म के पैरामीट्रिक समीकरण निर्दिष्ट करके निर्धारित किया जा सकता है: x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ, साथ ही यह विकल्प: x = x 2 + a x · λ y = y 2 + a y · λ।

उदाहरण के लिए, हमें एक सीधी रेखा का दिशा सदिश दिया गया है ए → = (2, - 1), साथ ही इस रेखा से संबंधित बिंदु एम 1 (1, - 2) और एम 2 (3, - 3)। फिर सीधी रेखा पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा निर्धारित की जाती है: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ या x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ।

आपको निम्नलिखित तथ्य पर भी ध्यान देना चाहिए: यदि ए → = (ए एक्स , ए वाई) रेखा a का दिशा सदिश है, तो कोई भी सदिश इसका दिशा सदिश होगा μ · a → = (μ · a x , μ · a y) , जहां μ ϵ R , μ ≠ 0 .

इस प्रकार, एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक विमान पर सीधी रेखा ए को पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा निर्धारित किया जा सकता है: शून्य के अलावा μ के किसी भी मूल्य के लिए x = x 1 + μ · a x · λ y = y 1 + μ · a y · λ।

मान लें कि सीधी रेखा a पैरामीट्रिक समीकरण x = 3 + 2 · λ y = - 2 - 5 · λ द्वारा दी गई है। तब ए → = (2 , - 5) - इस सीधी रेखा का दिशा सदिश. और साथ ही कोई भी सदिश μ · a → = (μ · 2, μ · - 5) = 2 μ, - 5 μ, μ ∈ R, μ ≠ 0 किसी दी गई रेखा के लिए मार्गदर्शक सदिश बन जाएगा। स्पष्टता के लिए, एक विशिष्ट वेक्टर पर विचार करें - 2 · ए → = (- 4, 10), यह मान μ = - 2 से मेल खाता है। इस मामले में, दी गई सीधी रेखा को पैरामीट्रिक समीकरण x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ द्वारा भी निर्धारित किया जा सकता है।

एक समतल पर एक रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों से किसी दी गई रेखा के अन्य समीकरणों में संक्रमण और पीछे

कुछ समस्याओं को हल करने में, पैरामीट्रिक समीकरणों का उपयोग सबसे इष्टतम विकल्प नहीं है, तो एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों को एक अलग प्रकार की सीधी रेखा के समीकरणों में अनुवाद करने की आवश्यकता होती है। आइए देखें कि यह कैसे करना है।

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ रूप की एक सीधी रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण समतल x - x 1 a x = y - y 1 a y पर एक सीधी रेखा के विहित समीकरण के अनुरूप होंगे। .

आइए हम पैरामीटर λ के संबंध में प्रत्येक पैरामीट्रिक समीकरण को हल करें, परिणामी समानताओं के दाहिने हाथ को बराबर करें और दी गई सीधी रेखा का विहित समीकरण प्राप्त करें:

एक्स = एक्स 1 + ए एक्स · λ वाई = वाई 1 + ए वाई · λ ⇔ λ = एक्स - एक्स 1 ए एक्स λ = वाई - वाई 1 ए वाई ⇔ एक्स - एक्स 1 ए एक्स = वाई - वाई 1 ए वाई

इस मामले में, यह भ्रमित करने वाली बात नहीं होनी चाहिए कि x या y शून्य के बराबर हैं।

उदाहरण 2

सीधी रेखा x = 3 y = - 2 - 4 · λ के पैरामीट्रिक समीकरणों से विहित समीकरण में संक्रमण करना आवश्यक है।

समाधान

आइए दिए गए पैरामीट्रिक समीकरणों को लिखें निम्नलिखित प्रपत्र: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ

आइए हम प्रत्येक समीकरण में पैरामीटर λ व्यक्त करें: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4

आइए हम समीकरणों की प्रणाली के दाहिने पक्षों की बराबरी करें और समतल पर एक सीधी रेखा का आवश्यक विहित समीकरण प्राप्त करें:

एक्स - 3 0 = वाई + 2 - 4

उत्तर:एक्स - 3 0 = वाई + 2 - 4

ऐसी स्थिति में जब A x + B y + C = 0 के रूप की एक रेखा का समीकरण लिखना आवश्यक हो, और एक समतल पर एक रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण दिए गए हों, तो पहले विहित में संक्रमण करना आवश्यक है समीकरण, और फिर रेखा के सामान्य समीकरण तक। आइए क्रियाओं का संपूर्ण क्रम लिखें:

x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x 1) = a x (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

उदाहरण 3

एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को लिखना आवश्यक है यदि इसे परिभाषित करने वाले पैरामीट्रिक समीकरण दिए गए हैं: x = - 1 + 2 · λ y = - 3 · λ

समाधान

सबसे पहले, आइए विहित समीकरण में परिवर्तन करें:

x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

परिणामी अनुपात समानता के समान है - 3 · (x + 1) = 2 · y। आइए कोष्ठक खोलें और रेखा का सामान्य समीकरण प्राप्त करें: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0.

