वीडियो पाठ “मॉड्यूलर रैखिक असमानता का ग्राफिकल समाधान। रैखिक असमानताओं की प्रणालियों को ग्राफिक रूप से हल करना

मान लीजिए कि दो चरों वाली एक रैखिक असमानता दी गई है और

(1)

यदि मान और समतल पर बिंदुओं के निर्देशांक के रूप में माना जाता है, तो समतल पर बिंदुओं का वह समूह जिसके निर्देशांक असमानता (1) को संतुष्ट करते हैं, इस असमानता के समाधान का क्षेत्र कहलाता है। नतीजतन, असमानता के समाधान का क्षेत्र (1) एक सीमा सीधी रेखा वाला एक अर्ध-तल है
.

उदाहरण 1.

.

समाधान। एक सीधी रेखा बनाना
दो बिंदुओं द्वारा, उदाहरण के लिए, निर्देशांक अक्षों (0; 4) और (6; 0) के साथ प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा। यह रेखा समतल को दो भागों में विभाजित करती है, अर्थात्। दो आधे तलों में। हम समतल का कोई भी बिंदु लेते हैं जो निर्मित रेखा पर नहीं है। यदि किसी बिंदु के निर्देशांक दी गई असमानता को संतुष्ट करते हैं, तो समाधान क्षेत्र वह आधा तल है जिसमें यह बिंदु स्थित है। यदि हमें गलत संख्यात्मक असमानता मिलती है, तो समाधान क्षेत्र वह अर्ध-तल है जिससे यह बिंदु संबंधित नहीं है। आमतौर पर नियंत्रण के लिए बिंदु (0; 0) लिया जाता है।

आइए स्थानापन्न करें
और
दी गई असमानता के लिए. हम पाते हैं
. नतीजतन, अर्ध-तल "शून्य की ओर" इस ​​असमानता के समाधान का क्षेत्र है (चित्र 1 का छायांकित भाग)।

उदाहरण 2.असमानता द्वारा परिभाषित अर्ध-तल ज्ञात कीजिए

.

समाधान। एक सीधी रेखा बनाना
, उदाहरण के लिए, अंक (0; 0) और (1; 3) द्वारा। क्योंकि सीधी रेखा निर्देशांक के मूल बिंदु (0; 0) से होकर गुजरती है, तो आप इसे नियंत्रण के लिए नहीं ले सकते। उदाहरण के लिए, बिंदु (- 2; 0) लें और इसके निर्देशांक को दी गई असमानता में रखें। हम पाते हैं
. ये सच नहीं है. इसका मतलब यह है कि इस असमानता के समाधान का क्षेत्र वह आधा-तल होगा जिससे नियंत्रण बिंदु संबंधित नहीं है (चित्र 2 का छायांकित भाग)।

2. रैखिक असमानताओं की प्रणाली का समाधान डोमेन।

उदाहरण।असमानताओं की प्रणाली का समाधान क्षेत्र खोजें:

समाधान। हम पहली असमानता (चित्र 1) और दूसरी असमानता (चित्र 2) के समाधान का क्षेत्र ढूंढते हैं।

विमान के उस भाग के सभी बिंदु जहां पर हैचिंग आरोपित है, पहली और दूसरी दोनों असमानताओं को संतुष्ट करेगा। इस प्रकार, असमानताओं की दी गई प्रणाली का समाधान क्षेत्र प्राप्त होता है (चित्र 3)।

यदि हम असमानताओं की दी गई प्रणाली में शर्तें जोड़ते हैं
और
, फिर असमानताओं की प्रणाली का समाधान डोमेन
केवल I समन्वय तिमाही (चित्र 4) में स्थित होगा।

रैखिक असमानताओं की प्रणाली का समाधान खोजने का सिद्धांत प्रणाली में शामिल असमानताओं की संख्या पर निर्भर नहीं करता है।

टिप्पणी : यदि कोई स्वीकार्य समाधान क्षेत्र (एडीए) मौजूद है, तो यह एक बंद या खुला उत्तल बहुभुज है।

3. समस्याओं को हल करने की ग्राफिकल विधि के लिए एल्गोरिदम

यदि किसी रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या में केवल दो चर हैं, तो इसे निम्नलिखित ऑपरेशन करके ग्राफ़िक रूप से हल किया जा सकता है:

उदाहरण।एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को ग्राफिक रूप से हल करें

अधिकतम

समाधान। व्यवस्था की तीसरी और चौथी बाधाएँ दोहरी असमानताएँ हैं; आइए हम उन्हें ऐसी समस्याओं के लिए अधिक परिचित रूप में रूपांतरित करें
, यह
और
, वह। परिणामी असमानताओं में से पहली
(या
) गैर-नकारात्मकता की स्थिति को संदर्भित करता है, और दूसरा
प्रतिबंधों की एक प्रणाली के लिए. वैसे ही,
यह
और
.

वह। समस्या रूप ले लेगी

अधिकतम

,

असमानता चिह्नों को सटीक समानता चिह्नों से प्रतिस्थापित करते हुए, हम सीधी रेखा समीकरणों का उपयोग करके स्वीकार्य समाधानों का एक क्षेत्र बनाते हैं:

;
;
;
.

असमानताओं का समाधान क्षेत्र एक पंचकोण है एबीसीडीई.

आइए एक वेक्टर बनाएं
. वेक्टर के लंबवत मूल के माध्यम से एक समतल रेखा खींचें . और फिर हम इसे वेक्टर की दिशा में अपने समानांतर घुमाएंगे व्यवहार्य समाधानों के क्षेत्र से बाहर निकलने के बिंदु तक। यही बात होगी साथ. आइए पहली और चौथी पंक्तियों के समीकरणों वाली प्रणाली को हल करके इस बिंदु के निर्देशांक ज्ञात करें:

.

आइए बिंदु के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करें साथउद्देश्य फ़ंक्शन में और इसका अधिकतम मान ज्ञात करें
उदाहरण।लेवल लाइनें बनाएं
और
एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के लिए:

अधिकतम (मिन)

समाधान। व्यवहार्य समाधानों का क्षेत्र एक खुला क्षेत्र है (चित्र 6)। समतल रेखा
एक बिंदु से होकर गुजरता है में. समारोह जेडइस बिंदु पर न्यूनतम है। समतल रेखा
का निर्माण नहीं किया जा सकता है, क्योंकि व्यवहार्य समाधान के क्षेत्र से कोई निकास बिंदु नहीं है, इसका मतलब यह है कि
.

स्वतंत्र कार्य के लिए कार्य.

असमानताओं की प्रणाली का समाधान क्षेत्र खोजें:

ए) बी)

एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को ग्राफिक रूप से हल करें

मिन

एक आर्थिक-गणितीय मॉडल बनाएं और ग्राफिक रूप से एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को हल करें

कंपनी दो प्रकार के उत्पाद बनाती है, ए और बी। प्रत्येक प्रकार के उत्पाद दो मशीनों (I और II) पर संसाधित होते हैं। मशीनों पर प्रत्येक प्रकार के एक उत्पाद का प्रसंस्करण समय, प्रति कार्य शिफ्ट में मशीनों का परिचालन समय, प्रकार ए और प्रकार बी के एक उत्पाद की बिक्री से कंपनी का लाभ तालिका में सूचीबद्ध है:

बिक्री बाजार के एक अध्ययन से पता चला है कि प्रकार बी के उत्पादों की दैनिक मांग कभी भी प्रकार ए के उत्पादों की मांग 40 इकाइयों से अधिक नहीं होती है, और प्रकार ए के उत्पादों की मांग प्रति दिन 90 इकाइयों से अधिक नहीं होती है।

उस उत्पाद उत्पादन योजना का निर्धारण करें जो सबसे अधिक लाभ प्रदान करती है।

एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या को ग्राफ़िक रूप से हल करना, रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं का विहित रूप भी देखें

ऐसी समस्या के लिए बाधाओं की प्रणाली में दो चर में असमानताएं शामिल हैं:
और वस्तुनिष्ठ फलन का स्वरूप होता है एफ = सी 1 एक्स + सी 2 यजिसे अधिकतम करने की आवश्यकता है।

