साइन समीकरण के लिए सामान्य सूत्र. सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की मुख्य विधियाँ हैं: समीकरणों को सरलतम बनाना (त्रिकोणमितीय सूत्रों का उपयोग करना), नए चर प्रस्तुत करना और फैक्टरिंग करना। आइए उदाहरणों के साथ उनके उपयोग को देखें। त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान लिखने के प्रारूप पर ध्यान दें।

त्रिकोणमितीय समीकरणों को सफलतापूर्वक हल करने के लिए एक आवश्यक शर्त त्रिकोणमितीय सूत्रों (कार्य 6 का विषय 13) का ज्ञान है।

उदाहरण.

1. समीकरणों को सरलतम में घटाया गया।

1) समीकरण हल करें

समाधान:

उत्तर:

2) समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए

(sinx + cosx) 2 = 1 – synxcosx, खंड से संबंधित।

समाधान:

उत्तर:

2. ऐसे समीकरण जो द्विघात में बदल जाते हैं।

1) समीकरण 2 पाप 2 x – cosx –1 = 0 को हल करें।

समाधान:सूत्र पाप 2 x = 1 – cos 2 x का उपयोग करने पर, हम पाते हैं

उत्तर:

2) समीकरण cos 2x = 1 + 4 cosx को हल करें।

समाधान:सूत्र cos 2x = 2 cos 2 x – 1 का उपयोग करने पर, हम पाते हैं

उत्तर:

3) समीकरण tgx – 2ctgx + 1 = 0 को हल करें

समाधान:

उत्तर:

3. सजातीय समीकरण

1) समीकरण 2sinx – 3cosx = 0 को हल करें

समाधान: मान लीजिए cosx = 0, तो 2sinx = 0 और synx = 0 - इस तथ्य के साथ विरोधाभास है कि पाप 2 x + cos 2 x = 1. इसका मतलब है कि cosx ≠ 0 और हम समीकरण को cosx से विभाजित कर सकते हैं। हम पाते हैं

उत्तर:

2) समीकरण 1 + 7 cos 2 x = 3 syn 2x को हल करें

समाधान:

हम सूत्र 1 = पाप 2 x + cos 2 x और पाप 2x = 2 synxcosx का उपयोग करते हैं, हमें मिलता है

पाप 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
पाप 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

मान लीजिए कि cosx = 0 है, तो पाप 2 x = 0 और पापx = 0 - इस तथ्य के साथ विरोधाभास है कि पाप 2 x + cos 2 x = 1।
इसका मतलब है cosx ≠ 0 और हम समीकरण को cos 2 x से विभाजित कर सकते हैं . हम पाते हैं

टीजी 2 एक्स - 6 टीजीएक्स + 8 = 0
आइए हम tgx = y को निरूपित करें
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
ए) टीजीएक्स = 4, एक्स= आर्कटान4 + 2 के, के
बी) टीजीएक्स = 2, एक्स= आर्कटैन2 + 2 के, के .

उत्तर:आर्कटजी4 + 2 के, आर्कटैन2 + 2 के, के

4. रूप के समीकरण एसिनक्स + बी cosx = स, स≠ 0.

1) समीकरण हल करें.

समाधान:

उत्तर:

5. गुणनखंडन द्वारा हल किए गए समीकरण।

1) समीकरण पाप2x – पापx = 0 को हल करें।

समीकरण का मूल एफ (एक्स) = φ ( एक्स) केवल संख्या 0 के रूप में कार्य कर सकता है। आइए इसे जांचें:

cos 0 = 0 + 1 - समानता सत्य है।

संख्या 0 इस समीकरण का एकमात्र मूल है।

उत्तर: 0.

आप अपनी समस्या का विस्तृत समाधान ऑर्डर कर सकते हैं!!!

एक त्रिकोणमितीय फलन (`sin x, cos x, tan x` या `ctg x`) के चिह्न के नीचे एक अज्ञात युक्त समानता को त्रिकोणमितीय समीकरण कहा जाता है, और यह उनके सूत्र हैं जिन पर हम आगे विचार करेंगे।

सबसे सरल समीकरणों को `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a` कहा जाता है, जहां `x` पाया जाने वाला कोण है, `a` कोई संख्या है। आइए हम उनमें से प्रत्येक के लिए मूल सूत्र लिखें।

1. समीकरण `sin x=a`.

