Binomni zakon distribucije. Zakon normalne distribucije Distribucija slučajne varijable ima oblik
Možemo istaknuti najčešće zakone raspodjele diskretnih slučajnih varijabli:
- Binomni zakon distribucije
- Poissonov zakon distribucije
- Geometrijski zakon raspodjele
- Hipergeometrijski zakon raspodjele
Za zadane distribucije diskretnih slučajnih varijabli izračun vjerojatnosti njihovih vrijednosti, kao i numeričkih karakteristika (matematičko očekivanje, varijanca, itd.) provodi se pomoću određenih "formula". Stoga je vrlo važno poznavati ove vrste distribucija i njihova osnovna svojstva.
1. Binomni zakon raspodjele.
Diskretna slučajna varijabla $X$ podliježe binomnom zakonu distribucije vjerojatnosti ako uzima vrijednosti $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ s vjerojatnostima $P\left(X=k\right)= C^k_n\cdot p^k\cdot (\lijevo(1-p\desno))^(n-k)$. Zapravo, slučajna varijabla $X$ je broj pojavljivanja događaja $A$ u $n$ neovisnih pokušaja. Zakon distribucije vjerojatnosti slučajne varijable $X$:
$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \točke & n \\
\hline
p_i & P_n\lijevo(0\desno) & P_n\lijevo(1\desno) & \točke & P_n\lijevo(n\desno) \\
\hline
\end(niz)$
Za takvu slučajnu varijablu matematičko očekivanje je $M\left(X\right)=np$, varijanca je $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.
Primjer . Obitelj ima dvoje djece. Pretpostavljajući da su vjerojatnosti rođenja dječaka i djevojčice jednake 0,5$, pronađite zakon distribucije slučajne varijable $\xi$ - broja dječaka u obitelji.
Neka je slučajna varijabla $\xi $ broj dječaka u obitelji. Vrijednosti koje $\xi može poprimiti:\ 0,\ 1,\ 2$. Vjerojatnosti ovih vrijednosti mogu se pronaći pomoću formule $P\lijevo(\xi =k\desno)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\lijevo(1-p\desno))^(n-k )$, gdje je $n =2$ broj neovisnih pokušaja, $p=0,5$ je vjerojatnost da će se događaj dogoditi u nizu od $n$ pokušaja. Dobivamo:
$P\lijevo(\xi =0\desno)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\lijevo(1-0,5\desno))^(2-0)=(0, 5)^2=0,25;$
$P\lijevo(\xi =1\desno)=C^1_2\cdot 0,5\cdot (\lijevo(1-0,5\desno))^(2-1)=2\cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5;$
$P\lijevo(\xi =2\desno)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\lijevo(1-0,5\desno))^(2-2)=(0, 5)^2 =0,25 $
Tada je zakon raspodjele slučajne varijable $\xi $ korespondencija između vrijednosti $0,\ 1,\ 2$ i njihovih vjerojatnosti, to jest:
$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(niz)$
Zbroj vjerojatnosti u zakonu distribucije trebao bi biti jednak $1$, odnosno $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+ 0, 25=1 dolar.
Očekivanje $M\lijevo(\xi \desno)=np=2\cdot 0,5=1$, varijanca $D\lijevo(\xi \desno)=np\lijevo(1-p\desno)=2\ cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5$, standardna devijacija $\sigma \lijevo(\xi \desno)=\sqrt(D\lijevo(\xi \desno))=\sqrt(0,5 )\približno 0,707 $.
2. Poissonov zakon distribucije.
Ako diskretna slučajna varijabla $X$ može poprimiti samo nenegativne cjelobrojne vrijednosti $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ s vjerojatnostima $P\left(X=k\right)=((( \lambda )^k )\preko (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}
Komentar. Posebnost ove distribucije je da, na temelju eksperimentalnih podataka, nalazimo procjene $M\lijevo(X\desno),\ D\lijevo(X\desno)$, ako su dobivene procjene bliske jedna drugoj, tada imamo razloga za tvrdnju da slučajna varijabla podliježe Poissonovom zakonu distribucije.
Primjer . Primjeri slučajnih varijabli koje podliježu Poissonovom zakonu distribucije mogu biti: broj automobila koje će benzinska postaja opsluživati sutra; broj neispravnih artikala u proizvedenim proizvodima.
Primjer . Tvornica je poslala 500$ proizvoda u bazu. Vjerojatnost oštećenja proizvoda u transportu je 0,002$. Naći zakon raspodjele slučajne varijable $X$ jednak broju oštećenih proizvoda; što je $M\lijevo(X\desno),\ D\lijevo(X\desno)$.
Neka diskretna slučajna varijabla $X$ bude broj oštećenih proizvoda. Takva slučajna varijabla podliježe Poissonovom zakonu distribucije s parametrom $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$. Vjerojatnosti vrijednosti jednake su $P\lijevo(X=k\desno)=(((\lambda )^k)\preko (k}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}
$P\lijevo(X=0\desno)=((1^0)\preko (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\lijevo(X=1\desno)=((1^1)\preko (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}
$P\lijevo(X=2\desno)=((1^2)\preko (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}
$P\lijevo(X=3\desno)=((1^3)\preko (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}
$P\lijevo(X=4\desno)=((1^4)\preko (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}
$P\lijevo(X=5\desno)=((1^5)\preko (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}
$P\lijevo(X=6\desno)=((1^6)\preko (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}
$P\lijevo(X=k\desno)=(((\lambda )^k)\preko (k}\cdot e^{-\lambda }$!}
Zakon distribucije slučajne varijable $X$:
$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\preko (k}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(niz)$
Za takvu slučajnu varijablu, matematičko očekivanje i varijanca su međusobno jednaki i jednaki parametru $\lambda $, to jest, $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1$.
3. Geometrijski zakon raspodjele.
Ako diskretna slučajna varijabla $X$ može poprimiti samo prirodne vrijednosti $1,\ 2,\ \dots ,\ n$ s vjerojatnostima $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\ desno)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \točkice $, onda kažu da takva slučajna varijabla $X$ podliježe geometrijskom zakonu distribucije vjerojatnosti. Zapravo, geometrijska distribucija je Bernoullijev test do prvog uspjeha.
Primjer . Primjeri slučajnih varijabli koje imaju geometrijsku raspodjelu mogu biti: broj hitaca prije prvog pogotka u metu; broj testiranja uređaja do prvog kvara; broj bacanja novčića dok se ne pojavi prva glava, itd.
Matematičko očekivanje i varijanca slučajne varijable podložne geometrijskoj distribuciji jednaki su $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\right)=\left(1-p\right )/p^ $2.
Primjer . Na putu kretanja ribe do mrijestilišta nalazi se prevodnica od 4$. Vjerojatnost da riba prođe kroz svaki prolaz je $p=3/5$. Konstruirajte niz distribucije slučajne varijable $X$ - broj brava koje je riba prošla prije prvog zaustavljanja na brani. Pronađite $M\lijevo(X\desno),\ D\lijevo(X\desno),\ \sigma \lijevo(X\desno)$.
Neka slučajna varijabla $X$ bude broj brava koje je riba prošla prije prvog zaustavljanja na brani. Takva slučajna varijabla podliježe geometrijskom zakonu distribucije vjerojatnosti. Vrijednosti koje slučajna varijabla $X može poprimiti: $ 1, 2, 3, 4. Vjerojatnosti ovih vrijednosti izračunavaju se pomoću formule: $P\lijevo(X=k\desno)=pq^(k -1)$, gdje je: $ p=2/5$ - vjerojatnost da riba bude zadržana kroz prevodnicu, $q=1-p=3/5$ - vjerojatnost da riba prođe kroz prevodnicu, $k=1,\ 2,\ 3,\ 4$.
$P\lijevo(X=1\desno)=((2)\preko (5))\cdot (\lijevo(((3)\preko (5))\desno))^0=((2)\ preko (5))=0,4;$
$P\lijevo(X=2\desno)=((2)\preko (5))\cdot ((3)\preko (5))=((6)\preko (25))=0,24 $
$P\lijevo(X=3\desno)=((2)\preko (5))\cdot (\lijevo(((3)\preko (5))\desno))^2=((2)\ preko (5))\cdot ((9)\preko (25))=((18)\preko (125))=0,144;$
$P\lijevo(X=4\desno)=((2)\preko (5))\cdot (\lijevo(((3)\preko (5))\desno))^3+(\lijevo(( (3)\preko (5))\desno))^4=((27)\preko (125))=0,216.$
$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\lijevo(X_i\desno) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(niz)$
Matematičko očekivanje:
$M\lijevo(X\desno)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176.$
Disperzija:
$D\lijevo(X\desno)=\sum^n_(i=1)(p_i(\lijevo(x_i-M\lijevo(X\desno)\desno))^2=)0,4\cdot (\ lijevo( 1-2,176\desno))^2+0,24\cdot (\lijevo(2-2,176\desno))^2+0,144\cdot (\lijevo(3-2,176\desno))^2+$
$+\0,216\cdot (\lijevo(4-2,176\desno))^2\približno 1,377.$
Standardna devijacija:
$\sigma \lijevo(X\desno)=\sqrt(D\lijevo(X\desno))=\sqrt(1377)\približno 1173.$
4. Hipergeometrijski zakon raspodjele.
Ako $N$ objekata, među kojima $m$ objekata ima zadano svojstvo. $n$ objekata se nasumično dohvaća bez vraćanja, među kojima je bilo $k$ objekata koji imaju zadano svojstvo. Hipergeometrijska distribucija omogućuje procjenu vjerojatnosti da točno $k$ objekata u uzorku ima zadano svojstvo. Neka je slučajna varijabla $X$ broj objekata u uzorku koji imaju određeno svojstvo. Tada su vjerojatnosti vrijednosti slučajne varijable $X$:
$P\lijevo(X=k\desno)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\preko (C^n_N))$
Komentar. Statistička funkcija HYPERGEOMET čarobnjaka za $f_x$ funkciju programa Excel omogućuje određivanje vjerojatnosti da će određeni broj testova biti uspješan.
$f_x\to$ statistički$\do$ HIPERGEOMET$\do$ U REDU. Pojavit će se dijaloški okvir koji trebate ispuniti. U kolumni Broj_uspjeha_u_uzorku označiti vrijednost $k$. veličina_uzorka jednako $n$. U kolumni Broj_uspjeha_zajedno označite vrijednost $m$. veličina_populacije jednako $N$.