उत्तर: 3 x + 2 y + 3 = 0

क्रियाओं के उपरोक्त तर्क का अनुसरण करते हुए, कोणीय गुणांक वाली एक रेखा का समीकरण, खंडों में एक रेखा का समीकरण या एक रेखा का सामान्य समीकरण प्राप्त करने के लिए, रेखा का सामान्य समीकरण प्राप्त करना आवश्यक है, और फिर इससे आगे परिवर्तन करें।

अब विपरीत क्रिया पर विचार करें: इस रेखा के समीकरणों के भिन्न दिए गए रूप के साथ एक रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण लिखना।

सबसे सरल संक्रमण: विहित समीकरण से पैरामीट्रिक समीकरण तक। मान लीजिए कि x - x 1 a x = y - y 1 a y रूप का एक विहित समीकरण दिया गया है। आइए हम इस समानता के प्रत्येक संबंध को पैरामीटर λ के बराबर मानें:

एक्स - एक्स 1 ए एक्स = वाई - वाई 1 ए वाई = λ ⇔ λ = एक्स - एक्स 1 ए एक्स λ = वाई - वाई 1 ए वाई

आइए हम चर x और y के परिणामी समीकरणों को हल करें:

एक्स = एक्स 1 + ए एक्स · λ वाई = वाई 1 + ए वाई · λ

उदाहरण 4

यदि समतल पर रेखा का विहित समीकरण ज्ञात हो तो रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण लिखना आवश्यक है: x - 2 5 = y - 2 2

समाधान

आइए हम ज्ञात समीकरण के भागों को पैरामीटर λ के बराबर करें: x - 2 5 = y - 2 2 = λ। परिणामी समानता से हमें रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण मिलते हैं: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 · λ y = 2 + 2 · λ

उत्तर: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

जब किसी रेखा के दिए गए सामान्य समीकरण, कोणीय गुणांक वाली रेखा के समीकरण, या खंडों में रेखा के समीकरण से पैरामीट्रिक समीकरणों में संक्रमण करना आवश्यक होता है, तो मूल समीकरण को विहित में लाना आवश्यक है एक, और फिर पैरामीट्रिक समीकरणों में परिवर्तन करें।

उदाहरण 5

इस रेखा के ज्ञात सामान्य समीकरण के साथ एक रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण लिखना आवश्यक है: 4 x - 3 y - 3 = 0.

समाधान

आइए हम दिए गए सामान्य समीकरण को विहित रूप के समीकरण में बदलें:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

आइए हम समानता के दोनों पक्षों को पैरामीटर λ के बराबर करें और सीधी रेखा के आवश्यक पैरामीट्रिक समीकरण प्राप्त करें:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

उत्तर: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

एक समतल पर एक रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों के उदाहरण और समस्याएं

आइए एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक समतल पर एक रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों का उपयोग करके सबसे सामान्य प्रकार की समस्याओं पर विचार करें।

पहले प्रकार की समस्याओं में, बिंदुओं के निर्देशांक दिए जाते हैं, चाहे वे पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा वर्णित रेखा से संबंधित हों या नहीं।

ऐसी समस्याओं का समाधान निम्नलिखित तथ्य पर आधारित है: कुछ वास्तविक मान λ के लिए पैरामीट्रिक समीकरण x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ से निर्धारित संख्याएं (x, y), निर्देशांक हैं उस रेखा से संबंधित एक बिंदु जो इन पैरामीट्रिक समीकरणों का वर्णन करता है।

उदाहरण 6

किसी बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है जो λ = 3 के लिए पैरामीट्रिक समीकरण x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ द्वारा निर्दिष्ट रेखा पर स्थित है।

समाधान

आइए दिए गए पैरामीट्रिक समीकरणों में स्थानापन्न करें ज्ञात मूल्यλ = 3 और आवश्यक निर्देशांक की गणना करें: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

उत्तर: 1 1 2 , 5

निम्नलिखित कार्य भी संभव है: एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक विमान पर एक निश्चित बिंदु M 0 (x 0 , y 0) दिया गया है और आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि क्या यह बिंदु पैरामीट्रिक समीकरण x = x द्वारा वर्णित रेखा से संबंधित है 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ .

ऐसी समस्या को हल करने के लिए, किसी दिए गए बिंदु के निर्देशांक को एक सीधी रेखा के ज्ञात पैरामीट्रिक समीकरणों में प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। यदि यह निर्धारित किया जाता है कि पैरामीटर λ = λ 0 का मान संभव है जिसके लिए दोनों पैरामीट्रिक समीकरण सत्य हैं, तो दिया गया बिंदु दी गई सीधी रेखा से संबंधित है।

उदाहरण 7

अंक एम 0 (4, - 2) और एन 0 (- 2, 1) दिए गए हैं। यह निर्धारित करना आवश्यक है कि क्या वे पैरामीट्रिक समीकरण x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ द्वारा परिभाषित रेखा से संबंधित हैं।

समाधान

आइए बिंदु M 0 (4, - 2) के निर्देशांक को दिए गए पैरामीट्रिक समीकरणों में प्रतिस्थापित करें:

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि बिंदु M 0 दी गई रेखा से संबंधित है, क्योंकि मान λ = 2 से मेल खाता है।

