Video lekcija “Grafičko rješenje modularne linearne nejednadžbe. Grafičko rješavanje sustava linearnih nejednadžbi

Neka je dana linearna nejednadžba s dvije varijable i

(1)

Ako vrijednosti I promatrati kao koordinate točaka na ravnini, tada se skup točaka na ravnini čije koordinate zadovoljavaju nejednadžbu (1) naziva područjem rješenja te nejednadžbe. Prema tome, područje rješenja nejednadžbe (1) je poluravnina s graničnom ravnicom
.

Primjer 1.

.

Otopina. Izgradnja ravne linije
dvjema točkama, npr. točkama sjecišta s koordinatnim osima (0; 4) i (6; 0). Ova linija dijeli ravninu na dva dijela, tj. u dvije poluravnine. Uzimamo bilo koju točku ravnine koja ne leži na konstruiranoj liniji. Ako koordinate točke zadovoljavaju zadanu nejednadžbu, tada je područje rješenja poluravnina u kojoj se ta točka nalazi. Ako dobijemo netočnu brojčanu nejednadžbu, tada je područje rješenja poluravnina kojoj ta točka ne pripada. Obično se za kontrolu uzima točka (0; 0).

Zamijenimo
I
na zadanu nejednakost. Dobivamo
. Posljedično, poluravnina “prema nuli” je područje rješenja ove nejednadžbe (osjenčani dio slike 1).

Primjer 2. Nađi poluravninu definiranu nejednadžbom

.

Otopina. Izgradnja ravne linije
, na primjer, točkama (0; 0) i (1; 3). Jer ravna linija prolazi kroz ishodište koordinata, točku (0; 0), tada je ne možete uzeti za kontrolu. Uzmimo, na primjer, točku (– 2; 0) i zamijenimo njene koordinate u zadanu nejednadžbu. Dobivamo
. Ovo nije istina. To znači da će područje rješenja ove nejednadžbe biti poluravnina kojoj ne pripada kontrolna točka (osjenčani dio slike 2).

2. Domena rješenja sustava linearnih nejednadžbi.

Primjer. Pronađite područje rješenja sustava nejednadžbi:

Otopina. Pronalazimo područje rješenja prve nejednadžbe (sl. 1) i druge nejednadžbe (sl. 2).

Sve točke dijela ravnine gdje je šrafura superponirana će zadovoljiti i prvu i drugu nejednadžbu. Tako je dobivena površina rješenja zadanog sustava nejednadžbi (slika 3).

Ako zadanom sustavu nejednakosti dodamo uvjete
I
, zatim domena rješenja sustava nejednadžbi
nalazit će se samo u I koordinatnoj četvrtini (sl. 4).

Princip pronalaženja rješenja sustava linearnih nejednadžbi ne ovisi o broju nejednadžbi uključenih u sustav.

Bilješka : Ako postoji područje prihvatljivog rješenja (ADA), to je zatvoreni ili otvoreni konveksni poligon.

3. Algoritam za grafičku metodu rješavanja zadataka

Ako problem linearnog programiranja sadrži samo dvije varijable, tada se može riješiti grafički izvođenjem sljedećih operacija:

Primjer. Grafički riješiti problem linearnog programiranja

max

Otopina. Treće i četvrto ograničenje sustava su dvostruke nejednakosti; pretvorimo ih u oblik poznatiji za takve probleme
, ovo
I
, To. prva od rezultirajućih nejednakosti
(ili
) odnosi se na uvjet nenegativnosti, a drugi
na sustav ograničenja. Također,
Ovaj
I
.

Da. problem će poprimiti oblik

max

,

Zamjenjujući znakove nejednakosti točnim znakovima jednakosti, konstruiramo područje prihvatljivih rješenja pomoću jednadžbi ravnih linija:

;
;
;
.

Područje rješenja nejednadžbi je peterokut ABCDE.