आइए प्रश्न का उत्तर दें: संख्याओं के कौन से जोड़े ( एक्स; य) असमानताओं की प्रणाली के समाधान हैं, अर्थात क्या वे प्रत्येक असमानता को एक साथ संतुष्ट करते हैं? दूसरे शब्दों में, किसी सिस्टम को ग्राफिक रूप से हल करने का क्या मतलब है?
सबसे पहले आपको यह समझने की आवश्यकता है कि दो अज्ञात के साथ एक रैखिक असमानता का समाधान क्या है।
दो अज्ञात के साथ एक रैखिक असमानता को हल करने का अर्थ है अज्ञात मूल्यों के सभी जोड़े निर्धारित करना जिनके लिए असमानता मौजूद है।
उदाहरणार्थ, असमानता 3 एक्स – 5य≥ 42 जोड़े संतुष्ट ( एक्स , य) : (100, 2); (3, -10), आदि। कार्य ऐसे सभी जोड़ों को ढूंढना है।
आइए दो असमानताओं पर विचार करें: कुल्हाड़ी + द्वारा≤ सी, कुल्हाड़ी + द्वारा≥ सी. सीधा कुल्हाड़ी + द्वारा = सीसमतल को दो अर्ध-तलों में विभाजित करता है ताकि उनमें से एक के बिंदु के निर्देशांक असमानता को संतुष्ट कर सकें कुल्हाड़ी + द्वारा >सी, और दूसरी असमानता कुल्हाड़ी + +द्वारा <सी.
दरअसल, आइए हम समन्वय के साथ एक बिंदु लें एक्स = एक्स 0 ; फिर एक बिंदु एक रेखा पर स्थित है और एक भुज है एक्स 0, एक कोटि है

निश्चितता के लिए चलो ए< 0, बी>0, सी>0. एब्सिस्सा के साथ सभी बिंदु एक्स 0 ऊपर पड़ा हुआ है पी(उदाहरण के लिए, डॉट एम), पास होना वाई एम>य 0 , और बिंदु के नीचे के सभी बिंदु पी, एब्सिस्सा के साथ एक्स 0 , है वाई एन<य 0 . तब से एक्स 0 एक मनमाना बिंदु है, तो रेखा के एक तरफ हमेशा बिंदु होंगे जिसके लिए कुल्हाड़ी+ द्वारा > सी, एक आधा-तल बनाना, और दूसरी तरफ - जिसके लिए बिंदु कुल्हाड़ी + द्वारा< सी.

चित्र 1

अर्ध-तल में असमानता का चिह्न संख्याओं पर निर्भर करता है ए, बी , सी.
इसका तात्पर्य दो चरों में रैखिक असमानताओं की प्रणालियों को ग्राफिक रूप से हल करने के लिए निम्नलिखित विधि से है। आपको जिस सिस्टम की आवश्यकता है उसे हल करने के लिए:

1. प्रत्येक असमानता के लिए, इस असमानता के अनुरूप समीकरण लिखें।
2. सीधी रेखाओं का निर्माण करें जो समीकरणों द्वारा निर्दिष्ट कार्यों के ग्राफ़ हों।
3. प्रत्येक पंक्ति के लिए, अर्ध-तल निर्धारित करें, जो असमानता द्वारा दिया गया है। ऐसा करने के लिए, एक मनमाना बिंदु लें जो एक रेखा पर नहीं है और उसके निर्देशांक को असमानता में प्रतिस्थापित करें। यदि असमानता सत्य है, तो चयनित बिंदु वाला आधा तल मूल असमानता का समाधान है। यदि असमानता झूठी है, तो रेखा के दूसरी ओर का आधा तल इस असमानता के समाधान का समूह है।
4. असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने के लिए, सभी अर्ध-तलों के प्रतिच्छेदन का क्षेत्र ज्ञात करना आवश्यक है जो प्रणाली की प्रत्येक असमानता का समाधान है।

यह क्षेत्र खाली हो सकता है, तब असमानताओं की प्रणाली का कोई समाधान नहीं है और यह असंगत है। में अन्यथाकहा जाता है कि व्यवस्था सहयोगी है।
समाधानों की एक सीमित संख्या या अनंत संख्या हो सकती है। यह क्षेत्र बंद बहुभुज या असीमित हो सकता है।

आइए तीन प्रासंगिक उदाहरण देखें।

उदाहरण 1. सिस्टम को आलेखीय रूप से हल करें:
एक्स + य - 1 ≤ 0;
–2एक्स - 2य + 5 ≤ 0.