Matematičko očekivanje i varijanca diskretne slučajne varijable $X$, podložne geometrijskom zakonu raspodjele, redom su jednake $M\lijevo(X\desno)=nm/N$, $D\lijevo(X\desno)= ((nm\lijevo(1 -((m)\preko (N))\desno)\lijevo(1-((n)\preko (N))\desno))\preko (N-1))$.
Primjer . Kreditni odjel banke zapošljava 5 stručnjaka s višom financijskom naobrazbom i 3 stručnjaka s višom pravnom naobrazbom. Uprava banke odlučila je poslati 3 stručnjaka da poboljšaju svoje kvalifikacije, odabirući ih slučajnim redoslijedom.
a) Napraviti seriju raspodjele za broj stručnjaka s višim financijskim obrazovanjem koji se mogu poslati na usavršavanje svojih vještina;
b) Odredite numeričke karakteristike ove distribucije.
Neka je slučajna varijabla $X$ broj stručnjaka s visokim financijskim obrazovanjem među tri odabrana. Vrijednosti koje $X može primiti: 0,\ 1,\ 2,\ 3$. Ova slučajna varijabla $X$ raspoređena je prema hipergeometrijskoj distribuciji sa sljedećim parametrima: $N=8$ - veličina populacije, $m=5$ - broj uspjeha u populaciji, $n=3$ - veličina uzorka, $ k=0,\ 1, \2,\3$ - broj uspjeha u uzorku. Tada se vjerojatnosti $P\lijevo(X=k\desno)$ mogu izračunati pomoću formule: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(N-m)^(n-k) \ preko C_( N)^(n) ) $. imamo:
$P\lijevo(X=0\desno)=((C^0_5\cdot C^3_3)\preko (C^3_8))=((1)\preko (56))\približno 0,018;$
$P\lijevo(X=1\desno)=((C^1_5\cdot C^2_3)\preko (C^3_8))=((15)\preko (56))\približno 0,268;$
$P\lijevo(X=2\desno)=((C^2_5\cdot C^1_3)\preko (C^3_8))=((15)\preko (28))\približno 0,536;$
$P\lijevo(X=3\desno)=((C^3_5\cdot C^0_3)\preko (C^3_8))=((5)\preko (28))\približno 0,179.$
Tada niz distribucije slučajne varijable $X$:
$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end(niz)$
Izračunajmo numeričke karakteristike slučajne varijable $X$ pomoću općih formula hipergeometrijske distribucije.
$M\lijevo(X\desno)=((nm)\preko (N))=((3\cdot 5)\preko (8))=((15)\preko (8))=1,875.$
$D\lijevo(X\desno)=((nm\lijevo(1-((m)\preko (N))\desno)\lijevo(1-((n)\preko (N))\desno)) \preko (N-1))=((3\cdot 5\cdot \lijevo(1-((5)\preko (8))\desno)\cdot \lijevo(1-((3)\preko (8) ))\desno))\preko (8-1))=((225)\preko (448))\približno 0,502.$
$\sigma \lijevo(X\desno)=\sqrt(D\lijevo(X\desno))=\sqrt(0,502)\približno 0,7085.$
Slučajna varijabla Varijablom se naziva varijabla koja kao rezultat svakog testa poprima jednu prethodno nepoznatu vrijednost, ovisno o slučajnim razlozima. Slučajne varijable se označavaju velikim latiničnim slovima: $X,\ Y,\ Z,\ \točke $ Slučajne varijable prema vrsti mogu biti diskretan I stalan.
Diskretna slučajna varijabla- ovo je slučajna varijabla čije vrijednosti mogu biti samo prebrojive, odnosno konačne ili prebrojive. Pod prebrojivošću podrazumijevamo da se vrijednosti slučajne varijable mogu numerirati.
Primjer 1 . Evo primjera diskretnih slučajnih varijabli:
a) broj pogodaka u metu s $n$ hitaca, ovdje su moguće vrijednosti $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.
b) broj amblema koji ispadaju prilikom bacanja novčića, ovdje su moguće vrijednosti $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.
c) broj brodova koji dolaze na brod (prebrojiv skup vrijednosti).
d) broj poziva pristiglih na PBX (brojiv skup vrijednosti).
1. Zakon distribucije vjerojatnosti diskretne slučajne varijable.
Diskretna slučajna varijabla $X$ može poprimiti vrijednosti $x_1,\dots ,\ x_n$ s vjerojatnostima $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Korespondencija između ovih vrijednosti i njihovih vjerojatnosti naziva se zakon raspodjele diskretne slučajne varijable. U pravilu se ova korespondencija navodi pomoću tablice, čiji prvi redak označava vrijednosti $x_1,\dots ,\ x_n$, a drugi redak sadrži vjerojatnosti $p_1,\dots ,\ p_n$ koje odgovaraju ove vrijednosti.
$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \točke & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \točke & p_n \\
\hline
\end(niz)$
Primjer 2 . Neka slučajna varijabla $X$ bude broj bodova bačenih prilikom bacanja kocke. Takva slučajna varijabla $X$ može poprimiti sljedeće vrijednosti: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Vjerojatnosti svih ovih vrijednosti jednake su $1/6$. Tada zakon distribucije vjerojatnosti slučajne varijable $X$:
$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
\hline
\end(niz)$
Komentar. Budući da u zakonu raspodjele diskretne slučajne varijable $X$ događaji $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ tvore potpunu skupinu događaja, tada zbroj vjerojatnosti mora biti jednak jedan, to jest $ \sum(p_i)=1$.
2. Matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable.
Očekivanje slučajne varijable postavlja svoje “središnje” značenje. Za diskretnu slučajnu varijablu, matematičko očekivanje izračunava se kao zbroj umnožaka vrijednosti $x_1,\dots ,\ x_n$ i vjerojatnosti $p_1,\dots ,\ p_n$ koje odgovaraju tim vrijednostima, tj. : $M\lijevo(X\desno)=\zbroj ^n_(i=1)(p_ix_i)$. U literaturi na engleskom jeziku koristi se druga oznaka $E\left(X\right)$.
Svojstva matematičkog očekivanja$M\lijevo(X\desno)$:
- $M\lijevo(X\desno)$ nalazi se između najmanje i najveće vrijednosti slučajne varijable $X$.
- Matematičko očekivanje konstante jednako je samoj konstanti, tj. $M\lijevo(C\desno)=C$.
- Konstantni faktor može se uzeti iz predznaka matematičkog očekivanja: $M\lijevo(CX\desno)=CM\lijevo(X\desno)$.
- Matematičko očekivanje zbroja slučajnih varijabli jednako je zbroju njihovih matematičkih očekivanja: $M\lijevo(X+Y\desno)=M\lijevo(X\desno)+M\lijevo(Y\desno)$.
- Matematičko očekivanje umnoška nezavisnih slučajnih varijabli jednako je umnošku njihovih matematičkih očekivanja: $M\lijevo(XY\desno)=M\lijevo(X\desno)M\lijevo(Y\desno)$.
Primjer 3 . Nađimo matematičko očekivanje slučajne varijable $X$ iz primjera $2$.
$$M\lijevo(X\desno)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\preko (6))+2\cdot ((1)\preko (6) )+3\cdot ((1)\preko (6))+4\cdot ((1)\preko (6))+5\cdot ((1)\preko (6))+6\cdot ((1 )\preko (6))=3,5.$$
Možemo primijetiti da se $M\left(X\right)$ nalazi između najmanje ($1$) i najveće ($6$) vrijednosti slučajne varijable $X$.
Primjer 4 . Poznato je da je matematičko očekivanje slučajne varijable $X$ jednako $M\lijevo(X\desno)=2$. Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable $3X+5$.
Koristeći gornja svojstva, dobivamo $M\lijevo(3X+5\desno)=M\lijevo(3X\desno)+M\lijevo(5\desno)=3M\lijevo(X\desno)+5=3\ cdot 2 +5=11$.
Primjer 5 . Poznato je da je matematičko očekivanje slučajne varijable $X$ jednako $M\lijevo(X\desno)=4$. Pronađite matematičko očekivanje slučajne varijable $2X-9$.
Koristeći gornja svojstva, dobivamo $M\lijevo(2X-9\desno)=M\lijevo(2X\desno)-M\lijevo(9\desno)=2M\lijevo(X\desno)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.
3. Disperzija diskretne slučajne varijable.
Moguće vrijednosti slučajnih varijabli s jednakim matematičkim očekivanjima mogu se različito raspršiti oko svojih prosječnih vrijednosti. Na primjer, u dvije grupe studenata prosječna ocjena ispita iz teorije vjerojatnosti bila je 4, ali su u jednoj skupini svi ispali dobri studenti, au drugoj su bili samo C studenti i odlični studenti. Stoga postoji potreba za numeričkom karakteristikom slučajne varijable koja bi pokazala širenje vrijednosti slučajne varijable oko njenog matematičkog očekivanja. Ova karakteristika je disperzija.
Varijanca diskretne slučajne varijable$X$ je jednako:
$$D\lijevo(X\desno)=\sum^n_(i=1)(p_i(\lijevo(x_i-M\lijevo(X\desno)\desno))^2).\ $$
U engleskoj literaturi koristi se oznaka $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Vrlo često se varijanca $D\left(X\right)$ izračunava pomoću formule $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\ lijevo(X \desno)\desno))^2$.
Disperzijska svojstva$D\lijevo(X\desno)$:
- Varijanca je uvijek veća ili jednaka nuli, tj. $D\lijevo(X\desno)\ge 0$.
- Varijanca konstante je nula, tj. $D\lijevo(C\desno)=0$.
- Konstantni faktor se može izbaciti iz predznaka disperzije pod uvjetom da je kvadriran, tj. $D\lijevo(CX\desno)=C^2D\lijevo(X\desno)$.
- Varijanca zbroja nezavisnih slučajnih varijabli jednaka je zbroju njihovih varijanci, tj. $D\lijevo(X+Y\desno)=D\lijevo(X\desno)+D\lijevo(Y\desno)$.
- Varijanca razlike između nezavisnih slučajnih varijabli jednaka je zbroju njihovih varijanci, tj. $D\lijevo(X-Y\desno)=D\lijevo(X\desno)+D\lijevo(Y\desno)$.
