გესმოდეთ, რომ რიცხვი მარტივია. როგორ მოვძებნოთ მარტივი რიცხვები

ილიას პასუხი სწორია, მაგრამ არც ისე დეტალური. მე-18 საუკუნეში, სხვათა შორის, ერთი ჯერ კიდევ პირველ რიცხვად ითვლებოდა. მაგალითად, ისეთი დიდი მათემატიკოსები, როგორებიც არიან ეილერი და გოლდბახი. გოლდბახი არის ათასწლეულის შვიდი პრობლემისგან ერთ-ერთის – გოლდბახის ჰიპოთეზის ავტორი. თავდაპირველ ფორმულირებაში ნათქვამია, რომ ყოველი ლუწი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ორი მარტივი რიცხვის ჯამად. უფრო მეტიც, თავდაპირველად 1 იყო გათვალისწინებული, როგორც მარტივი რიცხვი და ჩვენ ვხედავთ ამას: 2 = 1+1. ეს არის ყველაზე პატარა მაგალითი, რომელიც აკმაყოფილებს ჰიპოთეზის თავდაპირველ ფორმულირებას. მოგვიანებით გასწორდა და ფორმულირება გახდა თანამედროვე სახე: "ყოველი ლუწი რიცხვი, დაწყებული 4-ით, შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც ორი მარტივი რიცხვის ჯამი."

გავიხსენოთ განმარტება. მარტივი რიცხვი არის ბუნებრივი რიცხვი p, რომელსაც აქვს მხოლოდ 2 განსხვავებული ბუნებრივი გამყოფი: თავად p და 1. დასკვნა განმარტებიდან: მარტივ რიცხვს p აქვს მხოლოდ ერთი მარტივი გამყოფი - თავად p.

ახლა დავუშვათ, რომ 1 არის მარტივი რიცხვი. განმარტებით, მარტივ რიცხვს აქვს მხოლოდ ერთი მარტივი გამყოფი - თავად. შემდეგ გამოდის, რომ 1-ზე მეტი ნებისმიერი მარტივი რიცხვი იყოფა მისგან განსხვავებულ მარტივ რიცხვზე (1-ზე). მაგრამ ორი განსხვავებული მარტივი რიცხვი არ შეიძლება დაიყოს ერთმანეთზე, რადგან წინააღმდეგ შემთხვევაში ისინი არ არიან მარტივი რიცხვები, არამედ შედგენილი რიცხვები და ეს ეწინააღმდეგება განმარტებას. ამ მიდგომით, გამოდის, რომ არსებობს მხოლოდ 1 მარტივი რიცხვი - თავად ერთეული. მაგრამ ეს აბსურდია. ამიტომ, 1 არ არის მარტივი რიცხვი.

1, ისევე როგორც 0, ქმნიან რიცხვთა სხვა კლასს - ნეიტრალური ელემენტების კლასს n-არის მოქმედებებთან მიმართებაში ალგებრული ველის ზოგიერთ ქვეჯგუფში. უფრო მეტიც, შეკრების მოქმედებასთან დაკავშირებით, 1 ასევე არის მთელი რიცხვების რგოლის წარმომქმნელი ელემენტი.

ამ გათვალისწინებით, სხვა ალგებრულ სტრუქტურებში მარტივი რიცხვების ანალოგების აღმოჩენა არ არის რთული. დავუშვათ, გვაქვს 2-ის ხარისხებიდან ჩამოყალიბებული მრავლობითი ჯგუფი, დაწყებული 1-დან: 2, 4, 8, 16, ... და ა.შ. 2 აქ ფორმირების ელემენტად მოქმედებს. მარტივი რიცხვი ამ ჯგუფში არის რიცხვი, რომელიც აღემატება უმცირეს ელემენტს და იყოფა მხოლოდ საკუთარ თავზე და უმცირეს ელემენტზე. ჩვენს ჯგუფში მხოლოდ 4-ს აქვს ასეთი თვისებები. ჩვენს ჯგუფში აღარ არის მარტივი რიცხვები.

