एक त्रिभुज तीन भुजाओं वाला एक बहुभुज है, या तीन लिंक वाली एक बंद पॉलीलाइन, या तीन बिंदुओं को जोड़ने वाले तीन खंडों द्वारा बनाई गई एक आकृति है जो एक सीधी रेखा पर नहीं होती है (चित्र 1 देखें)।

त्रिभुज ABC . के मूल तत्व

सबसे ऊपर - अंक ए, बी, और सी;

दलों - शीर्षों को जोड़ने वाले खंड a = BC, b = AC और c = AB;

कोने - α, β, तीन जोड़ी भुजाओं से बनता है। ए, बी, और सी अक्षरों के साथ कोणों को अक्सर शिखर के रूप में संदर्भित किया जाता है।

त्रिभुज की भुजाओं और उसके आंतरिक क्षेत्र में स्थित कोण को आंतरिक कोण कहा जाता है, और इसका आसन्न कोण त्रिभुज का आसन्न कोण होता है (2, पृष्ठ 534)।

एक त्रिभुज की ऊँचाई, माध्यिकाएँ, समद्विभाजक और मध्य रेखाएँ

त्रिभुज में मुख्य तत्वों के अलावा, अन्य खंडों पर विचार किया जाता है जिनमें दिलचस्प गुण होते हैं: ऊँचाई, माध्यिकाएँ, द्विभाजक और मध्य रेखाएँ।

कद

त्रिभुज की ऊँचाई- ये त्रिभुज के शीर्षों से विपरीत भुजाओं पर गिराए गए लंब हैं।

ऊंचाई को प्लॉट करने के लिए, आपको निम्नलिखित कार्य करने होंगे:

1) एक सीधी रेखा खींचना जिसमें त्रिभुज की एक भुजा हो (यदि ऊँचाई एक अधिक त्रिभुज में न्यून कोण के शीर्ष से खींची जाती है);

2) खींची गई सीधी रेखा के विपरीत स्थित शीर्ष से, एक बिंदु से इस सीधी रेखा तक एक खंड बनाएं, जिससे 90 डिग्री का कोण बन जाए।

त्रिभुज की भुजा के साथ ऊँचाई का प्रतिच्छेदन बिंदु कहलाता है आधार ऊंचाई (अंजीर देखें। 2)।

त्रिभुज उन्नयन गुण

एक समकोण त्रिभुज में, समकोण के शीर्ष से खींची गई ऊँचाई इसे मूल त्रिभुज के समान दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

एक न्यूनकोण त्रिभुज में, इसकी दो ऊँचाइयों ने समान त्रिभुजों को काट दिया।

यदि त्रिभुज न्यूनकोण है, तो ऊँचाई के सभी आधार त्रिभुज की भुजाओं के होते हैं, और अधिक कोण वाले त्रिभुज में, दो ऊँचाई भुजाओं की निरंतरता पर पड़ती हैं।

एक न्यूनकोण त्रिभुज में तीन ऊँचाइयाँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और इस बिंदु को कहते हैं ऑर्थोसेंटर त्रिकोण।

मंझला

माध्यिकाओं(लैटिन मेडियाना से - "मध्य") - ये त्रिभुज के कोने को विपरीत पक्षों के मध्य बिंदुओं से जोड़ने वाले खंड हैं (चित्र 3 देखें)।

माध्यिका बनाने के लिए, आपको निम्नलिखित कार्य करने होंगे:

1) पक्ष के मध्य का पता लगाएं;

2) त्रिभुज की भुजा के बीच के बिंदु को विपरीत शीर्ष के साथ एक खंड से जोड़ दें।

त्रिभुज की माध्यिकाओं के गुण

माध्यिका एक त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

त्रिभुज की माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जो उनमें से प्रत्येक को शीर्ष से गिनते हुए 2:1 के अनुपात में विभाजित करती है। इस बिंदु को कहा जाता है ग्रैविटी केंद्र त्रिकोण।

संपूर्ण त्रिभुज को उसकी माध्यिकाओं द्वारा छह समान त्रिभुजों में विभाजित किया जाता है।

द्विभाजक

समद्विभाजक(लैटिन बीआईएस से - दो बार "और सेको - आई कट) त्रिभुज के अंदर संलग्न रेखा खंड हैं, जो इसके कोनों को समद्विभाजित करते हैं (चित्र 4 देखें)।