Primjer 6 . Izračunajmo varijancu slučajne varijable $X$ iz primjera $2$.
$$D\lijevo(X\desno)=\sum^n_(i=1)(p_i(\lijevo(x_i-M\lijevo(X\desno)\desno))^2)=((1)\više (6))\cdot (\lijevo(1-3,5\desno))^2+((1)\preko (6))\cdot (\lijevo(2-3,5\desno))^2+ \točke +( (1)\preko (6))\cdot (\lijevo(6-3,5\desno))^2=((35)\preko (12))\približno 2,92.$$
Primjer 7 . Poznato je da je varijanca slučajne varijable $X$ jednaka $D\lijevo(X\desno)=2$. Pronađite varijancu slučajne varijable $4X+1$.
Koristeći gornja svojstva, nalazimo $D\lijevo(4X+1\desno)=D\lijevo(4X\desno)+D\lijevo(1\desno)=4^2D\lijevo(X\desno)+0= 16D\ lijevo(X\desno)=16\cdot 2=32$.
Primjer 8 . Poznato je da je varijanca slučajne varijable $X$ jednaka $D\left(X\right)=3$. Pronađite varijancu slučajne varijable $3-2X$.
Koristeći gornja svojstva, nalazimo $D\lijevo(3-2X\desno)=D\lijevo(3\desno)+D\lijevo(2X\desno)=0+2^2D\lijevo(X\desno)= 4D\ lijevo(X\desno)=4\cdot 3=12$.
4. Funkcija distribucije diskretne slučajne varijable.
Metoda predstavljanja diskretne slučajne varijable u obliku niza distribucije nije jedina, i što je najvažnije, nije univerzalna, budući da se kontinuirana slučajna varijabla ne može specificirati nizom distribucije. Postoji još jedan način predstavljanja slučajne varijable - funkcija distribucije.
Funkcija distribucije slučajna varijabla $X$ naziva se funkcija $F\lijevo(x\desno)$, koja određuje vjerojatnost da će slučajna varijabla $X$ poprimiti vrijednost manju od neke fiksne vrijednosti $x$, odnosno $F\ lijevo(x\desno )=P\lijevo(X< x\right)$
Svojstva funkcije distribucije:
- $0\le F\lijevo(x\desno)\le 1$.
- Vjerojatnost da će slučajna varijabla $X$ uzeti vrijednosti iz intervala $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ jednaka je razlici između vrijednosti funkcije distribucije na krajevima ovog interval: $P\lijevo(\alfa< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
- $F\lijevo(x\desno)$ - neopadajuće.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\lijevo(x\desno)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\lijevo(x \desno)=1\ )$.
Primjer 9 . Nađimo funkciju distribucije $F\left(x\right)$ za zakon distribucije diskretne slučajne varijable $X$ iz primjera $2$.
$\begin(niz)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(niz)$
Ako je $x\le 1$, tada je očito $F\lijevo(x\desno)=0$ (uključujući za $x=1$ $F\lijevo(1\desno)=P\lijevo(X< 1\right)=0$).
Ako $1< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.
Ako je 2 dolara< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.
Ako 3 dolara< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.
Ako je 4 dolara< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.
Ako je 5 dolara< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.
Ako je $x > 6$, tada je $F\lijevo(x\desno)=P\lijevo(X=1\desno)+P\lijevo(X=2\desno)+P\lijevo(X=3\desno) +P\lijevo(X=4\desno)+P\lijevo(X=5\desno)+P\lijevo(X=6\desno)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.
Dakle $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ na\ x\le 1,\\
1/6, na \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ na\ 2< x\le 3,\\
1/2,na\ 3< x\le 4,\\
2/3,\ na\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ u\ 4< x\le 5,\\
1,\ za\ x > 6.
\end(matrica)\desno.$
Primjeri slučajnih varijabli raspoređenih prema normalnom zakonu su visina osobe i masa ulovljene ribe iste vrste. Normalna raspodjela znači sljedeće : postoje vrijednosti ljudske visine, mase ribe iste vrste, koje se intuitivno percipiraju kao "normalne" (a zapravo, prosječne), au dovoljno velikom uzorku nalaze se mnogo češće od onih koje razlikuju prema gore ili prema dolje.
Normalna distribucija vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable (ponekad Gaussova distribucija) može se nazvati zvonastom zbog činjenice da je funkcija gustoće ove distribucije, simetrična u odnosu na srednju vrijednost, vrlo slična rezu zvona (crvena krivulja na gornjoj slici).
Vjerojatnost da naiđemo na određene vrijednosti u uzorku jednaka je površini figure ispod krivulje, au slučaju normalne distribucije to vidimo ispod vrha "zvona", što odgovara vrijednostima težeći prosjeku, površina, a time i vjerojatnost, veća je nego ispod rubova. Dakle, dobivamo isto što je već rečeno: vjerojatnost da ćete sresti osobu "normalne" visine i uhvatiti ribu "normalne" težine je veća nego za vrijednosti koje se razlikuju prema gore ili dolje. U mnogim praktičnim slučajevima, pogreške mjerenja raspoređene su prema zakonu bliskom normalnom.
Pogledajmo ponovno sliku na početku lekcije koja prikazuje funkciju gustoće normalne distribucije. Graf ove funkcije dobiven je izračunom određenog uzorka podataka u programskom paketu STATISTICA. Na njemu stupci histograma predstavljaju intervale uzorkovanih vrijednosti čija je distribucija bliska (ili, kako se u statistici obično kaže, ne razlikuje se bitno od) stvarnog grafa funkcije gustoće normalne distribucije, a to je crvena krivulja . Grafikon pokazuje da je ova krivulja doista u obliku zvona.
Normalna distribucija je vrijedna na mnogo načina jer znajući samo očekivanu vrijednost kontinuirane slučajne varijable i njezinu standardnu devijaciju, možete izračunati bilo koju vjerojatnost povezanu s tom varijablom.
Normalna distribucija također ima prednost jer je jedna od najjednostavnijih za korištenje. statistički testovi koji se koriste za provjeru statističkih hipoteza – Studentov t test- može se koristiti samo ako se uzorci podataka pridržavaju normalnog zakona distribucije.
Funkcija gustoće normalne distribucije kontinuirane slučajne varijable može se pronaći pomoću formule:
,
Gdje x- vrijednost promjenjive količine, - prosječna vrijednost, - standardna devijacija, e=2,71828... - baza prirodnog logaritma, =3,1416...
Svojstva funkcije gustoće normalne distribucije
Promjene srednje vrijednosti pomiču normalnu krivulju funkcije gustoće prema osi Vol. Ako se povećava, krivulja se pomiče udesno, ako se smanjuje, onda ulijevo.
Ako se standardna devijacija mijenja, mijenja se visina vrha krivulje. Kada standardna devijacija raste, vrh krivulje je viši, a kada se smanjuje, niži je.
Vjerojatnost da normalno raspodijeljena slučajna varijabla pada unutar zadanog intervala
Već u ovom odlomku počet ćemo rješavati praktične probleme čije je značenje naznačeno u naslovu. Pogledajmo koje mogućnosti pruža teorija za rješavanje problema. Početni koncept za izračunavanje vjerojatnosti da normalno distribuirana slučajna varijabla padne u zadani interval je kumulativna funkcija normalne distribucije.
Funkcija kumulativne normalne distribucije:
.
Međutim, problematično je dobiti tablice za svaku moguću kombinaciju srednje vrijednosti i standardne devijacije. Stoga je jedan od jednostavnih načina za izračunavanje vjerojatnosti da normalno distribuirana slučajna varijabla padne u zadani interval korištenje tablica vjerojatnosti za standardiziranu normalnu distribuciju.
Normalna distribucija naziva se standardizirana ili normalizirana., čija je sredina , a standardna devijacija je .
Standardizirana funkcija gustoće normalne distribucije:
.
Kumulativna funkcija standardizirane normalne distribucije:
.
Na slici ispod prikazana je integralna funkcija standardizirane normalne distribucije čiji je graf dobiven izračunavanjem određenog uzorka podataka u programskom paketu STATISTICA. Sam grafikon je crvena krivulja, a vrijednosti uzorka joj se približavaju.
Da biste povećali sliku, kliknite na nju lijevom tipkom miša.
Standardizacija slučajne varijable znači prelazak s izvornih jedinica korištenih u zadatku na standardizirane jedinice. Normiranje se provodi prema formuli
U praksi su sve moguće vrijednosti slučajne varijable često nepoznate, pa se vrijednosti srednje i standardne devijacije ne mogu točno odrediti. Zamijenjeni su aritmetičkom sredinom opažanja i standardnom devijacijom s. Veličina z izražava odstupanja vrijednosti slučajne varijable od aritmetičke sredine pri mjerenju standardnih odstupanja.
Otvoreni interval
Tablica vjerojatnosti za standardiziranu normalnu distribuciju, koja se može naći u gotovo svakoj knjizi o statistici, sadrži vjerojatnosti da slučajna varijabla ima standardnu normalnu distribuciju Zće imati vrijednost manju od određenog broja z. To jest, pasti će u otvoreni interval od minus beskonačnosti do z. Na primjer, vjerojatnost da količina Z manje od 1,5, jednako 0,93319.
Primjer 1. Tvrtka proizvodi dijelove čiji je životni vijek normalno raspoređen s prosjekom od 1000 sati i standardnom devijacijom od 200 sati.
Za nasumično odabrani dio izračunajte vjerojatnost da će njegov radni vijek biti najmanje 900 sati.
Otopina. Uvedimo prvu oznaku:
Željena vjerojatnost.
Vrijednosti slučajne varijable su u otvorenom intervalu. Ali znamo kako izračunati vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost manju od zadane, a prema uvjetima problema trebamo pronaći onu koja je jednaka ili veća od zadane. Ovo je drugi dio prostora ispod normalne krivulje gustoće (zvono). Dakle, da biste pronašli željenu vjerojatnost, potrebno je od jedinice oduzeti spomenutu vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost manju od navedenih 900:
Sada slučajnu varijablu treba standardizirati.
Nastavljamo s uvođenjem oznake:
z = (X ≤ 900) ;
x= 900 - navedena vrijednost slučajne varijable;
μ = 1000 - prosječna vrijednost;
σ = 200 - standardna devijacija.
Pomoću ovih podataka dobivamo uvjete problema:
.