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

जाहिर है, ऐसा कोई पैरामीटर नहीं है λ जिसके अनुरूप बिंदु N 0 होगा। दूसरे शब्दों में, दी गई सीधी रेखा बिंदु N 0 (- 2, 1) से नहीं गुजरती है।

उत्तर:बिंदु M 0 किसी दी गई रेखा से संबंधित है; बिंदु N 0 दी गई रेखा से संबंधित नहीं है।

दूसरे प्रकार की समस्याओं में, एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक समतल पर एक रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण बनाना आवश्यक है। ऐसी समस्या का सबसे सरल उदाहरण (रेखा के बिंदु और दिशा वेक्टर के ज्ञात निर्देशांक के साथ) ऊपर माना गया था। अब आइए ऐसे उदाहरण देखें जिनमें हमें पहले गाइड वेक्टर के निर्देशांक खोजने होंगे और फिर पैरामीट्रिक समीकरण लिखने होंगे।

उदाहरण 8

बिंदु M 1 1 2 , 2 3 दिया गया है। इस बिंदु से गुजरने वाली और रेखा x 2 = y - 3 - 1 के समानांतर एक रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण बनाना आवश्यक है।

समाधान

समस्या की शर्तों के अनुसार, वह सीधी रेखा, जिसके समीकरण से हमें आगे निकलना है, सीधी रेखा x 2 = y - 3 - 1 के समानांतर है। फिर, किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा के निर्देशन वेक्टर के रूप में, सीधी रेखा x 2 = y - 3 - 1 के निर्देशन वेक्टर का उपयोग करना संभव है, जिसे हम इस रूप में लिखते हैं: a → = (2, - 1) . अब आवश्यक पैरामीट्रिक समीकरण बनाने के लिए सभी आवश्यक डेटा ज्ञात हैं:

एक्स = एक्स 1 + ए एक्स · λ वाई = वाई 1 + ए वाई · λ ⇔ एक्स = 1 2 + 2 · λ वाई = 2 3 + (- 1) · λ ⇔ एक्स = 1 2 + एक्स · λ वाई = 2 3 - λ

उत्तर: x = 1 2 + x · λ y = 2 3 - λ .

उदाहरण 9

बिंदु M 1 (0, - 7) दिया गया है। इस बिंदु से लंबवत रेखा 3 x – 2 y – 5 = 0 से गुजरने वाली रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण लिखना आवश्यक है।

समाधान

सीधी रेखा के दिशा वेक्टर के रूप में, जिसका समीकरण संकलित किया जाना चाहिए, सीधी रेखा 3 x - 2 y - 5 = 0 के सामान्य वेक्टर को लेना संभव है। इसके निर्देशांक (3,-2) हैं। आइए हम सीधी रेखा के आवश्यक पैरामीट्रिक समीकरण लिखें:

एक्स = एक्स 1 + ए एक्स · λ वाई = वाई 1 + ए वाई · λ ⇔ एक्स = 0 + 3 · λ वाई = - 7 + (- 2) · λ ⇔ एक्स = 3 · λ वाई = - 7 - 2 · λ

उत्तर: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

तीसरे प्रकार की समस्याओं में, किसी दी गई रेखा के पैरामीट्रिक समीकरणों से इसे निर्धारित करने वाले अन्य प्रकार के समीकरणों में संक्रमण करना आवश्यक है। समाधान समान उदाहरणहमने ऊपर चर्चा की, चलिए एक और देते हैं।

उदाहरण 10

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक समतल पर एक सीधी रेखा दी गई है, जो पैरामीट्रिक समीकरण x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ द्वारा परिभाषित है। इस रेखा के किसी सामान्य सदिश के निर्देशांक ज्ञात करना आवश्यक है।

समाधान

सामान्य वेक्टर के आवश्यक निर्देशांक निर्धारित करने के लिए, हम पैरामीट्रिक समीकरणों से सामान्य समीकरण में परिवर्तन करेंगे:

x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

चर x और y के गुणांक हमें सामान्य वेक्टर के आवश्यक निर्देशांक देते हैं। इस प्रकार, रेखा x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ के सामान्य वेक्टर के निर्देशांक 1, 3 4 हैं।

उत्तर: 1 , 3 4 .

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– अंतरिक्ष में एक विमान का सामान्य समीकरण

सामान्य समतल सदिश

किसी समतल का एक सामान्य सदिश, समतल में मौजूद प्रत्येक सदिश के लिए एक गैर-शून्य सदिश ऑर्थोगोनल होता है।

किसी दिए गए सामान्य वेक्टर के साथ एक बिंदु से गुजरने वाले विमान का समीकरण

- दिए गए सामान्य वेक्टर के साथ बिंदु M0 से गुजरने वाले विमान का समीकरण

समतल दिशा सदिश

हम समतल के समानांतर दो असंरेख सदिशों को समतल के दिशा सदिश कहते हैं

पैरामीट्रिक समतल समीकरण

- वेक्टर रूप में विमान का पैरामीट्रिक समीकरण

- निर्देशांक में विमान का पैरामीट्रिक समीकरण

किसी दिए गए बिंदु और दो दिशा सदिशों से होकर गुजरने वाले समतल का समीकरण

-नियत बिन्दु

-सिर्फ एक बिंदु, हाहाहा

-कोप्लानर, जिसका अर्थ है कि उनका मिश्रित उत्पाद 0 है।

तीन दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाले एक विमान का समीकरण

- तीन बिंदुओं से होकर गुजरने वाले समतल का समीकरण

खंडों में एक विमान का समीकरण

- खंडों में विमान का समीकरण

सबूत

इसे साबित करने के लिए, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि हमारा विमान ए, बी, सी और सामान्य वेक्टर से होकर गुजरता है