Izgradimo vektor
. Kroz ishodište okomito na vektor nacrtati liniju ravni . A onda ćemo ga pomaknuti paralelno sa samim sobom u smjeru vektora do točke izlaza iz regije izvedivih rješenja. Ovo će biti poanta S. Nađimo koordinate ove točke rješavanjem sustava koji se sastoji od jednadžbi prvog i četvrtog retka:

.

Zamijenimo koordinate točke S u ciljnu funkciju i pronađite njezinu najveću vrijednost
Primjer. Konstruirajte linije razine
I
za problem linearnog programiranja:

max (min)

Otopina. Područje izvedivih rješenja je otvoreno područje (slika 6). Ravna linija
prolazi kroz točku U. Funkcija Z ima minimum u ovom trenutku. Ravna linija
ne može se konstruirati, jer ne postoji izlazna točka iz područja izvedivih rješenja, to znači da
.

Zadaci za samostalan rad.

Pronađite područje rješenja sustava nejednadžbi:

A) b)

Grafički riješiti problem linearnog programiranja

min

Izraditi ekonomsko-matematički model i grafički riješiti problem linearnog programiranja

Tvrtka proizvodi dvije vrste proizvoda, A i B. Proizvodi svake vrste obrađuju se na dva stroja (I i II). Vrijeme obrade jednog proizvoda svake vrste na strojevima, vrijeme rada strojeva po radnoj smjeni, dobit poduzeća od prodaje jednog proizvoda vrste A i vrste B navedeni su u tablici:

Istraživanje prodajnog tržišta pokazalo je da dnevna potražnja za proizvodima tipa B nikad ne prelazi potražnju za proizvodima tipa A za više od 40 jedinica, a potražnja za proizvodima tipa A ne prelazi 90 jedinica dnevno.

Odredite plan proizvodnje proizvoda koji daje najveću dobit.

vidi također Grafičko rješavanje problema linearnog programiranja, Kanonski oblik problema linearnog programiranja

Sustav ograničenja za takav problem sastoji se od nejednakosti u dvije varijable:
a ciljna funkcija ima oblik F = C 1 x + C 2 g koju treba maksimizirati.

Odgovorimo na pitanje: koji parovi brojeva ( x; g) su rješenja sustava nejednadžbi, tj. zadovoljavaju svaku od nejednadžbi istovremeno? Drugim riječima, što znači grafički riješiti sustav?
Prvo morate razumjeti što je rješenje jedne linearne nejednadžbe s dvije nepoznanice.
Rješavanje linearne nejednadžbe s dvije nepoznanice znači određivanje svih parova nepoznatih vrijednosti za koje nejednakost vrijedi.
Na primjer, nejednakost 3 x – 5g≥ 42 zadovoljavajuća para ( x , g) : (100, 2); (3, –10) itd. Zadatak je pronaći sve takve parove.
Razmotrimo dvije nejednakosti: sjekira + po≤ c, sjekira + po≥ c. Ravno sjekira + po = c ravninu dijeli na dvije poluravnine tako da koordinate točaka jedne od njih zadovoljavaju nejednakost sjekira + po >c, a druga nejednakost sjekira + +po <c.
Doista, uzmimo točku s koordinatom x = x 0 ; zatim točka koja leži na pravcu i ima apscisu x 0, ima ordinatu

Neka za sigurnost a< 0, b>0, c>0. Sve točke s apscisom x 0 koji leži iznad P(na primjer, točka M), imaju y M>g 0 , i sve točke ispod točke P, s apscisom x 0, imati y N<g 0 . Od x 0 je proizvoljna točka, tada će uvijek postojati točke s jedne strane pravca za koje sjekira+ po > c, tvoreći poluravninu, a s druge strane - točke za koje sjekira + po< c.

