Miért egyenlő a medián a hypotenus felével? Derékszögű háromszög mediánjának tulajdonságai
A medián a háromszög csúcsától a szemközti oldal közepéig húzott szakasz, azaz a metszéspontban kettéosztja. Alapnak nevezzük azt a pontot, ahol a medián metszi a csúcsponttal ellentétes oldalt, ahonnan kilép. A háromszög minden mediánja egy ponton halad át, amelyet metszéspontnak nevezünk. A hosszának képlete többféleképpen is kifejezhető.
Képletek a medián hosszának kifejezésére
- A geometriai feladatok során a tanulóknak gyakran olyan szegmenssel kell megküzdeniük, mint egy háromszög mediánja. A hosszának képlete oldalakkal van kifejezve:
ahol a, b és c az oldalak. Ezenkívül c az az oldal, amelyre a medián esik. Így néz ki egyszerű képlet. Néha szükség van egy háromszög mediánjára a segédszámításokhoz. Vannak más képletek is.
- Ha a számítás során egy háromszög két oldala és a közöttük elhelyezkedő bizonyos α szög ismeretes, akkor a háromszög mediánjának hosszát a harmadik oldalra csökkentve a következőképpen fejezzük ki.
Alaptulajdonságok
- Minden mediánnak van egy közös O metszéspontja, és kettõ az egyhez arányban osztjuk el vele, ha a csúcsból számoljuk. Ezt a pontot a háromszög súlypontjának nevezzük.
- A medián a háromszöget két másik részre osztja, amelyek területe egyenlő. Az ilyen háromszögeket egyenlő területűeknek nevezzük.
- Ha az összes mediánt megrajzoljuk, a háromszög 6 egyenlő figurára oszlik, amelyek egyben háromszögek is lesznek.
- Ha egy háromszög mindhárom oldala egyenlő, akkor a mediánok mindegyike egy magasság és egy felező, azaz merőleges arra az oldalra, amelyre rajzolják, és felezi azt a szöget, amelyből kilép.
- Egy egyenlő szárú háromszögben a másikkal nem egyenlő oldallal szemközti csúcsból húzott medián lesz a magasság és a felező is. A többi csúcsból kiesett mediánok egyenlőek. Ez is szükséges és elégséges feltétele az egyenlőszárúknak.
- Ha egy háromszög egy szabályos piramis alapja, akkor az erre az alapra csökkentett magasságot az összes medián metszéspontjára vetítjük.
- Egy derékszögű háromszögben a leghosszabb oldalra húzott medián egyenlő a hosszának felével.
- Legyen O a háromszög mediánjainak metszéspontja. Az alábbi képlet bármelyik M pontra igaz.
- A háromszög mediánjának van egy másik tulajdonsága. Az alábbiakban bemutatjuk az oldalak négyzetén keresztüli hosszának négyzetének képletét.
Azon oldalak tulajdonságai, amelyekhez a mediánt húzzák
- Ha a mediánok bármely két metszéspontját összekapcsolja azokkal az oldalakkal, amelyekre kiesik, akkor a kapott szakasz a háromszög középvonala lesz, és annak a háromszögnek az egyik fele, amellyel nincs közös pontja.
- Egy háromszögben a magasságok és mediánok alapjai, valamint a háromszög csúcsait a magasságok metszéspontjával összekötő szakaszok felezőpontjai ugyanazon a körön helyezkednek el.
Összefoglalva logikus azt mondani, hogy az egyik legfontosabb szegmens a háromszög mediánja. Képletével megkereshetjük a többi oldalának hosszát.
Egy téma tanulmányozásakor iskolai tanfolyam lehetőség van egy bizonyos minimum probléma kiválasztására, miután elsajátították a megoldási módszereket, a hallgatók képesek lesznek bármilyen problémát megoldani a tanulmányozott témában a programkövetelmények szintjén. Azt javaslom, hogy fontolja meg azokat a problémákat, amelyek lehetővé teszik az egyes témakörök egymáshoz való viszonyát az iskolai matematika kurzusban. Ezért az összeállított feladatrendszer az hatékony eszközök ismétlés, általánosítás és rendszerezés oktatási anyag miközben felkészíti a tanulókat a vizsgára.