आइए सामान्य वेक्टर वाले समतल के समीकरण में बिंदु और वेक्टर n के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करें

आइए सब कुछ विभाजित करें और प्राप्त करें

इस तरह की चीज़ें।

सामान्य समतल समीकरण

- O से निकलने वाले तल पर बैल और सामान्य वेक्टर के बीच का कोण।

- O से निकलने वाले तल पर oy और सामान्य वेक्टर के बीच का कोण।

- O से निकलने वाले तल पर oz और सामान्य वेक्टर के बीच का कोण।

- उद्गम से समतल तक की दूरी।

सबूत या उस जैसा कुछ बकवास

चिन्ह D के विपरीत है।

इसी प्रकार शेष कोज्याओं के लिए भी। अंत।

बिंदु से समतल तक की दूरी

बिंदु एस, विमान

- बिंदु S से समतल तक उन्मुख दूरी

यदि , तो S और O समतल के विपरीत दिशा में स्थित हैं

यदि है, तो S और O एक ही तरफ स्थित हैं

n से गुणा करें

अंतरिक्ष में दो रेखाओं की सापेक्ष स्थिति

समतलों के बीच का कोण

प्रतिच्छेद करते समय, ऊर्ध्वाधर डायहेड्रल कोणों के दो जोड़े बनते हैं, सबसे छोटे को विमानों के बीच का कोण कहा जाता है

अंतरिक्ष में सीधी रेखा

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा को इस प्रकार निर्दिष्ट किया जा सकता है

दो तलों का प्रतिच्छेदन:

एक रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण

- सदिश रूप में एक सीधी रेखा का पैरामीट्रिक समीकरण

- निर्देशांक में एक सीधी रेखा का पैरामीट्रिक समीकरण

विहित समीकरण

– एक सीधी रेखा का विहित समीकरण.

दो दिए गए बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक रेखा का समीकरण

- सदिश रूप में एक सीधी रेखा का विहित समीकरण;

अंतरिक्ष में दो रेखाओं की सापेक्ष स्थिति

अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा और एक तल की सापेक्ष स्थिति

एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच का कोण

अंतरिक्ष में एक बिंदु से एक रेखा की दूरी

a हमारी सीधी रेखा का दिशा सदिश है।

- किसी दी गई रेखा से संबंधित एक मनमाना बिंदु

- वह बिंदु जिससे हम दूरी तलाश रहे हैं।

दो क्रॉसिंग लाइनों के बीच की दूरी

दो समान्तर रेखाओं के बीच की दूरी

एम1 - पहली पंक्ति से संबंधित बिंदु

एम2 - दूसरी पंक्ति से संबंधित बिंदु

दूसरे क्रम के वक्र और सतहें

दीर्घवृत्त एक समतल पर बिंदुओं का एक समूह है, जिससे दो दिए गए बिंदुओं (फोकी) की दूरी का योग एक स्थिर मान होता है।

विहित दीर्घवृत्त समीकरण

आइए इसे प्रतिस्थापित करें

द्वारा विभाजित करें

दीर्घवृत्त के गुण

समन्वय अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन

समरूपता सापेक्ष

मूल

दीर्घवृत्त समतल के एक सीमित भाग में स्थित एक वक्र है

किसी वृत्त को खींचकर या संपीड़ित करके उससे एक दीर्घवृत्त प्राप्त किया जा सकता है

दीर्घवृत्त का पैरामीट्रिक समीकरण:

– प्रधानाध्यापिकाएँ

अतिशयोक्ति

हाइपरबोला एक विमान पर बिंदुओं का एक सेट है जिसके लिए 2 दिए गए बिंदुओं (फोकी) की दूरी में अंतर का मापांक एक स्थिरांक (2a) है

हम वही काम करते हैं जो दीर्घवृत्त के साथ हमें मिलता है

के साथ बदलें

द्वारा विभाजित करें

अतिपरवलय के गुण

;

– प्रधानाध्यापिकाएँ

अनंतस्पर्शी

अनंतस्पर्शी एक सीधी रेखा है जिस तक वक्र बिना किसी सीमा के पहुंचता है, अनंत की ओर बढ़ता है।

परवलय

पैरावर्क के गुण

दीर्घवृत्त, अतिपरवलय और परवलय के बीच संबंध.

इन वक्रों के बीच संबंध की बीजगणितीय व्याख्या है: ये सभी दूसरी डिग्री के समीकरणों द्वारा दिए गए हैं। किसी भी समन्वय प्रणाली में, इन वक्रों के समीकरणों का रूप होता है: ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0, जहां a, b, c, d, e, f संख्याएं हैं

आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणालियों को परिवर्तित करना

समानांतर समन्वय प्रणाली स्थानांतरण

-ओ' पुरानी समन्वय प्रणाली में

- पुरानी समन्वय प्रणाली में बिंदु के निर्देशांक

- नई समन्वय प्रणाली में बिंदु के निर्देशांक

नई समन्वय प्रणाली में बिंदु के निर्देशांक.

