Inngangsnivå

Median. Visuell guide (2019)

1. Hva er medianen?

Det er veldig enkelt!

Ta en trekant:

Merk midten på en av sidene.

Og koble til motsatt toppunkt!

Den resulterende linjen og det er en median.

2. Egenskaper til medianen.

Hvilke gode egenskaper har medianen?

1) La oss forestille oss at trekanten er rektangulær. Det finnes slike ting, ikke sant?

Hvorfor??? Hva har en rett vinkel med det å gjøre?

La oss følge nøye med. Bare ikke en trekant, men... et rektangel. Hvorfor, spør du?

Men du går på jorden - ser du at den er rund? Nei, selvfølgelig, for å gjøre dette må du se på jorden fra verdensrommet. Så vi vil se på vår høyre trekant "fra verdensrommet".

La oss tegne en diagonal:

Husker du at diagonalene til et rektangel lik Og dele skjæringspunkt i halvparten? (Hvis du ikke husker det, se på emnet)

Dette betyr at halvparten av den andre diagonalen er vår median. Diagonalene er like, og deres halvdeler, selvfølgelig, også. Det er det vi får

Vi vil ikke bevise denne påstanden, men for å tro det, tenk selv: finnes det noe annet parallellogram med like diagonaler enn et rektangel? Selvfølgelig ikke! Vel, det betyr at medianen kan være lik halve siden bare inn rettvinklet trekant.

La oss se hvordan denne egenskapen hjelper til med å løse problemer.

Her, oppgave:
Til sidene; . Tegnet fra toppen median. Finn hvis.

Hurra! Du kan bruke Pythagoras teorem! Ser du hvor flott det er? Hvis vi ikke visste det median lik en halv side

Vi bruker Pythagoras teorem:

2) Og la oss nå ikke ha én, men hele tre medianer! Hvordan oppfører de seg?

Husker veldig mye viktig faktum:

Vanskelig? Se på bildet:

Medianer og kryss på ett punkt.

Og...(vi beviser dette i, men foreløpig huske!):

• - dobbelt så mye som;
• - dobbelt så mye som;
• - dobbelt så mye som.

Er du trøtt ennå? Vil du være sterk nok til neste eksempel? Nå skal vi bruke alt vi snakket om!

Oppgave: I en trekant tegnes medianer og, som skjærer hverandre i et punkt. Finn hvis

La oss finne ved å bruke Pythagoras teorem:

La oss nå bruke kunnskapen om skjæringspunktet mellom medianer.

La oss definere det. Segment, a. Hvis alt ikke er klart, se på bildet.

Det har vi allerede funnet.

Betyr, ; .

I oppgaven blir vi spurt om et segment.

I notasjonen vår.

Svare: .

Likte du det? Prøv nå å bruke kunnskapen din om medianen selv!

MEDIAN. MIDDELNIVÅ

1. Medianen deler siden i to.

Det er alt? Eller deler hun kanskje noe annet i to? Tenk deg det!

2. Teorem: Medianen deler arealet i to.

Hvorfor? La oss huske den enkleste formen av arealet til en trekant.

Og vi bruker denne formelen to ganger!

Se, medianen er delt inn i to trekanter: og. Men! De har samme høyde -! Bare i denne høyden faller den til siden, og ved - på fortsettelsessiden. Overraskende nok skjer dette også: trekantene er forskjellige, men høyden er den samme. Og nå skal vi bruke formelen to ganger.

Hva ville dette bety? Se på bildet. Faktisk er det to utsagn i denne teoremet. La du merke til dette?

Første uttalelse: medianer krysser hverandre på ett punkt.

Andre utsagn: Skjæringspunktet til medianen er delt i et forhold, regnet fra toppunktet.

La oss prøve å avdekke hemmeligheten bak denne teoremet:

La oss koble sammen prikkene og... Hva skjedde?

La oss nå tegne en annen midtlinje: merk midten - sett en prikk, merk midten - sett en prikk.

Nå - midtlinjen. Det vil si

1. parallell;

Har du lagt merke til noen tilfeldigheter? Begge og er parallelle. Og, og.

Hva følger av dette?

1. parallell;

Selvfølgelig bare for et parallellogram!