A vizsga sikeres teljesítéséhez hasznos lesz további információ a háromszög egyes elemeiről. Tekintsük egy háromszög mediánjának tulajdonságait és azokat a problémákat, amelyek megoldásában ezek a tulajdonságok felhasználhatók. A javasolt feladatok a szintdifferenciálás elvét valósítják meg. Minden feladat feltételesen szintekre van osztva (a szint minden feladat után zárójelben van feltüntetve).
Emlékezzünk vissza a háromszög mediánjának néhány tulajdonságára
1. tulajdonság. Bizonyítsuk be, hogy egy háromszög mediánja ABC, a csúcsból húzva A, kevesebb mint a fele az oldalak összegének ABÉs A.C..
Bizonyíték
https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}
2. tulajdonság. A medián a háromszöget két egyenlő részre vágja.
Bizonyíték
Rajzoljuk le az ABC háromszög B csúcsából a BD mediánt és a BE magasságot..gif" alt="Area" width="82" height="46">!}
Mivel a BD szegmens a medián, akkor
Q.E.D.
https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Medián" align="left" width="196" height="75 src=">!} 4. tulajdonság. Egy háromszög mediánja a háromszöget 6 egyenlő háromszögre osztja.
Bizonyíték
Bizonyítsuk be, hogy mind a hat háromszög területe, amelyekre a mediánok felosztják az ABC háromszöget, megegyezik az ABC háromszög területével. Ehhez vegyük például az AOF háromszöget, és dobjunk egy AK merőlegest az A csúcsból a BF egyenesbe.
A 2. ingatlan miatt
https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Medián" align="left" width="105" height="132 src=">!}
6. ingatlan. Egy csúcsból rajzolt derékszögű háromszög mediánja derékszög, egyenlő a hypotenus felével.
Bizonyíték
https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Medián" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}
Következmények:1. Központ leírása kb derékszögű háromszög a kör a hipotenusz felezőpontjában fekszik.
2. Ha egy háromszögben a medián hossza egyenlő annak az oldalnak a hosszának felével, amelyhez húzzuk, akkor ez a háromszög derékszögű.
FELADATOK
Minden további probléma megoldása során a bevált tulajdonságokat használják.
№1 Témák: A medián megduplázása. Nehézségi fok: 2+
A paralelogramma jelei és tulajdonságai Osztályzatok: 8,9
Állapot
A medián folytatásán A.M. háromszög ABC pontonként M szakasz elhalasztva M.D., egyenlő A.M.. Bizonyítsuk be, hogy a négyszög ABDC- paralelogramma.
Megoldás
Használjuk a paralelogramma egyik előjelét. Négyszög átlói ABDC pontban metszik egymást Més oszd ketté, tehát a négyszög ABDC- paralelogramma.
1. A medián egy háromszöget két egyenlő területű háromszögre oszt.
2. A háromszög mediánjai egy pontban metszik egymást, ami a csúcstól számítva mindegyiket 2:1 arányban osztja el. Ezt a pontot hívják súlypont háromszög.
3. Az egész háromszöget a mediánjai hat egyenlő háromszögre osztják.
A háromszögfelezők tulajdonságai
1. Egy szög felezője a szög oldalaitól egyenlő távolságra lévő pontok helye.
2. A háromszög belső szögének felezője a szemközti oldalt a szomszédos oldalakkal arányos szakaszokra osztja: .
3. A háromszög felezőinek metszéspontja az ebbe a háromszögbe írt kör középpontja.
A háromszög magasság tulajdonságai
1. Egy derékszögű háromszögben a derékszög csúcsából húzott magasság két, az eredetihez hasonló háromszögre hasítja.
2. Egy hegyesszögű háromszögben két magassága hasonlókat vág le belőle 
háromszögek.
A háromszög merőleges felezőinek tulajdonságai
1. Egy szakaszra merőleges felezőpont minden pontja egyenlő távolságra van ennek a szakasznak a végeitől. Ennek fordítva is igaz: minden pont, amely egy szakasz végétől egyenlő távolságra van, a rá merőleges felezőn fekszik.
2. A háromszög oldalaira húzott merőleges felezők metszéspontja a háromszögre körülírt kör középpontja.
A háromszög középvonalának tulajdonsága
A háromszög középvonala párhuzamos az egyik oldalával, és egyenlő az oldal felével.
