En trekant er en polygon med tre sider, eller en lukket stiplet linje med tre ledd, eller en figur dannet av tre segmenter som forbinder tre punkter som ikke ligger på samme rette linje (se fig. 1).

Grunnleggende elementer i trekant abc

Topper – punktene A, B og C;

Fester – segmentene a = BC, b = AC og c = AB som forbinder toppunktene;

Vinkler – α, β, γ dannet av tre par med sider. Vinkler er ofte utpekt på samme måte som hjørner, med bokstavene A, B og C.

Vinkelen som dannes av sidene av en trekant og som ligger i dens indre område kalles en indre vinkel, og den som grenser til den er den tilstøtende vinkelen til trekanten (2, s. 534).

Høyder, medianer, halveringslinjer og midtlinjer i en trekant

I tillegg til hovedelementene i en trekant, vurderes også andre segmenter med interessante egenskaper: høyder, medianer, halveringslinjer og midtlinjer.

Høyde

Trekanthøyder- dette er perpendikulære lodd fra trekantens toppunkter til motsatte sider.

For å plotte høyden må du utføre følgende trinn:

1) tegne en rett linje som inneholder en av sidene av trekanten (hvis høyden er trukket fra toppunktet til en spiss vinkel i en stump trekant);

2) fra toppunktet som ligger overfor den tegnede linjen, tegn et segment fra punktet til denne linjen, og lag en vinkel på 90 grader med det.

Punktet der høyden skjærer siden av trekanten kalles høyde base (se fig. 2).

Egenskaper for trekanthøyder

I en rettvinklet trekant, høyden trukket fra toppunktet rett vinkel, deler den i to trekanter som ligner den opprinnelige trekanten.

I en spiss trekant avskjærer dens to høyder lignende trekanter fra den.

Hvis trekanten er spiss, hører alle høydebasene til sidene av trekanten, og i en stump trekant faller to høyder på fortsettelsen av sidene.

Tre høyder i en spiss trekant skjærer hverandre i ett punkt og dette punktet kalles ortosenter triangel.

Median

Medianer(fra latin mediana – «midt») - dette er segmenter som forbinder trekantens toppunkter med midtpunktene på de motsatte sidene (se fig. 3).

For å konstruere medianen må du utføre følgende trinn:

1) finn midten av siden;

2) koble punktet som er midten av siden av trekanten med motsatt toppunkt med et segment.

Egenskaper til trekantmedianer

Medianen deler en trekant i to trekanter med lik areal.

Medianene til en trekant skjærer hverandre i ett punkt, som deler hver av dem i forholdet 2:1, regnet fra toppunktet. Dette punktet kalles tyngdepunkt triangel.

Hele trekanten er delt med medianene i seks like trekanter.

Bisector

Halvledere(fra latin bis - to ganger og seko - cut) er de rette linjesegmentene innelukket i en trekant som halverer vinklene (se fig. 4).

For å konstruere en halveringslinje, må du utføre følgende trinn:

1) konstruer en stråle som kommer ut fra vinkelens toppunkt og deler den i to like deler (halveringslinjen til vinkelen);

2) finn skjæringspunktet for halveringslinjen til trekantens vinkel med motsatt side;

3) velg et segment som forbinder trekantens toppunkt med skjæringspunktet på motsatt side.

Egenskaper til halveringslinjer for trekant

Halveringslinjen til en vinkel i en trekant deler den motsatte siden i et forhold som er lik forholdet mellom de to tilstøtende sidene.

Halveringslinjene til de indre vinklene til en trekant skjærer hverandre i ett punkt. Dette punktet kalles midten av den innskrevne sirkelen.

Halveringslinjene til de indre og ytre vinklene er vinkelrette.

Hvis halveringslinjen til en ytre vinkel av en trekant skjærer forlengelsen av den motsatte siden, så ADBD=ACBC.

Halveringslinjene til en indre og to ytre vinkler i en trekant skjærer hverandre i ett punkt. Dette punktet er sentrum av en av de tre eksirklene i denne trekanten.