`|a|>1` के लिए इसका कोई समाधान नहीं है।

जब `|ए| \leq 1` में अनंत संख्या में समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. समीकरण `cos x=a`

`|a|>1` के लिए - जैसा कि साइन के मामले में होता है, इसका वास्तविक संख्याओं के बीच कोई समाधान नहीं है।

जब `|ए| \leq 1` में अनंत संख्या में समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

ग्राफ़ में साइन और कोसाइन के लिए विशेष मामले।

3. समीकरण `tg x=a`

`a` के किसी भी मान के लिए अनंत संख्या में समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. समीकरण `ctg x=a`

इसके अलावा `ए` के किसी भी मान के लिए अनंत संख्या में समाधान हैं।

मूल सूत्र: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

तालिका में त्रिकोणमितीय समीकरणों की जड़ों के लिए सूत्र

साइन के लिए:
कोसाइन के लिए:
स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए:
व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन वाले समीकरणों को हल करने के सूत्र:

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की विधियाँ

किसी भी त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने में दो चरण होते हैं:

इसे सरलतम में बदलने की सहायता से;
ऊपर लिखे मूल सूत्रों और तालिकाओं का उपयोग करके प्राप्त सरलतम समीकरण को हल करें।

आइए उदाहरणों का उपयोग करके मुख्य समाधान विधियों को देखें।

बीजगणितीय विधि.

इस पद्धति में एक चर को प्रतिस्थापित करना और उसे एक समानता में प्रतिस्थापित करना शामिल है।

उदाहरण। समीकरण को हल करें: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

प्रतिस्थापन करें: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, फिर `2y^2-3y+1=0`,

हम मूल पाते हैं: `y_1=1, y_2=1/2`, जिससे दो मामले आते हैं:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

उत्तर: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`।

गुणनखंडीकरण।

उदाहरण। समीकरण हल करें: `sin x+cos x=1`.

समाधान। आइए समानता के सभी पदों को बाईं ओर ले जाएँ: `sin x+cos x-1=0`। का उपयोग करते हुए, हम बाईं ओर को रूपांतरित और गुणनखंडित करते हैं:

`sin x - 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

`sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
`cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

उत्तर: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

एक सजातीय समीकरण में कमी

सबसे पहले, आपको इस त्रिकोणमितीय समीकरण को दो रूपों में से एक में कम करना होगा:

`a syn x+b cos x=0` (पहली डिग्री का सजातीय समीकरण) या `a syn^2 x + b syn x cos x +c cos^2 x=0` (दूसरी डिग्री का सजातीय समीकरण)।

फिर दोनों भागों को पहले मामले के लिए `cos x \ne 0` से विभाजित करें, और दूसरे के लिए `cos^2 x \ne 0` से विभाजित करें। हमें `tg x` के लिए समीकरण मिलते हैं: `a tg x+b=0` और `a tg^2 x + b tg x +c =0`, जिन्हें ज्ञात तरीकों का उपयोग करके हल करने की आवश्यकता है।

उदाहरण। समीकरण हल करें: `2sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

समाधान। आइए दाएँ पक्ष को `1=sin^2 x+cos^2 x` के रूप में लिखें:

`2 पाप^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` `sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

यह दूसरी डिग्री का एक सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण है, हम इसके बाएँ और दाएँ पक्षों को `cos^2 x \ne 0` से विभाजित करते हैं, हमें मिलता है:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. आइए प्रतिस्थापन `tg x=t` का परिचय दें, जिसके परिणामस्वरूप `t^2 + t - 2=0` होता है। इस समीकरण की जड़ें `t_1=-2` और `t_2=1` हैं। तब:

`tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
`tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`।

उत्तर। `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

आधे कोण की ओर बढ़ना

उदाहरण। समीकरण हल करें: `11 पाप x - 2 cos x = 10`।

समाधान। आइए दोहरे कोण सूत्रों को लागू करें, जिसके परिणामस्वरूप: `22 पाप (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 पाप^2 x/2=` `10 पाप^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

ऊपर वर्णित बीजगणितीय विधि को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

`tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
`tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`।

उत्तर। `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`।

सहायक कोण का परिचय

त्रिकोणमितीय समीकरण `a syn x + b cos x =c` में, जहां a,b,c गुणांक हैं और x एक चर है, दोनों पक्षों को `sqrt (a^2+b^2)` से विभाजित करें:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) syn x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =`\frac c(sqrt (a^2) ) +बी^2))`.