თუ 2 ასევე მარტივი რიცხვი იყო ჩვენს ჯგუფში, მაშინ იხილეთ პირველი აბზაცი - ისევ აღმოჩნდება, რომ მხოლოდ 2 არის მარტივი რიცხვი.

სტატიაში განხილულია მარტივი და შედგენილი რიცხვების ცნებები. ასეთი რიცხვების განმარტებები მოცემულია მაგალითებით. წარმოგიდგენთ მტკიცებულებას, რომ მარტივი რიცხვების რაოდენობა შეუზღუდავია და მას ჩავწერთ მარტივ რიცხვთა ცხრილში ერატოსთენეს მეთოდით. მოყვანილი იქნება მტკიცებულება იმის დასადგენად, არის თუ არა რიცხვი მარტივი თუ შედგენილი.

Yandex.RTB R-A-339285-1

მარტივი და შედგენილი რიცხვები - განმარტებები და მაგალითები

მარტივი და კომპოზიტური რიცხვები კლასიფიცირდება როგორც დადებითი მთელი რიცხვები. ისინი უნდა იყოს ერთზე მეტი. გამყოფები ასევე იყოფა მარტივ და კომპოზიტურად. კომპოზიტური რიცხვების ცნების გასაგებად, ჯერ უნდა შეისწავლოთ გამყოფებისა და ჯერადების ცნებები.

განმარტება 1

მარტივი რიცხვები არის მთელი რიცხვები, რომლებიც ერთზე მეტია და აქვთ ორი დადებითი გამყოფი, ანუ საკუთარი თავი და 1.

განმარტება 2

კომპოზიტური რიცხვები არის მთელი რიცხვები, რომლებიც ერთზე მეტია და აქვთ მინიმუმ სამი დადებითი გამყოფი.

ერთი არც მარტივი და არც შედგენილი რიცხვია. მას აქვს მხოლოდ ერთი დადებითი გამყოფი, ამიტომ იგი განსხვავდება ყველა სხვა დადებითი რიცხვისგან. ყველა დადებით რიცხვს უწოდებენ ნატურალურ რიცხვს, ანუ გამოიყენება დათვლაში.

განმარტება 3

მარტივი რიცხვებიარის ნატურალური რიცხვები, რომლებსაც აქვთ მხოლოდ ორი დადებითი გამყოფი.

განმარტება 4

კომპოზიტური ნომერიარის ნატურალური რიცხვი, რომელსაც აქვს ორზე მეტი დადებითი გამყოფი.

ნებისმიერი რიცხვი, რომელიც 1-ზე მეტია, არის მარტივი ან შედგენილი. გაყოფის თვისებიდან გვაქვს ის, რომ 1 და რიცხვი a ყოველთვის იქნება გამყოფი ნებისმიერი a რიცხვისთვის, ანუ ის იყოფა თავის თავზე და 1-ზე. მოდით მივცეთ მთელი რიცხვების განმარტება.

განმარტება 5

ბუნებრივ რიცხვებს, რომლებიც არ არიან მარტივი, ეწოდებათ შედგენილი რიცხვები.

მარტივი რიცხვები: 2, 3, 11, 17, 131, 523. ისინი იყოფა მხოლოდ საკუთარ თავზე და 1-ზე. კომპოზიტური ნომრები: 6, 63, 121, 6697. ანუ რიცხვი 6 შეიძლება დაიშალოს 2-ად და 3-ად, ხოლო 63-ად 1, 3, 7, 9, 21, 63 და 121 11-ად, 11-ად, ანუ მისი გამყოფები იქნება 1, 11, 121. რიცხვი 6697 დაიშალა 37-ად და 181-ად. გაითვალისწინეთ, რომ მარტივი რიცხვების და თანაპირდაპირი რიცხვების ცნებები განსხვავებული ცნებებია.

რომ გაადვილდეს გამოყენება მარტივი რიცხვები, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ცხრილი:

ცხრილი ყველა არსებული ნატურალური რიცხვისთვის არარეალურია, რადგან მათი რიცხვი უსასრულოა. როდესაც რიცხვები მიაღწევს ზომებს 10000 ან 1000000000, მაშინ უნდა განიხილოთ ერატოსთენეს საცრის გამოყენება.