Dette betyr at det er et parallellogram. Så hva? La oss huske egenskapene til et parallellogram. Hva vet du for eksempel om diagonalene til et parallellogram? Det stemmer, de deler skjæringspunktet i to.

La oss se på tegningen igjen.

Det vil si at medianen er delt med prikker i tre like deler. Og akkurat det samme.

Dette betyr at begge medianene ble atskilt med et punkt i forholdet, det vil si og.

Hva vil skje med den tredje medianen? La oss gå tilbake til begynnelsen. Å, skrekk?! Nei, nå blir alt mye kortere. La oss kaste ut medianen og gjøre medianene og.

Tenk deg nå at vi har utført nøyaktig samme resonnement som for medianer og. Hva da?

Det viser seg at medianen vil dele medianen på nøyaktig samme måte: i forholdstall, tellende fra punktet.

Men hvor mange poeng kan det være på et segment som deler det i et forhold, regnet fra punktet?

Selvfølgelig bare én! Og vi har allerede sett det - det er poenget.

Hva skjedde til slutt?

Medianen gikk definitivt gjennom! Alle tre medianene passerte gjennom den. Og alle var delt i holdning, regnet fra toppen.

Så vi løste (beviste) teoremet. Løsningen viste seg å være et parallellogram som satt inne i en trekant.

4. Formel for medianlengde

Hvordan finne lengden på medianen hvis sidene er kjent? Er du sikker på at du trenger dette? La oss avsløre en forferdelig hemmelighet: denne formelen er ikke veldig nyttig. Men likevel, vi vil skrive det, men vi vil ikke bevise det (hvis du er interessert i beviset, se neste nivå).

Hvordan kan vi forstå hvorfor dette skjer?

La oss følge nøye med. Bare ikke en trekant, men et rektangel.

Så la oss vurdere et rektangel.

Har du lagt merke til at trekanten vår er nøyaktig halvparten av dette rektangelet?

La oss tegne en diagonal

Husker du at diagonalene til et rektangel er like og halverer skjæringspunktet? (Hvis du ikke husker det, se på emnet)
Men en av diagonalene er hypotenusen vår! Dette betyr at skjæringspunktet mellom diagonalene er midten av hypotenusen. Den ble kalt vår.

Dette betyr at halvparten av den andre diagonalen er vår median. Diagonalene er like, og deres halvdeler, selvfølgelig, også. Det er det vi får

Dessuten skjer dette bare i en rettvinklet trekant!

Vi vil ikke bevise denne påstanden, men for å tro det, tenk selv: er det noe annet parallellogram med like diagonaler, bortsett fra et rektangel? Selvfølgelig ikke! Vel, det betyr at medianen kan være lik en halv side bare i en rettvinklet trekant. La oss se hvordan denne egenskapen hjelper til med å løse problemer.

Her er oppgaven:

Til sidene; . Medianen er trukket fra toppunktet. Finn hvis.

Hurra! Du kan bruke Pythagoras teorem! Ser du hvor flott det er? Hvis vi ikke visste at medianen er halve siden bare i en rettvinklet trekant, er det ingen måte vi kan løse dette problemet på. Og nå kan vi!

Vi bruker Pythagoras teorem:

MEDIAN. KORT OM DE VIKTIGSTE TINGENE

1. Medianen deler siden i to.

2. Teorem: medianen deler arealet i to

4. Formel for medianlengde

Omvendt teorem: hvis medianen er lik halve siden, er trekanten rettvinklet og denne medianen trekkes til hypotenusen.

Vel, emnet er over. Hvis du leser disse linjene, betyr det at du er veldig kul.

Fordi bare 5 % av mennesker er i stand til å mestre noe på egen hånd. Og hvis du leser til slutten, så er du på disse 5%!

Nå er det viktigste.

Du har forstått teorien om dette emnet. Og, jeg gjentar, dette... dette er bare supert! Du er allerede bedre enn de aller fleste av dine jevnaldrende.

Problemet er at dette kanskje ikke er nok...

For hva?

For vellykket bestått Unified State-eksamenen, for opptak til college på et budsjett og, VIKTIGST, for livet.

Jeg vil ikke overbevise deg om noe, jeg vil bare si en ting...

Folk som har fått god utdanning tjener mye mer enn de som ikke har fått den. Dette er statistikk.

