우리는 각도의 합과 평행 사변형의 면적을 계산합니다 : 속성 및 기호. 평행사변형

평행사변형. 평행사변형 기호

평행사변형은 마주보는 변이 쌍으로 평행한 사변형입니다.

정리.

사변형의 대각선이 교차하고 교차점이 절반이면 이 사변형은 평행사변형입니다.

증거.

주어진 평행사변형을 ABCD라고 하고, 이 평행사변형의 대각선의 교차점을 O라고 합니다.
Δ AOD = 삼각형 등식의 첫 번째 부호에 의한 Δ COB(정리 가설에 의한 OD = OB, AO = OC, ∠ AOD = ∠ COB, 수직각). 따라서 ∠ OBC = ∠ ODA입니다. 그리고 선 AD 및 BC 및 시컨트 BD에 대해 내부 십자형입니다. 직선의 평행도에 기초하여 선 AD와 BC는 평행합니다. 또한 AB와 DC도 평행함을 증명합니다. 정의에 따르면 이 사변형은 평행사변형입니다. 정리가 증명되었습니다.

정리.

사변형에 평행하고 같은 마주보는 한 쌍의 변이 있으면 사변형은 평행사변형입니다.

ABCD를 주어진 사각형이라고 하자. BC와 AD 병렬 및 AD = BC.
그런 다음 Δ ADB = Δ CBD는 삼각형의 평등의 첫 번째 기준(∠ ADB = ∠ CBD, 선 AD 및 BC와 시컨트 DB 사이에 내부 십자형으로 놓여 있으므로 조건에 따라 AD = BC, DB는 공통)입니다.
결과적으로, ∠ ABD = ∠ CDB이고, 이 각은 선 AB와 CD와 시컨트 DB에 대한 내각입니다. 정리에 따르면 선 AB와 CD에 대한 평행 기준은 평행합니다. 따라서 ABCD는 평행사변형입니다. 정리가 증명되었습니다.

정리.

사변형에서 반대 각도가 같으면 그러한 사변형은 평행 사변형입니다.

증거.

사변형 ABCD가 주어졌다고 하자. ∠ DAB = ∠ BCD 및 ∠ ABC = ∠ CDA.

대각선 DB를 그려보자. 사변형의 각의 합은 삼각형 ABD와 BCD의 각의 합과 같습니다. 삼각형의 내각의 합은 180º이므로,
∠ DAB + ∠ BCD + ∠ ABC + ∠ CDA = 360º. 사변형의 반대 각이 같으므로 ∠ DAB + # 8736 ABC = 180º이고 ∠ BCD + ∠ CDA = 180º입니다.
각도 BCD 및 CDA는 선 AD 및 BC 및 시컨트 DC에 대해 내부 단측이며, 그 합은 180º이므로 평행선 기준에 대한 추론에서 정리까지, 선 AD 및 BC는 평행합니다. AB || DC. 따라서 사변형 ABCD는 정의상 평행사변형입니다. 정리가 증명되었습니다.

유클리드 기하학에서와 마찬가지로 점과 선은 평면 이론의 주요 요소이므로 평행 사변형은 볼록 사각형의 핵심 인물 중 하나입니다. 그것에서 공의 실처럼 "직사각형", "사각형", "마름모" 및 기타 기하학적 양의 개념이 흐릅니다.

연락

평행사변형 정의

볼록 사변형,각 쌍이 평행한 선분으로 구성된 도형은 기하학에서 평행사변형으로 알려져 있습니다.

고전적인 평행사변형은 사변형 ABCD를 나타냅니다. 변을 밑변(AB, BC, CD 및 AD)이라고 하고, 임의의 꼭짓점에서 이 꼭짓점과 반대되는 변으로 그린 수직선은 높이(BE 및 BF)이고, 선 AC 및 BD는 대각선입니다.

주목!정사각형, 마름모 및 직사각형은 평행사변형의 특수한 경우입니다.

측면 및 모서리: 비율 기능

전반적으로 주요 속성, 지정 자체에 의해 미리 결정된, 그들은 정리에 의해 증명됩니다. 이러한 특성은 다음과 같습니다.

반대쪽은 쌍으로 동일합니다.
서로 마주 보는 각도는 쌍으로 동일합니다.

증명: 사각형 ABCD를 직선 AC로 나누어 얻은 ∆ABC와 ∆ADC를 고려하십시오. ∠BCA = ∠CAD 및 ∠BAC = ∠ACD, AC가 공통이므로(각각 BC || AD 및 AB || CD에 대한 수직각). ∆ABC = ∆ADC(삼각형 등식의 두 번째 기호).