განვიხილოთ თეორემა, რომელიც განმარტავს ბოლო დებულებას.

თეორემა 1

ერთზე მეტი ნატურალური რიცხვის 1-ის გარდა უმცირესი დადებითი გამყოფი არის მარტივი რიცხვი.

მტკიცებულება 1

დავუშვათ, რომ a არის ნატურალური რიცხვი, რომელიც მეტია 1-ზე, b არის a-ს უმცირესი არაერთი გამყოფი. აუცილებელია დავამტკიცოთ, რომ b არის მარტივი რიცხვი წინააღმდეგობის მეთოდის გამოყენებით.

დავუშვათ, რომ b არის შედგენილი რიცხვი. აქედან გვაქვს, რომ არის b-ის გამყოფი, რომელიც განსხვავდება 1-ისგან და ასევე b-ისგან. ასეთი გამყოფი აღინიშნება როგორც b 1. აუცილებელია 1 პირობა< b 1 < b დასრულდა.

პირობიდან ირკვევა, რომ a იყოფა b-ზე, b იყოფა b 1-ზე, რაც ნიშნავს, რომ გაყოფის ცნება გამოიხატება შემდეგნაირად: a = b qდა b = b 1 · q 1 , საიდანაც a = b 1 · (q 1 · q) , სადაც q და q 1არის მთელი რიცხვები. მთელი რიცხვების გამრავლების წესის მიხედვით გვაქვს, რომ მთელი რიცხვების ნამრავლი არის a = b 1 · (q 1 · q) ფორმის ტოლობის მთელი რიცხვი. ჩანს, რომ b 1 არის a რიცხვის გამყოფი. უტოლობა 1< b 1 < b არაშეესაბამება, რადგან ვხვდებით, რომ b არის a-ს უმცირესი დადებითი და არა-1 გამყოფი.

თეორემა 2

არის უსასრულო რაოდენობის მარტივი რიცხვები.

მტკიცებულება 2

სავარაუდოდ ვიღებთ n ნატურალური რიცხვების სასრულ რაოდენობას და აღვნიშნავთ მათ p 1, p 2, …, p n. მოდი განვიხილოთ მითითებულისგან განსხვავებული მარტივი რიცხვის პოვნის ვარიანტი.

გავითვალისწინოთ რიცხვი p, რომელიც უდრის p 1, p 2, ..., p n + 1. ის არ არის ტოლი p 1, p 2, ..., p n ფორმის უბრალო რიცხვების შესაბამისი თითოეული რიცხვის. რიცხვი p არის მარტივი. მაშინ თეორემა დადასტურებულად ითვლება. თუ ის კომპოზიტურია, მაშინ უნდა აიღოთ აღნიშვნა p n + 1 და აჩვენეთ, რომ გამყოფი არ ემთხვევა არცერთს p 1, p 2, ..., p n.

თუ ეს ასე არ იყო, მაშინ ნამრავლის გაყოფის თვისებაზე დაყრდნობით p 1, p 2, ..., p n , ჩვენ ვხვდებით, რომ ის იყოფა pn + 1-ზე. გაითვალისწინეთ, რომ გამოხატულება p n + 1 რიცხვის p გაყოფა უდრის ჯამს p 1, p 2, ..., p n + 1. ჩვენ ვიღებთ, რომ გამოხატულება p n + 1 ამ ჯამის მეორე წევრი, რომელიც უდრის 1-ს, უნდა გაიყოს, მაგრამ ეს შეუძლებელია.

ჩანს, რომ ნებისმიერი მარტივი რიცხვი შეიძლება მოიძებნოს მოცემულ მარტივ რიცხვებს შორის. აქედან გამომდინარეობს, რომ უსასრულოდ ბევრი მარტივი რიცხვია.

ვინაიდან უამრავი მარტივი რიცხვია, ცხრილები შემოიფარგლება რიცხვებით 100, 1000, 10000 და ა.შ.