द्विभाजक बनाने के लिए, आपको निम्नलिखित कार्य करने होंगे:

1) कोण के शीर्ष से निकलने वाली किरण का निर्माण करें और इसे दो बराबर भागों (कोण का द्विभाजक) में विभाजित करें;

2) विपरीत भुजा वाले त्रिभुज के कोण के द्विभाजक के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाएं;

3) त्रिभुज के शीर्ष को विपरीत दिशा में प्रतिच्छेदन बिंदु से जोड़ने वाले खंड का चयन करें।

त्रिभुज के समद्विभाजक के गुण

त्रिभुज का कोण समद्विभाजक विपरीत भुजा को दो आसन्न भुजाओं के अनुपात के बराबर अनुपात में विभाजित करता है।

त्रिभुज के भीतरी कोनों के समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। इस बिंदु को उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र कहा जाता है।

भीतरी और बाहरी कोनों के समद्विभाजक लंबवत होते हैं।

यदि त्रिभुज के बाहरी कोने का समद्विभाजक विपरीत भुजा के निरंतरता को प्रतिच्छेद करता है, तो ADBD = ACBC।

त्रिभुज के एक आंतरिक और दो बाहरी कोनों के समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह बिंदु इस त्रिभुज के तीन वृत्तों में से एक का केंद्र है।

त्रिभुज के दो आंतरिक और एक बाहरी कोनों के द्विभाजक के आधार एक ही सीधी रेखा पर स्थित होते हैं यदि बाहरी कोने का द्विभाजक त्रिभुज के विपरीत पक्ष के समानांतर नहीं होता है।

यदि त्रिभुज के बाहरी कोनों के समद्विभाजक विपरीत भुजाओं के समानांतर नहीं हैं, तो उनके आधार एक सीधी रेखा पर स्थित होते हैं।

प्रथम स्तर

माध्यिका। दृश्य गाइड (2019)

1. माध्यिका क्या है?

यह बहुत आसान है!

एक त्रिभुज लें:

एक तरफ बीच को चिह्नित करें।

और विपरीत शीर्ष से जुड़ें!

परिणामी रेखा और एक माध्यिका है.

2. माध्यिका के गुण।

माध्यिका के अच्छे गुण क्या हैं?

1) आइए कल्पना करें कि एक त्रिभुज - आयताकार।ऐसे हैं, है ना?

क्यों??? समकोण का इससे क्या लेना-देना है?

आइए गौर से देखें। केवल एक त्रिभुज पर नहीं, बल्कि... एक आयत पर। तुम क्यों पूछ रहे हो?

लेकिन आप पृथ्वी पर चलते हैं - क्या आप देखते हैं कि यह गोल है? नहीं, बेशक, इसके लिए आपको अंतरिक्ष से पृथ्वी को देखने की जरूरत है। तो हम अपने समकोण त्रिभुज को "अंतरिक्ष से" देखेंगे।

आइए एक विकर्ण बनाएं:

क्या आपको याद है कि आयत के विकर्ण बराबर हैंतथा साझा करनाचौराहे की जगह आधे में? (यदि आपको याद नहीं है, तो विषय देखें)

इसका मतलब है कि दूसरे विकर्ण का आधा हिस्सा हमारा है। मंझला... विकर्ण समान हैं, और निश्चित रूप से, उनके आधे भी हैं। तो हमें मिलता है

हम इस कथन को साबित नहीं करेंगे, लेकिन इस पर विश्वास करने के लिए, अपने लिए सोचें: क्या आयत को छोड़कर समान विकर्णों वाला कोई अन्य समांतर चतुर्भुज है? बिल्कुल नहीं! खैर, इसका मतलब है कि माध्यिका केवल भुजा के आधे के बराबर हो सकती है सही त्रिकोण.

आइए देखें कि यह संपत्ति आपको समस्याओं को हल करने में कैसे मदद करती है।

यहाँ, टास्क:
पक्षों को; ... ऊपर से खींचा गया मंझला... खोजें अगर।

हुर्रे! आप पाइथागोरस प्रमेय लागू कर सकते हैं! देखो कितना बढ़िया है? अगर हम यह नहीं जानते मंझलाआधी भुजा के बराबर

हम पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं:

2) अब हमारे पास एक नहीं, बल्कि संपूर्ण है तीन माध्यिकाएं! वे कैसे व्यवहार करते हैं?

