숫자가 소수임을 이해하십시오. 소수를 찾는 방법

Ilya의 답변은 정확하지만 그다지 자세하지는 않습니다. 그런데 18세기에도 1은 여전히 소수로 간주되었습니다. 예를 들어 오일러(Euler)와 골드바흐(Goldbach)와 같은 위대한 수학자들이 있습니다. 골드바흐는 밀레니엄의 7가지 문제 중 하나인 골드바흐 가설의 저자입니다. 원래 공식에 따르면 모든 짝수는 두 소수의 합으로 표현될 수 있습니다. 또한 처음에는 1이 소수로 간주되었으며 다음과 같이 표시됩니다. 2 = 1+1. 이는 가설의 원래 공식을 만족하는 가장 작은 예입니다. 나중에 수정되어 문구가 바뀌었습니다. 현대적인 모습: “4로 시작하는 모든 짝수는 두 소수의 합으로 표현될 수 있습니다.”

정의를 기억해 봅시다. 소수는 2개의 서로 다른 자연 약수(p 자체와 1)만 갖는 자연수 p입니다. 정의에 따르면 소수 p는 단 하나의 소인수(p 자체)를 갖습니다.

이제 1이 소수라고 가정해보자. 정의에 따르면 소수에는 단 하나의 소인수(소수 자체)만 있습니다. 그러면 1보다 큰 소수는 1과 다른 소수로 나누어질 수 있다는 것이 밝혀졌습니다. 그러나 서로 다른 두 소수는 서로 나누어질 수 없기 때문에 그렇지 않으면 소수가 아니라 합성수가 되며 이는 정의와 모순됩니다. 이 접근 방식을 사용하면 단위 자체라는 소수(Prime Number)가 1개만 있다는 것이 밝혀졌습니다. 그러나 이것은 터무니없는 일이다. 그러므로 1은 소수가 아니다.

1과 0은 또 다른 숫자 클래스, 즉 대수학 분야의 일부 하위 집합에서 n항 연산과 관련된 중립 요소 클래스를 형성합니다. 더욱이, 덧셈 연산과 관련하여, 1은 정수링의 생성 요소이기도 합니다.

이러한 점을 고려하면 다른 대수 구조에서 소수의 유사점을 찾는 것이 어렵지 않습니다. 1: 2, 4, 8, 16, ... 등으로 시작하여 2의 거듭제곱으로 구성된 곱셈 그룹이 있다고 가정합니다. 2는 여기서 조형요소로 작용한다. 이 그룹의 소수는 가장 작은 요소보다 크고 자신과 가장 작은 요소로만 나눌 수 있는 숫자입니다. 우리 그룹에서는 4개만이 그러한 속성을 가지고 있습니다. 우리 그룹에는 더 이상 소수가 없습니다.

2가 우리 그룹에서도 소수라면 첫 번째 단락을 참조하세요. 다시 한 번 2만이 소수라는 것이 밝혀질 것입니다.

이 기사에서는 소수와 합성수의 개념에 대해 설명합니다. 그러한 숫자의 정의는 예와 함께 제공됩니다. 소수의 개수가 무한하다는 증거를 제시하고 이를 에라토스테네스의 방법을 이용하여 소수표에 기록하겠습니다. 숫자가 소수인지 합성수인지를 결정하는 증거가 제공됩니다.

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소수와 합성수 - 정의 및 예

소수와 합성수는 양의 정수로 분류됩니다. 1보다 커야 합니다. 제수는 또한 단순 및 복합으로 나뉩니다. 합성수의 개념을 이해하려면 먼저 제수와 배수의 개념을 공부해야 합니다.

정의 1

소수는 1보다 크고 두 개의 양의 약수, 즉 자신과 1을 갖는 정수입니다.

정의 2

합성수는 1보다 크고 양의 약수가 3개 이상 있는 정수입니다.

하나는 소수도 아니고 합성수도 아니다. 양수 제수는 하나만 있으므로 다른 모든 양수와 다릅니다. 모든 양의 정수를 자연수라고 하며, 즉 계산에 사용됩니다.

정의 3

소수양의 약수가 2개만 있는 자연수입니다.

정의 4

합성수양의 약수가 2개 이상인 자연수입니다.