Basene til halveringslinjen til to indre og en ytre vinkel i en trekant ligger på samme rette linje hvis halveringslinjen til den ytre vinkelen ikke er parallell med motsatt side av trekanten.

Hvis halveringslinjene til de ytre vinklene til en trekant ikke er parallelle med motsatte sider, ligger deres base på samme rette linje.

Inngangsnivå

Median. Visuell guide (2019)

1. Hva er medianen?

Det er veldig enkelt!

Ta en trekant:

Merk midten på en av sidene.

Og koble til motsatt toppunkt!

Den resulterende linjen og det er en median.

2. Egenskaper til medianen.

Hvilke gode egenskaper har medianen?

1) La oss forestille oss at trekanten er rektangulær. Det finnes slike ting, ikke sant?

Hvorfor??? Hva har en rett vinkel med det å gjøre?

La oss følge nøye med. Bare ikke en trekant, men... et rektangel. Hvorfor, spør du?

Men du går på jorden - ser du at den er rund? Nei, selvfølgelig, for å gjøre dette må du se på jorden fra verdensrommet. Så vi ser på den rette trekanten vår "fra verdensrommet".

La oss tegne en diagonal:

Husker du at diagonalene til et rektangel lik Og dele skjæringspunkt i halvparten? (Hvis du ikke husker det, se på emnet)

Dette betyr at halvparten av den andre diagonalen er vår median. Diagonalene er like, og deres halvdeler, selvfølgelig, også. Det er det vi får

Vi vil ikke bevise denne påstanden, men for å tro det, tenk selv: finnes det noe annet parallellogram med like diagonaler enn et rektangel? Selvfølgelig ikke! Vel, det betyr at medianen kan være lik halve siden bare inn rettvinklet trekant.

La oss se hvordan denne egenskapen hjelper til med å løse problemer.

Her, oppgave:
Til sidene; . Tegnet fra toppen median. Finn hvis.

Hurra! Du kan bruke Pythagoras teorem! Ser du hvor flott det er? Hvis vi ikke visste det median lik en halv side

Vi bruker Pythagoras teorem:

2) Og la oss nå ikke ha én, men hele tre medianer! Hvordan oppfører de seg?

Husker veldig mye viktig faktum:

Vanskelig? Se på bildet:

Medianer og kryss på ett punkt.

Og...(vi beviser dette i, men foreløpig huske!):

• - dobbelt så mye som;
• - dobbelt så mye som;
• - dobbelt så mye som.

Er du trøtt ennå? Vil du være sterk nok til neste eksempel? Nå skal vi bruke alt vi snakket om!

Oppgave: I en trekant er det medianer og som skjærer hverandre i et punkt. Finn hvis

La oss finne ved å bruke Pythagoras teorem:

La oss nå bruke kunnskapen om skjæringspunktet mellom medianer.

La oss definere det. Segment, a. Hvis alt ikke er klart, se på bildet.

Det har vi allerede funnet.

Betyr, ; .

I oppgaven blir vi spurt om et segment.

I notasjonen vår.

Svare: .

Likte du det? Prøv nå å bruke kunnskapen din om medianen selv!

MEDIAN. MIDDELNIVÅ

1. Medianen deler siden i to.

Det er alt? Eller deler hun kanskje noe annet i to? Tenk deg det!

2. Teorem: Medianen deler arealet i to.

Hvorfor? La oss huske den enkleste formen av arealet til en trekant.

Og vi bruker denne formelen to ganger!

Se, medianen er delt inn i to trekanter: og. Men! De har samme høyde - ! Bare i denne høyden faller den til siden, og ved - på fortsettelsessiden. Overraskende nok skjer dette også: trekantene er forskjellige, men høyden er den samme. Og nå skal vi bruke formelen to ganger.

Hva ville dette bety? Se på bildet. Faktisk er det to utsagn i denne teoremet. La du merke til dette?

Første utsagn: medianer krysser hverandre på ett punkt.

Andre utsagn: Skjæringspunktet til medianen er delt i et forhold, regnet fra toppunktet.