बहुत याद आता है महत्वपूर्ण तथ्य:

मुश्किल? तस्वीर पर देखो:

माध्यिकाएं, और एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

और .... (हम इसे साबित करते हैं, लेकिन अभी के लिए याद रखना!):

• - दुगने से ज्यादा;
• - दुगने से ज्यादा;
• - दुगने से ज्यादा।

अभी तक नहीं थके? क्या आपके पास अगले उदाहरण के लिए पर्याप्त ताकत होगी? अब हम वह सब कुछ लागू करेंगे जिसके बारे में हमने बात की थी!

टास्क: त्रिभुज में माध्यिकाएँ और खींची जाती हैं, जो एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। खोजें अगर

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा खोजें:

अब आइए माध्यिकाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के बारे में ज्ञान को लागू करें।

आइए परिभाषित करें। खंड, ए. यदि सब कुछ स्पष्ट नहीं है - चित्र को देखें।

हम इसे पहले ही खोज चुके हैं।

माध्यम, ; ...

समस्या में, हमें खंड के बारे में पूछा जाता है।

हमारे अंकन में।

उत्तर: .

पसंद किया? अब माध्यिका के बारे में ज्ञान को स्वयं लागू करने का प्रयास करें!

माध्यिका। औसत स्तर

1. माध्यिका भुजा को आधे में विभाजित करती है।

यही बात है न? या हो सकता है कि वह किसी और चीज को आधे में बांट दे? कल्पना कीजिए कि ऐसा है!

2. प्रमेय: माध्यिका क्षेत्रफल को आधे में विभाजित करती है।

क्यों? आइए एक त्रिभुज के क्षेत्रफल की सरलतम आकृति को याद करें।

और हम इस सूत्र को दो बार लागू करेंगे!

देखिए, माध्यिका दो त्रिभुजों में विभाजित है: और। लेकिन! उनकी ऊंचाई समान है -! केवल इस ऊंचाई पर यह किनारे की ओर गिरता है, और - पक्ष जारी रखने के लिए... हैरानी की बात यह है कि ऐसा भी होता है: त्रिकोण अलग हैं, लेकिन ऊंचाई समान है। और अब, अब हम सूत्र को दो बार लागू करेंगे।

इसका क्या मतलब है? ड्राइंग को देखो। वास्तव में, इस प्रमेय में दो संपूर्ण अभिकथन हैं। क्या आपने इसे नोटिस किया?

पहला कथन:माध्यिकाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

दूसरा कथन:माध्यिका के प्रतिच्छेदन बिंदु को ऊपर से गिनते हुए, संबंध में विभाजित किया जाता है।

आइए इस प्रमेय के रहस्य को जानने का प्रयास करें:

आइए डॉट्स कनेक्ट करें और। क्या हुआ?

और अब एक और मध्य रेखा खींचते हैं: मध्य को चिह्नित करें - एक बिंदु डालें, मध्य को चिह्नित करें - एक बिंदु डालें।

अब - मध्य रेखा। अर्थात्

1. समानांतर;

क्या आपने कोई संयोग देखा? और, और - समानांतर हैं। और और।

इससे क्या होता है?

1. समानांतर;

बेशक, केवल समांतर चतुर्भुज!

इसलिए - एक समांतर चतुर्भुज। तो क्या? आइए समांतर चतुर्भुज के गुणों को याद करें। उदाहरण के लिए, आप समांतर चतुर्भुज के विकर्ण के बारे में क्या जानते हैं? यह सही है, उन्हें चौराहे के बिंदु से आधा कर दिया गया है।

हम फिर से ड्राइंग को देखते हैं।

यानी माध्यिका को बिंदुओं से और तीन बराबर भागों में विभाजित किया जाता है। और बिल्कुल वैसा ही।

इसका मतलब यह है कि दोनों माध्यिकाएँ संबंध में, अर्थात्, और के अनुसार बिंदु से विभाजित थीं।

तीसरे माध्यिका का क्या होगा? आइए शुरुआत में वापस जाएं। हाय भगवान्?! नहीं, अब सब कुछ बहुत छोटा हो जाएगा। आइए माध्यिका को छोड़ते हैं और माध्यिकाएँ खींचते हैं और।

अब कल्पना कीजिए कि हमने ठीक वैसा ही तर्क किया है जैसा कि माध्यिका और के लिए किया जाता है। तो क्या?

