Livello base

Mediano. Guida visiva (2019)

1. Qual è la mediana?

È molto semplice!

Prendi un triangolo:

Segna il centro su uno dei suoi lati.

E connettiti al vertice opposto!

La linea risultante e c'è una mediana.

2. Proprietà della mediana.

Quali buone proprietà ha la mediana?

1) Immaginiamo che il triangolo lo sia rettangolare. Ci sono cose del genere, giusto?

Perché??? Cosa c'entra l'angolo retto?

Osserviamo attentamente. Semplicemente non un triangolo, ma... un rettangolo. Perché, chiedi?

Ma tu cammini sulla Terra, vedi che è rotonda? No, ovviamente per fare questo è necessario guardare la Terra dallo spazio. Quindi guarderemo il nostro triangolo rettangolo “dallo spazio”.

Disegniamo una diagonale:

Ti ricordi che le diagonali di un rettangolo pari E condividere punto di intersezione a metà? (Se non ricordi, guarda l'argomento)

Ciò significa che metà della seconda diagonale è nostra mediano. Le diagonali sono uguali e ovviamente anche le loro metà. Questo è ciò che otterremo

Non dimostreremo questa affermazione, ma per crederci, pensa tu stesso: esiste qualche altro parallelogramma con diagonali uguali diverso da un rettangolo? Ovviamente no! Bene, questo significa che la mediana può essere uguale a metà del lato solo dentro triangolo rettangolo.

Vediamo come questa proprietà aiuta a risolvere i problemi.

Qui, compito:
Ai lati; . Disegnato dall'alto mediano. Trova se.

Evviva! Puoi applicare il teorema di Pitagora! Vedi quanto è bello? Se non lo sapessimo mediano pari a mezzo lato

Applichiamo il teorema di Pitagora:

2) E ora non ne prendiamo solo uno, ma l'intero tre mediane! Come si comportano?

Ricorda molto fatto importante:

Difficile? Guarda l'immagine:

Mediane e si intersecano in un punto.

E….(lo dimostriamo, ma per ora Ricordare!):

• - il doppio;
• - il doppio;
• - il doppio di.

Sei già stanco? Sarai abbastanza forte per il prossimo esempio? Ora applicheremo tutto ciò di cui abbiamo parlato!

Compito: In un triangolo si disegnano le mediane e che si intersecano in un punto. Trova se

Troviamo utilizzando il teorema di Pitagora:

Ora applichiamo la conoscenza sul punto di intersezione delle mediane.

Definiamolo. Segmento, a. Se non tutto è chiaro, guarda l'immagine.

Lo abbiamo già scoperto.

Significa, ; .

Nel problema ci viene chiesto di un segmento.

Nella nostra notazione.

Risposta: .

Ti è piaciuto? Ora prova ad applicare tu stesso le tue conoscenze sulla mediana!

MEDIANO. LIVELLO MEDIO

1. La mediana divide il lato a metà.

Questo è tutto? O forse divide qualcos'altro a metà? Immaginatelo!

2. Teorema: La mediana divide l'area a metà.

Perché? Ricordiamo la forma più semplice dell'area di un triangolo.

E applichiamo questa formula due volte!

Guarda, la mediana è divisa in due triangoli: e. Ma! Hanno la stessa altezza -! Solo a questa altezza cade di lato, e a... dal lato della continuazione. Sorprendentemente, succede anche questo: i triangoli sono diversi, ma l'altezza è la stessa. E ora applicheremo la formula due volte.

Cosa significherebbe? Guarda l'immagine. In effetti, ci sono due affermazioni in questo teorema. Hai notato questo?

Prima affermazione: le mediane si intersecano in un punto.

Seconda affermazione: Il punto di intersezione della mediana è diviso in un rapporto, contando dal vertice.

Proviamo a svelare il segreto di questo teorema:

Uniamo i punti e... Quello che è successo?

Ora disegniamo un'altra linea di mezzo: segna il centro - metti un punto, segna il centro - metti un punto.

Ora - la linea di mezzo. Questo è

1. parallelo;

Notate delle coincidenze? Entrambi e sono paralleli. E, e.

Cosa ne consegue?

1. parallelo;

Naturalmente, solo per un parallelogramma!

Ciò significa che è un parallelogramma. E allora? Ricordiamo le proprietà di un parallelogramma. Ad esempio, cosa sai delle diagonali di un parallelogramma? Esatto, dividono il punto di intersezione a metà.

Guardiamo di nuovo il disegno.

Cioè, la mediana è divisa da punti in tre parti uguali. E esattamente lo stesso.

Ciò significa che entrambe le mediane erano separate da un punto nel rapporto, cioè e.

Cosa accadrà alla terza mediana? Torniamo all'inizio. Oh, orrore?! No, adesso sarà tutto molto più breve. Buttiamo via la mediana e facciamo le mediane e.