एक आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में घूर्णन

-नई समन्वय प्रणाली

पुराने आधार से नए आधार पर संक्रमण मैट्रिक्स

- (पहले कॉलम के अंतर्गत मैं’ , दूसरे के अंतर्गत - जे’ ) आधार से संक्रमण मैट्रिक्स मैं,जेआधार तक मैं’ ,जे’

सामान्य मामला

1 विकल्प

एक समन्वय प्रणाली को घुमाना

विकल्प 2

एक समन्वय प्रणाली को घुमाना
समानांतर मूल अनुवाद

दूसरे क्रम की रेखाओं का सामान्य समीकरण और इसे विहित रूप में घटाना

– सामान्य रूप से देखेंदूसरे क्रम के वक्र समीकरण

दूसरे क्रम के वक्रों का वर्गीकरण

दीर्घवृत्ताभ

दीर्घवृत्ताकार खंड

– दीर्घवृत्त

क्रांति के दीर्घवृत्त

क्रांति के दीर्घवृत्त या तो चपटे या लंबे गोलाकार होते हैं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि हम किसके चारों ओर घूमते हैं।

सिंगल-स्ट्रिप हाइपरबोलाइड

एकल-पट्टी हाइपरबोलॉइड के अनुभाग

- वास्तविक अक्ष के साथ अतिपरवलय

– वास्तविक अक्ष x के साथ अतिपरवलय

परिणाम किसी भी h के लिए एक दीर्घवृत्त है। इस तरह की चीज़ें।

क्रांति के एकल-पट्टी हाइपरबोलॉइड्स

हाइपरबोला को उसके काल्पनिक अक्ष के चारों ओर घुमाकर क्रांति का एक-शीट हाइपरबोलॉइड प्राप्त किया जा सकता है।

दो-शीट हाइपरबोलाइड

दो-शीट हाइपरबोलाइड के अनुभाग

- कार्रवाई के साथ अतिशयोक्ति। axisoz

- वास्तविक अक्ष के साथ अतिपरवलय

कोन

- प्रतिच्छेदी रेखाओं का एक जोड़ा

अण्डाकार परवलयज

- परवलय

– परवलय

रोटेशन

यदि, तो एक अण्डाकार परवलयज परिक्रमण की एक सतह है जो समरूपता की धुरी के चारों ओर एक परवलय के घूमने से बनती है।

अतिपरवलयिक परवलयज

परवलय

– परवलय

h>0 हाइपरबोला वास्तविक अक्ष के साथ x के समानांतर

एच<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох

सिलेंडर से हमारा तात्पर्य उस सतह से है जो एक सीधी रेखा के अपनी दिशा बदले बिना अंतरिक्ष में घूमने पर प्राप्त होगी; यदि सीधी रेखा oz के सापेक्ष चलती है, तो सिलेंडर का समीकरण xoy तल द्वारा अनुभाग का समीकरण है।

अण्डाकार सिलेंडर

अतिशयोक्तिपूर्ण सिलेंडर

परवलयिक सिलेंडर

दूसरे क्रम की सतहों के रेक्टिलिनियर जनरेटर

सीधी रेखाएँ जो पूरी तरह से सतह पर स्थित होती हैं, सतह के रेक्टिलिनियर जनरेटर कहलाती हैं।

क्रांति की सतहें

भाड़ में जाओ साले

प्रदर्शन

प्रदर्शनआइए एक नियम कहते हैं जिसके अनुसार सेट ए का प्रत्येक तत्व सेट बी के एक या अधिक तत्वों से जुड़ा हुआ है। यदि प्रत्येक को सेट बी का एक एकल तत्व सौंपा गया है, तो मैपिंग कहा जाता है स्पष्ट, अन्यथा अस्पष्ट.

परिवर्तनकिसी सेट की अपने आप में एक-से-एक मैपिंग होती है

इंजेक्शन

सेट ए से सेट बी तक इंजेक्शन या वन-टू-वन मैपिंग

(ए के विभिन्न तत्व बी के विभिन्न तत्वों के अनुरूप हैं) उदाहरण के लिए y=x^2

आपत्ति

सेट ए का सेट बी पर प्रक्षेपण या मानचित्रण

प्रत्येक B के लिए कम से कम एक A होता है (उदाहरण के लिए साइन)

सेट बी का प्रत्येक तत्व सेट ए के केवल एक तत्व से मेल खाता है। (उदाहरण के लिए y=x)

विमान के वेक्टर और पैरामीट्रिक समीकरण।मान लीजिए r 0 और r क्रमशः बिंदु M 0 और M के त्रिज्या सदिश हैं। तब एम 0 एम = आर - आर 0, और शर्त (5.1) कि बिंदु एम बिंदु एम 0 से लंबवत गुजरने वाले विमान से संबंधित है गैर-शून्य वेक्टर n (चित्र 5.2, ए), का उपयोग करके लिखा जा सकता है डॉट उत्पादअनुपात के रूप में

एन(आर - आर 0) = 0, (5.4)

जिसे कहा जाता है समतल का सदिश समीकरण.