यह पता चला है कि माध्यिका माध्यिका को ठीक उसी तरह विभाजित करेगी: संबंध में, एक बिंदु से गिनती।

लेकिन एक खंड पर कितने बिंदु हो सकते हैं जो इसे एक बिंदु से गिनते हुए संबंध में विभाजित करते हैं?

बेशक, केवल एक! और हम इसे पहले ही देख चुके हैं - यह बात है।

अंत में क्या हुआ?

मंझला निश्चित रूप से चला गया! तीनों मंझला इससे होकर गुजरा। और सब ऊपर से गिनते हुए वृत्ति में बँटे हुए थे।

इसलिए उन्होंने प्रमेय को हल (साबित) किया। उत्तर त्रिभुज के अंदर बैठा समांतर चतुर्भुज था।

4. माध्यिका की लंबाई का सूत्र

यदि भुजाएँ ज्ञात हों तो माध्यिका की लंबाई कैसे ज्ञात करें? क्या आपको यकीन है कि आपको इसकी आवश्यकता है? आइए एक भयानक रहस्य को उजागर करें: यह सूत्र बहुत उपयोगी नहीं है। लेकिन फिर भी हम इसे लिखेंगे, लेकिन हम इसे साबित नहीं करेंगे (यदि सबूत दिलचस्प है, तो अगला स्तर देखें)।

कैसे समझें कि ऐसा क्यों है?

आइए गौर से देखें। केवल एक त्रिभुज पर नहीं, बल्कि एक आयत पर।

तो आइए एक आयत को देखें।

क्या आपने देखा है कि हमारा त्रिभुज इस आयत का ठीक आधा है?

आइए एक विकर्ण बनाएं

क्या आपको याद है कि एक आयत के विकर्ण बराबर होते हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु आधा होता है? (यदि आपको याद नहीं है, तो विषय देखें)
लेकिन विकर्णों में से एक हमारा कर्ण है! अत: विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु कर्ण का मध्यबिंदु होता है। हमने इसे बुलाया।

इसका अर्थ है कि दूसरे विकर्ण का आधा भाग हमारी माध्यिका है। विकर्ण समान हैं, और निश्चित रूप से, उनके आधे भी हैं। तो हमें मिलता है

इसके अलावा, यह केवल समकोण त्रिभुज में होता है!

हम इस कथन को साबित नहीं करेंगे, लेकिन इस पर विश्वास करने के लिए, अपने लिए सोचें: क्या आयत को छोड़कर समान विकर्णों वाला कोई अन्य समांतर चतुर्भुज है? बिल्कुल नहीं! इसका मतलब है कि माध्यिका केवल समकोण त्रिभुज में भुजा के आधे के बराबर हो सकती है। आइए देखें कि यह संपत्ति आपको समस्याओं को हल करने में कैसे मदद करती है।

यहाँ समस्या है:

पक्षों को; ... माध्यिका ऊपर से खींची जाती है। खोजें अगर।

हुर्रे! आप पाइथागोरस प्रमेय लागू कर सकते हैं! देखो कितना बढ़िया है? अगर हमें नहीं पता होता कि माध्यिका आधी भुजा होती है केवल एक समकोण त्रिभुज में, हम इस समस्या को किसी भी तरह से हल नहीं कर सके। अब हम कर सकते हैं!

हम पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं:

माध्यिका। संक्षेप में मुख्य के बारे में

1. माध्यिका भुजा को आधे में विभाजित करती है।

2. प्रमेय: माध्यिका क्षेत्र को समद्विभाजित करती है

4. माध्यिका की लंबाई का सूत्र

विलोम प्रमेय:यदि माध्यिका भुजा की आधी है, तो त्रिभुज समकोण है और यह माध्यिका कर्ण की ओर खींची जाती है।

खैर, विषय समाप्त हो गया है। अगर आप इन पंक्तियों को पढ़ रहे हैं, तो आप बहुत मस्त हैं।

क्योंकि केवल 5% लोग ही अपने दम पर किसी चीज में महारत हासिल कर पाते हैं। और अगर आप अंत तक पढ़ते हैं, तो आप उस 5% में हैं!