• असमानताओं के अनुरूप समीकरण x+y–1=0 और –2x–2y+5=0 पर विचार करें;
• आइए इन समीकरणों द्वारा दी गई सीधी रेखाएँ बनाएँ।

चित्र 2

आइए हम असमानताओं द्वारा परिभाषित अर्ध-तलों को परिभाषित करें। आइए एक मनमाना बिंदु लें, मान लीजिए (0; 0)। आइए विचार करें एक्स+ y- 1 0, बिंदु (0; 0) को प्रतिस्थापित करें: 0 + 0 - 1 ≤ 0। इसका मतलब है कि आधे तल में जहां बिंदु (0; 0) स्थित है, एक्स + य – 1 ≤ 0, यानी रेखा के नीचे स्थित आधा तल पहली असमानता का समाधान है। इस बिंदु (0; 0) को दूसरे में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: -2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, यानी। आधे तल में जहां बिंदु (0; 0) स्थित है, -2 एक्स – 2य+ 5≥ 0, और हमसे पूछा गया कि -2 कहाँ है एक्स – 2य+ 5 ≤ 0, इसलिए, दूसरे आधे तल में - सीधी रेखा के ऊपर वाले में।
आइए इन दो अर्ध-तलों का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें। रेखाएँ समानांतर हैं, इसलिए तल कहीं भी प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, जिसका अर्थ है कि इन असमानताओं की प्रणाली का कोई समाधान नहीं है और यह असंगत है।

उदाहरण 2. असमानताओं की प्रणाली का ग्राफ़िक रूप से समाधान खोजें:

चित्र तीन
1. आइए असमानताओं के अनुरूप समीकरण लिखें और सीधी रेखाएं बनाएं।
एक्स + 2य– 2 = 0

एक्स	2	0
य	0	1

य – एक्स – 1 = 0

एक्स	0	2
य	1	3

य + 2 = 0;
य = –2.
2. बिंदु (0; 0) को चुनने के बाद, हम अर्ध-तलों में असमानताओं के चिह्न निर्धारित करते हैं:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, अर्थात। एक्स + 2य– सीधी रेखा के नीचे आधे तल में 2 ≤ 0;
0 - 0 - 1 ≤ 0, अर्थात्। य –एक्स- सीधी रेखा के नीचे आधे तल में 1 ≤ 0;
0 + 2 =2 ≥ 0, अर्थात यसीधी रेखा के ऊपर आधे तल में + 2 ≥ 0।
3. इन तीन अर्ध-तलों का प्रतिच्छेदन एक ऐसा क्षेत्र होगा जो एक त्रिभुज है। संबंधित रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के रूप में क्षेत्र के शीर्षों को खोजना कठिन नहीं है


इस प्रकार, ए(–3; –2), में(0; 1), साथ(6; –2).

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें जिसमें सिस्टम का परिणामी समाधान डोमेन सीमित नहीं है।

प्रणाली में दो चरों में असमानताएँ शामिल हैं:

आपको जिस सिस्टम की आवश्यकता है उसे हल करने के लिए:

1. प्रत्येक असमानता के लिए, इस असमानता के अनुरूप समीकरण लिखें।

2. सीधी रेखाओं का निर्माण करें, जो समीकरणों द्वारा निर्दिष्ट कार्यों के ग्राफ़ हैं।

3. प्रत्येक पंक्ति के लिए, अर्ध-तल निर्धारित करें, जो असमानता द्वारा दिया गया है। ऐसा करने के लिए, एक मनमाना बिंदु लें जो एक रेखा पर नहीं है और उसके निर्देशांक को असमानता में प्रतिस्थापित करें। यदि असमानता सत्य है, तो चयनित बिंदु वाला आधा तल मूल असमानता का समाधान है। यदि असमानता झूठी है, तो रेखा के दूसरी ओर का आधा तल इस असमानता के समाधान का समूह है।

4. असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने के लिए, सभी अर्ध-तलों के प्रतिच्छेदन का क्षेत्र ज्ञात करना आवश्यक है जो प्रणाली की प्रत्येक असमानता का समाधान है।