अंतरिक्ष में एक निश्चित विमान इसके समानांतर वैक्टर के एक सेट से मेल खाता है, यानी। अंतरिक्षवि 2. आइए इस स्थान में चयन करें आधारई 1, ई 2, यानि विचाराधीन तल के समानांतर गैर-संरेख सदिशों की एक जोड़ी, और तल पर एक बिंदु M 0। यदि बिंदु M समतल से संबंधित है, तो यह इस तथ्य के बराबर है कि वेक्टर M 0 M इसके समानांतर है (चित्र 5.2, b), अर्थात। यह संकेतित स्थान V 2 से संबंधित है। इसका मतलब है कि वहाँ है आधार में वेक्टर एम 0 एम का विस्तारई 1, ई 2, यानि संख्याएँ t 1 और t 2 हैं जिनके लिए M 0 M = t 1 e 1 + t 2 e 2। इस समीकरण के बाएँ पक्ष को क्रमशः बिंदु M 0 और M के त्रिज्या सदिश r 0 और r के माध्यम से लिखने पर, हम प्राप्त करते हैं वेक्टर पैरामीट्रिक समतल समीकरण

आर = आर 0 + टी 1 ई 1 + टी 2 ई 2, टी 1, टी 1 ∈ आर। (5.5)

(5.5) में सदिशों की समानता से उनकी समानता की ओर बढ़ना COORDINATES, (x 0 ; y 0 ; z 0), (x; y; z) से निरूपित करें बिंदुओं के निर्देशांक M 0, M और (e 1x; e 1y; e 1z), (e 2x; e 2y; e 2z) के माध्यम से सदिश e 1, e 2 के निर्देशांक। सदिश r और r 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2 के निर्देशांक को समान नाम से बराबर करने पर, हम प्राप्त करते हैं पैरामीट्रिक समतल समीकरण

एक विमान तीन बिंदुओं से होकर गुजर रहा है।मान लीजिए कि तीन बिंदु M 1, M 2 और M 3 एक ही रेखा पर नहीं हैं। फिर एक अद्वितीय समतल π है जिससे ये बिंदु संबंधित हैं। आइए किसी दिए गए समतल π से संबंधित एक मनमाना बिंदु M के लिए एक मानदंड बनाकर इस समतल का समीकरण ज्ञात करें। फिर हम इस मानदंड को बिंदुओं के निर्देशांक के माध्यम से लिखते हैं। निर्दिष्ट मानदंड उन बिंदुओं एम के सेट के रूप में विमान π का वर्णन है जिसके लिए वैक्टर एम 1 एम 2, एम 1 एम 3 और एम 1 एम हैं समतलीय. तीन सदिशों की समतलीयता का मानदंड उनकी शून्य के बराबर समानता है मिश्रित उत्पाद(3.2 देखें)। मिश्रित उत्पाद की गणना का उपयोग करके की जाती है तृतीय क्रम निर्धारक, जिनकी पंक्तियाँ सदिशों के निर्देशांक हैं ऑर्थोनॉर्मल आधार. इसलिए, यदि (x i; yx i; Zx i) बिंदु Mx i के निर्देशांक हैं, i = 1, 2, 3, और (x; y; z) बिंदु M के निर्देशांक हैं, तो M 1 M = (x-x) 1 ; वाई-वाई 1 ; जेड-जेड 1 ), एम 1 एम 2 = (एक्स 2 -एक्स 1 ; वाई 2 -वाई 1 ; जेड 2 -जेड 1 ), एम 1 एम 3 = (एक्स 3 -एक्स 1 ; वाई 3 -y 1 ; z 3 -z 1 ) और इन वैक्टरों के मिश्रित उत्पाद के शून्य के बराबर होने की शर्त का रूप है

सारणिक की गणना करने पर, हमें प्राप्त होता है रेखीय x, y, z के सापेक्ष समीकरण, जो है वांछित विमान का सामान्य समीकरण. उदाहरण के लिए, यदि पहली पंक्ति के साथ सारणिक का विस्तार करें, तो हमें मिलता है

यह समानता, निर्धारकों की गणना करने और कोष्ठक खोलने के बाद, विमान के सामान्य समीकरण में परिवर्तित हो जाती है।

ध्यान दें कि अंतिम समीकरण में चर के गुणांक निर्देशांक के साथ मेल खाते हैं वेक्टर उत्पादएम 1 एम 2 × एम 1 एम 3। यह सदिश उत्पाद, समतल π के समानांतर दो गैर-संरेख सदिशों का गुणनफल होने के कारण, π पर एक गैर-शून्य सदिश लंबवत देता है, अर्थात। उसकी सामान्य वेक्टर. अतः समतल के सामान्य समीकरण के गुणांक के रूप में वेक्टर उत्पाद के निर्देशांक का दिखना काफी स्वाभाविक है।