Immaginiamo ora di aver effettuato esattamente lo stesso ragionamento fatto per le mediane e. E allora?

Si scopre che la mediana dividerà la mediana esattamente allo stesso modo: in un rapporto, contando dal punto.

Ma quanti punti possono esserci su un segmento che lo dividono in un rapporto, contando dal punto?

Ovviamente solo uno! E lo abbiamo già visto: questo è il punto.

Cosa è successo alla fine?

La mediana è decisamente passata! Tutti e tre i mediani lo hanno attraversato. E tutti erano divisi nell'atteggiamento, contando dall'alto.

Quindi abbiamo risolto (dimostrato) il teorema. La soluzione si rivelò essere un parallelogramma situato all'interno di un triangolo.

4. Formula per la lunghezza media

Come trovare la lunghezza della mediana se si conoscono i lati? Sei sicuro di averne bisogno? Sveliamo un terribile segreto: questa formula non è molto utile. Tuttavia lo scriveremo, ma non lo dimostreremo (se sei interessato alla dimostrazione, guarda il livello successivo).

Come possiamo capire perché questo accade?

Osserviamo attentamente. Semplicemente non un triangolo, ma un rettangolo.

Consideriamo quindi un rettangolo.

Hai notato che il nostro triangolo è esattamente la metà di questo rettangolo?

Disegniamo una diagonale

Ricordi che le diagonali di un rettangolo sono uguali e dividono in due il punto di intersezione? (Se non ricordi, guarda l'argomento)
Ma una delle diagonali è la nostra ipotenusa! Ciò significa che il punto di intersezione delle diagonali è il centro dell'ipotenusa. Si chiamava nostro.

Ciò significa che metà della seconda diagonale è la nostra mediana. Le diagonali sono uguali e ovviamente anche le loro metà. Questo è ciò che otterremo

Inoltre, questo accade solo in un triangolo rettangolo!

Non dimostreremo questa affermazione, ma per crederci, pensa tu stesso: esiste qualche altro parallelogramma con diagonali uguali, tranne un rettangolo? Ovviamente no! Bene, questo significa che la mediana può essere uguale a mezzo lato solo in un triangolo rettangolo. Vediamo come questa proprietà aiuta a risolvere i problemi.

Ecco il compito:

Ai lati; . Dal vertice si traccia la mediana. Trova se.

Evviva! Puoi applicare il teorema di Pitagora! Vedi quanto è bello? Se non sapessimo che la mediana è la metà del lato solo in un triangolo rettangolo, non c'è modo di risolvere questo problema. E ora possiamo!

Applichiamo il teorema di Pitagora:

MEDIANO. BREVEMENTE SULLE COSE PRINCIPALI

1. La mediana divide il lato a metà.

2. Teorema: la mediana divide l'area a metà

4. Formula per la lunghezza media

Teorema inverso: se la mediana è uguale alla metà del lato, allora il triangolo è rettangolo e questa mediana è portata all'ipotenusa.

Bene, l'argomento è finito. Se stai leggendo queste righe significa che sei molto figo.

Perché solo il 5% delle persone è in grado di padroneggiare qualcosa da solo. E se leggi fino alla fine, allora sei in questo 5%!

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1. La mediana divide un triangolo in due triangoli di uguale area.

2. Le mediane del triangolo si intersecano in un punto, che le divide ciascuna in un rapporto di 2:1, contando dal vertice. Questo punto si chiama centro di gravità triangolo.

3. L'intero triangolo è diviso dalle sue mediane in sei triangoli uguali.

Proprietà delle bisettrici dei triangoli

1. La bisettrice di un angolo è il luogo dei punti equidistanti dai lati di questo angolo.

2. La bisettrice dell'angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in segmenti proporzionali ai lati adiacenti: .

3. Il punto di intersezione delle bisettrici di un triangolo è il centro del cerchio inscritto in questo triangolo.

Proprietà delle altezze dei triangoli

1. In un triangolo rettangolo, l'altitudine tracciata dal vertice dell'angolo retto lo divide in due triangoli simili a quello originale.

2. In un triangolo acuto, due delle sue altezze ne tagliano altre simili triangoli.

Proprietà delle bisettrici perpendicolari di un triangolo

1. Ciascun punto della bisettrice perpendicolare a un segmento è equidistante dalle estremità di questo segmento. È vero anche il viceversa: ogni punto equidistante dagli estremi di un segmento giace sulla sua perpendicolare.

2. Il punto di intersezione delle bisettrici perpendicolari disegnate ai lati del triangolo è il centro del cerchio circoscritto a questo triangolo.

Proprietà della linea mediana di un triangolo

La linea mediana di un triangolo è parallela ad uno dei suoi lati ed è uguale alla metà di quel lato.