यह क्षेत्र खाली हो सकता है, तब असमानताओं की प्रणाली का कोई समाधान नहीं है और यह असंगत है। अन्यथा सिस्टम को सुसंगत कहा जाता है। समाधानों की एक सीमित संख्या या अनंत संख्या हो सकती है। यह क्षेत्र बंद बहुभुज या असीमित हो सकता है।

उदाहरण 3.सिस्टम को ग्राफिक रूप से हल करें:

असमानताओं के संगत समीकरण x + y–1 = 0 और –2x – 2y + 5 = 0 पर विचार करें। आइए इन समीकरणों द्वारा दी गई सीधी रेखाएँ बनाएँ (चित्र 3)।

चित्र 3 - सीधी रेखाओं की छवि

आइए हम असमानताओं द्वारा परिभाषित अर्ध-तलों को परिभाषित करें। आइए एक मनमाना बिंदु लें, मान लीजिए (0; 0)। x+ y– 1 ≤ 0 पर विचार करें, बिंदु (0; 0) को प्रतिस्थापित करें: 0 + 0 – 1 ≤ 0. इसका मतलब है कि आधे तल में जहां बिंदु (0; 0) स्थित है, x + y – 1 ≤ 0 , यानी . रेखा के नीचे स्थित आधा तल पहली असमानता का समाधान है। इस बिंदु (0; 0) को दूसरे में प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है: -2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, यानी। आधे तल में जहां बिंदु (0; 0) स्थित है, -2x - 2y + 5≥ 0, और हमसे पूछा गया कि -2x - 2y + 5 ≤ 0 कहां है, इसलिए, दूसरे आधे तल में - एक में सीधी रेखा के ऊपर.

आइए इन दो अर्ध-तलों का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें। रेखाएँ समानांतर हैं, इसलिए तल कहीं भी प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, जिसका अर्थ है कि इन असमानताओं की प्रणाली का कोई समाधान नहीं है और यह असंगत है।

उदाहरण 4.असमानताओं की प्रणाली का ग्राफिक रूप से समाधान खोजें:

1. आइए असमानताओं के अनुरूप समीकरण लिखें और सीधी रेखाएं बनाएं (चित्र 4)।

x + 2y- 2 = 0 x 2 0

वाई - एक्स - 1 = 0 एक्स 0 2

y + 2 = 0; y = -2.

चित्र 4 - सीधी रेखाओं की छवि

2. बिंदु (0; 0) को चुनने के बाद, हम अर्ध-तलों में असमानताओं के चिह्न निर्धारित करते हैं:

0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, अर्थात्। x + 2y- 2 ≤ 0 सीधी रेखा के नीचे आधे तल में;

0 - 0 - 1 ≤ 0, अर्थात्। y –x– 1 ≤ 0 सीधी रेखा के नीचे आधे तल में;

0 + 2 =2 ≥ 0, अर्थात सीधी रेखा के ऊपर आधे तल में y + 2 ≥ 0।

3. इन तीन अर्ध-तलों का प्रतिच्छेदन एक ऐसा क्षेत्र होगा जो एक त्रिभुज है। संबंधित रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के रूप में क्षेत्र के शीर्षों को खोजना कठिन नहीं है

इस प्रकार, A(-3; -2), B(0; 1), C(6; -2)।

आइए एक और उदाहरण पर विचार करें जिसमें सिस्टम का परिणामी समाधान डोमेन असीमित है।

उदाहरण 5.सिस्टम को ग्राफिक रूप से हल करें

आइए असमानताओं के अनुरूप समीकरण लिखें और सीधी रेखाएं बनाएं (चित्र 5)।

चित्र 5 - सीधी रेखाओं की छवि

एक्स + वाई – 1 = 0 x 0 1

वाई - एक्स - 1 = 0 एक्स 0-1

आइए हम अर्ध-तलों में चिह्नों को परिभाषित करें। आइए बिंदु चुनें (0; 0):

0 - 0 - 1 ≤ 0, अर्थात्। y – x – 1 ≤ 0 सीधी रेखा के नीचे;

0 + 0 – 1 ≤ 0, अर्थात x + y – 1 ≤ 0 सीधी रेखा के नीचे।

दो अर्ध-तलों का प्रतिच्छेदन एक कोण है जिसका शीर्ष बिंदु A(0;1) पर है। यह असीमित क्षेत्र असमानताओं की मूल व्यवस्था का समाधान है।

होने देना एफ(एक्स,वाई)और जी(एक्स, वाई)- चर के साथ दो अभिव्यक्तियाँ एक्सऔर परऔर दायरा एक्स. फिर रूप की असमानताएँ एफ(एक्स, वाई) > जी(एक्स, वाई)या एफ(एक्स, वाई) < जी(एक्स, वाई)बुलाया दो चर के साथ असमानता .

