Brojevni krug na crtežu koordinatne ravnine. Kružnica na koordinatnoj ravnini
Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.
Prikupljanje i korištenje osobnih podataka
Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.
Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.
U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.
Koje osobne podatke prikupljamo:
- Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne podatke, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.
Kako koristimo vaše osobne podatke:
- Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
- S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
- Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
- Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo upotrijebiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.
Otkrivanje informacija trećim stranama
Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.
Iznimke:
- Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
- U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.
Zaštita osobnih podataka
Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.
Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke
Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.
Lekcija i prezentacija na temu: "Broj krug na koordinatnoj ravnini"
Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.
Priručnici i simulatori u internetskoj trgovini Integral za razred 10 od 1C
Algebarski zadaci s parametrima, 9.–11
Rješavamo zadatke iz geometrije. Interaktivni konstrukcijski zadaci za razrede 7-10
Što ćemo proučavati:
1. Definicija.
2. Važne koordinate brojevnog kruga.
3. Kako pronaći koordinatu brojevnog kruga?
4. Tablica glavnih koordinata brojevnog kruga.
5. Primjeri rješavanja problema.
Definicija brojevne kružnice na koordinatnoj ravnini
Postavimo brojevnu kružnicu u koordinatnu ravninu tako da se središte kružnice poklapa s ishodištem koordinata, a njezin polumjer uzmemo kao jedinični segment. Početna točka brojevne kružnice A poravnata je s točkom (1;0).Svaka točka na brojevnoj kružnici ima vlastite x i y koordinate u koordinatnoj ravnini i:
1) za $x > 0$, $y > 0$ - u prvom kvartalu;
2) za $x 0$ - u drugom kvartalu;
3) za $x 4) za $x > 0$, $y
Za bilo koju točku $M(x; y)$ na brojevnoj kružnici zadovoljene su sljedeće nejednakosti: $-1
Zapamtite jednadžbu brojevnog kruga: $x^2 + y^2 = 1$.
Važno nam je naučiti kako pronaći koordinate točaka na brojevnoj kružnici prikazanoj na slici. 
Nađimo koordinatu točke $\frac(π)(4)$
Točka $M(\frac(π)(4))$ je sredina prve četvrtine. Spustimo okomicu MR iz točke M na ravnu liniju OA i razmotrimo trokut OMP Budući da je luk AM polovica luka AB, tada je $∠MOP=45°$. To znači da je trokut OMP jednakokračno pravokutan i $OP=MP$, tj. u točki M apscisa i ordinata su jednake: $x = y$.
Budući da koordinate točke $M(x;y)$ zadovoljavaju jednadžbu brojevnog kruga, za njihovo pronalaženje potrebno je riješiti sustav jednadžbi:
$\početak (slučajevi) x^2 + y^2 = 1,\\ x = y. \kraj (slučajevi)$
Nakon što smo riješili ovaj sustav, dobivamo: $y = x =\frac(\sqrt(2))(2)$.
To znači da će koordinate točke M koja odgovara broju $\frac(π)(4)$ biti $M(\frac(π)(4))=M(\frac(\sqrt(2))( 2);\frac (\sqrt(2))(2))$.
Na sličan način izračunavaju se koordinate točaka prikazanih na prethodnoj slici.
Koordinate točaka na brojevnoj kružnici
Pogledajmo primjere
Primjer 1.Pronađite koordinatu točke na brojevnoj kružnici: $P(45\frac(π)(4))$.
Otopina:
$45\frac(π)(4) = (10 + \frac(5)(4)) * π = 10π +5\frac(π)(4) = 5\frac(π)(4) + 2π*5 $.
To znači da broj $45\frac(π)(4)$ odgovara istoj točki na brojevnoj kružnici kao i broj $\frac(5π)(4)$. Gledajući vrijednost točke $\frac(5π)(4)$ u tablici, dobivamo: $P(\frac(45π)(4))=P(-\frac(\sqrt(2))( 2);-\frac (\sqrt(2))(2))$.
Primjer 2.
Pronađite koordinatu točke na brojevnoj kružnici: $P(-\frac(37π)(3))$.
Otopina:
Jer brojevi $t$ i $t+2π*k$, gdje je k cijeli broj, odgovaraju istoj točki na kružnici brojeva, tada:
$-\frac(37π)(3) = -(12 + \frac(1)(3))*π = -12π –\frac(π)(3) = -\frac(π)(3) + 2π *(-6)$.