Slika 1

Znak nejednakosti u poluravnini ovisi o brojevima a, b , c.
To podrazumijeva sljedeću metodu za grafičko rješavanje sustava linearnih nejednadžbi u dvije varijable. Za rješavanje sustava potrebno je:

1. Za svaku nejednadžbu napiši jednadžbu koja joj odgovara.
2. Konstruirajte ravne linije koje su grafovi funkcija određenih jednadžbama.
3. Za svaki pravac odredite poluravninu koja je dana nejednadžbom. Da biste to učinili, uzmite proizvoljnu točku koja ne leži na liniji i zamijenite njene koordinate u nejednadžbi. ako je nejednakost točna, tada je poluravnina koja sadrži odabranu točku rješenje izvorne nejednadžbe. Ako je nejednakost netočna, tada je poluravnina s druge strane pravca skup rješenja te nejednadžbe.
4. Za rješavanje sustava nejednadžbi potrebno je pronaći područje presjeka svih poluravnina koje su rješenje svake nejednadžbe sustava.

Može se pokazati da je ovo područje prazno, tada sustav nejednadžbi nema rješenja i nije konzistentan. U inače za sustav se kaže da je kooperativan.
Može postojati konačan broj ili beskonačan broj rješenja. Područje može biti zatvoreni poligon ili neograničeno.

Pogledajmo tri relevantna primjera.

Primjer 1. Grafički riješiti sustav:
x + y – 1 ≤ 0;
–2x – 2g + 5 ≤ 0.

• razmotrite jednadžbe x+y–1=0 i –2x–2y+5=0 koje odgovaraju nejednadžbama;
• Konstruirajmo ravne linije zadane ovim jednadžbama.

Slika 2

Definirajmo poluravnine definirane nejednadžbama. Uzmimo proizvoljnu točku, neka (0; 0). Razmotrimo x+ y– 1 0, zamijenimo točku (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. To znači da u poluravnini u kojoj leži točka (0; 0), x + g – 1 ≤ 0, tj. poluravnina koja leži ispod pravca rješenje je prve nejednadžbe. Zamjenom ove točke (0; 0) u drugu dobivamo: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, tj. u poluravnini u kojoj se nalazi točka (0; 0), –2 x – 2g+ 5≥ 0, a upitani smo gdje je –2 x – 2g+ 5 ≤ 0, dakle, u drugoj poluravnini - u onoj iznad pravca.
Nađimo sjecište tih dviju poluravnina. Pravci su paralelni, pa se ravnine nigdje ne sijeku, što znači da sustav ovih nejednadžbi nema rješenja i nije konzistentan.

Primjer 2. Grafički pronaći rješenja sustava nejednadžbi:

Slika 3
1. Napišimo jednadžbe koje odgovaraju nejednadžbama i konstruirajmo ravne crte.
x + 2g– 2 = 0

x	2	0
g	0	1

g – x – 1 = 0

x	0	2
g	1	3

g + 2 = 0;
g = –2.
2. Odabravši točku (0; 0) odredimo predznake nejednakosti u poluravninama:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, tj. x + 2g– 2 ≤ 0 u poluravnini ispod pravca;
0 – 0 – 1 ≤ 0, tj. g –x– 1 ≤ 0 u poluravnini ispod pravca;
0 + 2 =2 ≥ 0, tj. g+ 2 ≥ 0 u poluravnini iznad pravca.
3. Sjecište tih triju poluravnina bit će područje koje je trokut. Nije teško pronaći vrhove regije kao sjecišta odgovarajućih linija


dakle, A(–3; –2), U(0; 1), S(6; –2).

Razmotrimo još jedan primjer u kojem rezultirajuća domena rješenja sustava nije ograničena.

Sustav se sastoji od nejednakosti u dvije varijable:

Za rješavanje sustava potrebno je:

1. Za svaku nejednadžbu napiši jednadžbu koja toj nejednadžbi odgovara.

2. Konstruirati ravne linije koje su grafovi funkcija zadanih jednadžbama.

3. Za svaki pravac odredite poluravninu koja je dana nejednadžbom. Da biste to učinili, uzmite proizvoljnu točku koja ne leži na liniji i zamijenite njene koordinate u nejednadžbi. ako je nejednakost točna, tada je poluravnina koja sadrži odabranu točku rješenje izvorne nejednadžbe. Ako je nejednakost netočna, tada je poluravnina s druge strane pravca skup rješenja te nejednadžbe.

4. Za rješavanje sustava nejednadžbi potrebno je pronaći područje presjeka svih poluravnina koje su rješenje svake nejednadžbe sustava.