Prema tablicama standardizirane slučajne varijable (granica intervala) z= −0,5 odgovara vjerojatnosti od 0,30854. Oduzmite ga od jedinice i dobijete ono što se traži u izjavi problema:
Dakle, vjerojatnost da će dio imati životni vijek od najmanje 900 sati je 69%.
Ova vjerojatnost se može dobiti pomoću MS Excel funkcije NORM.DIST (integralna vrijednost - 1):
P(X≥900) = 1 - P(X≤900) = 1 - NORM.DIST(900; 1000; 200; 1) = 1 - 0,3085 = 0,6915.
O izračunima u MS Excelu - u jednom od sljedećih odlomaka ove lekcije.
Primjer 2. U određenom gradu prosječni godišnji prihod obitelji je normalno raspoređena slučajna varijabla sa sredinom od 300 000 i standardnom devijacijom od 50 000. Poznato je da je prihod 40% obitelji manji od A. Pronađite vrijednost A.
Otopina. U ovom problemu, 40% nije ništa drugo nego vjerojatnost da će slučajna varijabla uzeti vrijednost iz otvorenog intervala koja je manja od određene vrijednosti, označene slovom A.
Da biste pronašli vrijednost A, prvo sastavljamo integralnu funkciju:
Prema uvjetima problema
μ = 300000 - prosječna vrijednost;
σ = 50000 - standardna devijacija;
x = A- količina koju treba pronaći.
Izmišljanje jednakosti
.
Iz statističkih tablica nalazimo da vjerojatnost od 0,40 odgovara vrijednosti granice intervala z = −0,25 .
Stoga, mi stvaramo jednakost
i pronaći njegovo rješenje:
A = 287300 .
Odgovor: 40% obitelji ima prihode manje od 287.300.
Zatvoreni interval
U mnogim problemima potrebno je pronaći vjerojatnost da će normalno distribuirana slučajna varijabla uzeti vrijednost u intervalu od z 1 do z 2. Odnosno, pasti će u zatvoreni interval. Za rješavanje takvih problema potrebno je u tablici pronaći vjerojatnosti koje odgovaraju granicama intervala, a zatim pronaći razliku između tih vjerojatnosti. To zahtijeva oduzimanje manje vrijednosti od veće. Primjeri rješenja ovih uobičajenih problema su sljedeći, a od vas se traži da ih sami riješite, a zatim možete vidjeti točna rješenja i odgovore.
Primjer 3. Dobit poduzeća za određeno razdoblje je slučajna varijabla podložna normalnom zakonu raspodjele s prosječnom vrijednošću od 0,5 milijuna. a standardna devijacija 0,354. Odredite, točno na dvije decimale, vjerojatnost da će dobit poduzeća biti od 0,4 do 0,6 c.u.
Primjer 4. Duljina proizvedenog dijela je slučajna varijabla raspoređena prema normalnom zakonu s parametrima μ =10 i σ =0,071. Odredite vjerojatnost nedostataka, točno na dvije decimale, ako dopuštene dimenzije dijela moraju biti 10±0,05.
Savjet: u ovom problemu, osim pronalaženja vjerojatnosti da slučajna varijabla padne u zatvoreni interval (vjerojatnost primanja nedefektnog dijela), trebate izvršiti još jednu radnju.
omogućuje određivanje vjerojatnosti da standardizirana vrijednost Z ništa manje -z i nema više +z, Gdje z- proizvoljno odabrana vrijednost standardizirane slučajne varijable.
Približna metoda za provjeru normalnosti distribucije
Približna metoda za provjeru normalnosti distribucije vrijednosti uzorka temelji se na sljedećem svojstvo normalne distribucije: koeficijent asimetrije β 1 i koeficijent kurtoze β 2 jednaki su nuli.
Koeficijent asimetrije β 1 numerički karakterizira simetriju empirijske distribucije u odnosu na srednju vrijednost. Ako je koeficijent asimetrije nula, tada su aritmetrijska sredina, medijan i mod jednaki: a krivulja gustoće distribucije je simetrična u odnosu na srednju vrijednost. Ako je koeficijent asimetrije manji od nule (β 1 < 0 ), tada je aritmetička sredina manja od medijana, a medijan je zauzvrat manji od mode () i krivulja je pomaknuta udesno (u usporedbi s normalnom distribucijom). Ako je koeficijent asimetrije veći od nule (β 1 > 0 ), tada je aritmetička sredina veća od medijana, a medijan je zauzvrat veći od modusa () i krivulja je pomaknuta ulijevo (u usporedbi s normalnom distribucijom).
Kurtosis koeficijent β 2 karakterizira koncentraciju empirijske distribucije oko aritmetičke sredine u smjeru osi Joj i stupanj vrha krivulje gustoće distribucije. Ako je koeficijent kurtoze veći od nule, tada je krivulja više izdužena (u usporedbi s normalnom distribucijom) duž osi Joj(graf je šiljatiji). Ako je koeficijent kurtoze manji od nule, krivulja je spljoštenija (u usporedbi s normalnom distribucijom) duž osi Joj(graf je tuplji).
Koeficijent asimetrije može se izračunati pomoću funkcije MS Excel SKOS. Ako provjeravate jedan niz podataka, morate unijeti raspon podataka u jedan okvir "Broj".
Koeficijent kurtoze može se izračunati pomoću funkcije MS Excel KURTESS. Kod provjere jednog niza podataka također je dovoljno unijeti raspon podataka u jedno polje “Broj”.
Dakle, kao što već znamo, s normalnom distribucijom koeficijenti asimetrije i kurtoze jednaki su nuli. Ali što ako imamo koeficijente asimetrije od -0,14, 0,22, 0,43 i koeficijente kurtoze od 0,17, -0,31, 0,55? Pitanje je sasvim pošteno, jer u praksi imamo posla samo s približnim, oglednim vrijednostima asimetrije i kurtoze, koje su podložne nekom neizbježnom, nekontroliranom rasipanju. Stoga se ne može zahtijevati da ti koeficijenti budu striktno jednaki nuli; oni moraju biti samo dovoljno blizu nule. Ali što znači dovoljno?
Potrebno je usporediti dobivene empirijske vrijednosti s prihvatljivim vrijednostima. Da biste to učinili, morate provjeriti sljedeće nejednakosti (usporedite vrijednosti koeficijenata modula s kritičnim vrijednostima - granicama područja testiranja hipoteze).
Za koeficijent asimetrije β 1 .
Razmotrimo diskretne distribucije, koje se često koriste u modeliranju servisnih sustava.
Bernoullijeva distribucija. Bernoullijeva shema je niz neovisnih pokusa, u svakom od kojih su moguća samo dva ishoda - "uspjeh" i "neuspjeh" s vjerojatnostima r I q = 1 - r. Neka je slučajna varijabla X može uzeti dvije vrijednosti s odgovarajućim vjerojatnostima:
Bernoullijeva funkcija raspodjele ima oblik
Njegov graf je prikazan na sl. 11.1.
Slučajna varijabla s takvom raspodjelom jednaka je broju uspjeha u jednom pokušaju Bernoullijeve sheme.
Generirajuća funkcija, prema (11.1) i (11.15), izračunava se kao
Riža. 11.1.
Pomoću formule (11.6) nalazimo matematičko očekivanje distribucije:
Izračunajmo drugu derivaciju generirajuće funkcije pomoću (11.17)
Iz (11.7) dobivamo disperziju distribucije
Bernoullijeva distribucija igra veliku ulogu u teoriji masovne usluge, kao model svakog slučajnog eksperimenta čiji ishodi pripadaju dvjema međusobno isključivim klasama.
Geometrijska raspodjela. Pretpostavimo da se događaji događaju u diskretnim vremenima neovisno jedan o drugome. Vjerojatnost da će se događaj dogoditi jednaka je p, a vjerojatnost da se to neće dogoditi je q = 1-r, na primjer, klijent dođe i naruči.
Označimo sa r k vjerojatnost da će se događaj dogoditi prvi put u ovom trenutku Do, one. Do-klijent je napravio narudžbu, i prethodni Do- 1 nema klijenata. Tada se vjerojatnost ovog složenog događaja može odrediti teoremom množenja vjerojatnosti neovisnih događaja
Vjerojatnosti događaja s geometrijskom raspodjelom prikazane su na sl. 11.2.
Zbroj vjerojatnosti svih mogućih događaja
je geometrijska progresija, zbog čega se distribucija naziva geometrijski. Od (1 - p)
Slučajna varijabla Xs geometrijska raspodjela ima značenje broja prvog uspješnog testa u Bernoullijevoj shemi.
Riža. 11.2.
Odredimo vjerojatnost da će se događaj dogoditi za X>k
i funkcija geometrijske distribucije
Izračunajmo generirajuću funkciju geometrijske distribucije koristeći (11.1) i (11.20)
matematičko očekivanje geometrijske distribucije prema (11.6)
a disperzija prema (11.7)
Geometrijska distribucija smatra se diskretnom verzijom kontinuirane eksponencijalne distribucije i također ima niz svojstava korisnih za modeliranje sustava usluga. Konkretno, poput eksponencijalne distribucije, geometrijska distribucija nema memoriju:
one. ako / su provedeni neuspješni eksperimenti, tada je vjerojatnost da je za prvi uspjeh potrebno provesti više j novih eksperimenata jednaka je vjerojatnosti da je u novoj seriji testova za prvi uspjeh potrebno provesti./"eksperimente. Drugim riječima, prethodni eksperimenti nemaju utjecaja na buduće eksperimente i iskustva su neovisna. To je često istina, klijenti su neovisni i narudžbe se rade nasumično.
Razmotrimo primjer sustava čiji radni parametri slijede geometrijsku distribuciju.
Majstor ima na raspolaganju n sličnih rezervnih dijelova. Svaki detalj je vjerojatan q ima kvar. Tijekom popravka dio se ugrađuje u uređaj koji se testira na funkcionalnost. Ako uređaj ne radi, dio se zamjenjuje drugim. Razmotrimo slučajnu varijablu X- broj dijelova koji se provjeravaju.
Vjerojatnosti broja provjerenih dijelova imat će vrijednosti prikazane u tablici:
|
rya"~ x |
Ovdje q = 1 - r.
Matematičko očekivanje broja provjerenih dijelova definirano je kao
Binomna distribucija. Razmotrite slučajnu varijablu
Gdje Xj pokorava se Bernoullijevoj distribuciji s parametrom r i slučajne varijable Xj nezavisna.