चर का अर्थ एक्स, वाईबहुतों से एक्स, जिस पर असमानता वास्तविक संख्यात्मक असमानता में बदल जाती है, इसे कहा जाता है फ़ैसला और नामित किया गया है (एक्स, वाई). असमानता का समाधान करें - इसका मतलब है ऐसे कई जोड़े ढूंढना।

यदि संख्याओं का प्रत्येक जोड़ा (एक्स, वाई)असमानता के समाधान के सेट से, बिंदु का मिलान करें एम(एक्स, वाई), हम इस असमानता द्वारा परिभाषित विमान पर बिंदुओं का सेट प्राप्त करते हैं। वे उसे बुलाते हैं इस असमानता का ग्राफ . असमानता का ग्राफ आमतौर पर एक समतल पर एक क्षेत्र होता है।

असमानता के समाधान के सेट को चित्रित करना एफ(एक्स, वाई) > जी(एक्स, वाई), निम्नानुसार आगे बढ़ें। सबसे पहले, असमानता चिह्न को समान चिह्न से बदलें और एक ऐसी रेखा खोजें जिसमें समीकरण हो एफ(एक्स,वाई) = जी(एक्स,वाई). यह रेखा विमान को कई भागों में विभाजित करती है। इसके बाद, प्रत्येक भाग में एक बिंदु लेना और यह जांचना पर्याप्त है कि इस बिंदु पर असमानता संतुष्ट है या नहीं एफ(एक्स, वाई) > जी(एक्स, वाई). यदि इसे इस बिंदु पर निष्पादित किया जाता है, तो इसे उस पूरे भाग में निष्पादित किया जाएगा जहां यह बिंदु स्थित है। ऐसे भागों को मिलाकर हमें कई समाधान प्राप्त होते हैं।

काम। य > एक्स.

समाधान।सबसे पहले, हम असमानता चिह्न को समान चिह्न से प्रतिस्थापित करते हैं और एक आयताकार समन्वय प्रणाली में एक रेखा बनाते हैं जिसमें समीकरण होता है य = एक्स.

यह रेखा समतल को दो भागों में विभाजित करती है। इसके बाद प्रत्येक भाग में एक बिंदु लें और जांचें कि इस बिंदु पर असमानता संतुष्ट है या नहीं य > एक्स.

काम।असमानता को ग्राफिक रूप से हल करें
एक्स 2 + पर 2 £25.

चावल। 18.

समाधान।सबसे पहले, असमानता चिह्न को समान चिह्न से बदलें और एक रेखा खींचें एक्स 2 + पर 2 = 25. यह एक वृत्त है जिसका केंद्र मूल बिंदु पर है और त्रिज्या 5 है। परिणामी वृत्त समतल को दो भागों में विभाजित करता है। असमानता की संतुष्टि की जाँच करना एक्स 2 + पर 2 £25 प्रत्येक भाग में, हम पाते हैं कि ग्राफ़ एक वृत्त पर बिंदुओं और वृत्त के अंदर एक समतल के भागों का एक समूह है।

मान लीजिए दो असमानताएँ दी गई हैं एफ 1(एक्स, वाई) > जी 1(एक्स, वाई)और एफ 2(एक्स, वाई) > जी 2(एक्स, वाई).