Men dette er ikke hovedsaken.

Hovedsaken er at de er GLADERE (det finnes slike studier). Kanskje fordi mange flere muligheter åpner seg foran dem og livet blir lysere? Vet ikke...

Men tenk selv...

Hva skal til for å være sikker på å være bedre enn andre på Unified State-eksamenen og til slutt bli... lykkeligere?

FÅ HÅNDEN DIN VED Å LØSE PROBLEMER OM DETTE EMNET.

Du vil ikke bli spurt om teori under eksamen.

Du trenger løse problemer mot tiden.

Og hvis du ikke har løst dem (MYE!), vil du definitivt gjøre en dum feil et sted eller rett og slett ikke ha tid.

Det er som i sport - du må gjenta det mange ganger for å vinne sikkert.

Finn samlingen hvor du vil, nødvendigvis med løsninger, detaljert analyse og bestemme, bestemme, bestemme!

Du kan bruke oppgavene våre (valgfritt) og vi anbefaler dem selvfølgelig.

For å bli bedre til å bruke oppgavene våre, må du bidra til å forlenge levetiden til YouClever-læreboken du leser nå.

Hvordan? Det er to alternativer:

1. Lås opp alle skjulte oppgaver i denne artikkelen - 299 gni.
2. Lås opp tilgang til alle skjulte oppgaver i alle de 99 artiklene i læreboken - 999 gni.

Ja, vi har 99 slike artikler i læreboken vår og tilgang til alle oppgaver og alle skjulte tekster i dem kan åpnes umiddelbart.

I det andre tilfellet vi vil gi deg simulator "6000 problemer med løsninger og svar, for hvert emne, på alle nivåer av kompleksitet." Det vil definitivt være nok til å få tak i å løse problemer om ethvert emne.

Faktisk er dette mye mer enn bare en simulator - et helt treningsprogram. Om nødvendig kan du også bruke den GRATIS.

Tilgang til alle tekster og programmer er gitt i HELE perioden av sidens eksistens.

Og avslutningsvis...

Hvis du ikke liker oppgavene våre, finn andre. Bare ikke stopp ved teorien.

«Forstått» og «Jeg kan løse» er helt forskjellige ferdigheter. Du trenger begge deler.

Finn problemer og løs dem!

1. Medianen deler en trekant i to trekanter med lik areal.

2. Medianene til trekanten skjærer hverandre i ett punkt, som deler hver av dem i forholdet 2:1, regnet fra toppunktet. Dette punktet kalles tyngdepunkt triangel.

3. Hele trekanten er delt med medianene i seks like trekanter.

Egenskaper til halveringslinjer for trekant

1. Halveringslinjen til en vinkel er stedet for punkter like langt fra sidene av denne vinkelen.

2. Halveringslinjen til den indre vinkelen til en trekant deler den motsatte siden i segmenter proporsjonale med de tilstøtende sidene: .

3. Skjæringspunktet mellom halveringslinjene til en trekant er sentrum av sirkelen som er innskrevet i denne trekanten.

Egenskaper for trekanthøyder

1. I en rettvinklet trekant deler høyden trukket fra toppunktet til den rette vinkelen den i to trekanter som ligner den opprinnelige.

2. I en spiss trekant avskjærer to av dens høyder tilsvarende høyder fra den trekanter.

Egenskaper til vinkelrette halveringslinjer i en trekant

1. Hvert punkt i den vinkelrette halveringslinjen til et segment er like langt fra endene av dette segmentet. Det motsatte er også sant: hvert punkt som er like langt fra endene av et segment ligger på den vinkelrette halveringslinjen til det.

2. Skjæringspunktet for de vinkelrette halveringslinjene trukket til sidene av trekanten er sentrum av sirkelen som er omskrevet rundt denne trekanten.

Egenskapen til midtlinjen i en trekant

Midtlinjen til en trekant er parallell med en av sidene og lik halvparten av den siden.

Likhet mellom trekanter

To trekanter lignende hvis en av følgende forhold, kalt tegn på likhet:

· to vinkler i en trekant er lik to vinkler i en annen trekant;

· to sider av en trekant er proporsjonale med to sider av en annen trekant, og vinklene som dannes av disse sidene er like;

· tre sider av en trekant er proporsjonal med tre sider av en annen trekant.