To znači da broj $-\frac(37π)(3)$ odgovara istoj točki na brojevnoj kružnici kao i broj $–\frac(π)(3)$, a broj –$\frac(π) (3)$ odgovara istoj točki kao $\frac(5π)(3)$. Gledajući vrijednost točke $\frac(5π)(3)$ u tablici, dobivamo:
$P(-\frac(37π)(3))=P(\frac((1))(2);-\frac(\sqrt(3))(2))$.
Primjer 3.
Pronađite točke na brojevnoj kružnici s ordinatom $y =\frac(1)(2)$ i zapišite kojim brojevima $t$ odgovaraju?
Otopina: 
Pravac $y =\frac(1)(2)$ siječe brojevnu kružnicu u točkama M i P. Točka M odgovara broju $\frac(π)(6)$ (iz podataka u tablici). To znači bilo koji broj u obliku: $\frac(π)(6)+2π*k$. Točka P odgovara broju $\frac(5π)(6)$, a time i bilo kojem broju oblika $\frac(5π)(6) +2 π*k$.
Dobili smo, kako se često kaže u takvim slučajevima, dvije serije vrijednosti:
$\frac(π)(6) +2 π*k$ i $\frac(5π)(6) +2π*k$.
Odgovor: $t=\frac(π)(6) +2 π*k$ i $t=\frac(5π)(6) +2π*k$.
Primjer 4.
Pronađite točke na brojevnoj kružnici s apscisom $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ i zapišite kojim brojevima $t$ odgovaraju.
Otopina:
Pravac $x =-\frac(\sqrt(2))(2)$ siječe brojevnu kružnicu u točkama M i P. Nejednakost $x≥-\frac(\sqrt(2))(2)$ odgovara na točke luka PM. Točka M odgovara broju $3\frac(π)(4)$ (iz tabličnih podataka). To znači bilo koji broj u obliku $-\frac(3π)(4) +2π*k$. Točka P odgovara broju $-\frac(3π)(4)$, a time i bilo kojem broju oblika $-\frac(3π)(4) +2π*k$.
Tada dobivamo $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.
Odgovor: $-\frac(3π)(4) +2 π*k ≤t≤\frac(3π)(4) +2πk$.
Problemi koje treba samostalno riješiti
1) Pronađite koordinatu točke na brojevnoj kružnici: $P(\frac(61π)(6))$.2) Pronađite koordinatu točke na brojevnoj kružnici: $P(-\frac(52π)(3))$.
3) Pronađite točke na brojevnoj kružnici s ordinatom $y = -\frac(1)(2)$ i zapišite kojim brojevima $t$ odgovaraju.
4) Pronađite točke na brojevnoj kružnici s ordinatom $y ≥ -\frac(1)(2)$ i zapišite kojim brojevima $t$ odgovaraju.
5) Pronađite točke na brojevnoj kružnici s apscisom $x≥-\frac(\sqrt(3))(2)$ i zapišite kojim brojevima $t$ odgovaraju.
Datum: lekcija1
tema: Brojevna kružnica na koordinatnoj liniji
Ciljevi: uvesti pojam modela brojevnog kruga u kartezijskom i krivocrtnom koordinatnom sustavu; razvijati sposobnost pronalaženja kartezijskih koordinata točaka na brojevnoj kružnici i obavljanje suprotne radnje: poznavajući kartezijeve koordinate točke odrediti njezinu brojčanu vrijednost na brojevnoj kružnici.
Napredak lekcije
I. Organizacijski trenutak.
II. Objašnjenje novog gradiva.
1. Nakon što smo brojevnu kružnicu smjestili u Kartezijev koordinatni sustav, detaljno analiziramo svojstva točaka na brojevnoj kružnici koje se nalaze u različitim koordinatnim četvrtinama.
Za bod M brojevni krug koristi notaciju M(t), ako govorimo o krivocrtnoj koordinati točke M, ili snimiti M (X;na), ako govorimo o kartezijevim koordinatama točke.
2. Određivanje kartezijevih koordinata “dobrih” točaka na brojevnoj kružnici. Radi se o pomaku od zapisnika M(t) Za M (X;na).