अब सबसे महत्वपूर्ण बात आती है।

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समस्या यह है कि यह पर्याप्त नहीं हो सकता है ...

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समस्याओं का पता लगाएं और हल करें!

ध्यान दें... इस पाठ में, सैद्धांतिक सामग्री और "एक समकोण त्रिभुज में माध्यिका" विषय पर ज्यामिति में समस्याओं का समाधान प्रस्तुत किया गया है। यदि आपको एक ज्यामिति समस्या को हल करने की आवश्यकता है जो यहां नहीं है, तो इसके बारे में फोरम में लिखें। पाठ्यक्रम लगभग निश्चित रूप से पूरक होगा।

समकोण त्रिभुज माध्यिका गुण

माध्यिका का निर्धारण

• त्रिभुज की माध्यिकाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं और इस बिंदु से कोण के शीर्ष से गिनते हुए 2:1 के अनुपात में दो भागों में विभाजित होती हैं। उनके प्रतिच्छेदन के बिंदु को त्रिभुज के गुरुत्वाकर्षण का केंद्र कहा जाता है (समस्याओं में अपेक्षाकृत कम ही, इस बिंदु को दर्शाने के लिए "सेंट्रोइड" शब्द का उपयोग किया जाता है),
• माध्यिका एक त्रिभुज को दो बराबर त्रिभुजों में विभाजित करती है।
• त्रिभुज को तीन माध्यिकाओं द्वारा छह बराबर त्रिभुजों में विभाजित किया जाता है।
• त्रिभुज की बड़ी भुजा छोटी माध्यिका से मेल खाती है।

समाधान के लिए प्रस्तावित ज्यामिति समस्याएँ मुख्य रूप से निम्नलिखित का उपयोग करती हैं: एक समकोण त्रिभुज की माध्यिका के गुण.

• एक समकोण त्रिभुज की टाँगों पर गिराई गई माध्यिकाओं के वर्गों का योग कर्ण पर गिराई गई माध्यिका के पाँच वर्गों के बराबर होता है (सूत्र 1)
• एक समकोण त्रिभुज के कर्ण द्वारा नीची माध्यिका आधे कर्ण के बराबर(फॉर्मूला 2)
• माध्यिका, एक समकोण त्रिभुज के कर्ण से नीचे की ओर, चारों ओर घिरे वृत्त की त्रिज्या के बराबर हैकिसी दिए गए समकोण त्रिभुज का (सूत्र 2)
• माध्यिका, कर्ण द्वारा नीचे की ओर, पैरों के वर्गों के योग के आधे वर्गमूल के बराबर(सूत्र 3)
• माध्यिका, कर्ण से नीचे, पैर की लंबाई को पैर के विपरीत तीव्र कोण के दो साइनस द्वारा विभाजित करने के भागफल के बराबर है (सूत्र 4)
• माध्यिका, कर्ण से नीचे, पैर की लंबाई को पैर से सटे तीव्र कोण के दो कोसाइन द्वारा विभाजित करने के भागफल के बराबर है (सूत्र 4)
• एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके कर्ण पर गिराई गई माध्यिका के आठ वर्गों के बराबर होता है (सूत्र 5)

सूत्र संकेतन:

ए, बी- एक समकोण त्रिभुज के पैर

सी- एक समकोण त्रिभुज का कर्ण

यदि हम एक त्रिभुज को ABC के रूप में निरूपित करते हैं, तो

ईसा पूर्व = ए

(अर्थात् पक्ष ए, बी, सी- संगत कोनों के विपरीत हैं)

एम ए- पैर से खींची गई माध्यिका a

एम बीपैर b . का माध्यक है

एम सी - एक समकोण त्रिभुज की माध्यिकाकर्ण के साथ खींचा गया

α (अल्फा)- साइड ए के विपरीत कैब का कोना

एक समकोण त्रिभुज में माध्यिका के बारे में समस्या

टांगों तक खींचे गए एक समकोण त्रिभुज की माध्यिकाएँ क्रमशः 3 सेमी और 4 सेमी हैं। त्रिभुज का कर्ण ज्ञात कीजिए

