La oss nå snakke om hvordan beregne gjennomsnitt.
På en klassisk måte generell teori statistikk gir oss én versjon av reglene for valg av gjennomsnittsverdi.
Først må du lage den riktige logiske formelen for å beregne gjennomsnittsverdien (AFV). For hver gjennomsnittsverdi er det alltid bare én logisk formel for å beregne den, så det er vanskelig å gjøre en feil her. Men vi må alltid huske at i telleren (dette er det som er på toppen av brøken) summen av alle fenomener, og i nevneren (det som er nederst i brøken) det totale antallet elementer.

Etter at den logiske formelen er kompilert, kan du bruke reglene (for å lette forståelsen vil vi forenkle og forkorte dem):
1. Hvis kildedataene (bestemt av frekvens) inneholder nevneren til en logisk formel, utføres beregningen ved å bruke den vektede aritmetiske gjennomsnittsformelen.
2. Hvis telleren til en logisk formel er presentert i kildedataene, utføres beregningen ved å bruke den vektede harmoniske gjennomsnittsformelen.
3. Hvis oppgaven presenterer både telleren og nevneren til en logisk formel (dette skjer sjelden), så utfører vi beregningen ved å bruke denne formelen eller den enkle aritmetiske gjennomsnittsformelen.
Dette er den klassiske ideen om å velge riktig formel for å beregne gjennomsnittet. Deretter presenterer vi rekkefølgen av handlinger når vi løser problemer for å beregne gjennomsnittsverdien.

Algoritme for å løse problemer ved beregning av gjennomsnittsverdien

A. Bestem metoden for å beregne gjennomsnittsverdien - enkel eller vektet . Hvis dataene presenteres i en tabell, bruker vi en vektet metode, hvis dataene presenteres ved en enkel oppregning, bruker vi en enkel beregningsmetode.

B. Bestem eller ordne symboler – x – alternativ, f – frekvens . Alternativet er for hvilket fenomen du vil finne gjennomsnittsverdien. De resterende dataene i tabellen vil være frekvensen.

B. Vi bestemmer skjemaet for beregning av gjennomsnittsverdien - aritmetisk eller harmonisk . Bestemmelsen utføres ved hjelp av frekvenskolonnen. Den aritmetiske formen brukes hvis frekvensene er spesifisert av en eksplisitt mengde (betinget kan du erstatte ordet stykker, antall elementer "stykker"). Den harmoniske formen brukes hvis frekvenser ikke er spesifisert av en eksplisitt mengde, men av en kompleks indikator (produktet av gjennomsnittlig mengde og frekvens).

Det vanskeligste er å gjette hvor og hvilken mengde som gis, spesielt for en student som er uerfaren i slike saker. I en slik situasjon kan du bruke en av følgende metoder. For noen oppgaver (økonomiske) er en uttalelse utviklet over år med praksis egnet (punkt B.1). I andre situasjoner må du bruke punkt B.2.

B.1 Hvis frekvensen er gitt i monetære enheter (i rubler), brukes det harmoniske gjennomsnittet for beregning, denne setningen er alltid sann, hvis den identifiserte frekvensen er gitt i penger, i andre situasjoner gjelder ikke denne regelen.

B.2 Bruk reglene for å velge gjennomsnittsverdien som er angitt ovenfor i denne artikkelen. Hvis frekvensen er gitt av nevneren til den logiske formelen for å beregne gjennomsnittsverdien, beregner vi ved å bruke den aritmetiske gjennomsnittsformen hvis frekvensen er gitt av telleren til den logiske formelen for å beregne gjennomsnittsverdien; harmonisk middelform.

La oss se på eksempler på bruken av denne algoritmen.

A. Siden dataene presenteres i en linje, bruker vi en enkel beregningsmetode.

B.V. Vi har kun data om mengden pensjoner, og de vil være vårt alternativ - x. Dataene presenteres som et enkelt tall (12 personer), for utregning bruker vi det enkle aritmetiske gjennomsnittet.

Gjennomsnittlig pensjon for en pensjonist er 9208,3 rubler.

B. Siden vi trenger å finne middels størrelse utbetalinger per barn, så er alternativene i den første kolonnen, sett betegnelsen x der, den andre kolonnen blir automatisk frekvensen f.

B. Frekvensen (antall barn) er gitt av en eksplisitt mengde (du kan erstatte ordstykker av barn, fra det russiske språkets synspunkt er dette en feil setning, men faktisk er det veldig praktisk å sjekk), som betyr at det vektede aritmetiske gjennomsnittet brukes til beregningen.