3. Određivanje predznaka koordinata “loših” točaka na brojevnoj kružnici. Ako npr. M(2) = M (X;na), To X 0; na 0. (Učenici uče određivati predznake trigonometrijskih funkcija pomoću četvrtina brojevne kružnice.)
1. br. 5.1 (a; b), br. 5.2 (a; b), br. 5.3 (a; b).
Ova skupina zadataka usmjerena je na razvijanje sposobnosti pronalaženja kartezijevih koordinata „dobrih“ točaka na brojevnoj kružnici.
Otopina:
№ 5.1 (A).
2. br. 5.4 (a; b), br. 5.5 (a; b).
Ova grupa zadataka ima za cilj razvijanje vještina pronalaženja krivuljastih koordinata točke pomoću njezinih Kartezijevih koordinata.
Otopina:
№ 5.5 (b).
3. Broj 5.10 (a; b).
Ova vježba ima za cilj razvijanje sposobnosti pronalaženja kartezijevih koordinata "loših" točaka.
V. Sažetak lekcije.
Pitanja za studente:
– Što je model – brojevni krug na koordinatnoj ravnini?
– Kako, poznavajući krivocrtne koordinate točke na brojevnoj kružnici, pronaći njezine kartezijeve koordinate i obrnuto?
domaća zadaća: br. 5.1 (c; d) – 5.5 (c; d), br. 5.10 (c; d).
Datum: lekcija2
TEMA: Rješavanje zadataka pomoću modela “kružnica brojeva na koordinatnoj ravnini”.
Ciljevi: nastaviti razvijati sposobnost prijelaza s krivocrtnih koordinata točke na brojevnoj kružnici na Kartezijeve koordinate; razvijati sposobnost pronalaženja točaka na brojevnoj kružnici čije koordinate zadovoljavaju zadanu jednadžbu ili nejednadžbu.
Napredak lekcije
I. Organizacijski trenutak.
II. Usmeni rad.
1. Imenuj krivocrtne i kartezijeve koordinate točaka na brojevnoj kružnici.
2. Usporedite luk na kružnici i njegov analitički zapis.
III. Objašnjenje novog gradiva.
2. Određivanje točaka na brojevnoj kružnici čije koordinate zadovoljavaju zadanu jednadžbu.
Pogledajmo primjere 2 i 3 sa str. 41–42 udžbenika.
Važnost ove "igre" je očita: učenici se pripremaju za rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi oblika. na gotove formule.
Prilikom razmatranja primjera nalaženja točke s apscisom učenicima skrećemo pozornost na mogućnost spajanja dvaju nizova odgovora u jednu formulu:
3. Određivanje točaka na brojevnoj kružnici čije koordinate zadovoljavaju zadanu nejednadžbu.
Pogledajmo primjere 4–7 sa str. 43–44 udžbenika. Rješavanjem takvih zadataka pripremamo učenike za rješavanje trigonometrijskih nejednadžbi oblika
Nakon razmatranja primjera učenici mogu samostalno formulirati algoritam rješenja nejednadžbi navedenog tipa:
1) sa analitičkog modela prelazimo na geometrijski model – luk GOSPOD kružnica brojeva;
2) čine jezgru analitičke evidencije GOSPOD; za luk koji dobijemo
3) sastaviti opću evidenciju:
IV. Formiranje vještina i sposobnosti.
1. skupina. Pronalaženje točke na brojevnoj kružnici s koordinatom koja zadovoljava zadanu jednadžbu.
br. 5.6 (a; b) – br. 5.9 (a; b).
U procesu rada na ovim vježbama vježbamo izvođenje korak po korak: snimanje jezgre točke, analitičko snimanje.
2. skupina. Određivanje točaka na brojevnoj kružnici s koordinatom koja zadovoljava zadanu nejednadžbu.
Broj 5.11 (a; b) – 5.14 (a; b).
Glavna vještina koju školarci moraju steći pri izvođenju ovih vježbi je sastavljanje jezgre analitičkog zapisa luka.
V. Samostalni rad.
Opcija 1
1. Na brojevnoj kružnici označite točku koja odgovara zadanom broju i pronađite njezine kartezijeve koordinate:
2. Na brojevnoj kružnici sa zadanom apscisom pronađi točke i zapiši koji su brojevi t poklapaju se.
3. Na brojevnoj kružnici ordinatama označi točke koje zadovoljavaju nejednakost i pomoću dvostruke nejednakosti zapiši koji brojevi t poklapaju se.