बाईं ओर के गुणांकों में साइन और कोसाइन के गुण हैं, अर्थात् उनके वर्गों का योग 1 के बराबर है और उनके मॉड्यूल 1 से अधिक नहीं हैं। आइए हम उन्हें इस प्रकार निरूपित करें: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =सी`, फिर:

`cos \varphi पाप x + पाप \varphi cos x =C`।

आइए निम्नलिखित उदाहरण पर करीब से नज़र डालें:

उदाहरण। समीकरण हल करें: `3sin x+4 cos x=2`.

समाधान। समानता के दोनों पक्षों को `sqrt (3^2+4^2)` से विभाजित करें, हमें मिलता है:

`\frac (3 पाप x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 पाप x+4/5 cos x=2/5`.

आइए निरूपित करें `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. चूँकि `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, तो हम `\varphi=arcsin 4/5` को सहायक कोण के रूप में लेते हैं। फिर हम अपनी समानता को इस रूप में लिखते हैं:

`cos \varphi syn x+sin \varphi cos x=2/5`

ज्या के कोणों के योग के सूत्र को लागू करते हुए, हम अपनी समानता को निम्नलिखित रूप में लिखते हैं:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

उत्तर। `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

भिन्नात्मक तर्कसंगत त्रिकोणमितीय समीकरण

ये भिन्नों के साथ समानताएं हैं जिनके अंश और हर में त्रिकोणमितीय कार्य होते हैं।

उदाहरण। प्रश्न हल करें। `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

समाधान। समानता के दाहिने पक्ष को `(1+cos x)` से गुणा और विभाजित करें। परिणामस्वरूप हमें मिलता है:

`\frac ((sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=`\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

यह मानते हुए कि हर शून्य के बराबर नहीं हो सकता, हमें `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` मिलता है।

आइए भिन्न के अंश को शून्य के बराबर करें: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. फिर `sin x=0` या `1-sin x=0`.

`sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
`1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`।

यह देखते हुए कि ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, समाधान हैं `x=2\pi n, n \in Z` और `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

उत्तर। `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`।

त्रिकोणमिति, और विशेष रूप से त्रिकोणमितीय समीकरण, ज्यामिति, भौतिकी और इंजीनियरिंग के लगभग सभी क्षेत्रों में उपयोग किए जाते हैं। पढ़ाई 10वीं कक्षा में शुरू होती है, एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए हमेशा कार्य होते हैं, इसलिए त्रिकोणमितीय समीकरणों के सभी सूत्रों को याद करने का प्रयास करें - वे निश्चित रूप से आपके लिए उपयोगी होंगे!

हालाँकि, आपको उन्हें याद रखने की भी आवश्यकता नहीं है, मुख्य बात सार को समझना और उसे प्राप्त करने में सक्षम होना है। यह उतना कठिन नहीं है जितना लगता है। वीडियो देखकर आप खुद ही देख लीजिए.

सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण समीकरण हैं

क्योंकि (x) = a, पाप (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a

समीकरण cos(x) = a

स्पष्टीकरण और तर्क

समीकरण cosx = a के मूल। कब | ए | > 1 समीकरण का कोई मूल नहीं है, क्योंकि | कॉस्क्स |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 या ए पर< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

चलो | ए |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = क्योंकि x. अंतराल पर, फलन y = cos x 1 से घटकर -1 हो जाता है। लेकिन एक घटता हुआ फलन अपने प्रत्येक मान को अपनी परिभाषा के क्षेत्र के केवल एक बिंदु पर लेता है, इसलिए समीकरण cos x = a का इस अंतराल पर केवल एक मूल है, जो आर्ककोसाइन की परिभाषा के अनुसार, इसके बराबर है: x 1 = आर्ककोस ए (और इस मूल के लिए कॉस एक्स = ए)।

कोसाइन एक सम फलन है, इसलिए अंतराल पर [-n; 0] समीकरण cos x = और इसका केवल एक ही मूल है - x 1 के विपरीत संख्या, अर्थात

x 2 = -आर्ककोस ए.