Det samme problemet kan løses ikke med en formelmetode, men ved en tabellmetode, det vil si å legge inn alle dataene for mellomberegninger i en tabell.

Som et resultat er alt som må gjøres nå å skille de to totalene i riktig rekkefølge.

Gjennomsnittlig betaling per barn per måned var 1 910 rubler.

A. Siden dataene er presentert i tabellen, bruker vi et vektet skjema for beregning.

B. Frekvens (produksjonskostnad) er gitt av en implisitt mengde (frekvens er gitt i rubler punkt av algoritme B1), som betyr at det vektede harmoniske gjennomsnittet brukes til beregningen. Generelt, i hovedsak, er produksjonskostnadene en kompleks indikator, som oppnås ved å multiplisere kostnaden for en enhet av et produkt med antall slike produkter, dette er essensen av den harmoniske gjennomsnittsverdien.

For at dette problemet skal løses ved å bruke den aritmetiske middelformelen, er det nødvendig at det i stedet for produksjonskostnaden skal være et antall produkter med tilsvarende kostnad.

Vær oppmerksom på at summen i nevneren oppnådd etter beregninger er 410 (120+80+210), dette er det totale antallet produserte produkter.

Den gjennomsnittlige kostnaden per produktenhet var 314,4 rubler.

A. Siden dataene er presentert i tabellen, bruker vi et vektet skjema for beregning.

B. Siden vi må finne den gjennomsnittlige kostnaden per produktenhet, er alternativene i den første kolonnen, vi setter betegnelsen x der, den andre kolonnen blir automatisk frekvensen f.

B. Frekvensen (totalt antall fravær) er gitt av en implisitt mengde (dette er produktet av to indikatorer på antall fravær og antall elever med det antallet fravær), som betyr at det vektede harmoniske gjennomsnittet brukes for regnestykket. Vi vil bruke punkt av algoritme B2.

For at denne oppgaven skal løses ved hjelp av den aritmetiske gjennomsnittsformelen, er det nødvendig at det i stedet for totalt antall fravær skal være antall elever.

Vi lager en logisk formel for å beregne gjennomsnittlig antall fravær per elev.

Frekvens etter oppgavetilstand Totalt antall utelatelser. I den logiske formelen er denne indikatoren i telleren, noe som betyr at vi bruker den harmoniske gjennomsnittsformelen.

Vær oppmerksom på at summen i nevneren, etter beregning 31 (18+8+5), er det totale antallet studenter.

Gjennomsnittlig antall fravær per elev er 13,8 dager.

Disiplin: Statistikk

Alternativ nr. 2

Gjennomsnittsverdier brukt i statistikk

Introduksjon……………………………………………………………………………………………….3

Teoretisk oppgave

Gjennomsnittlig verdi i statistikk, dens essens og bruksbetingelser.

1.1. Essensen av gjennomsnittlig størrelse og bruksbetingelser………….4

1.2. Typer gjennomsnitt………………………………………………………………8

Praktisk oppgave

Oppgave 1,2,3………………………………………………………………………………………………………14

Konklusjon……………………………………………………………………………………………….21

Liste over referanser………………………………………………………………...23

Introduksjon

Dette test består av to deler – teoretisk og praktisk. I den teoretiske delen vil en så viktig statistisk kategori som gjennomsnittsverdien bli undersøkt i detalj for å identifisere dens essens og bruksbetingelser, samt fremheve typene gjennomsnitt og metoder for deres beregning.

Statistikk studerer som kjent masse sosioøkonomiske fenomener. Hvert av disse fenomenene kan ha et annet kvantitativt uttrykk for samme egenskap. For eksempel lønn til arbeidere i samme yrke eller markedspriser for samme produkt, etc. Gjennomsnittlige verdier kjennetegner de kvalitative indikatorene for kommersiell aktivitet: distribusjonskostnader, fortjeneste, lønnsomhet, etc.

For å studere enhver populasjon i henhold til varierende (kvantitativt skiftende) egenskaper, bruker statistikk gjennomsnittsverdier.

Middels stor enhet

Gjennomsnittsverdien er en generaliserende kvantitativ karakteristikk av et sett med lignende fenomener basert på en varierende karakteristikk. I økonomisk praksis brukes et bredt spekter av indikatorer, beregnet som gjennomsnittsverdier.