Može se pokazati da je ovo područje prazno, tada sustav nejednadžbi nema rješenja i nije konzistentan. Inače se kaže da je sustav konzistentan. Može postojati konačan broj ili beskonačan broj rješenja. Područje može biti zatvoreni poligon ili neograničeno.

Primjer 3. Grafički riješite sustav:

Razmotrimo jednadžbe x + y–1 = 0 i –2x – 2y + 5 = 0, koje odgovaraju nejednadžbama. Konstruirajmo ravne linije zadane ovim jednadžbama (slika 3).

Slika 3 – Slika ravnih linija

Definirajmo poluravnine definirane nejednadžbama. Uzmimo proizvoljnu točku, neka (0; 0). Uzmite u obzir x+ y– 1 ≤ 0, zamijenite točku (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. To znači da u poluravnini u kojoj se nalazi točka (0; 0), x + y – 1 ≤ 0 , tj. poluravnina koja leži ispod pravca rješenje je prve nejednadžbe. Zamjenom ove točke (0; 0) u drugu dobivamo: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, tj. u poluravnini u kojoj leži točka (0; 0) je –2x – 2y + 5≥ 0, a postavljeno nam je pitanje gdje je –2x – 2y + 5 ≤ 0, dakle, u drugoj poluravnini – u jednoj iznad ravne linije.

Nađimo sjecište tih dviju poluravnina. Pravci su paralelni, pa se ravnine nigdje ne sijeku, što znači da sustav ovih nejednadžbi nema rješenja i nije konzistentan.

Primjer 4. Grafički pronađite rješenja sustava nejednadžbi:

1. Napišimo jednadžbe koje odgovaraju nejednadžbama i konstruirajmo ravne linije (slika 4).

x + 2y– 2 = 0 x 2 0

y – x – 1 = 0 x 0 2

y + 2 = 0; y = –2.

Slika 4 – Slika ravnih linija

2. Odabravši točku (0; 0) odredimo predznake nejednakosti u poluravninama:

0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, tj. x + 2y– 2 ≤ 0 u poluravnini ispod pravca;

0 – 0 – 1 ≤ 0, tj. y –x– 1 ≤ 0 u poluravnini ispod pravca;

0 + 2 =2 ≥ 0, tj. y + 2 ≥ 0 u poluravnini iznad pravca.

3. Sjecište tih triju poluravnina bit će područje koje je trokut. Nije teško pronaći vrhove regije kao sjecišta odgovarajućih linija

Dakle, A(–3; –2), B(0; 1), C(6; –2).

Razmotrimo još jedan primjer u kojem je rezultirajuća domena rješenja sustava neograničena.

Primjer 5. Riješi sustav grafički

Napišimo jednadžbe koje odgovaraju nejednadžbama i konstruirajmo ravne linije (slika 5).

Slika 5 – Slika ravnih linija

x + y – 1 = 0 x 0 1

y – x – 1 = 0 x 0 –1

Definirajmo znakove u poluravninama. Odaberimo točku (0; 0):

0 – 0 – 1 ≤ 0, tj. y – x – 1 ≤ 0 ispod ravne crte;

0 + 0 – 1 ≤ 0, tj. x + y – 1 ≤ 0 ispod ravne crte.

Sjecište dviju poluravnina je kut s vrhom u točki A(0;1). Ovo neograničeno područje rješenje je izvornog sustava nejednakosti.

Neka f(x,y) I g(x, y)- dva izraza s varijablama X I na i opseg X. Zatim nejednakosti oblika f(x, y) > g(x, y) ili f(x, y) < g(x, y) nazvao nejednakost s dvije varijable .

Značenje varijabli x, y od mnogih X, kod koje nejednakost prelazi u pravu brojčanu nejednakost, naziva se odluka i naznačen je (x, y). Riješite nejednadžbu - to znači pronaći mnogo takvih parova.