Opcija 2
1. Na brojevnoj kružnici označite točku koja odgovara zadanom broju i pronađite njezine kartezijeve koordinate:
2. Odredi točke na brojevnoj kružnici sa zadanom ordinatom na= 0,5 i upiši koji brojevi t poklapaju se.
3. Na brojevnoj kružnici označi točke s apscisom koje zadovoljavaju nejednadžbu i pomoću dvostruke nejednadžbe zapiši koji brojevi t poklapaju se.
VI. Sažetak lekcije.
Pitanja za studente:
– Kako pronaći točku na kružnici čija apscisa zadovoljava zadanu jednadžbu?
– Kako pronaći točku na kružnici čija ordinata zadovoljava zadanu jednadžbu?
– Navedite algoritam za rješavanje nejednadžbi pomoću brojevnog kruga.
domaća zadaća: br. 5.6 (c; d) – br. 5.9 (c; d),
br. 5.11 (c; d) – br. 5.14 (c; d).
Brojevnom krugu u 10. razredu posvećuje se dosta vremena. To je zbog značaja ovog matematičkog objekta za cijeli tečaj matematike.
Pravilan odabir nastavnih sredstava od velike je važnosti za dobro savladavanje gradiva. Najučinkovitiji takvi alati uključuju video upute. Nedavno su dosegli vrhunac popularnosti. Stoga autor nije zaostajao za vremenom i razvio tako prekrasan priručnik za pomoć učiteljima matematike - video lekciju na temu "Krug brojeva na koordinatnoj ravnini."
Ova lekcija traje 15:22 minute. To je praktički maksimalno vrijeme koje nastavnik može potrošiti na samostalno objašnjavanje gradiva o temi. Budući da je potrebno puno vremena za objašnjavanje novog gradiva, potrebno je odabrati najučinkovitije zadatke i vježbe za konsolidaciju, te odabrati drugu lekciju na kojoj će učenici rješavati zadatke na ovu temu.
Lekcija počinje slikom brojevnog kruga u koordinatnom sustavu. Autor gradi taj krug i objašnjava svoje postupke. Zatim autor imenuje točke presjeka brojevne kružnice s koordinatnim osima. Slijedi objašnjenje koje će koordinate imati točke kruga u različitim četvrtinama.
Nakon ovoga, autor vas podsjeća kako izgleda jednadžba kružnice. A slušateljima su predstavljena dva modela koji prikazuju neke točke na krugu. Zahvaljujući tome, u sljedećem koraku autor pokazuje kako pronaći koordinate točaka na kružnici koje odgovaraju određenim brojevima označenim na predlošcima. Ovo proizvodi tablicu vrijednosti za varijable x i y u jednadžbi kruga.
Zatim predlažemo da razmotrimo primjer u kojem je potrebno odrediti koordinate točaka na krugu. Prije početka rješavanja primjera uvodi se neka napomena koja pomaže u rješavanju. Zatim se na ekranu pojavljuje cjelovito, jasno strukturirano i ilustrirano rješenje. Ovdje su i tablice koje olakšavaju razumijevanje suštine primjera.
Zatim se razmatra još šest primjera, koji oduzimaju manje vremena od prvog, ali ne manje važni i odražavaju glavnu ideju lekcije. Ovdje su rješenja predstavljena u cijelosti, s detaljnom pričom i elementima jasnoće. Naime, rješenje sadrži crteže koji ilustriraju napredak rješavanja, te matematički zapis koji oblikuje matematičku pismenost učenika.
Učitelj se može ograničiti na primjere o kojima se raspravljalo u lekciji, ali to možda neće biti dovoljno za kvalitetno učenje gradiva. Stoga je odabir zadataka za učvršćivanje jednostavno iznimno važan.
Lekcija može biti korisna ne samo za nastavnike, čije je vrijeme stalno ograničeno, već i za učenike. Posebno za one koji dobivaju obiteljsko obrazovanje ili se bave samoobrazovanjem. Materijale mogu koristiti oni učenici koji su propustili lekciju na ovu temu.
