직각에서 중앙분리대의 길이입니다. 중앙값


입문자 수준

중앙값. 비주얼 가이드 (2019)

1. 중앙값은 무엇입니까?

매우 간단합니다!

삼각형을 선택하세요.

측면 중 하나에 가운데를 표시하십시오.

그리고 반대쪽 꼭지점에 연결해주세요!

결과 라인 그리고 중간값이 있어요.

2. 중앙값의 속성.

중앙값은 어떤 좋은 특성을 갖고 있나요?

1) 삼각형이 다음과 같다고 상상해보자 직사각형.그런 것들도 있잖아요?

왜??? 직각이 그것과 무슨 관련이 있습니까?

주의깊게 관찰해보자. 그냥 삼각형이 아니라... 직사각형이군요. 왜요?

하지만 당신은 지구 위를 걷고 있습니다. 지구가 둥글다는 것을 아시나요? 아니요, 물론 이렇게 하려면 우주에서 지구를 바라보아야 합니다. 그래서 우리는 "우주에서" 직각 삼각형을 봅니다.

대각선을 그려 봅시다:

직사각형의 대각선을 기억하시나요? 동일한그리고 공유하다교차점 반으로? (기억나지 않는다면 주제를 보세요)

이는 두 번째 대각선의 절반이 우리 것이라는 것을 의미합니다. 중앙값. 대각선은 동일하며 그 절반도 마찬가지입니다. 그게 우리가 얻을거야

우리는 이 진술을 증명하지는 않을 것이지만 그것을 믿으려면 스스로 생각해 보십시오. 직사각형 외에 대각선이 같은 평행사변형이 또 있습니까? 물론 그렇지 않습니다! 글쎄, 그것은 중앙값이 다음에서만 변의 절반과 같을 수 있다는 것을 의미합니다. 직각삼각형.

이 속성이 문제 해결에 어떻게 도움이 되는지 살펴보겠습니다.

여기, 일:
측면으로; . 위에서부터 그린다 중앙값. 있는지 찾아보세요.

만세! 피타고라스의 정리를 적용할 수 있어요! 얼마나 대단한지 보세요? 우리가 그걸 몰랐다면 중앙값반쪽과 같습니다

피타고라스 정리를 적용합니다.

2) 이제 우리가 하나만 가지지 말고 전체를 가지자 3개의 중앙값! 그들은 어떻게 행동합니까?

아주 많이 기억해 중요한 사실:

어려운? 사진을보세요 :

중앙값은 한 지점에서 교차합니다.

그리고….(우리는 이것을 증명하지만 지금은 기억하다!):

  • - 두 배;
  • - 두 배;
  • - 2배나 됩니다.

아직 피곤하지 않나요? 다음 예시를 위해 충분히 강해지셨나요? 이제 우리가 이야기한 모든 것을 적용해 보겠습니다!

일: 삼각형에는 중앙값이 있고 한 점에서 교차합니다. 찾기

피타고라스의 정리를 이용하여 알아봅시다:

이제 중앙값의 교차점에 대한 지식을 적용해 보겠습니다.

그것을 정의해 봅시다. 세그먼트, a. 모든 것이 명확하지 않으면 그림을보십시오.

우리는 이미 그것을 발견했습니다.

수단, ; .

문제에서는 세그먼트에 대한 질문을 받습니다.

우리 표기법에서는.

답변: .

마음에 들었나요? 이제 중앙값에 대한 지식을 직접 적용해 보세요!

중앙값. 중간 레벨

1. 중앙값은 측면을 반으로 나눕니다.

그게 다야? 아니면 그녀가 다른 것을 반으로 나눌 수도 있습니까? 상상해보세요!

2. 정리: 중앙값은 면적을 절반으로 나눕니다.

왜? 삼각형 영역의 가장 간단한 형태를 기억합시다.

그리고 우리는 이 공식을 두 번 적용합니다!

보세요, 중앙값은 두 개의 삼각형으로 나뉩니다. 하지만! 키가 똑같네요-! 이 높이에서만 측면으로 떨어지고 - 계속되는 쪽에서. 놀랍게도 이런 일도 발생합니다. 삼각형은 다르지만 높이는 동일합니다. 이제 공식을 두 번 적용하겠습니다.