1보다 큰 숫자는 소수이거나 합성수입니다. 나눗셈의 법칙에 따르면 1과 숫자 a는 항상 임의의 숫자 a에 대한 약수가 됩니다. 즉, 그 자체로나 1로도 나누어질 수 있습니다. 정수의 정의를 봅시다.

정의 5

소수가 아닌 자연수를 합성수라고 합니다.

소수: 2, 3, 11, 17, 131, 523. 그들은 자기 자신과 1로만 나눌 수 있습니다. 합성 숫자: 6, 63, 121, 6697. 즉, 숫자 6은 2와 3으로, 63은 1, 3, 7, 9, 21, 63, 121은 11, 11로 분해될 수 있습니다. 즉, 약수는 1, 11, 121이 됩니다. 숫자 6697은 37과 181로 분해됩니다. 소수와 상호소수는 서로 다른 개념이라는 점에 유의하세요.

보다 쉽게 사용하실 수 있도록 소수, 다음 테이블을 사용해야 합니다.

기존의 모든 자연수에 대한 표는 무한한 수가 있기 때문에 비현실적입니다. 숫자가 10000 또는 1000000000의 크기에 도달하면 에라토스테네스의 체 사용을 고려해야 합니다.

마지막 진술을 설명하는 정리를 고려해 봅시다.

정리 1

1보다 큰 자연수의 1 이외의 가장 작은 양의 약수는 소수이다.

증거 1

a가 1보다 큰 자연수이고, b가 a의 1이 아닌 최소 약수라고 가정해 보겠습니다. 모순의 방법을 이용하여 b가 소수임을 증명해야 한다.

b가 합성수라고 가정해보자. 이것으로부터 우리는 b에 대한 제수가 있다는 것을 알 수 있는데, 이는 1뿐만 아니라 b와도 다릅니다. 이러한 제수는 b 1로 표시됩니다. 조건 1이 필요합니다.< b 1 < b 완료되었습니다.

조건으로부터 a는 b로 나누어지고, b는 b 1로 나누어진다는 것이 분명하며, 이는 가분성의 개념이 다음과 같이 표현된다는 것을 의미합니다. a = bq그리고 b = b 1 · q 1 , 여기서 a = b 1 · (q 1 · q) , 여기서 q와 q 1정수입니다. 정수 곱셈의 규칙에 따르면, 정수의 곱은 a = b 1 · (q 1 · q) 형식의 정수가 됩니다. b1임을 알 수 있다. 는 숫자 a의 제수입니다. 불평등 1< b 1 < b 아니다왜냐하면 b는 a의 가장 작은 양수이고 1이 아닌 약수이기 때문입니다.

정리 2

소수의 개수는 무한합니다.

증거 2

아마도 우리는 유한한 수의 자연수 n을 취하여 이를 p 1, p 2, …, p n으로 표시합니다. 표시된 것과 다른 소수를 찾는 옵션을 고려해 보겠습니다.

p 1, p 2, ..., p n + 1과 같은 숫자 p를 고려해 보겠습니다. p 1, p 2, ..., p n 형식의 소수에 해당하는 각 숫자와 동일하지 않습니다. 숫자 p는 소수입니다. 그러면 정리가 증명된 것으로 간주됩니다. 합성인 경우 p n + 1 표기법을 사용해야 합니다. 그리고 제수가 p 1, p 2, ..., p n 중 어느 것과도 일치하지 않음을 보여줍니다.

그렇지 않다면, 제품의 분할 가능성에 기초하여 p 1, p 2, ..., p n , 우리는 그것이 pn + 1로 나누어질 수 있음을 발견했습니다. 표현 p n + 1 숫자 p를 나누면 합이 p 1, p 2, ..., p n + 1과 같습니다. 우리는 표현 p n + 1을 얻습니다. 이 합의 두 번째 항인 1은 나누어져야 하지만 이는 불가능합니다.

주어진 소수 중에서 임의의 소수를 찾을 수 있음을 알 수 있습니다. 소수는 무한히 많다는 것을 알 수 있습니다.

소수가 많기 때문에 테이블은 100, 1000, 10000 등의 숫자로 제한됩니다.

