삼각형은 3개의 변이 있는 다각형이거나 3개의 링크가 있는 닫힌 파선이거나 하나의 직선 위에 있지 않은 세 점을 연결하는 세 개의 선분으로 구성된 도형입니다(그림 1 참조).

삼각형 ABC의 기본 요소

봉우리 – 점 A, B 및 C;

파티 - 꼭짓점을 연결하는 세그먼트 a = BC, b = AC 및 c = AB;

모서리 – α, β, γ는 세 쌍의 변으로 형성됩니다. 모서리는 종종 정점과 같은 방식으로 A, B, C라는 문자로 레이블이 지정됩니다.

삼각형의 변에 의해 형성되고 그 내부에 있는 각을 내각이라고 하며, 이에 인접한 각은 삼각형의 인접 각입니다(2, p. 534).

삼각형의 높이, 중앙값, 이등분선 및 중심선

삼각형의 주요 요소 외에도 높이, 중앙값, 이등분선 및 중간선과 같은 흥미로운 속성을 가진 다른 세그먼트도 고려됩니다.

키

삼각형의 높이삼각형의 꼭짓점에서 반대쪽으로 떨어지는 수직선입니다.

높이를 작성하려면 다음을 수행하십시오.

1) 삼각형의 변 중 하나를 포함하는 직선을 그립니다(둔각 삼각형에서 예각의 꼭짓점에서 높이를 그린 경우).

2) 그려진 선 반대편에 있는 꼭짓점에서 한 점에서 이 선까지 선분을 그려서 90도 각도를 만듭니다.

삼각형의 변과 고도의 교차점을 높이 기준 (그림 2 참조).

삼각형 높이 속성

직각 삼각형에서 꼭짓점에서 그은 높이 직각, 원래 삼각형과 유사한 두 개의 삼각형으로 나눕니다.

예각 삼각형에서 두 높이가 유사한 삼각형을 잘라냅니다.

삼각형이 예각이면 높이의 모든 밑변이 삼각형의 변에 속하고 둔각 삼각형의 경우 두 개의 높이가 변의 확장에 속합니다.

예각삼각형의 세 높이가 한 점에서 교차하며 이 점을 수심 삼각형.

중앙값

중앙값(라틴어 mediana에서 - "middle") - 삼각형의 꼭지점을 반대쪽의 중간점과 연결하는 세그먼트입니다(그림 3 참조).

중앙값을 작성하려면 다음을 수행하십시오.

1) 측면의 중간을 찾으십시오.

2) 삼각형의 변의 중앙인 점과 반대쪽 꼭짓점을 선분으로 연결합니다.

삼각형 중앙값 속성

중앙값은 삼각형을 같은 면적의 두 삼각형으로 나눕니다.

삼각형의 중앙값은 한 점에서 교차하며 위에서부터 계산하여 각각을 2:1의 비율로 나눕니다. 이 점을 무게 중심 삼각형.

전체 삼각형은 중앙값에 의해 6개의 동일한 삼각형으로 나뉩니다.

이등분

이등분선(lat. bis - 두 번 "그리고 seko - 나는 자른다) 모서리를 이등분하는 삼각형 내부에 둘러싸인 직선 세그먼트를 호출합니다 (그림 4 참조).

이등분선을 구성하려면 다음 단계를 수행해야 합니다.

1) 각의 꼭짓점에서 나오는 광선을 구성하고 이를 두 개의 동일한 부분(각 이등분선)으로 나눕니다.

2) 삼각형의 각의 이등분선과 반대쪽의 교차점을 찾으십시오.

3) 삼각형의 꼭짓점과 반대쪽 교차점을 연결하는 선분을 선택합니다.

삼각형 이등분선 속성

삼각형의 각 이등분선은 마주보는 두 변의 비율과 같은 비율로 반대쪽을 나눕니다.

삼각형 내각의 이등분선은 한 점에서 교차합니다. 이 점을 내접원의 중심이라고 합니다.

내부 모서리와 외부 모서리의 이등분선은 수직입니다.

삼각형의 외부 각의 이등분선이 반대쪽의 연속과 교차하면 ADBD=ACBC입니다.