La oss prøve å avdekke hemmeligheten bak denne teoremet:

La oss koble sammen prikkene og. Hva skjedde?

La oss nå tegne en annen midtlinje: merk midten - sett en prikk, merk midten - sett en prikk.

Nå - midtlinjen. Det vil si

1. parallell;

Har du lagt merke til noen tilfeldigheter? Begge og er parallelle. Og, og.

Hva følger av dette?

1. parallell;

Selvfølgelig bare for et parallellogram!

Dette betyr at det er et parallellogram. Så hva? La oss huske egenskapene til et parallellogram. Hva vet du for eksempel om diagonalene til et parallellogram? Det stemmer, de er delt i to av skjæringspunktet.

La oss se på tegningen igjen.

Det vil si at medianen er delt med prikker i tre like deler. Og akkurat det samme.

Dette betyr at begge medianene ble atskilt med et punkt i forholdet, det vil si og.

Hva vil skje med den tredje medianen? La oss gå tilbake til begynnelsen. Å, skrekk?! Nei, nå blir alt mye kortere. La oss kaste ut medianen og gjøre medianene og.

Tenk deg nå at vi har utført nøyaktig samme resonnement som for medianer og. Hva da?

Det viser seg at medianen vil dele medianen på nøyaktig samme måte: i forholdstall, tellende fra punktet.

Men hvor mange poeng kan det være på et segment som deler det i et forhold, regnet fra punktet?

Selvfølgelig bare én! Og vi har allerede sett det - det er poenget.

Hva skjedde til slutt?

Medianen gikk definitivt gjennom! Alle tre medianene passerte gjennom den. Og alle var delt i holdning, regnet fra toppen.

Så vi løste (beviste) teoremet. Løsningen viste seg å være et parallellogram som satt inne i en trekant.

4. Formel for medianlengde

Hvordan finne lengden på medianen hvis sidene er kjent? Er du sikker på at du trenger dette? La oss avsløre en forferdelig hemmelighet: denne formelen er ikke veldig nyttig. Men likevel, vi vil skrive det, men vi vil ikke bevise det (hvis du er interessert i beviset, se neste nivå).

Hvordan kan vi forstå hvorfor dette skjer?

La oss følge nøye med. Bare ikke en trekant, men et rektangel.

Så la oss vurdere et rektangel.

Har du lagt merke til at trekanten vår er nøyaktig halvparten av dette rektangelet?

La oss tegne en diagonal

Husker du at diagonalene til et rektangel er like og halverer skjæringspunktet? (Hvis du ikke husker det, se på emnet)
Men en av diagonalene er hypotenusen vår! Dette betyr at skjæringspunktet mellom diagonalene er midten av hypotenusen. Den ble kalt vår.

Dette betyr at halvparten av den andre diagonalen er vår median. Diagonalene er like, og deres halvdeler, selvfølgelig, også. Det er det vi får

Dessuten skjer dette bare i en rettvinklet trekant!

Vi vil ikke bevise denne påstanden, men for å tro det, tenk selv: er det noe annet parallellogram med like diagonaler, bortsett fra et rektangel? Selvfølgelig ikke! Vel, det betyr at medianen kan være lik en halv side bare i en rettvinklet trekant. La oss se hvordan denne egenskapen hjelper til med å løse problemer.

Her er oppgaven:

Til sidene; . Medianen er trukket fra toppunktet. Finn hvis.

Hurra! Du kan bruke Pythagoras teorem! Ser du hvor flott det er? Hvis vi ikke visste at medianen er halve siden bare i en rettvinklet trekant, er det ingen måte vi kan løse dette problemet på. Og nå kan vi!

Vi bruker Pythagoras teorem:

MEDIAN. KORT OM HOVEDTINGENE

1. Medianen deler siden i to.

2. Teorem: medianen deler arealet i to

4. Formel for medianlengde

Omvendt teorem: hvis medianen er lik halve siden, er trekanten rettvinklet og denne medianen trekkes til hypotenusen.

Vel, emnet er over. Hvis du leser disse linjene, betyr det at du er veldig kul.