समाधान

समस्या को हल करना शुरू करने से पहले, आइए एक समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई और उस पर डाली गई माध्यिका के अनुपात पर ध्यान दें। ऐसा करने के लिए, हम सूत्र 2, 4, 5 . की ओर मुड़ते हैं एक समकोण त्रिभुज में माध्यिका के गुण... ये सूत्र स्पष्ट रूप से कर्ण और माध्यिका के अनुपात को इंगित करते हैं, जो इस पर 1 से 2 के रूप में गिरा है। इसलिए, भविष्य की गणना की सुविधा के लिए (जो किसी भी तरह से समाधान की शुद्धता को प्रभावित नहीं करेगा, लेकिन इसे और अधिक बना देगा) सुविधाजनक), हम चर x और y के माध्यम से पैरों AC और BC की लंबाई को 2x और 2y (x और y नहीं) के रूप में निरूपित करते हैं।

एक समकोण त्रिभुज ADC पर विचार करें। इसका कोण C समस्या के कथन के अनुसार सीधा है, त्रिभुज ABC के साथ पैर AC उभयनिष्ठ है, और मध्यिका के गुणों के अनुसार पैर CD आधा BC है। फिर पाइथागोरस प्रमेय द्वारा

एसी 2 + सीडी 2 = एडी 2

चूँकि AC = 2x, CD = y (चूंकि माध्यिका पैर को दो बराबर भागों में विभाजित करती है), तो
4x 2 + y 2 = 9

वहीं, समकोण त्रिभुज EBC पर विचार करें। इसमें समस्या के कथन के अनुसार एक सीधी रेखा का कोण C भी है, मूल त्रिभुज ABC के पैर BC के साथ पैर BC आम है, और माध्यिका गुण से पैर EC, मूल त्रिभुज के पैर AC के आधे के बराबर है एबीसी.
पाइथागोरस प्रमेय द्वारा:
ईसी 2 + बीसी 2 = बीई 2

चूँकि EC = x (माध्यिका टांगों को आधा विभाजित करती है), BC = 2y, तब
x 2 + 4y 2 = 16

चूँकि त्रिभुज ABC, EBC और ADC उभयनिष्ठ भुजाओं से जुड़े हुए हैं, इसलिए प्राप्त दोनों समीकरण भी संबंधित हैं।
आइए समीकरणों की परिणामी प्रणाली को हल करें।
4x 2 + y 2 = 9
x 2 + 4y 2 = 16

1. माध्यिका एक त्रिभुज को एक ही क्षेत्रफल के दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

2. त्रिभुज की माध्यिकाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जो उनमें से प्रत्येक को शीर्ष से गिनते हुए 2:1 के अनुपात में विभाजित करती है। इस बिंदु को कहा जाता है ग्रैविटी केंद्रत्रिकोण।

3. संपूर्ण त्रिभुज को उसकी माध्यिकाओं द्वारा छह बराबर त्रिभुजों में विभाजित किया जाता है।

त्रिभुज के समद्विभाजक के गुण

1. कोण का समद्विभाजक इस कोण की भुजाओं से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं का बिंदुपथ होता है।

2. त्रिभुज के भीतरी कोने का समद्विभाजक विपरीत भुजा को आसन्न भुजाओं के समानुपाती खंडों में विभाजित करता है:।

3. किसी त्रिभुज के समद्विभाजक का प्रतिच्छेद बिंदु इस त्रिभुज में अंकित वृत्त का केंद्र होता है।

त्रिभुज उन्नयन गुण

1. एक समकोण त्रिभुज में, समकोण के शीर्ष से खींची गई ऊँचाई इसे मूल त्रिभुज के समान दो त्रिभुजों में विभाजित करती है।

2. एक न्यूनकोण त्रिभुज में, इसकी दो ऊँचाइयों को समान काट दिया जाता है त्रिभुज।

किसी त्रिभुज के मध्यबिंदु लंबों के गुण

1. खंड के लंबवत का प्रत्येक बिंदु इस खंड के सिरों से समान दूरी पर है। विलोम भी सत्य है: खंड के सिरों से समदूरस्थ प्रत्येक बिंदु उसके लम्ब पर स्थित होता है।

2. त्रिभुज की भुजाओं पर लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु इस त्रिभुज के चारों ओर परिबद्ध वृत्त का केंद्र है।