∆ABC의 세그먼트 AB와 BC는 ∆ADC의 라인 CD와 AD에 쌍으로 대응하며, 이는 AB = CD, BC = AD의 동일성을 의미합니다. 따라서 ∠B는 ∠D에 해당하며 동일합니다. ∠A = ∠BAC + ∠CAD이므로 ∠C = ∠BCA + ∠ACD도 쌍으로 동일하므로 ∠A = ∠C입니다. 속성이 입증되었습니다.

그림의 대각선의 특성

주요 기능이 평행 사변형 선: 교차점이 반으로 나눕니다.

증명: m.E를 그림 ABCD의 대각선 AC와 BD의 교차점이라고 하자. 그것들은 ∆ABE와 ∆CDE라는 두 개의 측정 가능한 삼각형을 형성합니다.

AB = CD는 반대입니다. 선과 시컨트에 따르면 ∠ABE = ∠CDE 및 ∠BAE = ∠DCE입니다.

평등의 두 번째 기준에 따르면 ∆ABE = ∆CDE. 이는 요소 ∆ABE 및 ∆CDE: AE = CE, BE = DE이며 동시에 AC 및 BD의 상응하는 부분임을 의미합니다. 속성이 입증되었습니다.

인접한 모서리의 특징

인접한 변의 각도 합은 180°입니다.평행선과 시컨트의 같은 쪽에 놓여 있기 때문입니다. 사변형 ABCD의 경우:

∠A + ∠B = ∠C + ∠D = ∠A + ∠D = ∠B + ∠C = 180º

이등분 속성:

한쪽으로 떨어지는 것은 수직입니다.
반대 정점은 평행 이등분선을 가집니다.
이등분선을 그려 얻은 삼각형은 이등변이됩니다.

정리에 의한 평행 사변형의 특성 결정

이 그림의 특징은 다음과 같은 주요 정리를 따릅니다. 사변형은 평행 사변형으로 간주됩니다.대각선이 교차하는 경우 이 점이 동일한 세그먼트로 나눕니다.

증명: 점 E에서 사각형 ABCD의 선 AC와 BD가 교차한다고 하자. ∠AED = ∠BEC, AE + CE = AC BE + DE = BD이므로 ∆AED = ∆BEC(삼각형 등식의 첫 번째 부호에 의해). 즉, ∠EAD = ∠ECB입니다. 또한 선 AD 및 BC에 대한 내부 단면각 AC입니다. 따라서 병렬 처리의 정의에 따라 - AD || 기원전. BC 및 CD 라인의 유사한 속성도 표시됩니다. 정리가 증명되었습니다.

모양의 면적 계산

이 그림의 면적 여러 방법으로 발견되며,가장 간단한 것 중 하나는 그려지는 높이와 밑변을 곱하는 것입니다.

증명: 꼭짓점 B와 C에서 수직선 BE와 CF를 그립니다. AB = CD 및 BE = CF이므로 ∆ABE와 ∆DCF는 동일합니다. ABCD는 S ABE 및 S EBCD, S DCF 및 S EBCD와 같은 상응하는 숫자로 구성되기 때문에 직사각형 EBCF와 크기가 동일합니다. 이 기하학적 도형의 영역은 직사각형과 같은 방식으로 발견됩니다.

S ABCD = S EBCF = BE × BC = BE × AD.

평행 사변형의 면적에 대한 일반 공식을 결정하기 위해 높이를 다음과 같이 표시합니다. hb그리고 측면은 NS... 각기:

지역을 찾는 다른 방법

면적 계산 평행 사변형과 각도의 측면을 통해그들이 형성하는 것은 두 번째로 알려진 방법입니다.

Sпр-ma - 지역;

및 b는 측면입니다.

α는 세그먼트와 b 사이의 각도입니다.

이 방법은 사실상 첫 번째 방법을 기반으로 하지만 알 수 없는 경우에 대비합니다. 항상 차단 정삼각형, 그 매개변수는 삼각법 항등식에 의해 발견됩니다. 관계를 변환하면 얻을 수 있습니다. 첫 번째 방법의 방정식에서 높이를 이 곱으로 바꾸고 이 공식의 유효성에 대한 증거를 얻습니다.

평행 사변형 대각선과 각도를 통해,그들이 건널 때 생성하는 지역을 찾을 수도 있습니다.

증명: AC와 BD가 교차하여 ABE, BEC, CDE 및 AED의 4개의 삼각형을 형성합니다. 그들의 합은이 사각형의 면적과 같습니다.