이것은 무엇을 의미합니까? 사진을보세요. 실제로 이 정리에는 두 가지 진술이 있습니다. 이것을 눈치채셨나요?

첫 번째 진술:중앙값은 한 지점에서 교차합니다.

두 번째 진술:중앙값의 교점은 정점을 기준으로 비율로 나누어집니다.

이 정리의 비밀을 밝혀 봅시다.

점들을 연결해 봅시다. 무슨 일이에요?

이제 또 다른 중간 선을 그려 봅시다. 가운데를 표시하고 - 점을 찍고, 가운데를 표시하고 - 점을 찍으세요.

이제 - 중간 선. 즉

  1. 평행한;

우연의 일치를 발견하셨나요? 및 둘 다 평행합니다. 그리고, 그리고.

이것으로부터 무엇이 나오나요?

  1. 평행한;

물론, 평행사변형에만 해당됩니다!

이는 평행사변형이라는 뜻입니다. 그래서 뭐? 평행사변형의 특성을 기억해 봅시다. 예를 들어, 평행사변형의 대각선에 대해 무엇을 알고 있나요? 맞습니다. 교차점을 기준으로 반으로 나뉩니다.

다시 그림을 살펴보겠습니다.

즉, 중앙값을 점으로 나누어 3개의 동일한 부분으로 나눕니다. 그리고 똑같습니다.

이는 두 중앙값이 비율의 한 점, 즉 and로 분리되었음을 의미합니다.

세 번째 중앙값은 어떻게 되나요? 처음으로 돌아가 보겠습니다. 아, 공포?! 아니요, 이제 모든 것이 훨씬 짧아질 것입니다. 중위수를 버리고 중위수를 해보자.

이제 우리가 중앙값과 동일한 추론을 수행했다고 상상해보십시오. 그럼 어쩌지?

중앙값은 중앙값을 정확히 같은 방식으로 나누는 것으로 나타났습니다. 즉, 점에서 계산되는 비율로 나타납니다.

그러나 점을 기준으로 세어 보면 세그먼트를 비율로 나누는 점이 몇 개나 있을 수 있습니까?

물론 딱 한개! 그리고 우리는 이미 그것을 보았습니다. 그것이 요점입니다.

결국 무슨 일이 일어났나요?

중앙값은 확실히 통과했습니다! 중앙값 3개가 모두 통과했습니다. 그리고 위에서부터 세어가며 모든 사람의 태도가 나뉘어졌습니다.

그래서 우리는 정리를 해결(증명)했습니다. 해결책은 삼각형 안에 있는 평행사변형으로 밝혀졌습니다.

4. 중앙값 길이 공식

측면을 알고 있는 경우 중앙값의 길이를 구하는 방법은 무엇입니까? 이것이 정말로 필요합니까? 끔찍한 비밀을 밝혀봅시다. 이 공식은 그다지 유용하지 않습니다. 그러나 여전히 우리는 그것을 작성하겠지만 증명하지는 않을 것입니다(증명에 관심이 있다면 다음 단계를 참조하십시오).

왜 이런 일이 일어나는지 어떻게 이해할 수 있습니까?

주의깊게 관찰해보자. 삼각형이 아니라 직사각형이군요.

그럼 직사각형을 생각해 봅시다.

우리 삼각형이 정확히 이 직사각형의 절반이라는 것을 눈치채셨나요?

대각선을 그려보자

직사각형의 대각선은 동일하고 교차점을 이등분한다는 것을 기억하십니까? (기억나지 않는다면 주제를 보세요)
하지만 대각선 중 하나는 빗변입니다! 이는 대각선의 교차점이 빗변의 중앙이라는 것을 의미합니다. 그것은 우리 것이라고 불렸습니다.

이는 두 번째 대각선의 절반이 중앙값임을 의미합니다. 대각선은 동일하며 그 절반도 마찬가지입니다. 그게 우리가 얻을거야

게다가 이것은 직각 삼각형에서만 발생합니다!

우리는 이 진술을 증명하지는 않을 것이지만 그것을 믿으려면 스스로 생각해 보십시오. 직사각형 외에 대각선이 같은 평행사변형이 또 있습니까? 물론 그렇지 않습니다! 글쎄요, 이는 중앙값이 직각삼각형에서만 변의 절반과 같을 수 있다는 것을 의미합니다. 이 속성이 문제 해결에 어떻게 도움이 되는지 살펴보겠습니다.