Fordi bare 5 % av mennesker er i stand til å mestre noe på egen hånd. Og hvis du leser til slutten, så er du på disse 5%!

Nå er det viktigste.

Du har forstått teorien om dette emnet. Og, jeg gjentar, dette... dette er bare supert! Du er allerede bedre enn de aller fleste av dine jevnaldrende.

Problemet er at dette kanskje ikke er nok...

For hva?

For vellykket bestått Unified State-eksamenen, for opptak til college på et budsjett og, VIKTIGST, for livet.

Jeg vil ikke overbevise deg om noe, jeg vil bare si en ting...

Folk som har fått en god utdannelse tjener mye mer enn de som ikke har fått den. Dette er statistikk.

Men dette er ikke hovedsaken.

Hovedsaken er at de er GLADERE (det finnes slike studier). Kanskje fordi mange flere muligheter åpner seg foran dem og livet blir lysere? Vet ikke...

Men tenk selv...

Hva skal til for å være sikker på å være bedre enn andre på Unified State-eksamenen og til slutt bli... lykkeligere?

FÅ HÅNDEN DIN VED Å LØSE PROBLEMER OM DETTE EMNET.

Du vil ikke bli spurt om teori under eksamen.

Du trenger løse problemer mot tiden.

Og hvis du ikke har løst dem (MYE!), vil du definitivt gjøre en dum feil et sted eller rett og slett ikke ha tid.

Det er som i sport - du må gjenta det mange ganger for å vinne sikkert.

Finn samlingen hvor du vil, nødvendigvis med løsninger, detaljert analyse og bestemme, bestemme, bestemme!

Du kan bruke oppgavene våre (valgfritt) og vi anbefaler dem selvfølgelig.

For å bli bedre til å bruke oppgavene våre, må du bidra til å forlenge levetiden til YouClever-læreboken du leser nå.

Hvordan? Det er to alternativer:

1. Lås opp alle skjulte oppgaver i denne artikkelen - 299 gni.
2. Lås opp tilgang til alle skjulte oppgaver i alle de 99 artiklene i læreboken - 999 gni.

Ja, vi har 99 slike artikler i læreboken vår og tilgang til alle oppgaver og alle skjulte tekster i dem kan åpnes umiddelbart.

I det andre tilfellet vi vil gi deg simulator "6000 problemer med løsninger og svar, for hvert emne, på alle nivåer av kompleksitet." Det vil definitivt være nok til å få tak i å løse problemer om ethvert emne.

Faktisk er dette mye mer enn bare en simulator - et helt treningsprogram. Om nødvendig kan du også bruke den GRATIS.

Tilgang til alle tekster og programmer er gitt i HELE perioden av nettstedets eksistens.

Og avslutningsvis...

Hvis du ikke liker oppgavene våre, finn andre. Bare ikke stopp ved teorien.

«Forstått» og «Jeg kan løse» er helt forskjellige ferdigheter. Du trenger begge deler.

Finn problemer og løs dem!

Note. Denne leksjonen presenterer teoretiske materialer og løsninger på geometriproblemer om emnet "median i en rettvinklet trekant." Hvis du trenger å løse et geometriproblem som ikke er her, skriv om det i forumet. Kurset vil nesten helt sikkert bli supplert.

Egenskaper til medianen til en rettvinklet trekant

Bestemme medianen

• Medianene til en trekant skjærer hverandre i ett punkt og deles av dette punktet i to deler i forholdet 2:1, regnet fra vinkelens toppunkt. Punktet for skjæringspunktet kalles trekantens tyngdepunkt (relativt sjelden i problemer brukes begrepet "tyngdepunkt" for å betegne dette punktet),
• Medianen deler en trekant i to like store trekanter.
• En trekant deles med tre medianer i seks like trekanter.
• Den større siden av trekanten tilsvarer den mindre medianen.

Geometriproblemene foreslått for løsning bruker hovedsakelig følgende egenskapene til medianen til en rettvinklet trekant.