소수 테이블을 컴파일할 때 이러한 작업에는 2부터 100까지 숫자를 순차적으로 확인해야 한다는 점을 고려해야 합니다. 제수가 없으면 표에 기록되고, 합성이면 표에 입력되지 않습니다.

단계별로 살펴보겠습니다.

숫자 2로 시작하면 2개의 제수(2와 1)만 있으므로 테이블에 입력할 수 있습니다. 숫자 3과 동일합니다. 숫자 4는 합성수입니다. 2와 2로 분해되어야 합니다. 숫자 5는 소수이므로 표에 기록할 수 있다는 의미입니다. 100번까지 이렇게 해보세요.

이 방법불편하고 길다. 테이블을 만들 수 있지만 비용을 지출해야 합니다. 큰 수시간. 제수를 찾는 과정을 가속화하는 나눗셈 기준을 사용해야 합니다.

에라토스테네스의 체를 이용하는 방법이 가장 편리하다고 여겨진다. 아래의 예시 테이블을 살펴보겠습니다. 우선 숫자 2, 3, 4, ..., 50이 기록됩니다.

이제 2의 배수인 모든 숫자를 지워야 합니다. 연속 취소선을 수행합니다. 우리는 다음과 같은 테이블을 얻습니다.

5의 배수인 숫자를 지우는 작업으로 넘어갑니다. 우리는 다음을 얻습니다:

7, 11의 배수인 숫자를 지웁니다. 결국 테이블은 다음과 같습니다.

정리의 공식화로 넘어 갑시다.

정리 3

밑수 a의 가장 작은 양수 및 1이 아닌 약수는 a를 초과하지 않습니다. 여기서 a는 주어진 숫자의 산술근입니다.

증거 3

b는 합성수 a의 가장 작은 약수로 표시할 필요가 있습니다. a = b · q인 정수 q가 있고, b ≤ q가 됩니다. 형식의 불평등은 허용되지 않습니다. 비 > q,조건을 위반했기 때문이다. 부등식 b ≤ q의 양변에는 1이 아닌 임의의 양수 b를 곱해야 합니다. 우리는 b · b ≤ b · q를 얻습니다. 여기서 b 2 ≤ a이고 b ≤ a입니다.

입증된 정리에 따르면 표의 숫자를 지우면 b 2와 동일한 숫자로 시작하고 부등식 b 2 ≤ a를 충족해야 한다는 사실이 분명해집니다. 즉, 2의 배수인 숫자를 지우면 프로세스는 4로 시작하고 3의 배수는 9로 시작하여 100까지 계속됩니다.

에라토스테네스의 정리를 사용하여 이러한 표를 작성하면 모든 합성수를 지울 때 n을 초과하지 않는 소수가 유지된다는 것을 알 수 있습니다. n = 50인 예에서는 n = 50입니다. 여기에서 에라토스테네스의 체는 50의 근 값보다 크지 않은 모든 합성수를 걸러낸다는 것을 알 수 있습니다. 숫자 검색은 줄을 그어서 수행됩니다.

문제를 풀기 전에 숫자가 소수인지 합성인지 확인해야 합니다. 분할성 기준이 자주 사용됩니다. 아래 예에서 이를 살펴보겠습니다.

실시예 1

숫자 898989898989898989가 합성수임을 증명하세요.

해결책

주어진 숫자의 자릿수 합은 9 8 + 9 9 = 9 17입니다. 이는 9의 나눗셈 테스트에 따르면 숫자 9 · 17이 9로 나누어진다는 의미입니다. 따라하니 합성이네요.

그러한 기호는 숫자의 소수를 증명할 수 없습니다. 확인이 필요한 경우 다른 조치를 취해야 합니다. 가장 적합한 방법은 숫자를 열거하는 것입니다. 이 과정에서 소수와 합성수를 찾을 수 있습니다. 즉, 숫자는 in 값을 초과하면 안 됩니다. 즉, 숫자 a는 소인수분해되어야 합니다. 이것이 만족되면 숫자 a는 소수로 간주될 수 있습니다.

실시예 2

합성수 또는 소수 11723을 결정합니다.

해결책

이제 숫자 11723에 대한 모든 제수를 찾아야 합니다. 11723을 평가해야 합니다.

여기에서 우리는 11723을 볼 수 있습니다.< 200 , то 200 2 = 40 000 및 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 적은 수 200 .