Den viktigste egenskapen til gjennomsnittsverdien er at den representerer verdien av en bestemt egenskap i hele befolkningen med ett tall, til tross for dens kvantitative forskjeller i individuelle enheter av befolkningen, og uttrykker det som er felles for alle enheter av befolkningen som studeres. . Gjennom egenskapene til en enhet av en befolkning, karakteriserer den altså hele befolkningen som helhet.

Gjennomsnittsverdier er relatert til loven om store tall. Essensen av denne forbindelsen er at under gjennomsnittsberegning opphever tilfeldige avvik av individuelle verdier, på grunn av handlingen av loven om store tall, hverandre og hovedutviklingstrenden, nødvendighet og mønster avsløres i gjennomsnittet. Gjennomsnittsverdier lar deg sammenligne indikatorer relatert til populasjoner med forskjellig antall enheter.

I moderne forhold for utvikling av markedsforhold i økonomien, tjener gjennomsnitt som et verktøy for å studere objektive mønstre av sosioøkonomiske fenomener. I økonomisk analyse kan man imidlertid ikke begrense seg til gjennomsnittlige indikatorer, siden generelle gunstige gjennomsnitt kan skjule store alvorlige mangler i aktivitetene til individuelle økonomiske enheter, og spirene til en ny, progressiv. For eksempel gjør fordelingen av befolkningen etter inntekt det mulig å identifisere dannelsen av nye sosiale grupper. Derfor, sammen med gjennomsnittlige statistiske data, er det nødvendig å ta hensyn til egenskapene til individuelle enheter av befolkningen.

Gjennomsnittsverdien er resultatet av alle faktorer som påvirker fenomenet som studeres. Det vil si at når man beregner gjennomsnittsverdier, oppheves påvirkningen av tilfeldige (forstyrrelser, individuelle) faktorer, og dermed er det mulig å bestemme mønsteret som er iboende i fenomenet som studeres. Adolphe Quetelet understreket at betydningen av metoden for gjennomsnitt er muligheten for overgang fra det individuelle til det generelle, fra det tilfeldige til det vanlige, og eksistensen av gjennomsnitt er en kategori av objektiv virkelighet.

Statistikk studerer massefenomener og prosesser. Hvert av disse fenomenene har både felles for hele settet og spesielle, individuelle egenskaper. Forskjellen mellom individuelle fenomener kalles variasjon. En annen egenskap ved massefenomener er deres iboende likhet med karakteristikker til individuelle fenomener. Så samspillet mellom elementer i et sett fører til en begrensning av variasjonen av i det minste en del av egenskapene deres. Denne trenden eksisterer objektivt. Det er i sin objektivitet som ligger til grunn for den bredeste bruken av gjennomsnittsverdier i praksis og i teorien.

Gjennomsnittsverdien i statistikk er en generell indikator som karakteriserer det typiske nivået av et fenomen under spesifikke forhold for sted og tid, og reflekterer verdien av en varierende egenskap per enhet av en kvalitativt homogen populasjon.

I økonomisk praksis brukes et bredt spekter av indikatorer, beregnet som gjennomsnittsverdier.

Ved å bruke metoden for gjennomsnitt løser statistikk mange problemer.

Hovedbetydningen av gjennomsnitt ligger i deres generaliserende funksjon, det vil si å erstatte mange forskjellige individuelle verdier av en karakteristikk med en gjennomsnittsverdi som karakteriserer hele settet av fenomener.

Hvis gjennomsnittsverdien generaliserer kvalitativt homogene verdier av en egenskap, er det en typisk karakteristikk av egenskapen i en gitt populasjon.

Imidlertid er det feil å redusere rollen til gjennomsnittsverdier bare til karakterisering av typiske verdier av egenskaper i populasjoner som er homogene for en gitt egenskap. I praksis bruker moderne statistikk mye oftere gjennomsnittsverdier som generaliserer klart homogene fenomener.

Gjennomsnittlig nasjonalinntekt per innbygger, gjennomsnittlig kornutbytte i hele landet, gjennomsnittlig forbruk av ulike matvarer - dette er egenskapene til staten som et enkelt nasjonalt økonomisk system, dette er de såkalte systemgjennomsnittene.

Systemgjennomsnitt kan karakterisere både romlige eller objektsystemer som eksisterer samtidig (stat, industri, region, planeten Jorden, etc.) og dynamiske systemer forlenget over tid (år, tiår, sesong, etc.).