Ako svaki par brojeva (x, y) iz skupa rješenja nejednadžbe spojite točku M(x, y), dobivamo skup točaka na ravnini određenoj ovom nejednakošću. Zovu ga graf ove nejednakosti . Graf nejednadžbe obično je površina na ravnini.

Opisati skup rješenja nejednadžbe f(x, y) > g(x, y), postupite na sljedeći način. Prvo zamijenite znak nejednakosti znakom jednakosti i pronađite liniju koja ima jednadžbu f(x,y) = g(x,y). Ova linija dijeli ravninu na nekoliko dijelova. Nakon toga dovoljno je uzeti po jednu točku u svakom dijelu i provjeriti je li nejednakost u toj točki zadovoljena f(x, y) > g(x, y). Ako se izvrši na ovoj točki, onda će se izvršiti u cijelom dijelu gdje se ta točka nalazi. Kombinirajući takve dijelove, dobivamo mnoga rješenja.

Zadatak. g > x.

Otopina. Prvo zamijenimo znak nejednakosti znakom jednakosti i konstruiramo pravac u pravokutnom koordinatnom sustavu koji ima jednadžbu g = x.

Ova linija dijeli ravninu na dva dijela. Nakon toga uzmite po jednu točku u svakom dijelu i provjerite je li nejednakost u toj točki zadovoljena g > x.

Zadatak. Riješi grafički nejednadžbu
X 2 + na 2 £25.

Riža. 18.

Otopina. Prvo zamijenite znak nejednakosti znakom jednakosti i nacrtajte crtu X 2 + na 2 = 25. Ovo je kružnica sa središtem u ishodištu i polumjerom 5. Dobivena kružnica dijeli ravninu na dva dijela. Provjera zadovoljivosti nejednakosti X 2 + na 2 £ 25 u svakom dijelu, nalazimo da je graf skup točaka na kružnici i dijelova ravnine unutar kružnice.

Neka su zadane dvije nejednakosti f 1(x, y) > g 1(x, y) I f 2(x, y) > g 2(x, y).

Sustavi skupova nejednadžbi s dvije varijable

Sustav nejednakosti predstavlja sami konjunkcija ovih nejednakosti. Sustavno rješenje je svako značenje (x, y), što svaku od nejednakosti pretvara u pravu numeričku nejednadžbu. Mnogo rješenja sustava nejednakosti je presjek skupova rješenja nejednadžbi koje tvore dani sustav.

Skup nejednakosti predstavlja sami disjunkcija ovih nejednakosti Rješenjem totaliteta je svako značenje (x, y), koji pretvara barem jednu iz skupa nejednakosti u pravu brojčanu nejednadžbu. Mnogo rješenja totalitet je unija skupova rješenja nejednadžbi koje tvore skup.

Zadatak. Riješi grafički sustav nejednadžbi

Otopina. y = x I X 2 + na 2 = 25. Rješavamo svaku nejednadžbu sustava.

Graf sustava bit će skup točaka na ravnini koje su sjecište (dvostruko šrafirano) skupova rješenja prve i druge nejednadžbe.

Zadatak. Riješi grafički skup nejednadžbi

Otopina. Prvo znak nejednakosti zamijenimo znakom jednakosti i crtamo linije u jednom koordinatnom sustavu y = x+ 4 i X 2 + na 2 = 16. Riješite svaku nejednadžbu u populaciji. Graf populacije bit će skup točaka na ravnini, koje su unija skupova rješenja prve i druge nejednadžbe.

Vježbe za samostalan rad

1. Grafički riješite nejednadžbe: a) na> 2x; b) na< 2x + 3;

V) x 2+ g 2 > 9; G) x 2+ g 2 £4.

2. Grafički riješiti sustave nejednadžbi:

a) b)

Približno rješenje nejednadžbi.

Grafičko rješavanje nejednadžbi s jednom nepoznanicom.

Grafičko rješavanje sustava nejednadžbi s dvije nepoznanice.

Sjecište rješenja.