이들 ∆ 각각의 면적은 a = BE, b = AE, ∠γ = ∠AEB인 식으로 구할 수 있습니다. 그 이후로 단일 사인 값이 계산에 사용됩니다. 그건 . AE + CE = AC = d 1 및 BE + DE = BD = d 2이므로 면적 공식은 다음과 같이 줄어듭니다.

벡터 대수학의 응용

이 사변형의 구성 부분의 특징은 벡터 대수학, 즉 두 벡터의 추가에 적용됩니다. 평행 사변형 규칙은 다음과 같이 말합니다. 주어진 벡터라면그리고~ 아니다동일선상에 있으면 그 합은 이 그림의 대각선과 같을 것이며, 그 밑은 이러한 벡터에 해당합니다.

증거: 임의로 선택한 시작에서 - 즉, - 우리는 벡터를 만들고. 다음으로 선분 OA와 OB가 변인 평행사변형 OACB를 만듭니다. 따라서 OS는 벡터 또는 합계에 의존합니다.

평행 사변형 매개 변수 계산 공식

ID는 다음 조건에서 제공됩니다.

a와 b, α - 그 사이의 측면과 각도;
d 1 및 d 2, γ - 대각선 및 교차점;
h 및 h b - 측면과 b로 낮아진 높이;

매개변수	공식
당사자 찾기
대각선과 그들 사이의 각도의 코사인을 따라
대각선과 측면
높이와 반대쪽 정점을 통해
대각선의 길이 구하기
측면과 그들 사이의 상단 크기를 따라

Pri-zn-ki pa-ra-le-lo-gram-ma

1. 평행사변형의 정의와 기본 속성

우선, 파라-르-로-그램-마의 정의를 기억하십시오.

정의. 평행사변형- four-you-rekh-coal-nick, ko-that-ro-go에서 각각의 2개의 pro-ty-in-false 측면은 pa-ral-lel-ny입니다(그림 . 1 참조).

쌀. 1. 파랄-르-로-그램

기억하다 pa-ra-le-lo-gram-ma의 주요 속성:

이 모든 속성을 사용할 수 있으려면 fi-gu-ra, 누군가에 대한 - 연설이 있다는 것을 확인해야 합니다. - pa-ra-le-lo-gram. 이렇게하려면 pa-ra-le-lo-gram-ma의 표시와 같은 사실을 알아야합니다. 그 중 처음 두 가지는 현재 검토할 예정입니다.

2. 평행사변형의 첫 번째 기호

정리. 첫 번째 기호는 pa-ra-le-lo-gram-ma입니다. Four-you-rekh-coal-no-ke에서 2개의 거짓 반대 측면이 동일하고 평행하다면, 이 four-you-rekh-coal- 별명은 - 평행 사변형. .

쌀. 2. 파라-르-로-그람-마의 첫 징후

증거. dia-go-nal에 대해 이야기합시다(그림 2 참조). 그녀는 그것을 두 개의 삼각형으로 나눴습니다. 이 삼각형에 대해 알고 있는 내용을 적어 보겠습니다.

삼각형의 패리티의 첫 번째 인식에 의해.

표시된 삼각형의 평등에서, 다시 시드하는 동안 직선의 평행도의 인식에 따라 che-nii 그들의 se-ku-shchey가 따릅니다. 우리는 그것을 가지고 있습니다:

도카자하지만.

3. 평행사변형의 두 번째 부호

정리. 두 번째 기호는 pa-ra-le-lo-gram-ma입니다. Four-you-rekh-coal-no-ke에서 모든 두 개의 반대면이 동일하면이 four-you-rekh-coal-nickname은 - 평행 사변형. .

쌀. 3. 두 번째 속성은 p-ra-le-lo-gram-ma입니다.

증거. dia-go-nal에 대해 이야기합시다(그림 3 참조). 그녀는 그것을 2개의 삼탄으로 나눕니다. 우리는 이 삼각형에 대해 알고 있는 것을 mu-li-rov-ki theo-re-we 형식으로 기록합니다.

삼각형의 동등성에 대한 세 번째 인식에 따라.

tri-coals-nikov의 평등으로부터 직선의 평행성의 인식에 따라 그것이 se-ku-schay일 때 다음이 따릅니다. By-lo-cha-eat:

de-le-niyu의 정의에 따른 pa-ra-le-lo-gram. Q.E.D.

도카자하지만.