तीन बिंदुओं से गुजरने वाले विमान के निम्नलिखित विशेष मामले पर विचार करें। बिंदु एम 1 (ए; 0; 0), एम 2 (0; बी; 0), एम 3 (0; 0; सी), एबीसी ≠ 0, एक ही सीधी रेखा पर नहीं हैं और एक विमान को परिभाषित करते हैं जो कट जाता है निर्देशांक अक्षों पर खंड गैर-शून्य लंबाई (चित्र 5.3)। यहां, "खंड की लंबाई" का अर्थ बिंदु M i, i = 1,2,3 के त्रिज्या वैक्टर के गैर-शून्य निर्देशांक का मान है।

चूँकि M 1 M 2 = (-a; b;0), M 1 M 3 = (-a; 0; c), M 1 M = (x-a; y; z), तो समीकरण (5.7) रूप लेता है

सारणिक की गणना करने के बाद, हम bc(x - a) + acy + abz = 0 पाते हैं, परिणामी समीकरण को abc से विभाजित करते हैं और मुक्त पद को दाईं ओर ले जाते हैं,

एक्स/ए + वाई/बी + जेड/सी = 1.

इस समीकरण को कहा जाता है खंडों में समतल का समीकरण.

उदाहरण 5.2.आइए एक विमान का सामान्य समीकरण खोजें जो निर्देशांक (1; 1; 2) वाले एक बिंदु से होकर गुजरता है और निर्देशांक अक्षों से समान लंबाई के खंडों को काटता है।

खंडों में एक विमान का समीकरण, बशर्ते कि यह निर्देशांक अक्षों से समान लंबाई के खंडों को काटता है, मान लीजिए a ≠ 0, का रूप x/a + y/b + z/c = 1 है। इस समीकरण को संतुष्ट होना चाहिए समतल पर निर्देशांक (1; 1; 2) ज्ञात बिंदु, अर्थात्। समानता 4/a = 1 है इसलिए, a = 4 और आवश्यक समीकरण x + y + z - 4 = 0 है।

सामान्य समतल समीकरण.आइए अंतरिक्ष में कुछ समतल π पर विचार करें। हम उसके लिए इसे ठीक करते हैं इकाईसामान्य वेक्टर n, से निर्देशित मूल"विमान की ओर", और समन्वय प्रणाली के मूल O से विमान π तक की दूरी को p से निरूपित करें (चित्र 5.4)। यदि विमान समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति से गुजरता है, तो पी = 0, और दो संभावित दिशाओं में से किसी को सामान्य वेक्टर एन के लिए दिशा के रूप में चुना जा सकता है।

यदि बिंदु M समतल π से संबंधित है, तो यह इस तथ्य के समतुल्य है ऑर्थोग्राफ़िक वेक्टर प्रक्षेपणॐ दिशा की ओरवेक्टर n, p के बराबर है, अर्थात शर्त nOM = pr n OM = p संतुष्ट है, चूँकि वेक्टर लंबाई n एक के बराबर है.

आइए हम बिंदु M के निर्देशांक को (x; y; z) से निरूपित करें और मान लें कि n = (cosα; cosβ; cosγ) (याद रखें कि एक इकाई वेक्टर n के लिए इसका दिशा कोसाइन cosα, cosβ, cosγ इसके निर्देशांक भी हैं)। समता nOM = p में अदिश गुणनफल को निर्देशांक रूप में लिखने पर हमें प्राप्त होता है सामान्य समतल समीकरण

xcosα + ycosbeta; + zcosγ - पी = 0.

किसी समतल पर एक रेखा के मामले के समान, अंतरिक्ष में किसी समतल के सामान्य समीकरण को एक सामान्यीकरण कारक द्वारा विभाजित करके उसके सामान्य समीकरण में बदला जा सकता है।

समतल समीकरण Ax + By + Cz + D = 0 के लिए, सामान्यीकरण कारक संख्या ±√(A 2 + B 2 + C 2) है, जिसका चिह्न D के चिह्न के विपरीत चुना जाता है। निरपेक्ष मान में, सामान्यीकरण कारक सामान्य वेक्टर (ए; बी; सी) विमान की लंबाई है, और संकेत विमान के इकाई सामान्य वेक्टर की वांछित दिशा से मेल खाता है। यदि विमान समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति से होकर गुजरता है, अर्थात। डी = 0, तो सामान्यीकरण कारक का चिह्न किसी भी तरह से चुना जा सकता है।

अब तक, हमने अंतरिक्ष में निर्देशांक अक्षों X, Y, Z के साथ स्पष्ट रूप में या अंतर्निहित रूप में एक सतह के समीकरण पर विचार किया है।

आप किसी सतह के समीकरणों को पैरामीट्रिक रूप में लिख सकते हैं, इसके बिंदुओं के निर्देशांक को दो स्वतंत्र चर मापदंडों के कार्यों के रूप में व्यक्त कर सकते हैं और

हम मान लेंगे कि ये फ़ंक्शन एकल-मूल्यवान हैं, निरंतर हैं और मापदंडों की एक निश्चित सीमा में दूसरे क्रम तक निरंतर व्युत्पन्न हैं

यदि हम यू और वी के माध्यम से इन समन्वय अभिव्यक्तियों को समीकरण (37) के बाईं ओर प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें यू और वी के संबंध में एक पहचान प्राप्त करनी चाहिए। स्वतंत्र चर यू और वी के संबंध में इस पहचान को अलग करने पर, हमारे पास होगा