DEKODIRANJE TEKSTA:
Tema naše lekcije je "BROJEVNA KRUŽNICA NA KOORDINATNOJ RAVNINI"
Već smo upoznati s kartezijevim pravokutnim koordinatnim sustavom xOy (x o y). U ovom koordinatnom sustavu postavit ćemo brojevnu kružnicu tako da središte kružnice bude poravnato s ishodištem koordinata, a njen radijus ćemo uzeti kao segment mjerila.
Početna točka A kruga brojeva kombinira se s točkom s koordinatama (1;0), B - s točkom (0;1), C - s (-1;0) (minus jedan, nula), a D - s (0; - 1)(nula, minus jedan).
(vidi sliku 1)
Kako svaka točka na brojevnoj kružnici ima svoje koordinate u sustavu xOy (x o y), tada je za točke prve četvrtine yx veće od nule, a y veće od nule;
Drugo, ikx je manji od nule, a yk je veći od nule,
za točke treće četvrtine ikx je manji od nule, a yk je manji od nule,
a za četvrtu četvrtinu ikx je veći od nule, a yk je manji od nule
Za bilo koju točku E (x;y) (s koordinatama x, y) brojevnog kruga, nejednakosti -1≤ x≤ 1, -1≤y≤1 (x je veći ili jednak minus jedan, ali manji od ili jednako jedan; y je veće ili jednako minus jedan, ali manje ili jednako jedan).
Prisjetimo se da jednadžba kružnice polumjera R sa središtem u ishodištu ima oblik x 2 + y 2 = R 2 (x kvadrat plus y kvadrat jednako je er kvadrat). A za jedinični krug R = 1, tako da dobivamo x 2 + y 2 = 1
(x kvadrat plus y kvadrat jednako je jedan).
Pronađimo koordinate točaka na brojevnom krugu, koje su prikazane na dva izgleda (vidi sl. 2, 3)
Neka je točka E, koja odgovara
(pi sa četiri) - sredina prve četvrtine prikazane na slici. Iz točke E spustimo okomicu EK na pravac OA i promatramo trokut OEK. Kut AOE =45 0, jer je luk AE polovica luka AB. Dakle, trokut OEK je jednakokračan pravokutan trokut, za koji je OK = EC. To znači da su apscisa i ordinata točke E jednake, tj. x jednako igra. Da bismo pronašli koordinate točke E, rješavamo sustav jednadžbi: (x je jednako yrek - prva jednadžba sustava i x kvadrat plus yrek kvadrat je jednako jedan - druga jednadžba sustava). , umjesto x zamijenimo y, dobivamo 2y 2 = 1 (dva yyrek kvadrata jednako je jedan), odakle je y = = (y je jednako jedan podijeljeno s korijenom iz dva jednako je korijenu iz dva podijeljeno s dva) (ordinata je pozitivna) znači da točka E u pravokutnom koordinatnom sustavu ima koordinate (,) (korijen iz dva podijeljeno s dva).
Rezonirajući na sličan način, pronalazimo koordinate za točke koje odgovaraju drugim brojevima prvog rasporeda i dobivamo: odgovarajuća točka je s koordinatama (- ,) (minus korijen od dva podijeljeno s dva, korijen od dva podijeljeno s dva) ; za - (- ,-) (minus korijen od dva podijeljeno s dva, minus korijen od dva podijeljeno s dva); za (sedam pi kroz četiri) (,)(korijen dva podijeljeno s dva, minus korijen dva podijeljeno s dva).
Neka točka D odgovara (sl. 5). Spustimo okomicu iz DP(de pe) na OA i razmotrimo trokut ODP. Hipotenuza ovog trokuta OD jednaka je polumjeru jedinične kružnice, odnosno jedan, a kut DOP jednak je trideset stupnjeva, budući da je luk AD = digi AB (a de jednako jednoj trećini a be), i luk AB jednak je devedeset stupnjeva. Dakle, DP = (de pe je jednako jednoj polovici O de je jednako jednoj polovici) Budući da je krak koji leži nasuprot kutu od trideset stupnjeva jednak polovici hipotenuze, odnosno y = (y je jednak jednoj polovici) . Primjenom Pitagorinog poučka dobivamo OR 2 = OD 2 - DP 2 (o pe kvadrat je o de kvadrat minus de pe kvadrat), ali OR = x (o pe je jednako x). To znači x 2 = OD 2 - DP 2 =
to znači x 2 = (x na kvadrat je jednako tri četvrtine) i x = (x je jednako korijenu od tri puta dva).