Somiglianza dei triangoli

Due triangoli simile se una delle seguenti condizioni, chiamata segni di somiglianza:

· due angoli di un triangolo sono uguali a due angoli di un altro triangolo;

· due lati di un triangolo sono proporzionali a due lati di un altro triangolo, e gli angoli formati da questi lati sono uguali;

· tre lati di un triangolo sono rispettivamente proporzionali a tre lati di un altro triangolo.

In triangoli simili, le linee corrispondenti (altezze, mediane, bisettrici, ecc.) sono proporzionali.

Teorema dei seni

Teorema del coseno

un 2= b2+ c2- 2a.C cos

Formule dell'area del triangolo

1. Triangolo libero

a, b, c - lati; - angolo tra i lati UN E B; - semiperimetro; R- raggio del cerchio circoscritto; R- raggio del cerchio inscritto; S- piazza; ah- altezza attirata lato UN.

S = ah a

S = ab peccato

S = pr

2. Triangolo rettangolo

a, b- gambe; C- ipotenusa; hc- altezza trascinata di lato C.

S = ch c S = ab

3. Triangolo equilatero

Quadrilateri

Proprietà di un parallelogramma

· i lati opposti sono uguali;

· gli angoli opposti sono uguali;

· le diagonali sono divise a metà dal punto di intersezione;

· la somma degli angoli adiacenti ad un lato è 180°;

La somma dei quadrati delle diagonali è uguale alla somma dei quadrati di tutti i lati:

d12+d22=2(a2+b2).

Un quadrilatero è un parallelogramma se:

1. I suoi due lati opposti sono uguali e paralleli.

2. I lati opposti sono uguali in coppia.

3. Gli angoli opposti sono uguali a coppie.

4. Le diagonali sono divise a metà dal punto di intersezione.

Proprietà di un trapezio

· la sua linea mediana è parallela alle basi e uguale alla loro semisomma;

· se il trapezio è isoscele, allora le sue diagonali sono uguali e gli angoli alla base sono uguali;

· se il trapezio è isoscele, attorno ad esso si può descrivere una circonferenza;

· se la somma delle basi è uguale alla somma dei lati, allora in essa è inscritto un cerchio.

Proprietà del rettangolo

Le diagonali sono uguali.

Un parallelogramma è un rettangolo se:

1. Uno dei suoi angoli è dritto.

2. Le sue diagonali sono uguali.

Proprietà del rombo

· tutte le proprietà di un parallelogramma;

Le diagonali sono perpendicolari;

Le diagonali sono le bisettrici dei suoi angoli.

1. Un parallelogramma è un rombo se:

2. I suoi due lati adiacenti sono uguali.

3. Le sue diagonali sono perpendicolari.

4. Una delle diagonali è la bisettrice del suo angolo.

Proprietà di un quadrato

· tutti gli angoli del quadrato sono retti;

· le diagonali di un quadrato sono uguali, tra loro perpendicolari, il punto di intersezione divide in due e divide in due gli angoli del quadrato.

Un rettangolo è un quadrato se ha le caratteristiche di un rombo.

Formule di base

1. Qualsiasi quadrilatero convesso
d1,d2- diagonali; - l'angolo tra loro; S- piazza.

S = d 1 D 2 peccato

Quando si studia un argomento corso scolasticoè possibile selezionare un certo minimo di problemi, avendo padroneggiato i metodi di risoluzione dei quali, gli studenti saranno in grado di risolvere qualsiasi problema a livello dei requisiti del programma sull'argomento studiato. Propongo di considerare problemi che ti permetteranno di vedere le interrelazioni dei singoli argomenti nel corso di matematica scolastica. Pertanto, il sistema di compiti compilato lo è mezzi efficaci ripetizione, generalizzazione e sistematizzazione materiale didattico durante la preparazione degli studenti all'esame.

Per superare l'esame sarà utile avere informazioni aggiuntive su alcuni elementi del triangolo. Consideriamo le proprietà della mediana di un triangolo e i problemi nella risoluzione dei quali queste proprietà possono essere utilizzate. I compiti proposti attuano il principio della differenziazione dei livelli. Tutte le attività sono suddivise condizionatamente in livelli (il livello è indicato tra parentesi dopo ogni attività).

Ricordiamo alcune proprietà della mediana di un triangolo

Proprietà 1. Dimostrare che la mediana di un triangolo ABC, disegnato dal vertice UN, meno della metà della somma dei lati AB E AC.

Prova

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

Proprietà 2. La mediana taglia il triangolo in due aree uguali.

Prova

Tracciamo dal vertice B del triangolo ABC la mediana BD e l'altezza BE..gif" alt="Area" width="82" height="46">!}

Poiché il segmento BD è la mediana, allora

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Mediana" align="left" width="196" height="75 src=">!} Proprietà 4. Le mediane di un triangolo dividono il triangolo in 6 triangoli uguali.