• Summen av kvadratene av medianene som er falt på bena i en rettvinklet trekant er lik fem kvadrater av medianen som er falt på hypotenusen (formel 1)
• Medianen falt til hypotenusen til en rettvinklet trekant lik halve hypotenusen(Formel 2)
• Medianen av hypotenusen til en rettvinklet trekant er lik radiusen til sirkelen omskrevet rundt gitt rettvinklet trekant (formel 2)
• Medianen falt til hypotenusen er lik halvparten av kvadratroten av summen av kvadratene av bena(Formel 3)
• Medianen senket til hypotenusen er lik kvotienten av lengden på benet delt på to sinus i den spisse vinkelen motsatt benet (formel 4)
• Medianen senket til hypotenusen er lik kvotienten av lengden på benet delt på to cosinus av den spisse vinkelen ved siden av benet (formel 4)
• Summen av kvadratene på sidene i en rettvinklet trekant er lik åtte kvadrater av medianen falt til hypotenusen (formel 5)

Notasjon i formler:

a, b- ben i en rettvinklet trekant

c- hypotenusen til en rettvinklet trekant

Hvis vi betegner en trekant som ABC, da

BC = EN

(det vil si sidene a,b,c- er motsatt av de tilsvarende vinklene)

m en- median trukket til ben a

m b- median trukket til benet b

m c - medianen av en rettvinklet trekant, trukket til hypotenusen med

α (alfa)- vinkel CAB motsatt side a

Oppgave om median i rettvinklet trekant

Medianene til en rettvinklet trekant trukket til bena er lik henholdsvis 3 cm og 4 cm. Finn hypotenusen til trekanten

Løsning

Før vi begynner å løse problemet, la oss ta hensyn til forholdet mellom lengden på hypotenusen til en rettvinklet trekant og medianen, som senkes ned på den. For å gjøre dette, la oss gå til formlene 2, 4, 5 egenskapene til medianen i en rettvinklet trekant. Disse formlene indikerer tydelig forholdet mellom hypotenusen og medianen, som senkes til den som 1 til 2. Derfor, for å gjøre fremtidige beregninger lettere (som ikke vil påvirke riktigheten av løsningen på noen måte, men vil gjøre den mer praktisk), betegner vi lengdene på bena AC og BC med variablene x og y som 2x og 2y (ikke x og y).

Tenk på den rette trekanten ADC. Vinkel C er rett i henhold til forholdene for problemet, ben AC er vanlig med trekant ABC, og ben CD er lik halvparten BC i henhold til egenskapene til medianen. Deretter, ifølge Pythagoras teorem

AC 2 + CD 2 = AD 2

Siden AC = 2x, CD = y (siden medianen deler benet i to like deler), da
4x 2 + y 2 = 9

Vurder samtidig den rettvinklede trekanten EBC. Den har også en rett vinkel C i henhold til forholdene for problemet, ben BC er vanlig med ben BC i den opprinnelige trekanten ABC, og ben EC, etter egenskapen til medianen, er lik halvparten av ben AC i den opprinnelige trekanten ABC.
I følge Pythagoras teorem:
EC 2 + BC 2 = BE 2

Siden EC = x (medianen deler benet i to), BC = 2y, da
x 2 + 4y 2 = 16

Siden trekantene ABC, EBC og ADC er forbundet med felles sider, er begge de resulterende ligningene også sammenkoblet.
La oss løse det resulterende ligningssystemet.
4x 2 + y 2 = 9
x 2 + 4y 2 = 16

1. Medianen deler en trekant i to trekanter med lik areal.

2. Medianene til trekanten skjærer hverandre i ett punkt, som deler hver av dem i forholdet 2:1, regnet fra toppunktet. Dette punktet kalles tyngdepunkt triangel.

3. Hele trekanten er delt med medianene i seks like trekanter.

Egenskaper til halveringslinjer for trekant

1. Halveringslinjen til en vinkel er stedet for punkter like langt fra sidene av denne vinkelen.

2. Halveringslinjen til den indre vinkelen til en trekant deler den motsatte siden i segmenter proporsjonale med de tilstøtende sidene: .