दो चरों वाली असमानताओं के समुच्चय की प्रणालियाँ

असमानताओं की प्रणाली का प्रतिनिधित्व करता है अपने आप को इन असमानताओं का संयोजन. सिस्टम समाधान हर अर्थ है (एक्स, वाई), जो प्रत्येक असमानता को वास्तविक संख्यात्मक असमानता में बदल देता है। अनेक समाधान प्रणाली असमानताएँ किसी दिए गए सिस्टम को बनाने वाली असमानताओं के समाधान के सेट का प्रतिच्छेदन है।

असमानताओं का समूह का प्रतिनिधित्व करता है अपने आप को इनका विच्छेदन असमानता समाधान सेट करें हर अर्थ है (एक्स, वाई), जो असमानताओं के सेट में से कम से कम एक को वास्तविक संख्यात्मक असमानता में परिवर्तित करता है। अनेक समाधान समग्रता असमानताओं के समाधान के सेट का एक संघ है जो एक सेट बनाता है।

काम।असमानताओं की प्रणाली को ग्राफिक रूप से हल करें

समाधान। वाई = एक्सऔर एक्स 2 + पर 2 = 25. हम सिस्टम की प्रत्येक असमानता को हल करते हैं।

सिस्टम का ग्राफ़ विमान पर बिंदुओं का समूह होगा जो पहली और दूसरी असमानताओं के समाधान के सेट का प्रतिच्छेदन (डबल हैचिंग) है।

काम।असमानताओं के एक सेट को आलेखीय रूप से हल करें

समाधान।सबसे पहले, हम असमानता चिह्न को समान चिह्न से प्रतिस्थापित करते हैं और एक समन्वय प्रणाली में रेखाएँ खींचते हैं वाई = एक्स+ 4 और एक्स 2 + पर 2 = 16. जनसंख्या में प्रत्येक असमानता को हल करें। जनसंख्या का ग्राफ़ समतल पर बिंदुओं का एक समूह होगा, जो पहली और दूसरी असमानताओं के समाधान के सेट का संघ है।

स्वतंत्र कार्य के लिए व्यायाम

1. रेखांकन से असमानताओं को हल करें: ए) पर> 2एक्स; बी) पर< 2एक्स + 3;

वी) एक्स 2+ वाई 2 >9; जी) एक्स 2+ वाई 2 £4.

2. असमानताओं की ग्राफिक प्रणाली को हल करें:

ए) बी)

असमानताओं का अनुमानित समाधान.

एक अज्ञात के साथ असमानताओं का चित्रमय समाधान।

दो अज्ञात के साथ असमानताओं की प्रणालियों का चित्रमय समाधान।

समाधानों का प्रतिच्छेदन।

फ़ंक्शंस का ग्राफ़िक प्रतिनिधित्व अनुमति देता है लगभगतय करनाके साथ असमानताएं एक अज्ञात और असमानताओं की प्रणालीएक और दो अज्ञात. एक अज्ञात के साथ असमानता को ग्राफ़िक रूप से हल करना, इसके सभी सदस्यों को एक भाग में स्थानांतरित करना आवश्यक है, अर्थात।ई . नेतृत्व करने के लिए:

एफ ( एक्स ) > 0 ,

और फ़ंक्शन को प्लॉट करेंवाई = एफ(एक्स ). इसके बा, निर्मित ग्राफ़ का उपयोग करके, आप पा सकते हैं फ़ंक्शन शून्य(देखें), जो अक्ष को विभाजित करेगाएक्सकई अंतरालों के लिए. एक्स, अब, इसके आधार पर, हम अंतराल निर्धारित करते हैंजिसके अंदर फ़ंक्शन चिह्न असमानता चिह्न से मेल खाता है। उदाहरण के लिए,हमारे फ़ंक्शन के शून्य:ए औरबी (चित्र 30)।फिर ग्राफ से यह स्पष्ट है कि जिसके अंतर्गत अंतराल (एक्स ) > 0: एक्स < हमारे फ़ंक्शन के शून्य:ए एक्स > औरएफ (उन्हें बोल्ड तीरों से हाइलाइट किया गया है)। यह स्पष्ट है कि संकेत > < , .

यहाँ सशर्त है; इसके स्थान पर कोई अन्य भी हो सकता है: कोअसमानताओं की प्रणाली को आलेखीय रूप से हल करें साथई एक अज्ञात, आपको उनमें से प्रत्येक में सभी शर्तों को एक भाग में स्थानांतरित करने की आवश्यकता है, यानी।

. असमानताओं को स्वरूप में लाएँ:और फ़ंक्शन ग्राफ़ बनाएं ( एक्स ), वाई = एफ = य (एक्स ) , ... , वाई = एफ = जी (एक्स). एच प्रत्येकइन असमानताओं को ऊपर वर्णित ग्राफ़िकल विधि द्वारा हल किया जाता है। इसके बाद करने की जरूरत है खोजोसमाधानों का प्रतिच्छेदनसभी असमानताएँ, अर्थात्

ई.

