Opća formula za sinusnu jednadžbu. Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe

Glavne metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi su: svođenje jednadžbi na najjednostavnije (pomoću trigonometrijskih formula), uvođenje novih varijabli i rastavljanje na faktore. Pogledajmo njihovu upotrebu s primjerima. Obratiti pozornost na format pisanja rješenja trigonometrijskih jednadžbi.

Nužan uvjet za uspješno rješavanje trigonometrijskih jednadžbi je poznavanje trigonometrijskih formula (tema 13 rada 6).

Primjeri.

1. Jednadžbe svedene na najjednostavnije.

1) Riješite jednadžbu

Otopina:

Odgovor:

2) Pronađite korijene jednadžbe

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, koji pripada segmentu.

Otopina:

Odgovor:

2. Jednadžbe koje se svode na kvadratne.

1) Riješite jednadžbu 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Otopina: Koristeći formulu sin 2 x = 1 – cos 2 x, dobivamo

Odgovor:

2) Riješite jednadžbu cos 2x = 1 + 4 cosx.

Otopina: Koristeći formulu cos 2x = 2 cos 2 x – 1, dobivamo

Odgovor:

3) Riješite jednadžbu tgx – 2ctgx + 1 = 0

Otopina:

Odgovor:

3. Homogene jednadžbe

1) Riješite jednadžbu 2sinx – 3cosx = 0

Rješenje: Neka je cosx = 0, tada je 2sinx = 0 i sinx = 0 – kontradikcija s činjenicom da je sin 2 x + cos 2 x = 1. To znači da je cosx ≠ 0 i jednadžbu možemo podijeliti s cosx. Dobivamo

Odgovor:

2) Riješite jednadžbu 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Otopina:

Koristimo formule 1 = sin 2 x + cos 2 x i sin 2x = 2 sinxcosx, dobivamo

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Neka je cosx = 0, tada je sin 2 x = 0 i sinx = 0 – kontradikcija s činjenicom da je sin 2 x + cos 2 x = 1.
To znači cosx ≠ 0 i možemo podijeliti jednadžbu s cos 2 x . Dobivamo

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Označimo tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 k, k .

Odgovor: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k, k

4. Jednadžbe oblika a sinx + b cosx = s, s≠ 0.

1) Riješite jednadžbu.

Otopina:

Odgovor:

5. Jednadžbe rješavane faktoriziranjem.

1) Riješite jednadžbu sin2x – sinx = 0.

Korijen jednadžbe f (X) = φ ( X) može poslužiti samo kao broj 0. Provjerimo ovo:

cos 0 = 0 + 1 – jednakost je istinita.

Broj 0 je jedini korijen ove jednadžbe.

Odgovor: 0.

Možete naručiti detaljno rješenje vašeg problema!!!

Jednadžba koja sadrži nepoznanicu ispod predznaka trigonometrijske funkcije (`sin x, cos x, tan x` ili `ctg x`) naziva se trigonometrijska jednadžba, a njihove formule ćemo dalje razmatrati.

Najjednostavnije jednadžbe nazivaju se `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, gdje je `x` kut koji treba pronaći, `a` je bilo koji broj. Zapišimo formule korijena za svaku od njih.

1. Jednadžba `sin x=a`.

Za `|a|>1` nema rješenja.

Kada `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.

Korijenska formula: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Jednadžba `cos x=a`

Za `|a|>1` - kao u slučaju sinusa, nema rješenja među realnim brojevima.

Kada `|a| \leq 1` ima beskonačan broj rješenja.

Korijenska formula: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Posebni slučajevi za sinus i kosinus u grafovima.

3. Jednadžba `tg x=a`

Ima beskonačan broj rješenja za bilo koju vrijednost `a`.

Korijenska formula: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Jednadžba `ctg x=a`

Također ima beskonačan broj rješenja za bilo koju vrijednost `a`.

Korijenska formula: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formule za korijene trigonometrijskih jednadžbi u tablici

Za sinus:
Za kosinus:
Za tangens i kotangens:
Formule za rješavanje jednadžbi koje sadrže inverzne trigonometrijske funkcije:

Metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi

Rješavanje bilo koje trigonometrijske jednadžbe sastoji se od dvije faze:

• uz pomoć pretvaranja u najjednostavnije;
• riješiti najjednostavniju jednadžbu dobivenu korištenjem korijenskih formula i gore napisanih tablica.