숫자 11723을 더 정확하게 추정하려면 108 2 = 11 664라는 표현식을 작성해야 합니다. 109 2 = 11 881 , 저것 108 2 < 11 723 < 109 2 . 11723이 나옵니다.< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

확장하면 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 은 모두 소수입니다. 이 전체 과정은 열로 나누어 설명할 수 있습니다. 즉, 11723을 19로 나눕니다. 숫자 19는 나머지 없이 나눗셈을 하기 때문에 그 인수 중 하나입니다. 나누기를 열로 표현해 보겠습니다.

11723은 자신과 1 외에 약수가 19이므로 합성수입니다.

답변: 11723은 합성수입니다.

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제수의 열거.정의에 따르면, 숫자 N 2와 1과 자기 자신을 제외한 다른 정수로 균등하게 나누어지지 않는 경우에만 소수입니다. 위 수식은 불필요한 단계를 제거하고 시간을 절약합니다. 예를 들어 숫자가 3으로 나누어지는지 확인한 후 9로 나누어지는지 여부를 확인할 필요가 없습니다.

Floor(x) 함수는 x를 x보다 작거나 같은 가장 가까운 정수로 반올림합니다.

모듈러 연산에 대해 알아보세요."x mod y" 연산(mod는 라틴어 "modulo", 즉 "module"의 약어)은 "x를 y로 나누고 나머지를 찾는다"는 의미입니다. 즉, 모듈러 연산에서 특정 값에 도달하면 이를 호출합니다. 기준 치수, 숫자는 다시 0으로 "전환"됩니다. 예를 들어, 시계는 모듈러스 12로 시간을 유지합니다. 즉, 10시, 11시, 12시를 표시한 다음 1로 돌아갑니다.

많은 계산기에는 모드 키가 있습니다. 이 섹션의 끝 부분에서는 큰 숫자에 대해 이 함수를 수동으로 평가하는 방법을 보여줍니다.

페르마의 작은 정리의 함정에 대해 알아보세요.테스트 조건을 충족하지 못한 숫자는 모두 합성이지만, 나머지 숫자는 ~할 것 같은단순으로 분류됩니다. 잘못된 결과를 피하려면 다음을 찾으십시오. N"카마이클 수"(이 테스트를 만족하는 합성수) 및 "의사 페르마 수" 목록(이 숫자는 일부 값에 대해서만 테스트 조건을 충족함) 에이).

편리하다면 Miller-Rabin 테스트를 사용하십시오.이 방법은 수동으로 계산하기에는 상당히 번거롭지만, 다음과 같은 경우에 자주 사용됩니다. 컴퓨터 프로그램. Fermat의 방법보다 허용 가능한 속도를 제공하고 오류가 더 적습니다. 값의 ¼ 이상에 대해 계산이 이루어지면 합성수는 소수로 허용되지 않습니다. 에이. 무작위로 선택하면 다른 의미 에이그리고 그들 모두에 대해 테스트는 긍정적인 결과를 줄 것입니다. 우리는 상당히 높은 수준의 확신을 가지고 다음과 같이 가정할 수 있습니다. N소수입니다.

큰 수의 경우 모듈러 연산을 사용합니다.모드가 포함된 계산기가 없거나 계산기가 그렇게 큰 숫자를 처리하도록 설계되지 않은 경우 거듭제곱의 속성과 모듈식 연산을 사용하여 계산을 더 쉽게 만드세요. 아래는 이에 대한 예입니다. 3 50 (\displaystyle 3^(50))모드 50:

표현식을 보다 편리한 형식(mod 50)으로 다시 작성하십시오. 수동 계산을 수행할 때 추가 단순화가 필요할 수 있습니다.
(3 25 * 3 25) (\표시스타일 (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. 여기서 우리는 모듈러 곱셈의 속성을 고려했습니다.
3 25 (\displaystyle 3^(25))모드 50 = 43.
(3 25 (\displaystyle (3^(25))모드 50 ¡ 3 25 (\displaystyle *3^(25))모드 50) 모드 50 = (43 * 43) (\displaystyle (43*43))모드 50.
= 1849 (\displaystyle =1849)모드 50.
= 49 (\displaystyle =49).