Vrijednost slučajne varijable X bit će jednak broju pojavljivanja jedinica na n ispitivanja, tj. slučajna varijabla s binomnom distribucijom ima značenje broja uspjeha u n nezavisni testovi.
Prema (11.9), generirajuća funkcija zbroja međusobno neovisnih slučajnih varijabli, od kojih svaka ima Bernoullijevu distribuciju, jednaka je umnošku njihovih generirajućih funkcija (11.17):
Proširujući generirajuću funkciju (11.26) u niz, dobivamo
U skladu s definicijom generirajuće funkcije (11.1), vjerojatnost da slučajna varijabla Xće uzeti vrijednost Do:
Gdje 
- binomni koeficijenti.
11 komada i jedinica na n mjesta se mogu rasporediti na C* načine, zatim broj uzoraka koji sadrže Do jedinice će očito biti iste.
Funkcija raspodjele za binomni zakon izračunava se pomoću formule
Distribucija se zove binomni zbog činjenice da su vjerojatnosti u obliku uvjeti binomnog proširenja:
Jasno je da je ukupna vjerojatnost svih mogućih ishoda 1:
Iz (11.29) možemo dobiti niz korisnih svojstava binomnih koeficijenata. Na primjer, kada r =1, q=1 dobivamo
Ako stavite r =1, q= - 1, dakle
Za svaki 1k vrijede sljedeće relacije:
Vjerojatnost da u n testova, događaj će se dogoditi: 1) manje od × 2) više Do jednom; 3) ne manje od &puta; 4) ne više od &puta, pronađeno prema tome pomoću formula: 
Pomoću (11.6) određujemo matematičko očekivanje binomne distribucije
i prema (11.7) - disperzija: 
Razmotrimo nekoliko primjera sustava čiji su radni parametri opisani binomnom distribucijom.
1. Serija od 10 proizvoda sadrži jedan nestandardni proizvod. Nađimo vjerojatnost da će sa slučajnim uzorkom od 5 proizvoda svi biti standardni (događaj A).
Broj svih slučajnih uzoraka p - S, e 0 , a broj uzoraka pogodnih za događaj je n= C 9 5 . Dakle, tražena vjerojatnost je jednaka
2. Prilikom useljenja u novi stan, 2 su bila uključena u rasvjetnu mrežu Do nove električne lampe. Svaka električna svjetiljka s vjerojatnošću pregori tijekom godine dana r. Nađimo vjerojatnost da će unutar godine dana barem polovica prvotno uključenih svjetiljki morati biti zamijenjena novima (događaj A):
3. Osoba koja pripada određenoj skupini potrošača daje prednost proizvodu 1 s vjerojatnošću 0,2, proizvodu 2 s vjerojatnošću 0,3, proizvodu 3 s vjerojatnošću 0,4, proizvodu 4 s vjerojatnošću 0,1 Grupa od 6 potrošača. Nađimo vjerojatnosti sljedećih događaja: A - grupa sadrži najmanje 4 potrošača koji preferiraju proizvod 3; U- grupa sadrži najmanje jednog potrošača koji preferira proizvod 4.
Ove su vjerojatnosti jednake:
Na slobodi/? Proračuni vjerojatnosti postaju glomazni, pa se koriste granični teoremi.
Lokalni Laplaceov teorem, prema kojem je vjerojatnost R p (k) određuje se formulom
Gdje 
- Gaussova funkcija; 
Laplaceov integralni teorem koristi se za izračunavanje vjerojatnosti da n neovisnih testova događaj će se dogoditi ništa manje Za ( jednom i ne više do 2 jednom:
Pogledajmo primjere korištenja ovih teorema.
1. Šivaća radionica izrađuje odjeću po narudžbi, od čega je 90% vrhunske kvalitete. Nađimo vjerojatnost da će među 200 proizvoda biti najmanje 160 niti više od 170 najkvalitetnijih.
Otopina: 
2. Osiguravajuće društvo ima 12 tisuća klijenata. Svaki od njih, osiguranje od nesreće, pridonosi 10 tisuća rubalja. Vjerojatnost nesreće r - 0,006, a isplata žrtvi je 1 milijun rubalja. Nađimo dobit osiguravajućeg društva, osiguranu s vjerojatnošću 0,995; drugim riječima, kakvu dobit osiguravajuće društvo može očekivati pri razini rizika od 0,005.
Rješenje: Ukupni doprinos svih klijenata je 12 000-10 000 = 120 milijuna rubalja. Dobit poduzeća ovisi o broju Do nesreća i određuje se jednakošću I = 120 000-1000/: tisuća rubalja.
Stoga trebamo pronaći broj A/ takav da je vjerojatnost događaja P(k > M) nije prelazio 0,005. Tada će s vjerojatnošću od 0,995 biti osigurana dobit I = 120000-10004/ tisuća rubalja.
Nejednakost P(k > M) R(k0,995. Od do > 0, dakle P( 0 0,995. Za procjenu ove vjerojatnosti koristimo Laplaceov integralni teorem za p- 12 000 i/?=0,006, #=0,994:
Jer*! F(x]) = -0,5.
Dakle, potrebno je pronaći A/ za koje
Nalazimo (M- 72)/8,5 > 2,58. Stoga, M>12 + 22 = 94.
Dakle, uz vjerojatnost 0,995 tvrtka jamči dobit
Često morate odrediti najvjerojatniji broj do 0. Vjerojatnost da se događaj dogodi s brojem uspjeha do 0 premašuje ili barem nije manja od vjerojatnosti drugih mogućih ishoda ispitivanja. Najvjerojatnije broj do 0 određuje se iz dvostruke nejednakosti
3. Neka bude 25 uzoraka robe široke potrošnje. Vjerojatnost da će svaki uzorak biti prihvatljiv naručitelju je 0,7. Mora se odrediti najvjerojatniji broj uzoraka koji će biti prihvatljiv kupcima. Po (11.39)
Odavde do 0 - 18.
Poissonova distribucija. Poissonova distribucija određuje vjerojatnost da će, s obzirom na vrlo velik broj pokusa, p, u svakom od njih vjerojatnost događaja r vrlo mali, događaj će se dogoditi točno do schz.
Neka radi pr = k; to znači da prosječan broj pojavljivanja događaja u različitim serijama pokusa, tj. na različitim p, ostaje nepromijenjena. U ovom slučaju, Poissonova distribucija može se koristiti za aproksimaciju binomne distribucije:
Budući da za velike n 
Generirajuća funkcija Poissonove distribucije izračunava se pomoću (11.1) kao
gdje prema Maclaurinovoj formuli
U skladu sa svojstvom koeficijenata generirajuće funkcije, vjerojatnost pojavljivanja Do uspjehe s prosječnim brojem uspjeha X izračunava se kao (11.40).
Na sl. Slika 11.3 prikazuje Poissonovu funkciju gustoće vjerojatnosti.
Generirajuća funkcija Poissonove distribucije također se može dobiti korištenjem proširenja niza generirajuće funkcije binomne distribucije za pr = X na n-» oo i Maclaurinova formula (11.42):
Riža. 11.3.
Odredimo matematičko očekivanje prema (11.6)
a disperzija prema (11.7)
Razmotrimo primjer sustava s Poissonovom distribucijom parametara.
Tvrtka je poslala 500 proizvoda u trgovinu. Vjerojatnost oštećenja proizvoda u transportu je 0,002. Nađite vjerojatnosti da će proizvodi biti oštećeni na putu: točno 3 (događaj I); manje od 3 (događaj U) više od 3 (događaj Q; najmanje jedan (događaj D).
Broj n= 500 je velika vjerojatnost r= 0,002 je mali, događaji koji se razmatraju (oštećenje proizvoda) su neovisni, pa se može koristiti Poissonova formula (11.40).
Na X = pr = 500 0,002=1 dobivamo:
Poissonova distribucija ima niz svojstava korisnih za modeliranje sustava usluga.
1. Zbroj slučajnih varijabli X= X ( + X 2 s Poissonovom distribucijom također se distribuira prema Poissonovom zakonu.
Ako slučajne varijable imaju generirajuće funkcije:
tada će prema (11.9) generirajuća funkcija zbroja nezavisnih slučajnih varijabli s Poissonovom distribucijom imati oblik:
Rezultirajući parametar distribucije jednak je X x + X 2.
2. Ako se broj elemenata./V skupa pokorava Poissonovoj distribuciji s parametrom X a svaki element se odabire neovisno s vjerojatnošću p, tada su elementi uzorka veličine Y raspodijeljena prema Poissonovom zakonu s parametrom rH.
Neka 
, Gdje 
odgovara Bernoullijevoj distribuciji, i N- Poissonova distribucija. Odgovarajuće generirajuće funkcije, prema (11.17), (11.41):
Generirajuća funkcija slučajne varijable Y izračunato u skladu s (11.14)
one. generirajuća funkcija odgovara Poissonovoj distribuciji s parametrom rH.
3. Kao posljedica svojstva 2 vrijedi sljedeće svojstvo. Ako se broj elemenata skupa raspodijeli prema Poissonovom zakonu s parametrom X a skup je slučajno raspoređen s vjerojatnostima /?, i str 2 = 1 - R u dvije skupine, tada su veličine skupova 7V, i N 2 nezavisna i Poissonova raspodjela s parametrima p(k I r(k.
Radi lakšeg korištenja rezultate dobivene o diskretnim distribucijama prikazujemo u obliku tablice. 11.1 i 11.2.
Tablica 11.1. Glavne karakteristike diskretnih distribucija
|
Distribucija |
Gustoća |
Raspon |
Mogućnosti |
tn | |
C X--2 |
|
|
Bernoulli |
R(H = ) = r R (X = 0} = R + I= 1 |
p - 0,1 |
||||
|
Geometrijski |
p(-p) k - 1 |
k = 1,2,... |
^ 1 1 |tz |
1 -r |
||
|
Binomni |
s k r k (- R g k |
* = 1,2,...,#" |
pr( - r) |
1 -r pr |
||
|
Poisson |
E Do! |
k = 1,2,... |
Tablica 11. 2. Generirajuće funkcije diskretnih razdioba
TEST PITANJA
- 1. Koje se distribucije vjerojatnosti smatraju diskretnima?
- 2. Što je generirajuća funkcija i čemu služi?