작업은 다음과 같습니다.

측면으로; . 중앙값은 정점에서 그려집니다. 있는지 찾아보세요.

만세! 피타고라스의 정리를 적용할 수 있어요! 얼마나 대단한지 보세요? 중앙값이 측면의 절반이라는 사실을 몰랐다면 직각삼각형에서만, 이 문제를 해결할 수 있는 방법은 없습니다. 이제 우리는 할 수 있습니다!

피타고라스 정리를 적용합니다.

중앙값. 주요 사항에 대해 간략하게

1. 중앙값은 측면을 반으로 나눕니다.

2. 정리: 중앙값은 면적을 절반으로 나눕니다.

4. 중앙값 길이 공식

역정리:중앙값이 변의 절반과 같으면 삼각형은 직각이고 이 중앙값은 빗변에 그려집니다.

자, 주제는 끝났습니다. 이 글을 읽고 있다면 당신이 매우 멋지다는 뜻입니다.

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문제를 찾아 해결해보세요!

1. 중앙값은 삼각형을 면적이 같은 두 개의 삼각형으로 나눕니다.

2. 삼각형의 중앙값은 한 지점에서 교차하며, 꼭지점부터 계산하여 각각을 2:1의 비율로 나눕니다. 이 지점은 무게중심삼각형.

3. 전체 삼각형은 중앙값에 따라 6개의 동일한 삼각형으로 나뉩니다.

삼각형 이등분선의 속성

1. 각의 이등분선은 이 각의 변으로부터 등거리에 있는 점들의 자취입니다.

2. 삼각형 내각의 이등분선은 반대쪽을 인접한 변에 비례하는 세그먼트로 나눕니다.

3. 삼각형의 이등분선의 교점은 이 삼각형에 내접하는 원의 중심입니다.

삼각형 고도의 속성

1. 직각삼각형에서는 직각의 꼭지점에서 고도를 그려서 원래 삼각형과 비슷하게 두 개의 삼각형으로 나눕니다.

2. 예각 삼각형에서는 두 개의 고도가 유사한 삼각형을 차단합니다. 삼각형.

삼각형의 수직이등분선의 성질

1. 선분에 대한 수직이등분선의 각 점은 이 선분의 끝에서 등거리에 있습니다. 그 반대도 마찬가지입니다. 선분의 끝에서 등거리에 있는 모든 점은 선분의 수직 이등분선에 있습니다.

2. 삼각형의 변에 그려진 수직 이등분선의 교점은 이 삼각형에 외접하는 원의 중심입니다.

삼각형의 정중선의 성질

삼각형의 중심선은 한 변과 평행하고 그 변의 절반과 같습니다.

삼각형의 유사성

두 개의 삼각형 비슷한다음 조건 중 하나에 해당하는 경우 유사성의 징후:

· 한 삼각형의 두 각도는 다른 삼각형의 두 각도와 같습니다.

· 한 삼각형의 두 변은 다른 삼각형의 두 변에 비례하고, 두 변이 이루는 각도는 같습니다.

· 한 삼각형의 세 변은 각각 다른 삼각형의 세 변에 비례합니다.

유사 삼각형에서 해당 선(고도, 중앙값, 이등분선 등)은 비례합니다.

사인의 정리

코사인 정리

2= 비 2+ c 2- 2기원전코사인

삼각형 면적 공식

1. 프리 트라이앵글

가, 비, ㄷ -측면; - 측면 사이의 각도 에이그리고 비; - 반 둘레; 아르 자형-외접원 반경; 아르 자형-내접원의 반경; 에스-정사각형; 하아 -끌어당겨진 높이 옆 에이.

S = 아아

S = 절대 죄

에스 = 홍보

2. 직각삼각형

가, 비 -다리; 기음-빗변; h c -옆으로 끌어당긴 높이 기음.

S = ch c S = ab

3. 정삼각형

사변형

평행사변형의 속성

· 반대쪽은 동일합니다.

· 반대 각도는 동일합니다.

· 대각선은 교차점을 기준으로 반으로 나뉩니다.

· 한 변에 인접한 각도의 합은 180°입니다.

대각선의 제곱의 합은 모든 변의 제곱의 합과 같습니다.

d 1 2 +d 2 2 =2(a 2 +b 2).