X je pozitivan, jer je u prvom kvartalu. Otkrili smo da točka D u pravokutnom koordinatnom sustavu ima koordinate (,) korijen od tri podijeljeno s dva, jedna polovica.
Razmišljajući na sličan način, pronaći ćemo koordinate za točke koje odgovaraju drugim brojevima drugog rasporeda i sve dobivene podatke zapisati u tablice:
Pogledajmo primjere.
PRIMJER 1. Odredite koordinate točaka na brojevnoj kružnici: a) C 1 ();
b) C2 (); c) C 3 (41π); d) C 4 (- 26π). (tse jedan odgovara trideset pet pi puta četiri, tse dva odgovara minus četrdeset devet pi puta tri, tse tri odgovara četrdeset jedan pi, tse četiri odgovara minus dvadeset šest pi).
Otopina. Poslužimo se prethodno dobivenom tvrdnjom: ako točka D brojevnog kruga odgovara broju t, tada odgovara bilo kojem broju oblika t + 2πk(te plus dva vrha), gdje je ka bilo koji cijeli broj, tj. kϵZ (ka pripada z).
a) Dobivamo = ∙ π = (8 +) ∙π = + 2π ∙ 4. (trideset pet pi puta četiri jednako je trideset pet puta četiri, pomnoženo s pi jednako je zbroju osam i tri četvrtine, pomnoženo s pi jednako tri pi puta četiri plus umnožak dva pi sa četiri). Pomoću tablice 1 dobivamo C 1 () = C 1 (- ;) .
b) Slično koordinatama C 2: = ∙ π = - (16 + ∙π = + 2π ∙ (- 8). To znači da broj
odgovara istoj točki na brojevnoj kružnici kao i broj. A broj odgovara istoj točki na krugu brojeva kao i broj
(pokažite drugi izgled i tablicu 2). Za točku vrijedi x = , y =.
c) 41π = 40π + π = π + 2π ∙ 20. To znači da broj 41π odgovara istoj točki na brojevnoj kružnici kao i broj π - to je točka s koordinatama (-1; 0).
d) - 26π = 0 + 2π ∙ (- 13), odnosno broj - 26π odgovara istoj točki na brojevnoj kružnici kao i broj nula - to je točka s koordinatama (1;0).
PRIMJER 2. Pronađite točke na brojevnoj kružnici s ordinatom y =
Otopina. Pravac y = siječe brojevnu kružnicu u dvije točke. Jedna točka odgovara broju, druga točka odgovara broju,
Dakle, sve vrhove dobivamo zbrajanjem punog okretaja 2πk gdje k pokazuje koliko punih okretaja vrh napravi, tj. dobivamo,
a za bilo koji broj svi brojevi oblika + 2πk. Često u takvim slučajevima kažu da su dobili dvije serije vrijednosti: + 2πk, + 2πk.
PRIMJER 3. Pronađite točke na brojevnoj kružnici s apscisom x = i zapišite kojim brojevima t odgovaraju.
Otopina. Ravno X= siječe brojevnu kružnicu u dvije točke. Jedna točka odgovara broju (pogledajte drugi izgled),
pa prema tome bilo koji broj oblika + 2πk. A druga točka odgovara broju, a time i bilo kojem broju oblika + 2πk. Ova dva niza vrijednosti mogu se obuhvatiti jednim unosom: ± + 2πk (plus minus dva pi sa tri plus dva pi).
PRIMJER 4. Pronađite točke s ordinatom na brojevnoj kružnici na> i zapiši kojim brojevima t odgovaraju.
Pravac y = siječe brojevnu kružnicu u dvije točke M i P. A nejednakost y > odgovara točkama otvorenog luka MR, to znači lukove bez krajeva (odnosno bez u), kada se krećete po kružnici u smjeru suprotnom od kazaljke na satu , počevši od točke M do točke P. To znači da je srž analitičkog zapisa luka MR nejednadžba< t < (тэ больше, чем пи на три, но меньше двух пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид + 2πk < t < + 2πk(тэ больше, чем пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).
PRIMJER5. Pronađite ordinatne točke na brojevnoj kružnici na < и записать, каким числам t они соответствуют.
