Hvorfor er medianen lik halve hypotenusen? Egenskaper til medianen til en rettvinklet trekant

En median er et segment trukket fra toppen av en trekant til midten av motsatt side, det vil si at den deler den i to i skjæringspunktet. Punktet der medianen skjærer siden motsatt toppunktet den kommer ut fra kalles basen. Hver median av trekanten går gjennom ett punkt, kalt skjæringspunktet. Formelen for lengden kan uttrykkes på flere måter.

Formler for å uttrykke lengden på medianen

Ofte i geometrioppgaver må elevene forholde seg til et segment som medianen til en trekant. Formelen for lengden er uttrykt i form av sider:

hvor a, b og c er sidene. Dessuten er c siden som medianen faller på. Slik ser det ut enkel formel. Medianer av en trekant er noen ganger nødvendig for hjelpeberegninger. Det finnes andre formler.

Hvis det under beregningen er kjent to sider av en trekant og en viss vinkel α plassert mellom dem, vil lengden på trekantens median, senket til den tredje siden, bli uttrykt som følger.

Grunnleggende egenskaper

Alle medianer har ett felles skjæringspunkt O og deles på det i forholdet to til én, hvis det telles fra toppunktet. Dette punktet kalles trekantens tyngdepunkt.
Medianen deler trekanten i to andre hvis arealer er like. Slike trekanter kalles likt areal.
Hvis du tegner alle medianene, vil trekanten deles inn i 6 like figurer, som også vil være trekanter.
Hvis alle tre sidene i en trekant er like, vil hver av medianene også være en høyde og en halveringslinje, det vil si vinkelrett på siden den er tegnet til, og halverer vinkelen den kommer ut fra.
I en likebenet trekant vil medianen trukket fra toppunktet som er motsatt siden som ikke er lik noen annen også være høyden og halveringslinjen. Medianene som faller fra andre hjørner er like. Dette er også en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for likebenete.
Hvis en trekant er basen til en vanlig pyramide, projiseres høyden som faller til denne basen til skjæringspunktet mellom alle medianer.

I en rettvinklet trekant er medianen trukket til den lengste siden lik halvparten av lengden.
La O være skjæringspunktet for trekantens medianer. Formelen nedenfor vil være sann for ethvert punkt M.

Medianen til en trekant har en annen egenskap. Formelen for kvadratet av lengden gjennom kvadratene på sidene er presentert nedenfor.

Egenskaper til sidene som medianen er trukket til

Hvis du kobler to skjæringspunkter mellom medianene med sidene de er sluppet på, vil det resulterende segmentet være midtlinjen til trekanten og være halvparten av siden av trekanten som det ikke har felles punkter med.
Basene til høydene og medianene i en trekant, samt midtpunktene til segmentene som forbinder trekantens toppunkter med skjæringspunktet mellom høydene, ligger på samme sirkel.

Avslutningsvis er det logisk å si at et av de viktigste segmentene er medianen til trekanten. Formelen kan brukes til å finne lengdene på de andre sidene.

Når du studerer et emne skolekurs det er mulig å velge et visst minimum av problemer, etter å ha mestret metodene for å løse som, studentene vil være i stand til å løse ethvert problem på nivå med programkravene om emnet som studeres. Jeg foreslår å vurdere problemer som vil tillate deg å se sammenhengene mellom individuelle emner i skolematematikkkurset. Derfor er det kompilerte oppgavesystemet effektive midler repetisjon, generalisering og systematisering undervisningsmateriell mens du forbereder studentene til eksamen.

For å bestå eksamen vil det være nyttig å ha tilleggsinformasjon om noen av elementene i trekanten. La oss vurdere egenskapene til medianen til en trekant og problemer med å løse hvilke egenskaper som kan brukes. De foreslåtte oppgavene implementerer prinsippet om nivådifferensiering. Alle oppgaver er betinget delt inn i nivåer (nivået er angitt i parentes etter hver oppgave).

La oss huske noen egenskaper til medianen til en trekant

Eiendom 1. Bevis at medianen av en trekant ABC, trukket fra toppunktet EN, mindre enn halvparten av summen av sidene AB Og A.C..

Bevis

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

Eiendom 2. Medianen kutter trekanten i to like områder.

Bevis

La oss tegne fra toppunktet B i trekanten ABC medianen BD og høyden BE..gif" alt="Area" width="82" height="46">!}

Siden segmentet BD er medianen, da

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Median" align="left" width="196" height="75 src=">!} Eiendom 4. Medianene til en trekant deler trekanten i 6 like trekanter.

Bevis

La oss bevise at arealet til hver av de seks trekantene som medianene deler trekanten ABC i er lik arealet av trekanten ABC. For å gjøre dette, vurdere for eksempel trekant AOF og slipp en vinkelrett AK fra toppunkt A til linje BF.

På grunn av eiendom 2,

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Median" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Eiendom 6. Median i en rettvinklet trekant tegnet fra et toppunkt rett vinkel, er lik halve hypotenusen.

Bevis

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Median" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Konsekvenser:1. Senter beskrevet om rettvinklet trekant sirkelen ligger midt på hypotenusen.

2. Hvis lengden på medianen i en trekant er lik halvparten av lengden på siden den er tegnet til, så er denne trekanten rettvinklet.

OPPGAVER

Når du løser hvert påfølgende problem, brukes påviste egenskaper.