다음과 같은 경우 사각형은 평행사변형입니다.

1. 마주보는 두 변이 동일하고 평행하다.

2. 반대편은 쌍으로 동일합니다.

3. 반대 각도는 쌍으로 동일합니다.

4. 대각선은 교차점을 기준으로 반으로 나뉩니다.

사다리꼴의 속성

· 그 중간선은 밑면과 평행하고 그 절반합과 같습니다.

· 사다리꼴이 이등변이면 대각선이 같고 밑변의 각도도 같습니다.

· 사다리꼴이 이등변이면 그 주위에 원이 묘사될 수 있습니다.

· 밑변의 합이 변의 합과 같으면 그 안에 원이 새겨질 수 있습니다.

직사각형 속성

대각선은 동일합니다.

평행사변형은 다음과 같은 경우 직사각형입니다.

1. 각 중 하나가 직선입니다.

2. 대각선이 같습니다.

마름모의 속성

· 평행사변형의 모든 속성;

대각선은 수직입니다.

대각선은 각도의 이등분선입니다.

1. 평행사변형은 다음과 같은 경우 마름모입니다.

2. 인접한 두 변이 같습니다.

3. 대각선은 수직이다.

4. 대각선 중 하나는 해당 각도의 이등분선입니다.

정사각형의 속성

· 사각형의 모든 모서리가 옳습니다.

· 정사각형의 대각선은 동일하고 서로 수직이며 교차점은 정사각형의 모서리를 이등분하고 이등분합니다.

직사각형은 마름모의 특성을 가지면 정사각형입니다.

기본 공식

1. 볼록한 사각형
디 1,일 2 -대각선; - 그들 사이의 각도; 에스-정사각형.

S = 디 1 디 2 죄

어떤 주제를 공부할 때 학교 과정해결 방법을 숙지하고 특정 최소한의 문제를 선택할 수 있으며, 학생들은 공부 중인 주제에 대한 프로그램 요구 사항 수준에서 모든 문제를 해결할 수 있습니다. 나는 학교 수학 과정에서 개별 주제의 상호 관계를 볼 수 있는 문제를 고려할 것을 제안합니다. 따라서 컴파일된 작업 시스템은 다음과 같습니다. 효과적인 수단반복, 일반화, 체계화 교육 자료학생들이 시험을 준비하는 동안.

시험에 합격하려면 삼각형의 일부 요소에 대한 추가 정보를 아는 것이 유용할 것입니다. 삼각형의 중앙값의 속성과 이러한 속성을 사용할 수 있는 문제를 해결하는 문제를 고려해 보겠습니다. 제안된 작업은 수준 차별화 원칙을 구현합니다. 모든 작업은 조건에 따라 레벨로 나뉩니다. 레벨은 각 작업 뒤의 괄호 안에 표시됩니다.

삼각형의 중앙값의 몇 가지 속성을 기억해 봅시다.

속성 1. 삼각형의 중앙값을 증명하세요. 알파벳, 정점에서 그려짐 에이, 변의 합이 절반 미만 AB그리고 A.C..

증거

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

속성 2. 중앙값은 삼각형을 두 개의 동일한 영역으로 자릅니다.

증거

삼각형 ABC의 꼭지점 B에서 중앙값 BD와 높이 BE를 그려보겠습니다..gif" alt="Area" width="82" height="46">!}

세그먼트 BD가 중앙값이므로

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="중앙값" align="left" width="196" height="75 src=">!} 속성 4. 삼각형의 중앙값은 삼각형을 6개의 동일한 삼각형으로 나눕니다.

증거

중앙값이 삼각형 ABC를 나누는 6개의 삼각형 각각의 넓이가 삼각형 ABC의 넓이와 같다는 것을 증명해 보겠습니다. 이를 수행하려면 예를 들어 삼각형 AOF를 고려하고 정점 A에서 선 BF까지 수직 AK를 놓습니다.

속성 2로 인해

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="중앙값" align="left" width="105" height="132 src=">!}

재산 6. 직각 꼭지점에서 그린 직각 삼각형의 중앙값은 빗변의 절반과 같습니다.

증거

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="중앙값" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

결과:1. 직각 삼각형에 외접하는 원의 중심은 빗변의 중앙에 있습니다.