I lignende trekanter er de tilsvarende linjene (høyder, medianer, halveringslinjer, etc.) proporsjonale.

Teorem for sinus

Cosinus teorem

en 2= b 2+ c 2- 2f.Kr cos

Trekantarealformler

1. Gratis trekant

a, b, c - sider; - vinkel mellom sidene en Og b; - semi-perimeter; R- omskrevet sirkelradius; r- radius av den innskrevne sirkelen; S- kvadrat; h a - høyde trukket til side en.

S = ah a

S = ab sin

S = pr

2. Rettvinklet trekant

a, b - ben; c- hypotenuse; h c - høyde trukket til siden c.

S = lm c S = ab

3. Likesidet trekant

Firkanter

Egenskaper til et parallellogram

· motsatte sider er like;

· motsatte vinkler er like;

· diagonaler er delt i to av skjæringspunktet;

· summen av vinkler ved siden av den ene siden er 180°;

Summen av kvadratene til diagonalene er lik summen av kvadratene på alle sider:

d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2).

En firkant er et parallellogram hvis:

1. Dens to motsatte sider er like og parallelle.

2. Motstående sider er like i par.

3. Motstående vinkler er like parvis.

4. Diagonalene er delt i to av skjæringspunktet.

Egenskaper til en trapes

· dens midtlinje er parallell med basene og lik deres halvsum;

· hvis trapesen er likebenet, så er diagonalene like og vinklene ved basen like;

· hvis trapesen er likebenet, kan en sirkel beskrives rundt den;

· hvis summen av basene er lik summen av sidene, kan en sirkel skrives inn i den.

Rektangelegenskaper

Diagonalene er like.

Et parallellogram er et rektangel hvis:

1. En av vinklene er rett.

2. Dens diagonaler er like.

Egenskaper til en rombe

· alle egenskapene til et parallellogram;

Diagonaler er vinkelrette;

Diagonalene er halveringslinjene til vinklene.

1. Et parallellogram er en rombe hvis:

2. Dens to tilstøtende sider er like.

3. Dens diagonaler er vinkelrette.

4. En av diagonalene er halveringslinjen for vinkelen.

Egenskaper til et kvadrat

· alle hjørner av firkanten er rett;

· diagonalene til et kvadrat er like, innbyrdes perpendikulære, skjæringspunktet halverer og halverer hjørnene av kvadratet.

Et rektangel er et kvadrat hvis det har noen egenskaper til en rombe.

Grunnleggende formler

1. Enhver konveks firkant
d 1,d 2 - diagonaler; - vinkelen mellom dem; S- kvadrat.

S = d 1 d 2 synd

Når du studerer et emne skolekurs det er mulig å velge et visst minimum av problemer, etter å ha mestret metodene for å løse som, studentene vil være i stand til å løse ethvert problem på nivå med programkravene om emnet som studeres. Jeg foreslår å vurdere problemer som vil tillate deg å se sammenhengene mellom individuelle emner i skolematematikkkurset. Derfor er det kompilerte oppgavesystemet effektive midler repetisjon, generalisering og systematisering undervisningsmateriell mens du forbereder studentene til eksamen.

For å bestå eksamen vil det være nyttig å ha tilleggsinformasjon om noen av elementene i trekanten. La oss vurdere egenskapene til medianen til en trekant og problemer med å løse hvilke egenskaper som kan brukes. De foreslåtte oppgavene implementerer prinsippet om nivådifferensiering. Alle oppgaver er betinget delt inn i nivåer (nivået er angitt i parentes etter hver oppgave).

La oss huske noen egenskaper til medianen til en trekant

Eiendom 1. Bevis at medianen av en trekant ABC, trukket fra toppunktet EN, mindre enn halvparten av summen av sidene AB Og A.C..

Bevis

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

Eiendom 2. Medianen kutter trekanten i to like områder.

Bevis

La oss tegne fra toppunktet B i trekanten ABC medianen BD og høyden BE..gif" alt="Area" width="82" height="46">!}

Siden segmentet BD er medianen, da

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Median" align="left" width="196" height="75 src=">!} Eiendom 4. Medianene til en trekant deler trekanten i 6 like trekanter.