4. 평행사변형의 첫 번째 특징을 사용한 예

pa-ra-le-lo-gram-ma의 기호 사용에 대한 예를 고려하십시오.

예 1. you-bunch-th-you-rekh-coal-ni-ke에서 다음을 찾으십시오. a) four-you-rekh-coal-ni-ka의 모서리; b) 백로 웰.

해결책. 무화과 4.

pa-ra-le-lo-gram의 첫 번째 기호에 따른 pa-ra-le-lo-gram.

NS. 반가각에 대한 파라-르-로-그램-마의 속성에 의해, 각도의 합에 대한 파라-르-로-그램-마의 속성에 의해, 1을 포함하여 옆.

NS. 평등한 반대측의 속성에 의해.

세 번째 pri-sign pa-ra-le-lo-gram-ma

5. 반복: 평행사변형의 정의와 속성

기억 평행 사변형- 이것은 4-you-rook-coal-nick, which-ro-go pro-ty-in-the-false-ro-ny-pa-but-pa-lel-ny입니다. 즉, 만약 - pa-ra-le-lo-gram, 다음 (그림 1 참조).

여러 속성이 있는 Pa-ral-le-lo-gram ob-la-da-e: anti-false angles is equal(), anti-false sto-ro -are equal( ). 또한, pe-re-se-ch-nia delate in-lam 지점에서의 dia-go-na-li paral-le-lo-gram-ma, 각도의 합, 원할 때 para-le-lo-gram-ma의 양쪽에 같음 등

그러나 이러한 모든 속성을 사용하려면 당신이 ri-va-th-my th-you-rykh-coal-nick - para-ra-le-lo-gram . 이를 위해 para-le-lo-gram-ma의 징후가 있습니다. 즉, th-you-rykh-coal-nickname is-la-e- Xia pa-ra-le-lo-gram-m. 이전 수업에서 우리는 이미 두 가지 징후를 조사했습니다. 이제 우리는 세 번째 시간을 보게 될 것입니다.

6. 평행사변형의 세 번째 기호와 그 증명

만약 four-you-ryh-coal-ni-ke dia-go-na-li에서 pe-re-se-ch-nia do-lam 지점에 있다면, 이 four-yourekh-coal-nickname은- la-et-sya pa-ra-le-lo-gram-m.

주어진:

Che-you-rook-coal-nick; ; ...

입증하다:

평행사변형.

증거:

이 사실에 도달하려면 변의 평행도(parall-le-lo-gram-ma)를 구할 필요가 있습니다. 그리고 직선의 평행선은 이 직선에서 거짓말 각의 십자가에 대한 내부 웬-그의 평등을 통해 가장 자주 do-ka-zy-wa-et-sya입니다. 따라서 na-pra-shi-va-is-sya next-to-yu-so-so-so-ka-tel-tstva-th-t-t-t-t-t-t-t-t-ka-ka-pa-ra -le-lo-gram -ma: tre-coals-nikov의 평등을 통해 .

이 삼각형의 평등을 봅시다. 실제로, 다음과 같은 조건에서:. 또한 각도가 ver-t-cal-ny이므로 동일합니다. 그건:

(평등의 첫 징후트레콜 니코프- 양면 - 우리와 그들 사이의 각도).

삼각형의 평등에서 : (이 직선과 세쿠시의 내부 교차 각도가 동일하기 때문에). 또한, 삼각형의 평등에서 그것은 다음과 같습니다. Know-chit, we-l-chi-li, th-you-ryh-coal-no-ke에서는 양면이 동등하고 pa-ra-lel-ny입니다. 첫 번째 pri-zn-ku pa-ra-le-lo-gram-ma에 따르면: - pa-ra-le-lo-gram.

도카자하지만.

7. 평행사변형과 일반화의 세 번째 부호에 대한 문제의 예

paral-le-lo-gram-ma의 세 번째 기호 사용에 대한 예를 고려하십시오.

실시예 1

주어진:

- 평행사변형; ... - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na (그림 2 참조).

입증하다:-파라레로그램.

증거:

Know-chit, th-you-ryh-coal-ni-ke dia-go-na-li에서 pe-re-se-ch-niya de-l'at-na-lam 지점에서. pa-ra-le-lo-gram-ma의 세 번째 기호에 따르면, 이것에서 pa-ra-le-lo-gram이 나옵니다.