2. 삼각형에서 중앙값의 길이가 그려진 변의 길이의 절반과 같으면 이 삼각형은 직각입니다.

작업

각 후속 문제를 해결할 때 입증된 속성이 사용됩니다.

№1 주제: 중앙값을 두 배로 늘리기. 난이도: 2+

평행사변형의 표시 및 속성 등급: 8,9

상태

중앙값 지속 시 오전.삼각형 알파벳포인트당 중연기된 구간 MD, 동일한 오전.. 사각형임을 증명하라 ABDC- 평행사변형.

해결책

평행사변형의 기호 중 하나를 사용해 봅시다. 사각형의 대각선 ABDC한 지점에서 교차 중그리고 그것을 반으로 나누면 사각형이 됩니다. ABDC- 평행사변형.

중앙값은 삼각형의 꼭지점에서 반대쪽 변의 중앙까지 그려진 선분입니다. 즉, 교차점에서 이를 반으로 나눕니다. 중앙값이 중앙값이 나오는 정점의 반대편과 교차하는 지점을 밑면이라고 합니다. 삼각형의 각 중앙값은 교차점이라고 하는 한 점을 통과합니다. 길이에 대한 공식은 여러 가지 방법으로 표현될 수 있습니다.

중앙값의 길이를 표현하는 공식

  • 종종 기하학 문제에서 학생들은 삼각형의 중앙값과 같은 선분을 다루어야 합니다. 길이에 대한 공식은 측면으로 표현됩니다.

여기서 a, b, c는 변입니다. 또한 c는 중앙값이 떨어지는 쪽입니다. 이것이 바로 그 모습이다 간단한 공식. 보조 계산을 위해 삼각형의 중앙값이 필요한 경우가 있습니다. 다른 공식도 있습니다.

  • 계산 중에 삼각형의 두 변과 그 사이에 위치한 특정 각도 α가 알려진 경우 세 번째 변으로 낮아진 삼각형의 중앙값 길이는 다음과 같이 표현됩니다.

기본 속성

  • 모든 중앙값은 하나의 공통 교차점 O를 가지며 꼭지점에서 계산할 경우 2:1의 비율로 나누어집니다. 이 점을 삼각형의 무게중심이라고 합니다.
  • 중앙값은 삼각형을 면적이 같은 다른 두 개로 나눕니다. 이러한 삼각형을 동일 면적이라고 합니다.
  • 중앙값을 모두 그리면 삼각형은 6개의 동일한 도형으로 나누어지며, 이 도형 역시 삼각형이 됩니다.
  • 삼각형의 세 변이 모두 같다면 각 중앙값은 고도와 이등분선이 됩니다. 즉, 삼각형이 그려지는 변에 수직이고 삼각형이 나오는 각도를 이등분합니다.
  • 이등변삼각형에서 다른 변과 같지 않은 변의 반대편 꼭지점에서 뽑아낸 중앙값도 고도와 이등분선이 됩니다. 다른 정점에서 떨어진 중앙값은 동일합니다. 이는 이등변형의 필요충분조건이기도 하다.
  • 삼각형이 일반 피라미드의 밑면인 경우 이 밑면에 떨어진 높이는 모든 중앙값의 교차점에 투영됩니다.

  • 직각 삼각형에서 가장 긴 변에 그려진 중앙값은 길이의 절반과 같습니다.
  • O를 삼각형 중앙값의 교차점으로 설정합니다. 아래 공식은 모든 점 M에 적용됩니다.

  • 삼각형의 중앙값은 또 다른 속성을 가지고 있습니다. 변의 제곱을 통한 길이의 제곱 공식은 다음과 같습니다.

중앙분리대가 그려지는 면의 속성

  • 중앙값의 두 교차점을 중앙값이 떨어진 면과 연결하면 결과 세그먼트는 삼각형의 중앙선이 되고 공통점이 없는 삼각형 측면의 절반이 됩니다.
  • 삼각형의 고도와 중앙값의 밑변과 삼각형의 꼭지점과 고도의 교차점을 연결하는 선분의 ​​중간점은 동일한 원 위에 있습니다.

결론적으로 가장 중요한 부분 중 하나가 삼각형의 중앙값이라고 말하는 것이 논리적입니다. 이 공식을 사용하여 다른 변의 길이를 구할 수 있습니다.