- 3. Kako pomoću generirajuće funkcije izračunati momente slučajnih varijabli?
- 4. Što je generirajuća funkcija zbroja neovisnih slučajnih varijabli?
- 5. Što se naziva kompozitna distribucija i kako se izračunavaju generirajuće funkcije kompozitnih distribucija?
- 6. Navedite glavne karakteristike Bernoullijeve distribucije, navedite primjer primjene u uslužnim zadacima.
- 7. Navedite glavne karakteristike geometrijske raspodjele, navedite primjer primjene u uslužnim zadacima.
- 8. Navedite glavne karakteristike binomne distribucije, navedite primjer njezine uporabe u uslužnim zadacima.
- 9. Navedite glavne karakteristike Poissonove distribucije, navedite primjer primjene u servisnim problemima.
Poglavlje 1. Diskretna slučajna varijabla
§ 1. Pojmovi slučajne varijable.
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable.
Definicija : Slučajna je veličina koja, kao rezultat testiranja, uzima samo jednu vrijednost iz mogućeg skupa svojih vrijednosti, unaprijed nepoznatih i ovisno o slučajnim razlozima.
Postoje dvije vrste slučajnih varijabli: diskretne i kontinuirane.
Definicija : Poziva se slučajna varijabla X diskretan (diskontinuiran) ako je skup njegovih vrijednosti konačan ili beskonačan, ali prebrojiv.
Drugim riječima, moguće vrijednosti diskretne slučajne varijable mogu se prenumerirati.
Slučajna varijabla može se opisati korištenjem zakona distribucije.
Definicija : Zakon distribucije diskretne slučajne varijable nazvati korespondenciju između mogućih vrijednosti slučajne varijable i njihove vjerojatnosti.
Zakon raspodjele diskretne slučajne varijable X može se specificirati u obliku tablice, u čijem su prvom retku sve moguće vrijednosti slučajne varijable naznačene uzlaznim redoslijedom, au drugom redu odgovarajuće vjerojatnosti tih vrijednosti, tj.
gdje je r1+ r2+…+ rn=1
Takva se tablica naziva serija distribucije diskretne slučajne varijable.
Ako je skup mogućih vrijednosti slučajne varijable beskonačan, tada niz p1+ p2+…+ pn+… konvergira i njegov zbroj je jednak 1.
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable X može se prikazati grafički, za što se u pravokutnom koordinatnom sustavu konstruira isprekidana linija koja povezuje sekvencijalne točke s koordinatama (xi; pi), i=1,2,…n. Rezultirajući pravac naziva se distribucijski poligon (slika 1).
Organska kemija" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">organska kemija su 0,7 odnosno 0,8. Napravite zakon raspodjele za slučajnu varijablu X - broj ispita koje će student položiti.
Otopina. Razmatrana slučajna varijabla X kao rezultat ispita može poprimiti jednu od sljedećih vrijednosti: x1=0, x2=1, x3=2.
Nađimo vjerojatnost ovih vrijednosti. Označimo događaje:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" width="259" height="66 src=">
 |
Dakle, zakon raspodjele slučajne varijable X dan je tablicom:
Kontrola: 0,6+0,38+0,56=1.
§ 2. Funkcija distribucije
Potpuni opis slučajne varijable također daje funkcija distribucije.
Definicija: Funkcija distribucije diskretne slučajne varijable X naziva se funkcija F(x), koja za svaku vrijednost x određuje vjerojatnost da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost manju od x:
F(x)=P(X<х)
Geometrijski, funkcija distribucije tumači se kao vjerojatnost da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost koja je na brojevnom pravcu predstavljena točkom koja leži lijevo od točke x.
1)0≤ F(x) ≤1;
2) F(x) je neopadajuća funkcija na (-∞;+∞);
3) F(x) - kontinuirano lijevo u točkama x= xi (i=1,2,...n) i kontinuirano u svim ostalim točkama;
4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞,
F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞.
Ako je zakon raspodjele diskretne slučajne varijable X dan u obliku tablice:
tada je funkcija distribucije F(x) određena formulom:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110">
0 za x≤ x1,
r1 na x1< х≤ x2,
F(x)= r1 + r2 u x2< х≤ х3
1 za x>xn.
Njegov graf je prikazan na sl. 2:
§ 3. Numeričke karakteristike diskretne slučajne varijable.
Jedna od važnih numeričkih karakteristika je matematičko očekivanje.
Definicija: Matematičko očekivanje M(X) diskretna slučajna varijabla X je zbroj umnožaka svih njezinih vrijednosti i njihovih odgovarajućih vjerojatnosti:
M(X) = ∑ xiri= x1r1 + x2r2+…+ xnrn
Matematičko očekivanje služi kao karakteristika prosječne vrijednosti slučajne varijable.
Svojstva matematičkog očekivanja:
1)M(C)=C, gdje je C konstantna vrijednost;
2)M(C X)=C M(X),
3)M(X±Y)=M(X)±M(Y);
4)M(X Y)=M(X) M(Y), gdje su X, Y nezavisne slučajne varijable;
5)M(X±C)=M(X)±C, gdje je C konstantna vrijednost;
Za karakterizaciju stupnja disperzije mogućih vrijednosti diskretne slučajne varijable oko njezine srednje vrijednosti koristi se disperzija.
Definicija: Varijanca D ( X ) slučajna varijabla X je matematičko očekivanje kvadrata odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja:
Disperzijska svojstva:
1)D(C)=0, gdje je C konstantna vrijednost;
2)D(X)>0, gdje je X slučajna varijabla;
3)D(C X)=C2 D(X), gdje je C konstantna vrijednost;
4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), gdje su X, Y nezavisne slučajne varijable;
Za izračun varijance često je zgodno koristiti formulu:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
gdje je M(X)=∑ xi2ri= x12r1 + x22r2+…+ xn2rn
Varijanca D(X) ima dimenziju kvadrata slučajne varijable, što nije uvijek zgodno. Stoga se vrijednost √D(X) također koristi kao pokazatelj disperzije mogućih vrijednosti slučajne varijable.
Definicija: Standardna devijacija σ(X) slučajna varijabla X naziva se kvadratni korijen varijance:
Zadatak br. 2. Diskretna slučajna varijabla X određena je zakonom distribucije:
Nađite P2, funkciju distribucije F(x) i nacrtajte njen graf, kao i M(X), D(X), σ(X).
Otopina: Budući da je zbroj vjerojatnosti mogućih vrijednosti slučajne varijable X jednak 1, tada
R2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1
Nađimo funkciju distribucije F(x)=P(X Geometrijski, ova se jednakost može protumačiti na sljedeći način: F(x) je vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost koja je na brojčanoj osi predstavljena točkom koja leži lijevo od točke x. Ako je x≤-1, tada je F(x)=0, jer ne postoji niti jedna vrijednost ove slučajne varijable na (-∞;x); Ako je -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; Ako je 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) postoje dvije vrijednosti x1=-1 i x2=0; Ako 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; Ako 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Ako je x>3, tada je F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0,3+0,2+0,3=1, jer četiri vrijednosti x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 spadaju u interval (-∞;x) i x5=3. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" width="14 height=2" height="2"> 0 pri x≤-1, 0,1 na -1<х≤0, 0,2 na 0<х≤1, F(x)= 0,5 na 1<х≤2, 0,7 na 2<х≤3, 1 na x>3 Predstavimo funkciju F(x) grafički (slika 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" width="158 height=29" height="29">≈1,2845. §
4. Binomni zakon raspodjele diskretna slučajna varijabla, Poissonov zakon. Definicija: Binomni
naziva se zakon distribucije diskretne slučajne varijable X - broj pojavljivanja događaja A u n neovisnih ponovljenih pokušaja, u svakom od kojih se događaj A može dogoditi s vjerojatnošću p ili ne dogoditi s vjerojatnošću q = 1-p. Zatim se P(X=m) - vjerojatnost pojavljivanja događaja A točno m puta u n pokušaja izračunava pomoću Bernoullijeve formule: R(H=m)=Smnpmqn-m Matematičko očekivanje, disperzija i standardna devijacija slučajne varijable X raspoređene prema binarnom zakonu nalaze se pomoću formula: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Vjerojatnost događaja A - "ispadanje petice" u svakom pokušaju je ista i jednaka 1/6 , tj. P(A)=p=1/6, tada je P(A)=1-p=q=5/6, gdje je - "nedobivanje A." Slučajna varijabla X može poprimiti sljedeće vrijednosti: 0;1;2;3. Pronalazimo vjerojatnost svake od mogućih vrijednosti X pomoću Bernoullijeve formule: R(H=0)=R3(0)=S03r0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; R(H=1)=R3(1)=S13r1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; R(H=2)=R3(2)=S23r2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; R(H=3)=R3(3)=S33r3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. Da. zakon distribucije slučajne varijable X ima oblik: Kontrola: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. Nađimo numeričke karakteristike slučajne varijable X: M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, Zadatak br. 4. Automatski stroj štanca dijelove. Vjerojatnost da će proizvedeni dio biti neispravan je 0,002. Odredite vjerojatnost da će među 1000 odabranih dijelova biti: a) 5 neispravnih; b) najmanje jedan je neispravan. Otopina:
Broj n=1000 je velik, vjerojatnost proizvodnje neispravnog dijela p=0,002 je mala, a događaji koji se razmatraju (pokazuje se da je dio neispravan) su neovisni, stoga vrijedi Poissonova formula: Rn(m)= e-
λ
λm Nađimo λ=np=1000 0,002=2. a) Odredite vjerojatnost da će biti 5 neispravnih dijelova (m=5): R1000(5)= e-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 b) Odredite vjerojatnost da će biti barem jedan neispravan dio. Događaj A - "barem jedan od odabranih dijelova je neispravan" je suprotan događaju - "svi odabrani dijelovi nisu neispravni." Prema tome, P(A) = 1-P(). Stoga je željena vjerojatnost jednaka: P(A)=1-P1000(0)=1- e-2
20
= 1- e-2=1-0,13534≈0,865. Zadaci za samostalan rad.
1.1
1.2.
Raspršena slučajna varijabla X određena je zakonom distribucije: Nađite p4, funkciju distribucije F(X) i nacrtajte njen graf, kao i M(X), D(X), σ(X). 1.3.