Pravac y = siječe brojevnu kružnicu u dvjema točkama M i P. A nejednadžba y< соответствуют точки открытой дуги РМ при движении по окружности против часовой стрелки, начиная с точки Р, а заканчивая в точке М. Значит, ядром аналитической записи дуги РМ является неравенство < t < (тэ больше, чем минус четыре пи на три, но меньше пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид
2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус четыре пи на три плюс два пи ка, но меньше пи на три плюс два пи ка).
PRIMJER 6. Pronađite točke s apscisom na brojevnoj kružnici X> i zapiši kojim brojevima t odgovaraju.
Pravac x = siječe brojevnu kružnicu u dvjema točkama M i P. Nejednadžba x > odgovara točkama otvorenog luka PM pri gibanju po kružnici u smjeru suprotnom od kazaljke na satu s početkom u točki P, koja odgovara, a završetkom u toč. M, što odgovara. To znači da je srž analitičke notacije PM luka nejednakost< t <
(te je veće od minus dva pi puta tri, ali manje od dva pi puta tri), a analitički zapis samog luka ima oblik + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус два пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).
PRIMJER 7. Pronađite točke s apscisom na brojevnoj kružnici X < и записать, каким числам t они соответствуют.
Pravac x = siječe brojevnu kružnicu u dvjema točkama M i P. Nejednadžba x< соответствуют точки открытой дуги МР при движении по окружности против часовой стрелки с началом в точке М, которая соответствует, и концом в точке Р, которая соответствует. Значит, ядром аналитической записи дуги МР является неравенство < t <
(te je više od dva pi puta tri, ali manje od četiri pi puta tri), a analitički zapis samog luka ima oblik + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем два пи на три плюс два пи ка, но меньше четырех пи на три плюс два пи ка).
Općinska obrazovna ustanova srednja škola br
KHMAO-Jugra
Razvoj lekcije
u 10. razredu
o algebri i principima analize
Nadežda Mihajlovna
profesorica matematike
Sovjetski
Tema: TRIGONOMETRIJA
Trigonometrijske funkcije
Trigonometrijske jednadžbe
Trigonometrijske transformacije
Brojčani krug uključen
koordinatna ravnina
Predmet se izvodi blok-modularnom tehnologijom.
Ova lekcija je jedna od lekcija za učenje novog gradiva. Stoga je glavno vrijeme sata posvećeno učenju novog gradiva, a učenici najveći dio toga rade samostalno.
Oblici aktivnosti učenika na satu: frontalni, samostalni i individualni rad.
Budući da se na satu treba puno raditi i pratiti rezultate aktivnosti učenika, u fazama obnavljanja znanja i učenja novog gradiva koristi se interaktivna ploča. Za zorniji prikaz prekrivanja brojčane kružnice na koordinatnoj ravnini i za promišljanje sadržaja nastavnog materijala na kraju treninga koriste se i Power Point prezentacije.
obrazovni
Naučiti samostalno stjecati znanja
njegovanje
Gajite pribranost, odgovornost, marljivost
razvijanje
Naučite analizirati, uspoređivati, graditi analogije
Plan lekcije:
1) Organizacijski trenutak, tema, svrha lekcije 2 min.
2) Obnavljanje znanja 4 min.
3) Učenje novog gradiva 30 min.
4) Odraz 3 min.
5) Sažetak lekcije 1 min.
Organizacijski trenutak
Brojevni krug
koordinatna ravnina
razmotriti brojevnu kružnicu na koordinatnoj ravnini; zajedno pronaći koordinate dviju točaka; zatim samostalno sastavite tablice koordinatnih vrijednosti drugih glavnih točaka kruga;
provjerite svoju sposobnost pronalaženja koordinata točaka na brojevnoj kružnici.
Obnavljanje znanja
U kolegiju geometrije 9. razreda učili smo sljedeće
materijal:
Na jediničnoj polukružnici (R = 1) promatrali smo točku M s koordinatama X I na
Odlomci iz udžbenika geometrije
Naučivši pronaći koordinate točke na jediničnoj kružnici,
Lagano prijeđimo na njihove druge nazive: sinuse i kosinuse, tj.
na glavnu temu - TRIGONOMETRIJA
Prvi zadatak zadaje se na interaktivnoj ploči gdje učenici trebaju postaviti točkice i njima pripadajuće brojeve na mjesta na brojevnom krugu povlačeći ih prstom po ploči.