მარტივი რიცხვების ცხრილის შედგენისას უნდა გაითვალისწინოთ, რომ ასეთი დავალება მოითხოვს რიცხვების თანმიმდევრულ შემოწმებას, დაწყებული 2-დან 100-მდე. თუ არ არის გამყოფი, ის ჩაიწერება ცხრილში, თუ ის კომპოზიტურია, მაშინ ის არ შეიტანება ცხრილში.

მოდით შევხედოთ მას ეტაპობრივად.

თუ დაიწყებთ 2 რიცხვით, მაშინ მას აქვს მხოლოდ 2 გამყოფი: 2 და 1, რაც ნიშნავს, რომ ის შეიძლება შევიდეს ცხრილში. იგივე ნომერი 3. რიცხვი 4 არის შედგენილი, ის უნდა დაიშალოს 2 და 2-ად. რიცხვი 5 არის მარტივი, რაც ნიშნავს, რომ ის შეიძლება ჩაიწეროს ცხრილში. გააკეთეთ ეს 100 რიცხვამდე.

ეს მეთოდიმოუხერხებელი და გრძელი. თქვენ შეგიძლიათ შექმნათ მაგიდა, მაგრამ მოგიწევთ დახარჯვა დიდი რაოდენობადრო. აუცილებელია გაყოფის კრიტერიუმების გამოყენება, რაც დააჩქარებს გამყოფების პოვნის პროცესს.

ყველაზე მოსახერხებლად ითვლება ერატოსთენეს საცრის გამოყენებით მეთოდი. მოდით შევხედოთ ქვემოთ მოცემულ ცხრილების მაგალითებს. დასაწყისისთვის, იწერება რიცხვები 2, 3, 4, ..., 50.

ახლა თქვენ უნდა გადაკვეთოთ ყველა ის რიცხვი, რომელიც 2-ის ჯერადია. შეასრულეთ თანმიმდევრული დარტყმები. ჩვენ ვიღებთ მაგიდას, როგორიცაა:

ჩვენ გადავდივართ 5-ის ჯერადი რიცხვების გადაკვეთაზე. ჩვენ ვიღებთ:

გადახაზეთ რიცხვები, რომლებიც მრავლდება 7-ის, 11-ის. საბოლოო ჯამში, მაგიდა ასე გამოიყურება

გადავიდეთ თეორემის ფორმულირებაზე.

თეორემა 3

a საბაზისო რიცხვის უმცირესი დადებითი და არა1 გამყოფი არ აღემატება a-ს, სადაც a არის მოცემული რიცხვის არითმეტიკული ფესვი.

მტკიცებულება 3

აუცილებელია b აღვნიშნოთ a შედგენილი რიცხვის უმცირესი გამყოფი. არის მთელი რიცხვი q, სადაც a = b · q, და გვაქვს, რომ b ≤ q. ფორმის უტოლობები მიუღებელია b > q,რადგან პირობა დარღვეულია. b ≤ q უტოლობის ორივე მხარე უნდა გავამრავლოთ ნებისმიერ დადებით რიცხვზე b, რომელიც არ არის 1-ის ტოლი. მივიღებთ, რომ b · b ≤ b · q, სადაც b 2 ≤ a და b ≤ a.

დადასტურებული თეორემიდან ირკვევა, რომ ცხრილში რიცხვების გადაკვეთა მივყავართ იმ ფაქტს, რომ აუცილებელია დაიწყოს რიცხვი, რომელიც უდრის b 2-ს და აკმაყოფილებს b 2 ≤ a უტოლობას. ანუ თუ გადახაზავთ რიცხვებს, რომლებიც 2-ის ჯერადებია, მაშინ პროცესი იწყება 4-ით, ხოლო 3-ის ჯერადი 9-ით და ასე გაგრძელდება 100-მდე.