U kutiji je 9 markera, od kojih 2 više ne pišu. Nasumično uzmite 3 markera. Slučajna varijabla X je broj markera za pisanje među uzetima. Nacrtati zakon raspodjele slučajne varijable. 1.4.
Na polici knjižnice nalazi se 6 udžbenika nasumično poredanih, od kojih su 4 uvezana. Knjižničar nasumce uzima 4 udžbenika. Slučajna varijabla X je broj ukoričenih udžbenika među uzetima. Nacrtati zakon raspodjele slučajne varijable. 1.5.
Na listiću su dva zadatka. Vjerojatnost ispravnog rješavanja prvog problema je 0,9, drugog 0,7. Slučajna varijabla X je broj točno riješenih zadataka na listiću. Nacrtajte zakon distribucije, izračunajte matematičko očekivanje i varijancu ove slučajne varijable, a također pronađite funkciju distribucije F(x) i izgradite njezin grafikon. 1.6.
Tri strijelca gađaju metu. Vjerojatnost pogotka mete jednim hicem je 0,5 za prvog strijelca, 0,8 za drugog i 0,7 za trećeg. Slučajna varijabla X je broj pogodaka u metu ako strijelci pucaju jedan po jedan. Pronađite zakon raspodjele, M(X),D(X). 1.7.
Košarkaš ubacuje loptu u koš s vjerojatnošću da će pogoditi svaki šut od 0,8. Za svaki pogodak dobiva 10 bodova, a ako promaši ne dobiva bodove. Nacrtajte zakon raspodjele za slučajnu varijablu X - broj poena koje je košarkaš primio u 3 udarca. Nađite M(X),D(X), kao i vjerojatnost da dobije više od 10 bodova. 1.8.
Na karticama su ispisana slova, ukupno 5 samoglasnika i 3 suglasnika. Nasumično se biraju 3 karte i svaki put se uzeta karta vraća natrag. Slučajna varijabla X je broj samoglasnika među uzetima. Nacrtajte zakon raspodjele i pronađite M(X),D(X),σ(X). 1.9.
U prosjeku ispod 60% ugovora osiguravajuće društvo isplaćuje iznose osiguranja u vezi s nastupom osiguranog slučaja. Napravite zakon raspodjele za slučajnu varijablu X - broj ugovora za koje je isplaćen iznos osiguranja među četiri slučajno odabrana ugovora. Odredite brojčane karakteristike te veličine. 1.10.
Radio postaja šalje pozivne znakove (ne više od četiri) u određenim intervalima dok se ne uspostavi dvosmjerna komunikacija. Vjerojatnost primanja odgovora na pozivni znak je 0,3. Slučajna varijabla X je broj poslanih pozivnih znakova. Nacrtajte zakon raspodjele i pronađite F(x). 1.11.
Ima 3 ključa od kojih samo jedan odgovara bravi. Napravite zakon raspodjele slučajne varijable X-broj pokušaja otvaranja brave, ako isprobani ključ ne sudjeluje u sljedećim pokušajima. Pronađite M(X),D(X). 1.12.
Provode se uzastopna neovisna ispitivanja pouzdanosti tri uređaja. Svaki sljedeći uređaj testira se samo ako se prethodni pokazao pouzdanim. Vjerojatnost prolaska testa za svaki uređaj je 0,9. Nacrtajte zakon raspodjele za slučajnu varijablu X-broj testiranih uređaja. 1.13
.Diskretna slučajna varijabla X ima tri moguće vrijednosti: x1=1, x2, x3 i x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
Blok elektroničkog uređaja sadrži 100 identičnih elemenata. Vjerojatnost kvara svakog elementa tijekom vremena T je 0,002. Elementi rade neovisno. Odredite vjerojatnost da tijekom vremena T neće otkazati više od dva elementa. 1.15.
Udžbenik je objavljen u nakladi od 50.000 primjeraka. Vjerojatnost da je udžbenik krivo uvezan je 0,0002. Odredite vjerojatnost da cirkulacija sadrži: a) četiri neispravne knjige, b) manje od dvije neispravne knjige. 1
.16.
Broj poziva koji pristignu na PBX svake minute raspoređuje se prema Poissonovom zakonu s parametrom λ=1,5. Nađite vjerojatnost da će za minutu stići sljedeće: a) dva poziva; b) najmanje jedan poziv. 1.17.
Nađite M(Z),D(Z) ako je Z=3X+Y. 1.18.
Dati su zakoni raspodjele dviju neovisnih slučajnih varijabli: Nađite M(Z),D(Z) ako je Z=X+2Y. odgovori:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
p3=0,4; 0 pri x≤-2, 0,3 na -2<х≤0, F(x)= 0,5 na 0<х≤2, 0,9 u 2<х≤5, 1 na x>5 0,3 na -1<х≤0, 0,4 na 0<х≤1, F(x)= 0,6 na 1<х≤2, 0,7 na 2<х≤3, 1 na x>3 M(X)=1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1,612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" width="2 height=98" height="98"> 0 na x≤0, 0,03 na 0<х≤1, F(x)= 0,37 na 1<х≤2, 1 za x>2 M(X)=2; D(X)=0,62 M(X)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896 1.
8
.
M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈ M(X)=2,4; D(X)=0,96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
M(X)=2; D(X)=2/3 1.14.
1,22 e-0,2≈0,999 1.15.
a) 0,0189; b) 0,00049 1.16.
a) 0,0702; b) 0,77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. Poglavlje 2. Kontinuirana slučajna varijabla
Definicija: Stalan
Veličinom se nazivaju sve moguće vrijednosti od kojih u potpunosti ispunjavaju konačni ili beskonačni raspon brojevnog pravca. Očito je da je broj mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable beskonačan. Kontinuirana slučajna varijabla može se specificirati pomoću funkcije distribucije. Definicija: F distribucijska funkcija
kontinuirana slučajna varijabla X naziva se funkcija F(x), koja za svaku vrijednost određuje xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image028_11.jpg" width="14" height="13"> R Funkcija distribucije se ponekad naziva i kumulativna funkcija distribucije. Svojstva funkcije distribucije:
1)1≤ F(x) ≤1 2) Za kontinuiranu slučajnu varijablu, funkcija distribucije je kontinuirana u bilo kojoj točki i diferencijabilna posvuda, osim, možda, u pojedinačnim točkama. 3) Vjerojatnost da slučajna varijabla X padne u jedan od intervala (a;b), [a;b], [a;b], jednaka je razlici između vrijednosti funkcije F(x) u točkama a i b, tj. R(a)<Х 4) Vjerojatnost da će kontinuirana slučajna varijabla X poprimiti jednu zasebnu vrijednost je 0. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Određivanje kontinuirane slučajne varijable pomoću funkcije distribucije nije jedini način. Uvedimo pojam gustoće distribucije vjerojatnosti (gustoće distribucije). Definicija
:
Gustoća distribucije vjerojatnosti
f
(
x
)
kontinuirane slučajne varijable X je derivacija njene distribucijske funkcije, tj.: Funkcija gustoće vjerojatnosti ponekad se naziva funkcija diferencijalne distribucije ili zakon diferencijalne distribucije. Graf distribucije gustoće vjerojatnosti f(x) naziva se krivulja distribucije vjerojatnosti
.
Svojstva distribucije gustoće vjerojatnosti:
1) f(x) ≥0, na xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" width="14" visina ="62 src="> 0 pri x≤2, f(x)= c(x-2) na 2<х≤6, 0 za x>6. Odredite: a) vrijednost c; b) funkciju distribucije F(x) i konstruirajte njezin graf; c) P(3≤x<5) Otopina:
+
∞ a) Vrijednost c nalazimo iz uvjeta normalizacije: ∫ f(x)dx=1. Prema tome, -∞ https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x ako 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))= 1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2; Gif" width="14" height="62"> 0 na x≤2, F(x)= (x-2)2/16 na 2<х≤6, 1 za x>6. Graf funkcije F(x) prikazan je na slici 3 https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" width="14" height="62 src="> 0 na x≤0, F(x)= (3 arctan x)/π na 0<х≤√3, 1 za x>√3. Pronađite funkciju diferencijalne distribucije f(x) Otopina:
Budući da je f(x)= F’(x), tada https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" width="118" height="24"> Sva svojstva matematičkog očekivanja i disperzije, o kojima smo ranije govorili za disperzirane slučajne varijable, vrijede i za one kontinuirane. Zadatak br. 3. Slučajna varijabla X određena je diferencijalnom funkcijom f(x): https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Problemi za samostalno rješavanje.
2.1.
Kontinuirana slučajna varijabla X određena je funkcijom distribucije: 0 pri x≤0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 za x≤ π/6, F(x)= - cos 3x pri π/6<х≤ π/3, 1 za x> π/3. Nađite funkciju diferencijalne distribucije f(x), a također R(2π /9<Х< π /2). 2.3.
0 pri x≤2, f(x)= c x na 2<х≤4, 0 za x>4. 2.4.
Kontinuirana slučajna varijabla X određena je gustoćom distribucije: 0 pri x≤0, f(x)= c √x na 0<х≤1, 0 za x>1. Nađi: a) broj c; b) M(X), D(X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> na x, 0 na x. Nađite: a) F(x) i nacrtajte ga; b) M(X),D(X), σ(X); c) vjerojatnost da će u četiri neovisna pokusa vrijednost X poprimiti točno 2 puta vrijednost koja pripada intervalu (1;4). 2.6.
Gustoća distribucije vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable X dana je: f(x)= 2(x-2) na x, 0 na x. Nađite: a) F(x) i nacrtajte ga; b) M(X),D(X), σ (X); c) vjerojatnost da će u tri neovisna pokušaja vrijednost X poprimiti točno 2 puta vrijednost koja pripada segmentu . 2.7.
Funkcija f(x) dana je kao: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
Funkcija f(x) dana je kao: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" width="45" height="36 src="> .jpg" width="16" height="15">[- π /4 ; π /4]. Odredite: a) vrijednost konstante c pri kojoj će funkcija biti gustoća vjerojatnosti neke slučajne varijable X; b) funkcija raspodjele F(x). 2.9.
Slučajna varijabla X, koncentrirana na interval (3;7), određena je funkcijom distribucije F(x)= . Nađite vjerojatnost da slučajna varijabla X poprimit će vrijednost: a) manju od 5, b) ne manju od 7. 2.10.