삼각형의 한 내각과 두 외각의 이등분선은 한 점에서 교차합니다. 이 점은 이 삼각형의 세 외원 중 하나의 중심입니다.

삼각형의 내각 2개와 외각 1개의 이등분선의 밑변은 삼각형의 반대쪽에 평행하지 않은 외각의 이등분선이 있으면 같은 선에 있습니다.

삼각형의 외각의 이등분선이 대변과 평행하지 않으면 밑변이 같은 선에 있습니다.

첫 번째 수준

중앙값. 비주얼 가이드 (2019)

1. 중앙값은 얼마입니까?

매우 간단합니다!

삼각형을 가져 가라

측면 중 하나에 중간을 표시하십시오.

그리고 반대편 피크와 연결!

결과 라인 그리고 중앙값.

2. 중앙값의 속성.

중앙값의 좋은 특성은 무엇입니까?

1) 삼각형을 상상해 봅시다 - 직사각형.그것들이 있죠, 그렇죠?

왜??? 올바른 각도는 무엇입니까?

주의 깊게 살펴보자. 삼각형이 아니라 ... 직사각형에. 왜, 당신은 물어?

그러나 당신은 지구를 걷고 있습니다. 지구가 둥글다는 것이 보입니까? 아니요, 물론 이것을 위해서는 우주에서 지구를 바라볼 필요가 있습니다. 그래서 우리는 "우주에서" 직각 삼각형을 봅니다.

대각선을 그리자:

직사각형의 대각선을 기억하십니까? 동일한그리고 공유하다교차점 반으로? (기억이 안나시면 주제를 봐주세요)

따라서 두 번째 대각선의 절반은 우리의 것입니다. 중앙값. 대각선은 물론 반쪽도 동일합니다. 여기서 우리는

우리는이 진술을 증명하지 않을 것이지만 그것을 믿으려면 스스로 생각하십시오. 직사각형을 제외하고 동일한 대각선을 가진 다른 평행 사변형이 있습니까? 당연히 아니지! 음, 그것은 중앙값이 다음에서만 측면의 절반과 같을 수 있음을 의미합니다. 정삼각형.

이 속성이 문제를 해결하는 데 어떻게 도움이 되는지 봅시다.

여기, 직무:
측면으로; . 개최 정상에서 중앙값. 경우를 찾으십시오.

만세! 피타고라스 정리를 적용할 수 있습니다! 얼마나 대단한지 보시겠습니까? 우리가 그것을 몰랐다면 중앙값반쪽과 동일

우리는 피타고라스 정리를 적용합니다.

2) 이제 하나가 아니라 전체를 가지도록 합시다. 세 중앙값! 그들은 어떻게 행동합니까?

매우 기억 중요한 사실:

딱딱한? 사진을 봐:

중앙값과 한 점에서 교차합니다.

그리고 .... (우리는 그것을 증명하지만 지금은 기억하다!):

• - 2배;
• - 2배;
• - 두 배로.

아직 피곤하지? 다음 예를 위한 충분한 강도? 이제 우리는 우리가 말한 모든 것을 적용 할 것입니다!

일: 삼각형에서 한 점에서 교차하는 중앙값 및 그립니다. 다음 경우 찾기

우리는 피타고라스 정리에 의해 다음을 찾습니다.

이제 중앙값의 교차점에 대한 지식을 적용합니다.

표시해 봅시다. 컷, 모든 것이 명확하지 않다면 그림을 보십시오.

우리는 이미 그것을 발견했습니다.

수단, ; .

문제에서 우리는 세그먼트에 대해 묻습니다.

우리의 표기법에서.

대답: .

좋아요? 이제 중앙값에 대한 지식을 직접 적용해 보세요!

중앙값. 평균 수준

1. 중앙값은 측면을 이등분합니다.

그리고 다? 아니면 그녀가 무언가를 반으로 나눕니다. 라고 상상해보세요!

2. 정리: 중앙값은 면적을 양분합니다.

왜요? 그리고 삼각형 면적의 가장 단순한 형태를 기억합시다.