ერატოსთენეს თეორემის გამოყენებით ასეთი ცხრილის შედგენა ვარაუდობს, რომ როდესაც ყველა შედგენილი რიცხვი გადახაზულია, დარჩება მარტივი რიცხვები, რომლებიც არ აღემატება n-ს. მაგალითში, სადაც n = 50, გვაქვს n = 50. აქედან მივიღებთ, რომ ერატოსთენეს საცერი ამოიღებს ყველა შედგენილ რიცხვს, რომელთა ღირებულება არ აღემატება 50-ის ფესვის მნიშვნელობას. ნომრების ძებნა ხდება გადაკვეთით.

ამოხსნამდე უნდა გაარკვიოთ რიცხვი მარტივია თუ შედგენილი. ხშირად გამოიყენება გაყოფის კრიტერიუმები. მოდით შევხედოთ ამას ქვემოთ მოცემულ მაგალითში.

მაგალითი 1

დაამტკიცეთ, რომ რიცხვი 898989898989898989 არის შედგენილი.

გამოსავალი

მოცემული რიცხვის ციფრების ჯამია 9 8 + 9 9 = 9 17. ეს ნიშნავს, რომ რიცხვი 9 · 17 იყოფა 9-ზე, გაყოფის ტესტის საფუძველზე 9-ზე. აქედან გამომდინარეობს, რომ ის კომპოზიტურია.

ასეთი ნიშნები არ ძალუძს დაამტკიცოს რიცხვის პირველობა. თუ გადამოწმება საჭიროა, სხვა ქმედებები უნდა იქნას მიღებული. ყველაზე შესაფერისი გზაა რიცხვების ჩამოთვლა. პროცესის დროს შეგიძლიათ იპოვოთ მარტივი და შედგენილი რიცხვები. ანუ რიცხვები არ უნდა აღემატებოდეს a-ს მნიშვნელობას. ანუ რიცხვი a უნდა გამრავლდეს პირველ ფაქტორებად. თუ ეს დაკმაყოფილებულია, მაშინ რიცხვი a შეიძლება ჩაითვალოს უბრალო.

მაგალითი 2

განსაზღვრეთ კომპოზიტური ან მარტივი რიცხვი 11723.

გამოსავალი

ახლა თქვენ უნდა იპოვოთ ყველა გამყოფი ნომრისთვის 11723. საჭიროა 11723 შეფასება.

აქედან ვხედავთ, რომ 11723 წ< 200 , то 200 2 = 40 000 და 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 ნაკლები რაოდენობა 200 .

11723 რიცხვის უფრო ზუსტი შეფასებისთვის, თქვენ უნდა დაწეროთ გამოხატულება 108 2 = 11 664 და 109 2 = 11 881 , ეს 108 2 < 11 723 < 109 2 . აქედან გამომდინარეობს, რომ 11723 წ< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

გაფართოებისას აღმოვაჩენთ, რომ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 ყველა მარტივი რიცხვია. მთელი ეს პროცესი შეიძლება გამოსახული იყოს სვეტით დაყოფად. ანუ გაყავით 11723 19-ზე. რიცხვი 19 მისი ერთ-ერთი ფაქტორია, რადგან ვიღებთ გაყოფას ნაშთის გარეშე. წარმოვიდგინოთ გაყოფა სვეტის სახით:

აქედან გამომდინარეობს, რომ 11723 არის შედგენილი რიცხვი, რადგან თავის და 1-ის გარდა მას აქვს 19-ის გამყოფი.

პასუხი: 11723 არის კომპოზიტური რიცხვი.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter

გამყოფთა ჩამოთვლა.განმარტებით, ნომერი ნმარტივია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ ის თანაბრად არ იყოფა 2-ზე და სხვა მთელ რიცხვებზე, გარდა 1-ისა და თავისა. ზემოაღნიშნული ფორმულა შლის ზედმეტ ნაბიჯებს და დაზოგავს დროს: მაგალითად, იმის შემოწმების შემდეგ, იყოფა თუ არა რიცხვი 3-ზე, არ არის საჭირო იმის შემოწმება, იყო თუ არა იგი 9-ზე.

• სართული(x) ფუნქცია ამრგვალებს x-ს უახლოეს მთელ რიცხვამდე, რომელიც არის x-ზე ნაკლები ან ტოლი.