Pogledajmo glavne metode rješenja koristeći primjere.

Algebarska metoda.

Ova metoda uključuje zamjenu varijable i njezinu zamjenu u jednakost.

Primjer. Riješite jednadžbu: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

izvršite zamjenu: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, zatim `2y^2-3y+1=0`,

nalazimo korijene: `y_1=1, y_2=1/2`, iz čega slijede dva slučaja:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Odgovor: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizacija.

Primjer. Riješite jednadžbu: `sin x+cos x=1`.

Otopina. Pomaknimo sve članove jednakosti ulijevo: `sin x+cos x-1=0`. Koristeći , transformiramo i faktoriziramo lijevu stranu:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Odgovor: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Svođenje na homogenu jednadžbu

Prvo, trebate reducirati ovu trigonometrijsku jednadžbu na jedan od dva oblika:

`a sin x+b cos x=0` (homogena jednadžba prvog stupnja) ili `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogena jednadžba drugog stupnja).

Zatim podijelite oba dijela s `cos x \ne 0` - za prvi slučaj, i s `cos^2 x \ne 0` - za drugi. Dobivamo jednadžbe za `tg x`: `a tg x+b=0` i `a tg^2 x + b tg x +c =0`, koje je potrebno riješiti poznatim metodama.

Primjer. Riješite jednadžbu: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Otopina. Zapišimo desnu stranu kao `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Ovo je homogena trigonometrijska jednadžba drugog stupnja, lijevu i desnu stranu podijelimo sa `cos^2 x \ne 0`, dobijemo:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Uvedimo zamjenu `tg x=t`, što rezultira `t^2 + t - 2=0`. Korijeni ove jednadžbe su "t_1=-2" i "t_2=1". Zatim:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \u Z`.

Odgovor. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \u Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \u Z`.

Idi do pola kuta

Primjer. Riješite jednadžbu: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Otopina. Primijenimo formule dvostrukog kuta, što rezultira: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Primjenom gore opisane algebarske metode dobivamo:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \u Z`.

Odgovor. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Uvođenje pomoćnog kuta

U trigonometrijskoj jednadžbi `a sin x + b cos x =c`, gdje su a,b,c koeficijenti, a x varijabla, podijelite obje strane sa `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Koeficijenti na lijevoj strani imaju svojstva sinusa i kosinusa, naime zbroj njihovih kvadrata jednak je 1 i njihovi moduli nisu veći od 1. Označimo ih na sljedeći način: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, tada:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Pogledajmo pobliže sljedeći primjer:

Primjer. Riješite jednadžbu: `3 sin x+4 cos x=2`.

Otopina. Podijelimo obje strane jednakosti sa `sqrt (3^2+4^2)`, dobivamo:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

Označimo `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Budući da je `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, tada uzimamo `\varphi=arcsin 4/5` kao pomoćni kut. Zatim našu jednakost zapišemo u obliku:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Primjenjujući formulu za zbroj kutova za sinus, svoju jednakost zapisujemo u sljedećem obliku:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Odgovor. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Razlomljene racionalne trigonometrijske jednadžbe

To su jednakosti s razlomcima čiji brojnici i nazivnici sadrže trigonometrijske funkcije.

Primjer. Riješite jednadžbu. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Otopina. Pomnožite i podijelite desnu stranu jednakosti s "(1+cos x)". Kao rezultat dobivamo:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

S obzirom da nazivnik ne može biti jednak nuli, dobivamo `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Izjednačimo brojnik razlomka s nulom: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Zatim `sin x=0` ili `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

S obzirom da je ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, rješenja su `x=2\pi n, n \in Z` i `x=\pi /2+2\pi n` , `n \u Z`.

Odgovor. `x=2\pi n`, `n \u Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \u Z`.