इस प्रकार, अंतराल पर [-n; p] (लंबाई 2p) समीकरण cos x = a | के साथ ए |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

फ़ंक्शन y = cos x 2n की अवधि के साथ आवधिक है, इसलिए अन्य सभी मूल 2n (n € Z) द्वारा पाए गए मूलों से भिन्न हैं। हमें समीकरण cos x = a कब के मूलों के लिए निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है

x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.

समीकरण cosx = a को हल करने के विशेष मामले।

समीकरण cos x = a कब के मूलों के लिए विशेष संकेतन याद रखना उपयोगी है

a = 0, a = -1, a = 1, जिसे संदर्भ के रूप में यूनिट सर्कल का उपयोग करके आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।

चूँकि कोज्या इकाई वृत्त के संगत बिंदु के भुज के बराबर है, हम उस cos x = 0 को प्राप्त करते हैं यदि और केवल यदि इकाई वृत्त का संगत बिंदु बिंदु A या बिंदु B है।

इसी प्रकार, cos x = 1 यदि और केवल यदि इकाई वृत्त का संगत बिंदु बिंदु C है, इसलिए,

x = 2πп, k € Z.

इसके अलावा cos x = -1 यदि और केवल यदि इकाई वृत्त का संगत बिंदु बिंदु D है, तो x = n + 2nn,

समीकरण पाप(x) = ए

स्पष्टीकरण और तर्क

समीकरण के मूल synx = a. कब | ए | > 1 समीकरण का कोई मूल नहीं है, क्योंकि | सिनक्स |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 या ए पर< -1 не пересекает график функции y = sinx).

आपकी गोपनीयता बनाए रखना हमारे लिए महत्वपूर्ण है। इस कारण से, हमने एक गोपनीयता नीति विकसित की है जो बताती है कि हम आपकी जानकारी का उपयोग और भंडारण कैसे करते हैं। कृपया हमारी गोपनीयता प्रथाओं की समीक्षा करें और यदि आपके कोई प्रश्न हों तो हमें बताएं।

व्यक्तिगत जानकारी का संग्रहण एवं उपयोग

व्यक्तिगत जानकारी से तात्पर्य उस डेटा से है जिसका उपयोग किसी विशिष्ट व्यक्ति की पहचान करने या उससे संपर्क करने के लिए किया जा सकता है।

जब भी आप हमसे संपर्क करेंगे तो आपसे किसी भी समय आपकी व्यक्तिगत जानकारी प्रदान करने के लिए कहा जा सकता है।

नीचे कुछ उदाहरण दिए गए हैं कि हम किस प्रकार की व्यक्तिगत जानकारी एकत्र कर सकते हैं और हम ऐसी जानकारी का उपयोग कैसे कर सकते हैं।

कौन सी निजी जानकारी हम एकत्र करते हैं:

जब आप साइट पर कोई आवेदन जमा करते हैं, तो हम आपका नाम, फोन नंबर, ईमेल पता आदि सहित विभिन्न जानकारी एकत्र कर सकते हैं।

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कैसे करते हैं:

हमारे द्वारा एकत्र की गई व्यक्तिगत जानकारी हमें अनूठे प्रस्तावों, प्रचारों और अन्य घटनाओं और आगामी कार्यक्रमों के साथ आपसे संपर्क करने की अनुमति देती है।
समय-समय पर, हम महत्वपूर्ण सूचनाएं और संचार भेजने के लिए आपकी व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग कर सकते हैं।
हम व्यक्तिगत जानकारी का उपयोग आंतरिक उद्देश्यों के लिए भी कर सकते हैं, जैसे कि हमारे द्वारा प्रदान की जाने वाली सेवाओं को बेहतर बनाने और आपको हमारी सेवाओं के संबंध में सिफारिशें प्रदान करने के लिए ऑडिट, डेटा विश्लेषण और विभिन्न शोध करना।
यदि आप किसी पुरस्कार ड्रा, प्रतियोगिता या इसी तरह के प्रचार में भाग लेते हैं, तो हम ऐसे कार्यक्रमों को संचालित करने के लिए आपके द्वारा प्रदान की गई जानकारी का उपयोग कर सकते हैं।

तृतीय पक्षों को सूचना का प्रकटीकरण

हम आपसे प्राप्त जानकारी को तीसरे पक्ष को प्रकट नहीं करते हैं।

अपवाद:

यदि आवश्यक हो - कानून, न्यायिक प्रक्रिया के अनुसार, कानूनी कार्यवाही में, और/या सार्वजनिक अनुरोधों या रूसी संघ में सरकारी निकायों के अनुरोध के आधार पर - अपनी व्यक्तिगत जानकारी का खुलासा करने के लिए। यदि हम यह निर्धारित करते हैं कि सुरक्षा, कानून प्रवर्तन, या अन्य सार्वजनिक महत्व के उद्देश्यों के लिए ऐसा प्रकटीकरण आवश्यक या उचित है, तो हम आपके बारे में जानकारी का खुलासा भी कर सकते हैं।
पुनर्गठन, विलय या बिक्री की स्थिति में, हम एकत्र की गई व्यक्तिगत जानकारी को लागू उत्तराधिकारी तीसरे पक्ष को हस्तांतरित कर सकते हैं।

व्यक्तिगत जानकारी की सुरक्षा

हम आपकी व्यक्तिगत जानकारी को हानि, चोरी और दुरुपयोग के साथ-साथ अनधिकृत पहुंच, प्रकटीकरण, परिवर्तन और विनाश से बचाने के लिए प्रशासनिक, तकनीकी और भौतिक सहित - सावधानियां बरतते हैं।

कंपनी स्तर पर आपकी गोपनीयता का सम्मान करना

यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपकी व्यक्तिगत जानकारी सुरक्षित है, हम अपने कर्मचारियों को गोपनीयता और सुरक्षा मानकों के बारे में बताते हैं और गोपनीयता प्रथाओं को सख्ती से लागू करते हैं।

वीडियो पाठ्यक्रम "गेट ए ए" में 60-65 अंकों के साथ गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा को सफलतापूर्वक पास करने के लिए आवश्यक सभी विषय शामिल हैं। गणित में प्रोफ़ाइल एकीकृत राज्य परीक्षा के सभी कार्य 1-13 पूर्णतः। गणित में बेसिक यूनिफाइड स्टेट परीक्षा उत्तीर्ण करने के लिए भी उपयुक्त। यदि आप 90-100 अंकों के साथ एकीकृत राज्य परीक्षा उत्तीर्ण करना चाहते हैं, तो आपको भाग 1 को 30 मिनट में और गलतियों के बिना हल करना होगा!

ग्रेड 10-11 के साथ-साथ शिक्षकों के लिए एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए तैयारी पाठ्यक्रम। गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा के भाग 1 (पहली 12 समस्याएं) और समस्या 13 (त्रिकोणमिति) को हल करने के लिए आपको जो कुछ भी चाहिए वह सब कुछ। और यह एकीकृत राज्य परीक्षा में 70 अंक से अधिक है, और न तो 100 अंक वाला छात्र और न ही मानविकी का छात्र इनके बिना कर सकता है।

सभी आवश्यक सिद्धांत. एकीकृत राज्य परीक्षा के त्वरित समाधान, नुकसान और रहस्य। FIPI टास्क बैंक से भाग 1 के सभी मौजूदा कार्यों का विश्लेषण किया गया है। पाठ्यक्रम पूरी तरह से एकीकृत राज्य परीक्षा 2018 की आवश्यकताओं का अनुपालन करता है।

पाठ्यक्रम में 5 बड़े विषय हैं, प्रत्येक विषय 2.5 घंटे का है। प्रत्येक विषय प्रारंभ से, सरल और स्पष्ट रूप से दिया गया है।

सैकड़ों एकीकृत राज्य परीक्षा कार्य। शब्द समस्याएँ और संभाव्यता सिद्धांत। समस्याओं को हल करने के लिए सरल और याद रखने में आसान एल्गोरिदम। ज्यामिति. सिद्धांत, संदर्भ सामग्री, सभी प्रकार के एकीकृत राज्य परीक्षा कार्यों का विश्लेषण। स्टीरियोमेट्री। पेचीदा समाधान, उपयोगी चीट शीट, स्थानिक कल्पना का विकास। खरोंच से समस्या तक त्रिकोणमिति 13. रटने के बजाय समझना। जटिल अवधारणाओं की स्पष्ट व्याख्या. बीजगणित. मूल, घात और लघुगणक, कार्य और व्युत्पन्न। एकीकृत राज्य परीक्षा के भाग 2 की जटिल समस्याओं को हल करने का आधार।