Den viktigste egenskapen til gjennomsnittsverdien er at den gjenspeiler det som er felles for alle enheter av befolkningen som studeres. Attributtverdiene til individuelle enheter i en befolkning svinger i en eller annen retning under påvirkning av mange faktorer, blant dem kan det være både grunnleggende og tilfeldige. For eksempel er aksjekursen til et selskap som helhet bestemt av dens økonomisk situasjon. Samtidig, på visse dager og på visse børser, kan disse aksjene, på grunn av rådende omstendigheter, selges til en høyere eller lavere kurs. Essensen av gjennomsnittet ligger i det faktum at det kansellerer avvikene i de karakteristiske verdiene til individuelle enheter av befolkningen forårsaket av virkningen av tilfeldige faktorer, og tar hensyn til endringene forårsaket av virkningen av hovedfaktorene. Dette gjør at gjennomsnittet kan reflektere det typiske nivået til egenskapen og abstrahere fra de individuelle egenskapene som ligger i individuelle enheter.

Å beregne gjennomsnittet er en av de vanligste generaliseringsteknikkene; gjennomsnittsindikatoren reflekterer hva som er felles (typisk) for alle enheter av befolkningen som studeres, samtidig som den ignorerer forskjellene mellom individuelle enheter. I ethvert fenomen og dets utvikling er det en kombinasjon av tilfeldighet og nødvendighet.

Gjennomsnittet er en oppsummerende karakteristikk av prosessens lover under forholdene der den oppstår.

Hvert gjennomsnitt karakteriserer populasjonen som studeres i henhold til en hvilken som helst egenskap, men for å karakterisere enhver populasjon, beskrive dens typiske trekk og kvalitative trekk, er det nødvendig med et system med gjennomsnittsindikatorer. Derfor, i praksisen med innenlandsk statistikk, for å studere sosioøkonomiske fenomener, beregnes som regel et system med gjennomsnittsindikatorer. Så for eksempel vurderes gjennomsnittslønnsindikatoren sammen med indikatorer for gjennomsnittlig produksjon, kapital-arbeidsforhold og energi-arbeidsforhold, graden av mekanisering og automatisering av arbeid, etc.

Gjennomsnittet bør beregnes under hensyntagen til det økonomiske innholdet i indikatoren som studeres. Derfor, for en spesifikk indikator som brukes i sosioøkonomisk analyse, kan bare én sann verdi av gjennomsnittet beregnes basert på den vitenskapelige beregningsmetoden.

Gjennomsnittsverdien er en av de viktigste generaliserende statistiske indikatorene, og karakteriserer et sett med lignende fenomener i henhold til en eller annen kvantitativt varierende karakteristikk. Gjennomsnitt i statistikk er generelle indikatorer, tall som uttrykker de typiske karakteristiske dimensjonene til sosiale fenomener i henhold til en kvantitativt varierende egenskap.

Typer gjennomsnitt

Typene gjennomsnittsverdier varierer først og fremst i hvilken egenskap, hvilken parameter for den innledende varierende massen av individuelle verdier av attributtet må holdes uendret.

Aritmetisk gjennomsnitt

Det aritmetiske gjennomsnittet er gjennomsnittsverdien av en karakteristikk, under beregningen av hvilken det totale volumet av karakteristikken i aggregatet forblir uendret. Ellers kan vi si at det aritmetiske gjennomsnittet er gjennomsnittsleddet. Når du beregner det, er det totale volumet av attributtet mentalt fordelt likt mellom alle enheter i befolkningen.

Det aritmetiske gjennomsnittet brukes hvis verdiene av karakteristikken som gjennomsnittsberegnes (x) og antall populasjonsenheter med en viss karakteristisk verdi (f) er kjent.

Det aritmetiske gjennomsnittet kan være enkelt eller vektet.

Enkelt aritmetisk gjennomsnitt

Enkel brukes hvis hver verdi av attributt x forekommer én gang, dvs. for hver x er verdien av attributtet f=1, eller hvis kildedataene ikke er ordnet og det er ukjent hvor mange enheter som har bestemte attributtverdier.

Formelen for det aritmetiske gjennomsnittet er enkelt:

,

For å analysere og oppnå statistiske konklusjoner basert på resultatene av sammendraget og grupperingen, beregnes generaliserende indikatorer - gjennomsnittlige og relative verdier.

Gjennomsnittsproblem – karakterisere alle enheter i en statistisk populasjon med én karakteristisk verdi.