Trigonometrija, a posebno trigonometrijske jednadžbe, koriste se u gotovo svim područjima geometrije, fizike i tehnike. Učenje počinje u 10. razredu, uvijek postoje zadaci za Jedinstveni državni ispit, pa pokušajte zapamtiti sve formule trigonometrijskih jednadžbi - sigurno će vam biti od koristi!

Međutim, ne morate ih čak ni pamtiti, glavna stvar je razumjeti suštinu i moći je izvesti. Nije tako teško kao što se čini. Uvjerite se i sami gledajući video.

Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe su jednadžbe

Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) = a

Jednadžba cos(x) = a

Obrazloženje i obrazloženje

1. Korijeni jednadžbe cosx = a. Kada | a | > 1 jednadžba nema korijena, jer | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 ili na a< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

Neka | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. Na intervalu funkcija y = cos x opada od 1 do -1. Ali opadajuća funkcija uzima svaku od svojih vrijednosti samo u jednoj točki svoje domene definicije, stoga jednadžba cos x = a ima samo jedan korijen na ovom intervalu, koji je, prema definiciji arkosinusa, jednak: x 1 = arccos a (i za ovaj korijen cos x = A).

Kosinus je parna funkcija, pa na intervalu [-n; 0] jednadžba cos x = i također ima samo jedan korijen - broj nasuprot x 1, tj

x 2 = -arccos a.

Dakle, na intervalu [-n; p] (duljina 2p) jednadžba cos x = a s | a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

Funkcija y = cos x je periodična s periodom 2n, stoga se svi ostali korijeni razlikuju od onih koji se nalaze s 2n (n € Z). Dobivamo sljedeću formulu za korijene jednadžbe cos x = a kada

x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.

1. Posebni slučajevi rješavanja jednadžbe cosx = a.

Korisno je zapamtiti posebne oznake za korijene jednadžbe cos x = a kada

a = 0, a = -1, a = 1, što se lako može dobiti korištenjem jedinične kružnice kao reference.

Budući da je kosinus jednak apscisi odgovarajuće točke jedinične kružnice, dobivamo da je cos x = 0 ako i samo ako je odgovarajuća točka jedinične kružnice točka A ili točka B.

Slično, cos x = 1 ako i samo ako je odgovarajuća točka jedinične kružnice točka C, dakle,

x = 2πp, k € Z.

Također cos x = -1 ako i samo ako je odgovarajuća točka jedinične kružnice točka D, dakle x = n + 2nn,

Jednadžba sin(x) = a

Obrazloženje i obrazloženje

1. Korijeni jednadžbe sinx = a. Kada | a | > 1 jednadžba nema korijena, jer | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 ili na a< -1 не пересекает график функции y = sinx).

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela u Ruskoj Federaciji - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

Videotečaj "Get A" uključuje sve teme potrebne za uspješno polaganje Jedinstvenog državnog ispita iz matematike sa 60-65 bodova. Potpuno svi zadaci 1-13 profilnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Prikladno i za polaganje osnovnog jedinstvenog državnog ispita iz matematike. Ako želite položiti Jedinstveni državni ispit s 90-100 bodova, trebate riješiti 1. dio za 30 minuta i bez grešaka!

Pripremni tečaj za Jedinstveni državni ispit za razrede 10-11, kao i za učitelje. Sve što vam je potrebno za rješavanje prvog dijela Jedinstvenog državnog ispita iz matematike (prvih 12 problema) i problema 13 (trigonometrija). A ovo je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa 100 bodova ni student humanističkih znanosti.

Sva potrebna teorija. Brza rješenja, zamke i tajne jedinstvenog državnog ispita. Analizirani su svi tekući zadaci 1. dijela iz FIPI Banke zadataka. Tečaj je u potpunosti u skladu sa zahtjevima Jedinstvenog državnog ispita 2018.

Tečaj sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je dana od nule, jednostavno i jasno.

Stotine zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Riječni problemi i teorija vjerojatnosti. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta zadataka Jedinstvenog državnog ispita. Stereometrija. Varljiva rješenja, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija od nule do problema 13. Razumijevanje umjesto natrpavanja. Jasna objašnjenja složenih pojmova. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i izvod. Osnova za rješavanje složenih problema 2. dijela Jedinstvenog državnog ispita.