Grafički prikaz funkcija omogućuje približno odlučiti nejednakosti sa jedna nepoznanica i sustavi nejednakosti sa jedan i dvije nepoznate. Grafički riješiti nejednadžbu s jednom nepoznatom, potrebno je sve njegove članove prenijeti u jedan dio, tj. e . dovesti do:

f ( x ) > 0 ,

i nacrtajte funkciju y = f(x ). nakon ovoga, Pomoću izgrađenog grafikona možete pronaći funkcijske nule(vidi), koji će podijeliti osX za nekoliko intervala. x, Sada, na temelju toga, određujemo intervaleunutar koje znaku funkcije odgovara znak nejednakosti. Na primjer,nule naše funkcije: a I b (Slika 30). Zatim iz grafikona očito je da intervali unutar kojih (x ) > 0: x < nule naše funkcije: a x > I f (oni su istaknuti podebljanim strelicama). Jasno je da znak > < , .

ovdje je uvjetno; umjesto njega može biti bilo koji drugi: Do grafički riješiti sustav nejednadžbi S e jednu nepoznanicu, potrebno je sve pojmove u svakoj od njih prenijeti u jedan dio, tj.

. nejednakosti dovesti u oblik: i graditi grafove funkcija ( x ), y = f = g (x ) , ... , y = f = g (x). h Svaki od ovih nejednakosti rješava se gore opisanom grafičkom metodom. Nakon toga trebati pronaći presjek rješenja sve nejednakosti, tj.

e.

njihov zajednički dio.PRIMJER Sustav nejednadžbi riješite grafički: = - 2 / 3 x Rješenje. Prvo nacrtajmo funkcije

PRIMJER Sustav nejednadžbi riješite grafički: = x 2 g

+ 2 i- 1 (Sl. 31):x> 3, Odluka prvogx < - 1 и xnejednakost je interval

označeno na slici 31 crnom strelicom; rješenje druge nejednadžbe sastoji se od dva intervala:> 1, označeno na slici 31 sivim strelicama. Iz grafikona je jasnoŠtosjecište ova dva rješenja je interval

x

1) > 3. Ovo je rješenje zadanog sustava nejednadžbi. Da biste grafički riješili sustav dviju nejednadžbi s dvije nepoznanice, potrebno je:

u svakom od njih premjestite sve članove u jedan dio, tj.

2) e. donijeti f (nejednakosti oblika: izgraditi grafove implicitno navedenih funkcija: x, y (nejednakosti oblika:) = 0;

3) ) = 0 i

g Svaki od ovih grafikona dijeli koordinatnu ravninu na dva dijela: odlučiti

grafički svaku od ovih nejednakosti, dovoljno je provjeriti

valjanost nejednakosti u jednoj proizvoljnoj točki unutar bilo kojeg

dijelovi aviona; ako se u ovoj točki pojavi nejednakost, tada

ovaj dio koordinatna ravnina je njegova odluka, ako ne, onda

rješenje je suprotni dio ravnine ;

4) rješenje zadanog sustava nejednadžbi je presjek

(general area) dijelovi koordinatne ravnine.

PRIMJER Riješite sustav nejednadžbi:

Rješenje. Prvo gradimo grafove linearnih funkcija: 5x – 7 PRIMJER Sustav nejednadžbi riješite grafički:= - 11 i

2 x + 3 PRIMJER Sustav nejednadžbi riješite grafički:= 10 (slika 32). Za svaku od njih nalazimo poluravninu,

unutar kojih se odgovarajućidana nejednakost

fer. Znamo da je dovoljno provjeriti pravednost

Nejednakosti u jednoj proizvoljnoj točki u regiji; u ovome

U ovom slučaju, za to je najlakše koristiti ishodište koordinata O(0, 0 ).

Uokvirujući ga umjesto toga koordinira u naše nejednakostix I y = f,

Dobivamo: 5 0 – 7 0 = 0 > - 11, dakle, niže

poluravnina (žuta) je rješenje za prvi

nejednakosti; 2 0 + 3 0 = 0< 10, поэтому второе nejednakost

Njegovo rješenje također ima donju poluravninu ( plava

boje ). Sjecište ovih poluravnina ( područje tirkizne boje)

je rješenje naš sustav nejednakosti.