그리고 우리는 이 공식을 두 번 적용합니다!

봐, 중앙값은 두 개의 삼각형으로 나뉩니다. 하지만! 그들은 같은 높이를 가지고 있습니다! 이 높이에서만 옆으로 떨어지고 - 사이드의 계속을 위해. 놀랍게도 다음과 같이 발생합니다. 삼각형은 다르지만 높이는 동일합니다. 이제 공식을 두 번 적용합니다.

그게 무슨 뜻이야? 사진을 봐. 사실, 이 정리에는 두 가지 진술이 있습니다. 눈치채셨나요?

첫 번째 진술:중앙값은 한 점에서 교차합니다.

두 번째 진술:중앙값의 교차점은 위에서부터 계산하여 상대적으로 나뉩니다.

이 정리의 비밀을 풀기 위해 노력합시다.

점과 점을 연결해 봅시다. 무슨 일이에요?

이제 또 다른 중간 선을 그려 보겠습니다. 가운데를 표시하십시오 - 점을 넣고 중간을 표시하십시오 - 점을 넣으십시오.

이제 - 중간 선. 그건

1. 평행 한;

우연의 일치를 눈치채셨나요? 와 는 모두 평행합니다. 그리고, 그리고.

이것으로부터 다음은 무엇입니까?

1. 평행 한;

물론 평행 사변형 만!

그래서 - 평행 사변형. 그래서 무엇? 평행사변형의 속성을 기억합시다. 예를 들어, 평행사변형의 대각선에 대해 무엇을 알고 있습니까? 맞습니다. 교차점을 반으로 나눕니다.

그림을 다시 봅시다.

즉, 중앙값은 점으로 나누어 3개의 동일한 부분으로 나뉩니다. 그리고 똑같습니다.

이것은 두 중앙값이 정확히 관계에서 점으로 분리됨, 즉 및를 의미합니다.

세 번째 중앙값은 어떻게 될까요? 처음으로 돌아가자. 세상에?! 아니요, 이제 모든 것이 훨씬 더 짧아질 것입니다. 중앙값을 버리고 중앙값을 그려봅시다.

이제 우리가 중앙값 및 중앙값에 대해 정확히 동일한 추론을 수행했다고 상상해 보십시오. 그럼?

중앙값은 정확히 같은 방식으로 중앙값을 나눌 것입니다. 즉, 점에서 계산합니다.

그러나 한 점에서 계산할 때 관계를 나누는 세그먼트에는 몇 개의 점이 있을 수 있습니까?

물론 하나만! 그리고 우리는 이미 그것을 보았습니다. 이것이 요점입니다.

결국 무슨 일이 있었는지?

중앙값이 정확히 통과했습니다! 세 중앙값이 모두 통과했습니다. 그리고 모든 사람은 위에서부터 계산하여 관계가 나뉘었습니다.

그래서 우리는 정리를 풀었습니다. 답은 삼각형 안에 있는 평행사변형으로 밝혀졌습니다.

4. 중앙값의 길이 공식

측면이 알려진 경우 중앙값의 길이를 찾는 방법은 무엇입니까? 당신이 그것을 필요로 확신합니까? 끔찍한 비밀을 밝혀 봅시다. 이 공식은 그다지 유용하지 않습니다. 그러나 여전히, 우리는 그것을 쓸 것입니다, 그러나 우리는 그것을 증명하지 않을 것입니다(증명에 관심이 있다면, 다음 레벨을 보십시오).

왜 이런 일이 일어나는지 어떻게 이해하겠습니까?

주의 깊게 살펴보자. 삼각형이 아니라 직사각형에 있습니다.

그럼 사각형을 봅시다.

삼각형이 이 사각형의 정확히 절반이라는 사실을 눈치채셨나요?

대각선을 그리자

직사각형의 대각선이 같고 교차점을 이등분한다는 것을 기억하십니까? (기억이 안나시면 주제를 봐주세요)
그러나 대각선 중 하나는 빗변입니다! 따라서 대각선의 교차점이 빗변의 중점입니다. 그녀는 우리에 의해 호출되었습니다.