Prova

Dimostriamo che l'area di ciascuno dei sei triangoli in cui le mediane dividono il triangolo ABC è uguale all'area del triangolo ABC. Per fare ciò, consideriamo, ad esempio, il triangolo AOF e trasciniamo una perpendicolare AK dal vertice A alla linea BF.

A causa della proprietà 2,

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Mediana" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Proprietà 6. In un triangolo rettangolo tracciato dal vertice dell'angolo retto la mediana è pari alla metà dell'ipotenusa.

Prova

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Mediana" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Conseguenze:1. Il centro di una circonferenza circoscritta ad un triangolo rettangolo si trova al centro dell'ipotenusa.

2. Se in un triangolo la lunghezza della mediana è uguale alla metà della lunghezza del lato su cui è disegnata, allora questo triangolo è rettangolo.

COMPITI

Quando si risolve ogni problema successivo, vengono utilizzate proprietà comprovate.

№1 Argomenti: Raddoppiare la mediana. Difficoltà: 2+

Segni e proprietà di un parallelogramma Voti: 8,9

Condizione

Sulla continuazione della mediana SONO. triangolo ABC per punto M segmento rinviato MD, uguale SONO.. Dimostrare che il quadrilatero ABDC- parallelogramma.

Soluzione

Usiamo uno dei segni di un parallelogramma. Diagonali di un quadrilatero ABDC si intersecano in un punto M e dividerlo a metà, quindi il quadrilatero ABDC- parallelogramma.

La mediana è un segmento tracciato dal vertice di un triangolo al centro del lato opposto, cioè lo divide a metà nel punto di intersezione. Il punto in cui la mediana interseca il lato opposto al vertice da cui emerge si chiama base. Ciascuna mediana del triangolo passa per un punto, detto punto di intersezione. La formula per la sua lunghezza può essere espressa in diversi modi.

Formule per esprimere la lunghezza della mediana

• Spesso nei problemi di geometria gli studenti devono occuparsi di un segmento come la mediana di un triangolo. La formula per la sua lunghezza è espressa in termini di lati:

dove a, b e c sono i lati. Inoltre c è il lato su cui cade la mediana. Questo è quello che sembra formula semplice. Talvolta le mediane di un triangolo sono necessarie per i calcoli ausiliari. Ci sono altre formule.

• Se durante il calcolo si conoscono due lati di un triangolo e un certo angolo α situato tra di loro, la lunghezza della mediana del triangolo, abbassata al terzo lato, sarà espressa come segue.

Proprietà di base

• Tutte le mediane hanno un punto comune di intersezione O e sono divise da esso in un rapporto di due a uno, se contate dal vertice. Questo punto è chiamato centro di gravità del triangolo.
• La mediana divide il triangolo in altri due di area uguale. Tali triangoli sono detti di uguale area.
• Se disegni tutte le mediane, il triangolo verrà diviso in 6 figure uguali, che saranno anch'esse triangoli.
• Se tutti e tre i lati di un triangolo sono uguali, allora ciascuna delle mediane sarà anche un'altitudine e una bisettrice, cioè perpendicolare al lato verso cui è disegnata, e divide in due l'angolo da cui emerge.
• In un triangolo isoscele la mediana tracciata dal vertice opposto al lato non uguale a nessun altro sarà anche altezza e bisettrice. Le mediane cadute dagli altri vertici sono uguali. Questa è anche una condizione necessaria e sufficiente per gli isosceli.
• Se un triangolo è la base di una piramide regolare, l'altezza caduta su questa base viene proiettata al punto di intersezione di tutte le mediane.

• In un triangolo rettangolo la mediana portata al lato maggiore è pari alla metà della sua lunghezza.
• Sia O il punto di intersezione delle mediane del triangolo. La formula seguente sarà vera per qualsiasi punto M.

• La mediana di un triangolo ha un'altra proprietà. Di seguito viene presentata la formula per il quadrato della sua lunghezza passante per i quadrati dei lati.

Proprietà dei lati verso i quali viene tracciata la mediana

• Se colleghi due punti qualsiasi di intersezione delle mediane con i lati su cui cadono, il segmento risultante sarà la linea mediana del triangolo e sarà la metà del lato del triangolo con il quale non ha punti in comune.
• Le basi delle altezze e delle mediane in un triangolo, così come i punti medi dei segmenti che collegano i vertici del triangolo con il punto di intersezione delle altezze, giacciono sulla stessa circonferenza.

In conclusione, è logico dire che uno dei segmenti più importanti è la mediana del triangolo. La sua formula può essere utilizzata per trovare le lunghezze degli altri lati.