도카자하지만.

para-le-lo-gram-ma의 세 번째 속성을 분석하면 이 속성이 para-le-lo-gram-ma의 속성인 공동 답변임을 알 수 있습니다. 즉 dia-go-na-li do-lam-in-lam이 단지 pa-ra-le-lo-gram-ma의 속성이 아니라는 사실과 그것의 독특한 ha-rak-te-ri- sti-ch-property, which-ro-mo에 따르면 그것은 수많은 th-you-ryokh-coal-no-kov에서 만들어질 수 있습니다.

자원

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma

http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg

http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg

http://www.tepka.ru/geometriya/16.1.gif

22.10.2014 수업 과제 .

수업 주제 "", 43페이지.

NS. " 학습장»

11.

II ... 아타나시안, 376(b,d), 372(a,b), 371 (b)

징후 평행사변형.

III ... 증상 병렬 로그

1 0 . 사각형의 경우 ,

그런 다음이 사각형 -평행 사변형 .

2 0 ... 사각형의 경우반대면은 쌍으로 같음 , 그런 다음이 사각형 -평행 사변형.

3 0 . 사각형의 경우대각선이 교차하고 교차점이 절반 , 다음 이 사변형- 평행사변형 .

숙제 선생님을 위해 2016

이론 배우기: 42, 43페이지

작업:기본 수준: 371(a), 372(c), 376(c, d)

레벨 증가:

1 0 . 사각형의 경우두 변은 동일하고 평행하다 , 이 사변형은 평행사변형입니다.

주어진: 1) ABCD-삼각형

2) AB || CD, AB= CD.

그것을 증명 ABCD- 평행사변형

증거:

1) 추가 건설: AC 대각선.

2) 고려 알파벳 그리고 CDA

AC - 공통 측

AB = CD, 조건별

(직선 AB에서 교차 각도 ||CD그리고 시컨트 같이 )

수단, ABC = CDA ( )

하지만
- 직선 항공기의 교차 각도 및기원 후그리고 시컨트 같이 , BC || 기원 후

4) 사각형에서ABCD반대쪽 AB ||CD, 일 || 기원 후, 수단, ABCD- 평행 사변형 (에 의해 정의 )

선생님을 위해 2016

3 0 . 사각형에서 대각선이 교차하고 교차점이 반으로 나뉘면이 사각형 -평행 사변형.

주어진: 1) ABCD-삼각형

2) AB || CD, AB= CD.

그것을 증명 ABCD- 평행사변형

증거:

1) 고려하다 AOB그리고 대구

AO = OS, 조건별

BO = OD, 조건별

수직각처럼

수단, AOB =대구 (양쪽과 그들 사이의 각도 )

3) 삼각형의 해당 요소가 같으면AB = CD, , 하지만 AB그리고 CD그리고 시컨트 교류, 수단 AB|| CD(평행선 기준)

4) 사각형에서ABCD반대측AB || CD, AB = CD, 수단, ABCD- 평행 사변형 (에 의해기능 1 0 )

2 0 ... 사변형에서 마주보는 변의 길이가 같으면 이 사변형은 평행사변형

주어진: 1) ABCD-삼각형

2) BC = A NS, AB= CD.

그것을 증명 ABCD- 평행사변형

증거:

1) 추가 건설:AC 대각선

2) 고려 ABC = CDA (3면에), 이후

AC - 공통 측

AB = CD, 조건별

ВС = АD, 조건별

3) 삼각형의 해당 요소가 같으면, 하지만
- 직선에 대한 교차 각도AB그리고 CD그리고 시컨트 교류, 수단 AB || CD(평행선 기준)

4) 사각형에서ABCD반대측AB || CD, AB = CD, 수단, ABCD- 평행 사변형 (에 의해기능 1 0 )

2014년 10월 22일 멋진 작품 ... 레슨 주제 "", 43페이지I. "워크북" 8 ... V평행 사변형ABCDa) 변, BC가 AB 변보다 8cm 크고 둘레가 64cm인 경우 b) 각도 . 9 .V평행 사변형ABCD대각선 AC와 동일한 24cm 형태의 측면기원 후각도 30 °, 영형대각선의 교차점입니다BD, 세그먼트 OE의 길이를 찾으십시오.
10 ... 각도 A의 이등분선평행 사변형ABCD점 Р에서 측면 ВС를 교차하고 ВР = РС입니다. 둘레가 54cm이면 평행 사변형의 변을 찾으십시오.
11. 평행사변형 대각선ABCD점 O에서 교차합니다. 평행 사변형의 둘레는 12이고 둘레의 차이는 EQUAL 2 평행 사변형의 변을 찾으십시오.
12. 사각형의 그림에서ABCD .증명 ABCD평행 사변형.