Bevis

La oss bevise at arealet til hver av de seks trekantene som medianene deler trekanten ABC i er lik arealet av trekanten ABC. For å gjøre dette, vurdere for eksempel trekant AOF og slipp en vinkelrett AK fra toppunkt A til linje BF.

På grunn av eiendom 2,

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Median" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Eiendom 6. Medianen i en rettvinklet trekant trukket fra toppunktet til den rette vinkelen er lik halve hypotenusen.

Bevis

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Median" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Konsekvenser:1. Sentrum av en sirkel omskrevet om en rettvinklet trekant ligger i midten av hypotenusen.

2. Hvis lengden på medianen i en trekant er lik halvparten av lengden på siden den er tegnet til, så er denne trekanten rettvinklet.

OPPGAVER

Når du løser hvert påfølgende problem, brukes påviste egenskaper.

№1 Emner: Dobling av medianen. Vanskelighetsgrad: 2+

Tegn og egenskaper ved et parallellogram Karakterer: 8,9

Betingelse

På fortsettelse av medianen ER. triangel ABC per poeng M segmentet utsatt M.D., lik ER.. Bevis at firkanten ABDC- parallellogram.

Løsning

La oss bruke et av tegnene til et parallellogram. Diagonaler til en firkant ABDC skjære i et punkt M og del den i to, så firkanten ABDC- parallellogram.

En median er et segment trukket fra toppen av en trekant til midten av motsatt side, det vil si at den deler den i to i skjæringspunktet. Punktet der medianen skjærer siden motsatt toppunktet den kommer ut fra kalles basen. Hver median av trekanten går gjennom ett punkt, kalt skjæringspunktet. Formelen for lengden kan uttrykkes på flere måter.

Formler for å uttrykke lengden på medianen

• Ofte i geometrioppgaver må elevene forholde seg til et segment som medianen til en trekant. Formelen for lengden er uttrykt i form av sider:

hvor a, b og c er sidene. Dessuten er c siden som medianen faller på. Slik ser det ut enkel formel. Medianer av en trekant er noen ganger nødvendig for hjelpeberegninger. Det finnes andre formler.

• Hvis det under beregningen er kjent to sider av en trekant og en viss vinkel α plassert mellom dem, vil lengden på trekantens median, senket til den tredje siden, bli uttrykt som følger.

Grunnleggende egenskaper

• Alle medianer har ett felles skjæringspunkt O og deles på det i forholdet to til én, hvis det telles fra toppunktet. Dette punktet kalles trekantens tyngdepunkt.
• Medianen deler trekanten i to andre hvis arealer er like. Slike trekanter kalles likt areal.
• Hvis du tegner alle medianene, vil trekanten deles inn i 6 like figurer, som også vil være trekanter.
• Hvis alle tre sidene i en trekant er like, vil hver av medianene også være en høyde og en halveringslinje, det vil si vinkelrett på siden den er tegnet til, og halverer vinkelen den kommer ut fra.
• I en likebenet trekant vil medianen trukket fra toppunktet som er motsatt siden som ikke er lik noen annen også være høyden og halveringslinjen. Medianene som faller fra andre hjørner er like. Dette er også en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for likebenete.
• Hvis en trekant er basen til en vanlig pyramide, projiseres høyden som faller til denne basen til skjæringspunktet mellom alle medianer.

• I en rettvinklet trekant er medianen trukket til den lengste siden lik halvparten av lengden.
• La O være skjæringspunktet for trekantens medianer. Formelen nedenfor vil være sann for ethvert punkt M.

• Medianen til en trekant har en annen egenskap. Formelen for kvadratet av lengden gjennom kvadratene på sidene er presentert nedenfor.

Egenskaper til sidene som medianen er trukket til

• Hvis du kobler to skjæringspunkter mellom medianene med sidene de er sluppet på, vil det resulterende segmentet være midtlinjen til trekanten og være halvparten av siden av trekanten som det ikke har felles punkter med.
• Basene til høydene og medianene i en trekant, samt midtpunktene til segmentene som forbinder trekantens toppunkter med skjæringspunktet mellom høydene, ligger på samme sirkel.

Avslutningsvis er det logisk å si at et av de viktigste segmentene er medianen til trekanten. Formelen kan brukes til å finne lengdene på de andre sidene.