따라서 두 번째 대각선의 절반이 중앙값입니다. 대각선은 물론 반쪽도 동일합니다. 여기서 우리는

또한 이것은 직각 삼각형에서만 발생합니다!

우리는이 진술을 증명하지 않을 것이지만 그것을 믿으려면 스스로 생각하십시오. 직사각형을 제외하고 동일한 대각선을 가진 다른 평행 사변형이 있습니까? 당연히 아니지! 음, 그것은 중앙값이 직각 삼각형에서만 변의 절반과 같을 수 있음을 의미합니다. 이 속성이 문제를 해결하는 데 어떻게 도움이 되는지 봅시다.

다음은 작업입니다.

측면으로; . 중앙값은 위에서부터 그려집니다. 경우를 찾으십시오.

만세! 피타고라스 정리를 적용할 수 있습니다! 얼마나 대단한지 보시겠습니까? 중앙값이 측면의 절반이라는 것을 알지 못했다면 직각삼각형에서만, 우리는 이 문제를 어떤 식으로든 해결할 수 없습니다. 이제 할 수 있습니다!

우리는 피타고라스 정리를 적용합니다.

중앙값. 메인에 대한 간략한 소개

1. 중앙값은 측면을 이등분합니다.

2. 정리: 중앙값은 면적을 양분합니다.

4. 중앙값의 길이 공식

역 정리:중앙값이 변의 절반과 같으면 삼각형은 직각이고 이 중앙값은 빗변으로 그려집니다.

자, 주제가 끝났습니다. 당신이 이 라인들을 읽고 있다면, 당신은 매우 멋진 것입니다.

5%의 사람들만이 스스로 무언가를 마스터할 수 있기 때문입니다. 그리고 끝까지 읽었다면 당신은 5%에 속합니다!

이제 가장 중요한 것입니다.

당신은 이 주제에 대한 이론을 알아냈습니다. 그리고 반복합니다. 그것은 ... 그냥 최고입니다! 당신은 이미 대다수의 동료들보다 낫습니다.

문제는 이것이 충분하지 않을 수 있다는 것입니다 ...

무엇을 위해?

시험을 성공적으로 통과하고 예산으로 연구소에 입학하기 위해 그리고 가장 중요한 것은 평생 동안입니다.

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그러나 이것이 중요한 것은 아닙니다.

가장 중요한 것은 그들이 더 행복하다는 것입니다 (그런 연구가 있습니다). 아마도 훨씬 더 많은 기회가 그들 앞에 열리고 삶이 더 밝아지기 때문이 아닐까요? 몰라요...

하지만 스스로 생각해보세요...

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메모. 이 수업에서는 "직각 삼각형의 중앙값"이라는 주제에 대한 이론적 자료와 기하학 문제의 해결 방법을 제시합니다. 여기에 없는 기하학 문제를 해결해야 하는 경우 포럼에 작성하십시오. 거의 확실히 코스가 확장됩니다.

직각 삼각형의 중선 속성

중앙값의 정의

• 삼각형의 중선은 한 점에서 교차하며 이 점을 기준으로 각의 상단에서 계산하여 2:1의 비율로 두 부분으로 나뉩니다. 교차점을 삼각형의 무게 중심이라고 합니다("중심"이라는 용어는 이 점을 지정하는 문제에서 비교적 드물게 사용됨).
• 중앙값은 삼각형을 같은 면적의 두 삼각형으로 나눕니다.
• 삼각형은 세 중선에 의해 같은 면적의 삼각형 6개로 나뉩니다.
• 삼각형의 긴 쪽은 더 작은 중앙값에 해당합니다.

해결을 위해 제안된 기하 문제는 주로 다음을 사용합니다. 직각 삼각형의 중앙값 속성.