इन समीकरणों को दो सजातीय समीकरणों के रूप में मानते हुए और इसमें उल्लिखित बीजगणितीय प्रमेयिका को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं

जहाँ k एक निश्चित आनुपातिकता गुणांक है।

हमारा मानना है कि कारक k और अंतिम सूत्रों के दाईं ओर कम से कम एक अंतर शून्य नहीं है।

संक्षिप्तता के लिए, आइए हम लिखित तीन अंतरों को इस प्रकार निरूपित करें:

जैसा कि ज्ञात है, किसी बिंदु (x, y, z) पर हमारी सतह के स्पर्शरेखा तल का समीकरण इस रूप में लिखा जा सकता है

या, आनुपातिक मात्राओं को प्रतिस्थापित करते हुए, हम स्पर्शरेखा तल के समीकरण को निम्नानुसार फिर से लिख सकते हैं:

इस समीकरण में गुणांक सतह के अभिलंब की दिशा कोज्या के समानुपाती माने जाते हैं।

सतह पर चर बिंदु M की स्थिति को पैरामीटर u और v के मानों द्वारा दर्शाया जाता है, और इन मापदंडों को आमतौर पर सतह बिंदुओं के निर्देशांक या समन्वय पैरामीटर कहा जाता है।

पैरामीटर u और v को स्थिर मान देते हुए, हमें सतह पर रेखाओं के दो परिवार प्राप्त होते हैं, जिन्हें हम सतह की समन्वय रेखाएँ कहेंगे: समन्वय रेखाएँ जिनके साथ केवल v बदलता है, और समन्वय रेखाएँ जिनके साथ केवल u बदलता है। समन्वय रेखाओं के ये दो परिवार सतह पर एक समन्वय ग्रिड प्रदान करते हैं।

उदाहरण के तौर पर, मूल बिंदु पर केंद्र और त्रिज्या R वाले एक गोले पर विचार करें। ऐसे गोले के पैरामीट्रिक समीकरण इस प्रकार लिखे जा सकते हैं

इस मामले में निर्देशांक रेखाएँ, जाहिर तौर पर, हमारे क्षेत्र की समानताएँ और याम्योत्तर का प्रतिनिधित्व करती हैं।

समन्वय अक्षों से सार निकालते हुए, हम अपनी सतह के स्थिर बिंदु O से चर बिंदु M तक जाने वाले एक चर त्रिज्या वेक्टर के साथ सतह को चिह्नित कर सकते हैं। मापदंडों के संबंध में इस त्रिज्या वेक्टर के आंशिक व्युत्पन्न स्पष्ट रूप से समन्वय रेखाओं के स्पर्शरेखा के साथ निर्देशित वेक्टर देंगे। इन सदिशों के घटक अक्षों के अनुदिश

तदनुसार होगा, और इससे यह स्पष्ट है कि स्पर्शरेखा तल (39) के समीकरण में गुणांक वेक्टर उत्पाद के घटक हैं। यह वेक्टर उत्पाद स्पर्शरेखा के लंबवत एक वेक्टर है, यानी, सामान्य के साथ निर्देशित एक वेक्टर सतह का. इस वेक्टर की लंबाई का वर्ग, जाहिर है, वेक्टर और स्वयं के अदिश उत्पाद द्वारा व्यक्त किया जाता है, यानी, अधिक सरलता से, इस वेक्टर 1 के वर्ग द्वारा)। निम्नलिखित में, सतह पर सामान्य इकाई वेक्टर एक आवश्यक भूमिका निभाएगा, जिसे हम स्पष्ट रूप से इस रूप में लिख सकते हैं

लिखित वेक्टर उत्पाद में कारकों के क्रम को बदलकर, हम वेक्टर (40) के लिए विपरीत दिशा प्राप्त करते हैं। निम्नलिखित में, हम कारकों के क्रम को एक निश्चित तरीके से तय करेंगे, यानी, हम सतह पर सामान्य की दिशा को एक निश्चित तरीके से तय करेंगे।

आइए सतह पर एक निश्चित बिंदु M लें और इस बिंदु से सतह पर स्थित कुछ वक्र (L) खींचें। यह वक्र, आम तौर पर बोलते हुए, एक समन्वय रेखा नहीं है, और वेल और वी दोनों इसके साथ बदल जाएंगे। इस वक्र की स्पर्शरेखा की दिशा वेक्टर द्वारा निर्धारित की जाएगी यदि हम मानते हैं कि बिंदु के पड़ोस में (एल) के साथ पैरामीटर वी एक व्युत्पन्न होने का एक कार्य है। इससे यह स्पष्ट है कि इस वक्र के किसी भी बिंदु M पर सतह पर खींचे गए वक्र की स्पर्शरेखा की दिशा पूरी तरह से इस बिंदु पर मान से निर्धारित होती है। स्पर्शरेखा तल को परिभाषित करते समय और उसके समीकरण (39) को प्राप्त करते समय, हमने मान लिया कि विचाराधीन बिंदु और उसके आसपास के कार्यों (38) में निरंतर आंशिक व्युत्पन्न होते हैं और समीकरण (39) के कम से कम एक गुणांक बिंदु पर गैर-शून्य होता है। विचाराधीन।