Zadatak 1
Dobili smo rezultat:
Drugi zadatak je dan na interaktivnoj ploči. Odgovori su zatvoreni "zavjesom" i otkrivaju se tijekom rješavanja.
Zadatak 2
Rezultat zadatka:
Učenje novog gradiva
Uzmimo koordinatni sustav i stavimo na njega brojevnu kružnicu tako da im se središta poklapaju, a horizontalni radijus kružnice poklapa s pozitivnim smjerom OX osi (Power Point prezentacija)
Kao rezultat imamo točke koje pripadaju i brojevnoj kružnici i koordinatnoj ravnini. Razmotrimo jednu od ovih točaka, na primjer, točku M (Power Point prezentacija)
M(t)
Ucrtajmo koordinate te točke
Nađimo koordinate točaka koje nas zanimaju na jediničnoj kružnici, koju smo ranije razmatrali s nazivnicima 4, 3, 6 i brojnikom π.
Pronađite koordinate točke na jediničnoj kružnici koja odgovara broju i, prema tome, kutu
Zadatak 3
(Power Point prezentacija)
Opišimo radijus i koordinate točke
Po Pitagorinoj teoremi imamo X 2+ x 2 = 12
Ali kutovi trokuta su π/4 = 45° , To znači da je trokut jednakokračan i x = y
Pronađite koordinate točke na jediničnoj kružnici koja odgovara brojevima (kutovima)
Zadatak 4
(Power Point prezentacija)
Sredstva na= 1/2
Prema Pitagorinoj teoremi
Trokuti su jednaki u hipotenuzi
i oštri kut, što znači da su im kraci jednaki
Na prethodnom satu učenici su dobili listove s prazninama brojčanih kružića i raznih tablica.
Ispunite prvu tablicu.
Zadatak 5
(interaktivna ploča)
Najprije u tablicu unesite točke kružnice koje su višekratnici brojeva 2 i 4
Provjera rezultata:
(interaktivna ploča)
Sami upiši ordinate i apscise tih točaka u tablicu, vodeći računa o koordinatnim predznacima, ovisno o tome u kojoj se četvrtini točka nalazi, koristeći duljine gore dobivenih odsječaka za koordinate točaka.
Zadatak 6
Jedan od učenika imenuje dobivene rezultate, ostali provjeravaju svojim odgovorima, a zatim za uspješnu korekciju rezultata (budući da će se ove tablice koristiti kasnije u radu za razvijanje vještina i produbljivanje znanja o temi), prikazuje se ispravno popunjena tablica na interaktivnoj ploči.
Provjera rezultata:
(interaktivna ploča)
Ispunite drugu tablicu.
Zadatak 7
(interaktivna ploča)
Najprije u tablicu unesite točke kružnice koje su višekratnici brojeva 3 i 6
Provjera rezultata:
(interaktivna ploča)
Sami upiši ordinate i apscise tih točaka u tablicu
Zadatak 8
Provjera rezultata:
(interaktivna ploča)
(Power Point prezentacija)
Provedimo kratki matematički diktat nakon kojeg slijedi samokontrola.
1) Odredite koordinate točaka jedinične kružnice:
opcija 2
1 opcija
2) Odredite apscisu točaka jedinične kružnice:
1) Odredite koordinate točaka na jediničnoj kružnici
opcija 2
1 opcija
2) Odredite apscisu točaka na jediničnoj kružnici
Testirajte se
3) Odredite ordinate točaka jedinične kružnice:
Za sebe možete označiti "5" za 4 završena primjera,
“4” za 3 primjera i oznaka “3” za 2 primjera
Sažimanje lekcije
1) U budućnosti, za pronalaženje vrijednosti sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa točaka i kutova, potrebno je naučiti iz ispunjenih tablica vrijednosti koordinata točaka koje pripadaju prvoj četvrtini jer dalje ćemo naučiti izraziti vrijednosti koordinata svih ostalih točaka kroz vrijednosti točaka prve četvrtine;
2) Pripremiti teorijska pitanja za testiranje.
domaća zadaća:
Sažetak lekcije
Ocjenom se ocjenjuju učenici koji su najaktivnije radili na satu. Rad svih učenika se ne ocjenjuje jer se greške ispravljaju odmah tijekom nastave. Diktat je vođen za samokontrolu;