• 직각 삼각형의 다리에 떨어진 중앙값의 제곱의 합은 빗변에 떨어뜨린 중앙값의 5제곱과 같습니다(공식 1).
• 중앙값은 직각 삼각형의 빗변으로 떨어졌습니다. 빗변의 절반과 동일(수식 2)
• 중앙값은 직각 삼각형의 빗변으로 떨어졌습니다. 주위에 외접하는 원의 반지름과 같다주어진 직각 삼각형 (공식 2)
• 중앙값이 빗변으로 떨어졌습니다. 다리의 제곱합의 제곱근의 절반과 같습니다.(수식 3)
• 빗변으로 떨어지는 중앙값은 다리 길이를 다리 반대편 예각의 두 사인으로 나눈 몫과 같습니다(공식 4)
• 빗변으로 떨어지는 중앙값은 다리의 길이를 다리에 인접한 예각의 두 코사인으로 나눈 몫과 같습니다(공식 4)
• 직각 삼각형의 변의 제곱의 합은 중앙값의 8제곱을 빗변까지 떨어뜨린 것과 같습니다(공식 5).

수식의 기호:

에이, ㄴ- 직각 삼각형의 다리

씨- 직각 삼각형의 빗변

삼각형을 ABC라고 하면

태양 = ㅏ

(그건 측면 a, b, c- 대응하는 각도와 반대임)

중 ㅏ- 다리에 그려진 중앙값

중 비- 다리 b에 그려진 중앙값

중 씨 - 직각 삼각형의 중앙값빗변에 그려진

α(알파)- 반대편의 각도 CAB

직각 삼각형의 중선 문제

다리에 그린 직각 삼각형의 중선은 각각 3cm와 4cm입니다. 삼각형의 빗변 찾기

해결책

문제를 풀기 전에 직각삼각형의 빗변의 길이와 빗변으로 내려간 중앙값의 비율에 주목합시다. 이를 위해 공식 2, 4, 5로 전환합니다. 직각 삼각형의 중앙값 속성. 이 공식은 빗변과 중앙값의 비율을 명시적으로 나타내므로 1:2로 낮아집니다. 따라서 향후 계산의 편의를 위해(해의 정확성에는 어떤 식으로든 영향을 미치지 않지만 편리함), 우리는 변수 x와 y를 통해 다리 AC와 BC의 길이를 2x와 2y(x와 y가 아님)로 표시합니다.

직각 삼각형 ADC를 고려하십시오. 각 C는 문제의 조건에 따라 직선이고, 레그 AC는 삼각형 ABC와 공통이고 레그 CD는 중앙값의 속성에 따라 BC의 절반과 같습니다. 그러면 피타고라스 정리에 의해

AC 2 + CD 2 = AD 2

AC \u003d 2x, CD \u003d y (중앙값이 다리를 두 개의 동일한 부분으로 나누기 때문에),
4x2 + y2 = 9

동시에 직각 삼각형 EBC를 고려하십시오. 또한 문제의 조건에 따라 직각 C를 가지며 레그 BC는 원래 삼각형 ABC의 레그 BC와 공통이며 중앙값의 속성에 의한 레그 EC는 원본의 레그 AC의 절반과 같습니다. 삼각형 ABC.
피타고라스 정리에 따르면:
EC 2 + BC 2 = BE 2

EC \u003d x(중앙값이 다리를 이등분), BC \u003d 2y, 다음
x2 + 4y2 = 16

삼각형 ABC, EBC 및 ADC는 공통면으로 연결되므로 얻은 두 방정식도 연결됩니다.
결과 방정식 시스템을 풀어 봅시다.
4x2 + y2 = 9
x2 + 4y2 = 16

1. 중앙값은 삼각형을 같은 면적의 두 삼각형으로 나눕니다.

2. 삼각형의 중선은 한 점에서 교차하며 위에서부터 계산하여 각각을 2:1의 비율로 나눕니다. 이 점을 무게 중심삼각형.

3. 전체 삼각형은 중앙값에 의해 6개의 동일한 삼각형으로 나뉩니다.

삼각형 이등분선 속성

1. 각의 이등분선은 이 각의 변에서 같은 거리에 있는 점의 자취입니다.

2. 삼각형 내각의 이등분선은 반대쪽을 인접한 변에 비례하는 선분으로 나눕니다. .

3. 삼각형의 이등분선의 교점은 이 삼각형에 내접하는 원의 중심입니다.