Slučajna varijabla X, koncentrirana na interval (-1;4), dana je funkcijom raspodjele F(x)= . Nađite vjerojatnost da slučajna varijabla X poprimit će vrijednost: a) manju od 2, b) ne manju od 4. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. Nađi: a) broj c; b) M(X); c) vjerojatnost P(X> M(X)). 2.12.
Slučajna varijabla određena je funkcijom diferencijalne distribucije: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" width="60" height="38 src=">.jpg" width="16 height=15" height="15"> . Nađi: a) M(X); b) vjerojatnost P(X≤M(X)) 2.13.
Rem distribucija dana je gustoćom vjerojatnosti: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> za x ≥0. Dokažite da je f(x) doista funkcija gustoće vjerojatnosti. 2.14.
Gustoća distribucije vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable X dana je: https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(Sl. 4) 2.16.
Slučajna varijabla X raspoređena je prema zakonu “pravokutnog trokuta” u intervalu (0;4) (slika 5). Nađite analitički izraz za gustoću vjerojatnosti f(x) na cijelom brojevnom pravcu. Odgovori
0 pri x≤0, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 za x≤ π/6, F(x)= 3sin 3x pri π/6<х≤ π/3, 0 za x> π/3. Kontinuirana slučajna varijabla X ima jednoliki zakon distribucije na određenom intervalu (a;b), kojem pripadaju sve moguće vrijednosti X, ako je gustoća distribucije vjerojatnosti f(x) konstantna na tom intervalu i jednaka 0 izvan njega. to, tj. 0 za x≤a, f(x)= za a<х 0 za x≥b. Graf funkcije f(x) prikazan je na sl. 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=. Zadatak br. 1. Slučajna varijabla X jednoliko je raspoređena na segmentu. Pronaći: a) gustoću distribucije vjerojatnosti f(x) i nacrtajte je; b) funkciju distribucije F(x) i nacrtajte je; c) M(X),D(X), σ(X). Otopina:
Koristeći formule o kojima smo raspravljali gore, s a=3, b=7, nalazimo: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" width="22" height="39"> na 3≤h≤7, 0 za x>7 Izgradimo njegov grafikon (Sl. 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 na x≤3, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" width="203" height="119 src=">Sl. 4 D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" width="14" height="49 src="> 0 na x<0, f(x)= λe-λh za x≥0. Funkcija raspodjele slučajne varijable X, raspoređena prema eksponencijalnom zakonu, dana je formulom: https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ (H)= Stoga su matematičko očekivanje i standardna devijacija eksponencijalne distribucije međusobno jednaki. Vjerojatnost da X padne u interval (a;b) izračunava se po formuli: Godišnje<Х Zadatak br. 2. Prosječno vrijeme rada uređaja bez kvara je 100 sati. Uz pretpostavku da vrijeme rada uređaja bez kvara ima eksponencijalni zakon raspodjele, pronađite: a) gustoća distribucije vjerojatnosti; b) distribucijska funkcija; c) vjerojatnost da će vrijeme rada uređaja bez greške prijeći 120 sati. Otopina:
Prema uvjetu, matematička distribucija M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 na x<0, a) f(x)= 0,01e -0,01x za x≥0. b) F(x)= 0 na x<0, 1-e -0,01x pri x≥0. c) Željenu vjerojatnost nalazimo pomoću funkcije distribucije: P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1,2)= e -1,2≈0,3. §
3. Zakon normalne distribucije Definicija:
Kontinuirana slučajna varijabla X ima zakon normalne distribucije (Gaussov zakon),
ako njegova gustoća distribucije ima oblik: gdje je m=M(X), σ2=D(X), σ>0. Krivulja normalne distribucije naziva se normalna ili Gaussova krivulja
(Sl.7) Funkcija distribucije slučajne varijable X, distribuirana prema normalnom zakonu, izražava se preko Laplaceove funkcije F (x) prema formuli: gdje je Laplaceova funkcija. Komentar:
Funkcija F(x) je neparna (F(-h)=-F(h)), osim toga, za x>5 možemo pretpostaviti da je F(h) ≈1/2. Graf funkcije distribucije F(x) prikazan je na sl. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" width="218" height="33"> Vjerojatnost da je apsolutna vrijednost odstupanja manja od pozitivnog broja δ izračunava se formulom: Konkretno, za m=0 vrijedi jednakost: "Pravilo tri sigme"
Ako slučajna varijabla X ima normalan zakon raspodjele s parametrima m i σ, tada je gotovo sigurno da njezina vrijednost leži u intervalu (a-3σ; a+3σ), jer https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" width="157" height="57 src=">a) b) Upotrijebimo formulu: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" width="369" height="38 src="> Iz tablice vrijednosti funkcije F(h) nalazimo F(1,5)=0,4332, F(1)=0,3413. Dakle, željena vjerojatnost: P(28 Zadaci za samostalan rad
3.1.
Slučajna varijabla X jednoliko je raspoređena u intervalu (-3;5). Pronaći: b) funkcija raspodjele F(x); c) numeričke karakteristike; d) vjerojatnost P(4<х<6). 3.2.
Slučajna varijabla X jednoliko je raspoređena na segmentu. Pronaći: a) gustoća raspodjele f(x); b) funkcija raspodjele F(x); c) numeričke karakteristike; d) vjerojatnost P(3≤h≤6). 3.3.
Na autocesti je postavljen automatski semafor u kojem je zeleno svjetlo upaljeno 2 minute za vozila, žuto 3 sekunde i crveno 30 sekundi itd. Automobil se vozi autocestom u slučajnom trenutku. Nađite vjerojatnost da će automobil proći pored semafora bez zaustavljanja. 3.4.
Vlakovi podzemne voze redovito u intervalima od 2 minute. Putnik ulazi na peron u nasumično određeno vrijeme. Kolika je vjerojatnost da će putnik morati čekati vlak više od 50 sekundi? Nađite matematičko očekivanje slučajne varijable X - vrijeme čekanja vlaka. 3.5.
Nađite varijancu i standardnu devijaciju eksponencijalne distribucije dane funkcijom distribucije: F(x)= 0 na x<0, 1.-8x za x≥0. 3.6.
Kontinuirana slučajna varijabla X određena je gustoćom distribucije vjerojatnosti: f(x)= 0 na x<0, 0,7 e-0,7x pri x≥0. a) Navedite zakon raspodjele slučajne varijable o kojoj se radi. b) Pronađite funkciju distribucije F(X) i numeričke karakteristike slučajne varijable X. 3.7.
Slučajna varijabla X distribuira se prema eksponencijalnom zakonu određenom gustoćom distribucije vjerojatnosti: f(x)= 0 na x<0, 0,4 e-0,4 x pri x≥0. Odredite vjerojatnost da će kao rezultat testa X uzeti vrijednost iz intervala (2,5;5). 3.8.
Kontinuirana slučajna varijabla X raspoređena je prema eksponencijalnom zakonu određenom funkcijom distribucije: F(x)= 0 na x<0, 1.-0,6x pri x≥0 Odredite vjerojatnost da će, kao rezultat testa, X uzeti vrijednost iz segmenta. 3.9.
Očekivana vrijednost i standardna devijacija normalno distribuirane slučajne varijable su 8 i 2. Pronađite: a) gustoća raspodjele f(x); b) vjerojatnost da će kao rezultat testa X uzeti vrijednost iz intervala (10;14). 3.10.
Slučajna varijabla X normalno je raspodijeljena s matematičkim očekivanjem od 3,5 i varijancom od 0,04. Pronaći: a) gustoća raspodjele f(x); b) vjerojatnost da će kao rezultat testa X uzeti vrijednost iz segmenta . 3.11.
Slučajna varijabla X je normalno distribuirana s M(X)=0 i D(X)=1. Koji je od događaja: |X|≤0,6 ili |X|≥0,6 vjerojatniji? 3.12.
Slučajna varijabla X raspodijeljena je normalno s M(X)=0 i D(X)=1 Iz kojeg je intervala (-0,5;-0,1) ili (1;2) veća vjerojatnost da će uzeti vrijednost tijekom jednog testa? 3.13.
Trenutna cijena po dionici može se modelirati korištenjem normalnog zakona distribucije s M(X)=10 den. jedinice i σ (X)=0,3 den. jedinice Pronaći: a) vjerojatnost da će trenutna cijena dionice biti od 9,8 den. jedinice do 10,4 dana jedinice; b) pomoću „pravila tri sigme“ pronađite granice unutar kojih će se nalaziti trenutna cijena dionice. 3.14.
Tvar se važe bez sustavnih grešaka. Slučajne pogreške vaganja podliježu normalnom zakonu sa srednjim kvadratnim omjerom σ=5g. Nađite vjerojatnost da se u četiri neovisna pokusa neće pojaviti pogreška u tri vaganja u apsolutnoj vrijednosti 3r. 3.15.
Slučajna varijabla X normalno je raspodijeljena s M(X)=12,6. Vjerojatnost da slučajna varijabla padne u interval (11,4;13,8) je 0,6826. Nađite standardnu devijaciju σ. 3.16.
Slučajna varijabla X raspodijeljena je normalno s M(X)=12 i D(X)=36 Nađite interval u koji će slučajna varijabla X pasti kao rezultat testa s vjerojatnošću 0,9973. 3.17.
Dio proizveden automatskim strojem smatra se neispravnim ako odstupanje X njegovog kontroliranog parametra od nazivne vrijednosti prelazi modulo 2 mjerne jedinice. Pretpostavlja se da je slučajna varijabla X normalno distribuirana s M(X)=0 i σ(X)=0,7. Koliki postotak neispravnih dijelova proizvodi stroj? 3.18.
Parametar X dijela distribuira se normalno s matematičkim očekivanjem 2 jednakim nominalnoj vrijednosti i standardnom devijacijom od 0,014. Odredite vjerojatnost da odstupanje X od nominalne vrijednosti neće prijeći 1% od nominalne vrijednosti. Odgovori
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" width="14" height="110 src="> b) 0 za x≤-3, F(x)= lijevo"> 3.10.
a)f(x)= , b) R(3,1≤H≤3,7) ≈0,8185. 3.11.
|x|≥0,6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
a) P(9,8≤H≤10,4) ≈0,6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1,2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%.
1.2.
p4=0,1; 0 pri x≤-1,
(Sl.5)
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> 0 za x≤a,
,
Normalna krivulja je simetrična u odnosu na ravnu liniju x=m, ima maksimum pri x=a, jednak .
,