3. Skjæringspunktet mellom halveringslinjene til en trekant er sentrum av sirkelen som er innskrevet i denne trekanten.

Egenskaper for trekanthøyder

1. I en rettvinklet trekant deler høyden trukket fra toppunktet til den rette vinkelen den i to trekanter som ligner den opprinnelige.

2. I en spiss trekant avskjærer to av dens høyder tilsvarende høyder fra den trekanter.

Egenskaper til vinkelrette halveringslinjer i en trekant

1. Hvert punkt i den vinkelrette halveringslinjen til et segment er like langt fra endene av dette segmentet. Det motsatte er også sant: hvert punkt som er like langt fra endene av et segment ligger på den vinkelrette halveringslinjen til det.

2. Skjæringspunktet for de vinkelrette halveringslinjene trukket til sidene av trekanten er sentrum av sirkelen som er omskrevet rundt denne trekanten.

Egenskapen til midtlinjen i en trekant

Midtlinjen til en trekant er parallell med en av sidene og lik halvparten av den siden.

Likhet mellom trekanter

To trekanter lignende hvis en av følgende forhold, kalt tegn på likhet:

· to vinkler i en trekant er lik to vinkler i en annen trekant;

· to sider av en trekant er proporsjonale med to sider av en annen trekant, og vinklene som dannes av disse sidene er like;

· tre sider av en trekant er proporsjonal med tre sider av en annen trekant.

I lignende trekanter er de tilsvarende linjene (høyder, medianer, halveringslinjer, etc.) proporsjonale.

Teorem for sinus

Cosinus teorem

en 2= b 2+ c 2- 2f.Kr cos

Trekantarealformler

1. Gratis trekant

a, b, c - sider; - vinkel mellom sidene en Og b; - semi-perimeter; R- omskrevet sirkelradius; r- radius av den innskrevne sirkelen; S- kvadrat; h a - høyde trukket til side en.

S = ah a

S = ab sin

S = pr

2. Rettvinklet trekant

a, b - ben; c- hypotenuse; h c - høyde trukket til siden c.

S = lm c S = ab

3. Likesidet trekant

Firkanter

Egenskaper til et parallellogram

· motsatte sider er like;

· motsatte vinkler er like;

· diagonaler er delt i to av skjæringspunktet;

· summen av vinkler ved siden av den ene siden er 180°;

Summen av kvadratene til diagonalene er lik summen av kvadratene på alle sider:

d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2).

En firkant er et parallellogram hvis:

1. Dens to motsatte sider er like og parallelle.

2. Motstående sider er like i par.

3. Motstående vinkler er like parvis.

4. Diagonalene er delt i to av skjæringspunktet.

Egenskaper til en trapes

· dens midtlinje er parallell med basene og lik deres halvsum;

· hvis trapesen er likebenet, så er diagonalene like og vinklene ved basen like;

· hvis trapesen er likebenet, kan en sirkel beskrives rundt den;

· hvis summen av basene er lik summen av sidene, kan en sirkel skrives inn i den.

Rektangelegenskaper

Diagonalene er like.

Et parallellogram er et rektangel hvis:

1. En av vinklene er rett.

2. Dens diagonaler er like.

Egenskaper til en rombe

· alle egenskapene til et parallellogram;

Diagonaler er vinkelrette;

Diagonalene er halveringslinjene til vinklene.

1. Et parallellogram er en rombe hvis:

2. Dens to tilstøtende sider er like.

3. Dens diagonaler er vinkelrette.

4. En av diagonalene er halveringslinjen for vinkelen.

Egenskaper til et kvadrat

· alle hjørner av firkanten er rett;

· diagonalene til et kvadrat er like, innbyrdes perpendikulære, skjæringspunktet halverer og halverer hjørnene av kvadratet.

Et rektangel er et kvadrat hvis det har noen egenskaper til en rombe.

Grunnleggende formler

1. Enhver konveks firkant
d 1,d 2 - diagonaler; - vinkelen mellom dem; S- kvadrat.

S = d 1 d 2 synd