삼각형 높이 속성

1. 직각삼각형에서, 직각의 꼭짓점에서 그어진 높이가 그것을 원래의 것과 비슷한 두 개의 삼각형으로 나눕니다.

2. 예각 삼각형에서 높이 중 두 개가 비슷하게 잘립니다. 삼각형.

삼각형의 수직이등분선의 성질

1. 한 선분에 대한 수직 이등분선의 각 점은 이 선분의 끝에서 등거리에 있습니다. 반대의 진술도 참입니다. 선분의 끝에서 등거리에 있는 각 점은 선분의 수직 이등분선에 있습니다.

2. 삼각형의 변에 그린 중심수직선의 교점은 이 삼각형에 외접하는 원의 중심입니다.

삼각형의 정중선의 속성

삼각형의 정중선은 한 변과 평행하고 그 변의 절반과 같습니다.

삼각형의 유사성

두 개의 삼각형 비슷하다다음 조건 중 하나가 충족되면 호출 유사성의 징후:

한 삼각형의 두 각은 다른 삼각형의 두 각과 같습니다.

한 삼각형의 두 변은 다른 삼각형의 두 변에 비례하고 이 변이 이루는 각은 같습니다.

한 삼각형의 세 변은 다른 삼각형의 세 변에 각각 비례합니다.

유사한 삼각형에서 해당 선(높이, 중앙값, 이등분선 등)은 비례합니다.

사인 정리

코사인 정리

2= ㄴ 2+ c 2- 2기원전코사인

삼각형 면적 공식

1. 임의의 삼각형

a, b, c -측면; - 측면 사이의 각도 ㅏ그리고 비; - 반주; 아르 자형-외접원의 반경; 아르 자형-내접원의 반경; 에스-정사각형; 하 -높이 옆 ㅏ.

에스 = 아

S = ab 죄

에스 = 홍보

2. 정삼각형

에이, ㄴ-다리; 씨-빗변; hc -옆으로 높이 씨.

S = 채널 C S = ab

3. 정삼각형

사각형

평행사변형 속성

반대쪽은 평등하다

반대각은 같다

교차점의 대각선이 반으로 나뉩니다.

한 변에 인접한 각도의 합은 180°입니다.

대각선의 제곱의 합은 모든 변의 제곱의 합과 같습니다.

d 1 2 +d 2 2 =2(a 2 + b 2).

다음과 같은 경우 사변형은 평행사변형입니다.

1. 마주보는 두 변의 길이가 같고 평행하다.

2. 반대쪽은 쌍으로 동일합니다.

3. 마주보는 각은 쌍으로 같습니다.

4. 교차점의 대각선을 반으로 나눕니다.

사다리꼴 속성

그 정중선은 밑면과 평행하고 그 절반과 같습니다.

사다리꼴이 이등변이면 대각선은 동일하고 밑변의 각도는 동일합니다.

사다리꼴이 이등변이면 원이 그 주위에 외접할 수 있습니다.

밑변의 합이 변의 합과 같으면 원이 그 안에 내접될 수 있습니다.

사각형 속성

대각선은 동일합니다.

평행사변형은 다음과 같은 경우 직사각형입니다.

1. 모서리 중 하나가 맞습니다.

2. 대각선이 동일합니다.

마름모 속성

평행 사변형의 모든 속성;

대각선은 수직입니다

대각선은 각의 이등분선입니다.

1. 평행사변형은 다음과 같은 경우 마름모입니다.

2. 인접한 두 변의 길이가 같습니다.

3. 대각선이 수직입니다.

4. 대각선 중 하나는 각도의 이등분선입니다.

정사각형 속성

정사각형의 모든 모서리가 옳습니다.

정사각형의 대각선은 동일하고 서로 수직이며 교차점은 반으로 나누고 정사각형의 모서리는 반으로 나뉩니다.

직사각형은 마름모의 특성이 있는 경우 정사각형입니다.

기본 공식

1. 임의의 볼록 사변형
d1,d2-대각선; - 그들 사이의 각도; 에스-정사각형.

S=d 1 디 2 죄