A háromszögek hasonlósága
Két háromszög hasonló ha az alábbi feltételek valamelyike, ún a hasonlóság jelei:
· egy háromszög két szöge egyenlő egy másik háromszög két szögével;
· az egyik háromszög két oldala arányos egy másik háromszög két oldalával, és az ezen oldalak által alkotott szögek egyenlőek;
· egy háromszög három oldala arányos egy másik háromszög három oldalával.
Hasonló háromszögekben a megfelelő egyenesek (magasságok, mediánok, felezők stb.) arányosak.
Szinusztétel
Koszinusz tétel
a 2= b 2+ c 2- 2i.e kötözősaláta
Háromszög terület képletek
1. Ingyenes háromszög
a, b, c - oldalak; - az oldalak közötti szög aÉs b; - fél kerület; R- körülírt kör sugara; r- a beírt kör sugara; S- négyzet; h a - magasságba húzva 
oldal a.
S = ah a
S = ab sin
S = pr
2. Derékszögű háromszög
a, b - lábak; c-átfogó; h c - oldalra húzott magasság c.
S = ch c S = ab
3. Egyenlő oldalú háromszög
Négyszögek
A paralelogramma tulajdonságai 
· a szemközti oldalak egyenlőek;
· a szemközti szögek egyenlőek;
· az átlókat kettéosztjuk a metszésponttal;
· az egyik oldallal szomszédos szögek összege 180°;
Az átlók négyzeteinek összege egyenlő az összes oldal négyzeteinek összegével:
d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2).
A négyszög paralelogramma, ha:
1. Két szemközti oldala egyenlő és párhuzamos.
2. A szemközti oldalak páronként egyenlőek.
3. Az ellentétes szögek páronként egyenlőek.
4. Az átlókat kettéosztjuk a metszésponttal.
A trapéz tulajdonságai
· középvonala párhuzamos az alapokkal és egyenlő azok felével;
· ha a trapéz egyenlő szárú, akkor az átlói egyenlőek és az alapnál lévő szögek egyenlőek;
· ha a trapéz egyenlő szárú, akkor kör írható le körülötte;
· ha az alapok összege egyenlő az oldalak összegével, akkor kör írható bele.
Téglalap tulajdonságai
Az átlók egyenlőek.
A paralelogramma téglalap, ha:
1. Egyik szöge egyenes.
2. Átlói egyenlők.
A rombusz tulajdonságai
· a paralelogramma összes tulajdonsága;
Az átlók merőlegesek;
Az átlók a szögfelezők.
1. A paralelogramma rombusz, ha:
2. Két szomszédos oldala egyenlő.
3. Átlói merőlegesek.
4. Az egyik átló a szögfelezője.
A négyzet tulajdonságai
· a négyzet minden sarka megfelelő;
· egy négyzet átlói egyenlőek, egymásra merőlegesek, a metszéspont felezi és felezi a négyzet sarkait.
A téglalap négyzet, ha rendelkezik rombuszjellemzőkkel.
Alapképletek
1. Bármely konvex négyszög 
d 1,d 2 -átlók; - a köztük lévő szöget; S- négyzet.
S = d 1 d 2 bűn
Fontos számunkra az Ön adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.
Személyes adatok gyűjtése és felhasználása
A személyes adatok az azonosításra használható adatokra vonatkoznak bizonyos személy vagy a vele való kapcsolat.
Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.
Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.
Milyen személyes adatokat gyűjtünk:
- Amikor kérelmet nyújt be az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, címét email stb.
Hogyan használjuk fel személyes adatait:
- Mi gyűjtöttük össze személyes adatok lehetővé teszi, hogy kapcsolatba léphessünk Önnel, és tájékoztassuk Önt egyedi ajánlatokról, promóciókról és egyéb eseményekről és közelgő eseményekről.
- Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
- A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
- Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.
Információk közlése harmadik felek számára
Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.
Kivételek:
- Ha szükséges, a jogszabályoknak megfelelően bírósági eljárás, V próba, és/vagy nyilvános kérések vagy kérések alapján kormányzati szervek az Orosz Föderáció területén - adja ki személyes adatait. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
- Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.
Személyes adatok védelme
Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.
A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten
Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.