შეიტყვეთ მოდულარული არითმეტიკის შესახებ.ოპერაცია „x mod y“ (mod არის ლათინური სიტყვის „modulo“ შემოკლება, ანუ „module“) ნიშნავს „გაყავი x y-ზე და იპოვე დარჩენილი“. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მოდულურ არითმეტიკაში, გარკვეული მნიშვნელობის მიღწევისას, რომელსაც ე.წ მოდული, რიცხვები ისევ ნულზე "ბრუნდებიან". მაგალითად, საათი ინახავს დროს 12 მოდულით: ის აჩვენებს 10, 11 და 12 საათს და შემდეგ უბრუნდება 1-ს.

• ბევრ კალკულატორს აქვს mod გასაღები. ამ განყოფილების ბოლოს გვიჩვენებს, თუ როგორ უნდა შეაფასოთ ეს ფუნქცია ხელით დიდი რაოდენობით.

შეიტყვეთ ფერმას პატარა თეორემის ხარვეზების შესახებ.ყველა რიცხვი, რომლებისთვისაც ტესტის პირობები არ არის დაკმაყოფილებული, არის შედგენილი, მაგრამ დარჩენილი რიცხვები მხოლოდ სავარაუდოდკლასიფიცირდება როგორც მარტივი. თუ გსურთ თავიდან აიცილოთ არასწორი შედეგები, მოძებნეთ ნ"კარმაიკლის ნომრების" (კომპოზიტური რიცხვები, რომლებიც აკმაყოფილებენ ამ ტესტს) და "ფსევდო-პირველი ფერმას რიცხვების" სიაში (ეს რიცხვები აკმაყოფილებს ტესტის პირობებს მხოლოდ ზოგიერთი მნიშვნელობისთვის. ა).

თუ მოსახერხებელია, გამოიყენეთ მილერ-რაბინის ტესტი.მიუხედავად იმისა, რომ ეს მეთოდი საკმაოდ რთულია ხელით გამოსათვლელად, ის ხშირად გამოიყენება კომპიუტერული პროგრამები. ის უზრუნველყოფს მისაღებ სიჩქარეს და წარმოქმნის ნაკლებ შეცდომებს, ვიდრე Fermat-ის მეთოდი. კომპოზიციური რიცხვი არ მიიღება პირველ რიცხვად, თუ გამოთვლები კეთდება მნიშვნელობების ¼-ზე მეტზე. ა. თუ შემთხვევით აირჩევთ სხვადასხვა მნიშვნელობა ადა ყველა მათგანისთვის ტესტი დადებით შედეგს მოგვცემს, საკმაოდ მაღალი დარწმუნებით შეგვიძლია ვივარაუდოთ, რომ ნარის მარტივი რიცხვი.

დიდი რიცხვებისთვის გამოიყენეთ მოდულარული არითმეტიკა.თუ ხელთ არ გაქვთ მოდული კალკულატორი, ან თქვენი კალკულატორი არ არის შექმნილი ამხელა რიცხვების დასამუშავებლად, გამოიყენეთ სიმძლავრეების თვისებები და მოდულარული არითმეტიკა გამოთვლების გასაადვილებლად. ქვემოთ მოცემულია მაგალითი 3 50 (\displaystyle 3^(50))მოდიფიკაცია 50:

• გადაწერეთ გამონათქვამი უფრო მოსახერხებელი ფორმით: mod 50. ხელით გამოთვლების კეთებისას შეიძლება საჭირო გახდეს შემდგომი გამარტივება.
• (3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. აქ გავითვალისწინეთ მოდულური გამრავლების თვისება.
• 3 25 (\displaystyle 3^(25))მოდიფიკაცია 50 = 43.
• (3 25 (\displaystyle (3^(25))მოდიფიკაცია 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 ∗ 43) (\displaystyle (43*43))მოდიფიკაცია 50.
• = 1849 (\displaystyle =1849)მოდიფიკაცია 50.
• = 49 (\displaystyle =49).