№1 Emner: Dobling av medianen. Vanskelighetsgrad: 2+

Tegn og egenskaper ved et parallellogram Karakterer: 8,9

Betingelse

På fortsettelse av medianen ER. triangel ABC per poeng M segmentet utsatt M.D., lik ER.. Bevis at firkanten ABDC- parallellogram.

Løsning

La oss bruke et av tegnene til et parallellogram. Diagonaler til en firkant ABDC skjære i et punkt M og del den i to, så firkanten ABDC- parallellogram.

1. Medianen deler en trekant i to trekanter med lik areal.

2. Medianene til trekanten skjærer hverandre i ett punkt, som deler hver av dem i forholdet 2:1, regnet fra toppunktet. Dette punktet kalles tyngdepunkt triangel.

3. Hele trekanten er delt med medianene i seks like trekanter.

Egenskaper til halveringslinjer for trekant

1. Halveringslinjen til en vinkel er stedet for punkter like langt fra sidene av denne vinkelen.

2. Halveringslinjen til den indre vinkelen til en trekant deler den motsatte siden i segmenter proporsjonale med de tilstøtende sidene: .

3. Skjæringspunktet mellom halveringslinjene til en trekant er sentrum av sirkelen som er innskrevet i denne trekanten.

Egenskaper for trekanthøyder

1. I en rettvinklet trekant deler høyden trukket fra toppunktet til den rette vinkelen den i to trekanter som ligner den opprinnelige.

2. I en spiss trekant avskjærer to av dens høyder tilsvarende høyder fra den trekanter.

Egenskaper til vinkelrette halveringslinjer i en trekant

1. Hvert punkt i den vinkelrette halveringslinjen til et segment er like langt fra endene av dette segmentet. Det motsatte er også sant: hvert punkt som er like langt fra endene av et segment ligger på den vinkelrette halveringslinjen til det.

2. Skjæringspunktet for de vinkelrette halveringslinjene trukket til sidene av trekanten er sentrum av sirkelen som er omskrevet rundt denne trekanten.

Egenskapen til midtlinjen i en trekant

Midtlinjen til en trekant er parallell med en av sidene og lik halvparten av den siden.

Likhet mellom trekanter

To trekanter lignende hvis en av følgende forhold, kalt tegn på likhet:

· to vinkler i en trekant er lik to vinkler i en annen trekant;

· to sider av en trekant er proporsjonale med to sider av en annen trekant, og vinklene som dannes av disse sidene er like;

· tre sider av en trekant er proporsjonal med tre sider av en annen trekant.

I lignende trekanter er de tilsvarende linjene (høyder, medianer, halveringslinjer, etc.) proporsjonale.

Teorem for sinus

Cosinus teorem

en 2= b 2+ c 2- 2f.Kr cos

Trekantarealformler

1. Gratis trekant

a, b, c - sider; - vinkel mellom sidene en Og b; - semi-perimeter; R- omskrevet sirkelradius; r- radius av den innskrevne sirkelen; S- kvadrat; h a - høyde trukket til side en.

S = ah a

S = ab sin

S = pr

2. Rettvinklet trekant

a, b - ben; c- hypotenuse; h c - høyde trukket til siden c.

S = lm c S = ab

3. Likesidet trekant

Firkanter

Egenskaper til et parallellogram

· motsatte sider er like;

· motsatte vinkler er like;

· diagonaler er delt i to av skjæringspunktet;

· summen av vinkler ved siden av den ene siden er 180°;

Summen av kvadratene til diagonalene er lik summen av kvadratene på alle sider:

d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2).

En firkant er et parallellogram hvis:

1. Dens to motsatte sider er like og parallelle.

2. Motstående sider er like i par.

3. Motstående vinkler er like parvis.

4. Diagonalene er delt i to av skjæringspunktet.

Egenskaper til en trapes

· dens midtlinje er parallell med basene og lik deres halvsum;

· hvis trapesen er likebenet, så er diagonalene like og vinklene ved basen like;

· hvis trapesen er likebenet, kan en sirkel beskrives rundt den;

· hvis summen av basene er lik summen av sidene, kan en sirkel skrives inn i den.

Rektangelegenskaper

Diagonalene er like.

Et parallellogram er et rektangel hvis:

1. En av vinklene er rett.

2. Dens diagonaler er like.

Egenskaper til en rombe

· alle egenskapene til et parallellogram;

Diagonaler er vinkelrette;

Diagonalene er halveringslinjene til vinklene.

1. Et parallellogram er en rombe hvis:

2. Dens to tilstøtende sider er like.

3. Dens diagonaler er vinkelrette.

4. En av diagonalene er halveringslinjen for vinkelen.

Egenskaper til et kvadrat

· alle hjørner av firkanten er rett;

· diagonalene til et kvadrat er like, innbyrdes perpendikulære, skjæringspunktet halverer og halverer hjørnene av kvadratet.

Et rektangel er et kvadrat hvis det har noen egenskaper til en rombe.

Grunnleggende formler

1. Enhver konveks firkant
d 1,d 2 - diagonaler; - vinkelen mellom dem; S- kvadrat.

S = d 1 d 2 synd

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere bestemt person eller forbindelse med ham.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, adresse e-post osv.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

Samlet av oss personlig informasjon lar oss kontakte deg og informere deg om unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

Om nødvendig, i samsvar med loven, rettslig prosedyre, V rettssak, og/eller basert på offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige etater på den russiske føderasjonens territorium - oppgi din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.