त्रिभुज का मध्य रेखा गुण

एक त्रिभुज की मध्य रेखा उसकी एक भुजा के समांतर होती है और इस भुजा के आधे के बराबर होती है।

त्रिभुजों की समानता

दो त्रिभुज समान है,यदि निम्न स्थितियों में से एक, कहा जाता है समानता के संकेत:

· एक त्रिभुज के दो कोने दूसरे त्रिभुज के दो कोनों के बराबर होते हैं;

· एक त्रिभुज की दो भुजाएँ दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं के समानुपाती होती हैं, और इन भुजाओं से बनने वाले कोण बराबर होते हैं;

· एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ क्रमशः दूसरे त्रिभुज की तीनों भुजाओं के समानुपाती होती हैं।

ऐसे त्रिभुजों में संगत रेखाएँ (ऊँचाई, माध्यिकाएँ, समद्विभाजक, आदि) समानुपाती होती हैं।

ज्या प्रमेय

कोसाइन प्रमेय

एक 2= बी 2+ सी 2- 2बीसीक्योंकि

त्रिभुज के क्षेत्रफल के सूत्र

1. मनमाना त्रिकोण

ए, बी, सी -दलों; - पक्षों के बीच का कोण एतथा बी; - अर्ध-परिधि; आर -परिचालित वृत्त की त्रिज्या; आर -खुदा वृत्त की त्रिज्या; एस -वर्ग; एच ए -ऊंचाई खींची गई पक्ष ए.

एस = आह ए

एस = अब पाप

एस = जनसंपर्क

2. सही त्रिकोण

ए, बी -पैर; सी -कर्ण; एच सी -भुजा ऊंचाई सी.

एस = सीएच सी एस = अब

3. समभुज त्रिकोण

चतुर्भुजों

समांतर चतुर्भुज गुण

· विपरीत पक्ष बराबर हैं;

· विपरीत कोण बराबर होते हैं;

· विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु से आधा कर दिया जाता है;

· एक भुजा से सटे कोणों का योग 180° होता है;

विकर्णों के वर्गों का योग सभी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है:

डी 1 2 + डी 2 2 = 2 (ए 2 + बी 2)।

एक चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है यदि:

1. इसकी दो सम्मुख भुजाएँ समान और समांतर हैं।

2. सम्मुख भुजाएँ युग्मों में बराबर होती हैं।

3. सम्मुख कोण युग्मों में बराबर होते हैं।

4. विकर्णों को प्रतिच्छेदन बिंदु से आधा कर दिया जाता है।

समलम्बाकार गुण

· इसकी मध्य रेखा आधारों के समानांतर होती है और उनके आधे योग के बराबर होती है;

· यदि समलम्ब चतुर्भुज समद्विबाहु है, तो उसके विकर्ण बराबर होते हैं और आधार पर कोण बराबर होते हैं;

· यदि समलम्ब चतुर्भुज समद्विबाहु है, तो उसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है;

· यदि आधारों का योग भुजाओं के योग के बराबर हो, तो उसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है।

आयत गुण

· विकर्ण बराबर होते हैं।

एक समांतर चतुर्भुज एक आयत है यदि:

1. इसका एक कोना सीधा है।

2. इसके विकर्ण बराबर होते हैं।

हीरा गुण

समांतर चतुर्भुज के सभी गुण;

· विकर्ण लंबवत हैं;

· विकर्ण इसके कोनों के समद्विभाजक हैं।

1. एक समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज होता है यदि:

2. इसकी दो आसन्न भुजाएँ बराबर हैं।

3. इसके विकर्ण लंबवत हैं।

4. विकर्णों में से एक इसके कोण का समद्विभाजक है।

वर्ग गुण

· वर्ग के सभी कोने सीधे हैं;

· वर्ग के विकर्ण बराबर हैं, परस्पर लंबवत हैं, प्रतिच्छेदन बिंदु आधा है और वर्ग के कोने आधे हैं।

एक आयत एक वर्ग है यदि इसमें समचतुर्भुज की कोई विशेषता है।

मूल सूत्र

1. मनमाना उत्तल चतुर्भुज
घ 1,घ 2 -विकर्ण; - उनके बीच का कोण; एस -वर्ग।

एस = डी 1 डी 2 पाप