उनका सामान्य भाग.उदाहरण असमानताओं की प्रणाली को ग्राफिक रूप से हल करें: = - 2 / 3 एक्ससमाधान: सबसे पहले, आइए फ़ंक्शनों को प्लॉट करें

उदाहरण असमानताओं की प्रणाली को ग्राफिक रूप से हल करें: = एक्स 2 य

+ 2 और- 1 (चित्र 31):एक्स> 3, पहले का निर्णयएक्स < - 1 и एक्सअसमानता अंतराल है

चित्र 31 में एक काले तीर द्वारा दर्शाया गया है; दूसरी असमानता के समाधान में दो अंतराल शामिल हैं:> 1, चित्र 31 में ग्रे तीरों द्वारा दर्शाया गया है। ग्राफ़ से यह देखा जा सकता हैक्याइन दोनों समाधानों का प्रतिच्छेदन अंतराल है

एक्स

1) > 3. यह दी गई असमानताओं की प्रणाली का समाधान है।दो अज्ञातों के साथ दो असमानताओं की एक प्रणाली को ग्राफ़िक रूप से हल करने के लिए, आपको यह करना होगा:

उनमें से प्रत्येक में सभी पदों को एक भाग में ले जाएँ, अर्थात्

2) ई. लानाएफ (प्रपत्र में असमानताएँ:अंतर्निहित रूप से निर्दिष्ट कार्यों के ग्राफ़ बनाएं: एक्स, वाई (प्रपत्र में असमानताएँ:) = 0;

3) ) = 0 और

जी इनमें से प्रत्येक ग्राफ़ निर्देशांक तल को दो भागों में विभाजित करता है: ठान ले

ग्राफ़िक रूप से इनमें से प्रत्येक असमानता की जाँच करना पर्याप्त है

किसी के अंदर एक मनमाने बिंदु पर असमानता की वैधता

विमान के हिस्से; यदि इस बिंदु पर असमानता होती है, तो

यह भाग विमान का समन्वययह उसका निर्णय है, यदि नहीं, तो

समाधान समतल का विपरीत भाग है ;

4) असमानताओं की दी गई प्रणाली का समाधान प्रतिच्छेदन है

(सामान्य क्षेत्र) निर्देशांक तल के भाग।

उदाहरण असमानताओं की प्रणाली को हल करें:

समाधान: सबसे पहले, हम रैखिक फलनों के ग्राफ़ बनाते हैं: 5एक्स – 7 उदाहरण असमानताओं की प्रणाली को ग्राफिक रूप से हल करें:=-11 और

2 एक्स + 3 उदाहरण असमानताओं की प्रणाली को ग्राफिक रूप से हल करें:= 10 (चित्र 32)। उनमें से प्रत्येक के लिए हमें एक अर्ध-तल मिलता है,

जिसके अंतर्गत संगतअसमानता दी गई

गोरा। हम जानते हैं कि निष्पक्षता जांचने के लिए यह काफी है

क्षेत्र में एक मनमाने बिंदु पर असमानताएं; इस में

इस मामले में, इसके लिए निर्देशांक की उत्पत्ति का उपयोग करना सबसे आसान है हे(0, 0 ).

उसे फंसा रहे हैं इसके बजाय हमारी असमानताओं में समन्वय करता हैएक्सऔर वाई = एफ,

हम पाते हैं: 5 0 – 7 0 = 0 > - 11, इसलिए, कम

आधा समतल (पीला) पहले का समाधान है

असमानताएँ; 2 0 + 3 0 = 0< 10, поэтому второе असमानता

इसके समाधान में निचला आधा तल भी है (नीला

रंग ). इन अर्ध-तलों का प्रतिच्छेदन ( फ़िरोज़ा रंग क्षेत्र)

समाधान है हमारी असमानताओं की प्रणाली।