Gjennomsnittsverdier kjennetegner kvalitetsindikatorer gründervirksomhet: distribusjonskostnader, fortjeneste, lønnsomhet, etc.

Gjennomsnittlig verdi- dette er en generaliserende karakteristikk av enheter av befolkningen i henhold til noen varierende karakteristikk.

Gjennomsnittlige verdier lar deg sammenligne nivåene av samme egenskap i forskjellige populasjoner og finne årsakene til disse avvikene.

I analysen av fenomenene som studeres, er rollen til gjennomsnittsverdier enorm. Den engelske økonomen W. Petty (1623-1687) brukte gjennomsnittsverdier mye. V. Petty ønsket å bruke gjennomsnittsverdier som et mål på kostnadene for utgiftene for den gjennomsnittlige daglige maten til en arbeider. Stabiliteten til gjennomsnittsverdien er en refleksjon av regelmessigheten til prosessene som studeres. Han mente at informasjon kan transformeres, selv om det ikke er nok originaldata.

Den engelske forskeren G. King (1648-1712) brukte gjennomsnittlige og relative verdier når han analyserte data om befolkningen i England.

Den teoretiske utviklingen til den belgiske statistikeren A. Quetelet (1796-1874) er basert på sosiale fenomeners motstridende natur – svært stabile i massene, men rent individuelle.

I følge A. Quetelet virker konstante årsaker likt på hvert fenomen som studeres og gjør disse fenomenene lik hverandre, og skaper mønstre som er felles for dem alle.

En konsekvens av læren til A. Quetelet var identifiseringen av gjennomsnittsverdier som hovedteknikken for statistisk analyse. Han sa at statistiske gjennomsnitt ikke representerer en kategori av objektiv virkelighet.

A. Quetelet uttrykte sitt syn på gjennomsnittet i sin teori om gjennomsnittsmannen. En gjennomsnittlig person er en person som har alle egenskapene i en gjennomsnittlig størrelse (gjennomsnittlig dødelighet eller fødselsrate, gjennomsnittlig høyde og vekt, gjennomsnittlig løpehastighet, gjennomsnittlig tilbøyelighet til ekteskap og selvmord, mot gode gjerninger, etc.). For A. Quetelet gjennomsnittlig person– Dette er idealet til en person. Inkonsekvensen i A. Quetelets teori om gjennomsnittsmennesket ble bevist i russisk statistisk litteratur på slutten av 1800- og 1900-tallet.

Den berømte russiske statistikeren Yu E. Yanson (1835-1893) skrev at A. Quetelet antar eksistensen i naturen av en type gjennomsnittsperson som noe gitt, som livet har avviket gjennomsnittsmenneskene i et gitt samfunn og en gitt tid fra. , og dette fører ham til et fullstendig mekanisk syn og til bevegelseslovene i det sosiale livet: bevegelse er en gradvis økning i en persons gjennomsnittlige egenskaper, en gradvis gjenoppretting av typen; følgelig en slik utjevning av alle manifestasjoner av livet til den sosiale kroppen, utover hvilken enhver fremadrettet bevegelse opphører.

Essensen av denne teorien har funnet sin videre utvikling i verkene til en rekke statistiske teoretikere som en teori om sanne mengder. A. Quetelet hadde tilhengere - den tyske økonomen og statistikeren V. Lexis (1837-1914), som overførte teorien om sanne verdier til økonomiske fenomener i det sosiale livet. Teorien hans er kjent som stabilitetsteori. En annen versjon av den idealistiske teorien om gjennomsnitt er basert på filosofien

Grunnleggeren er den engelske statistikeren A. Bowley (1869–1957) - en av de mest fremtredende teoretikere i nyere tid innen teorien om gjennomsnitt. Hans konsept med gjennomsnitt er skissert i boken hans Elements of Statistics.

A. Boley vurderer gjennomsnittsverdier kun fra den kvantitative siden, og skiller dermed kvantitet fra kvalitet. Ved å bestemme betydningen av gjennomsnittsverdier (eller "deres funksjon"), legger A. Boley frem det machianske prinsippet om tenkning. A. Boley skrev at funksjonen til gjennomsnittsverdier skulle uttrykke en kompleks gruppe

ved hjelp av noen få primtall. Statistiske data bør forenkles, grupperes og reduseres til gjennomsnitt. Disse synspunktene: delt av R. Fisher (1890-1968), J. Yule (1871 - 1951), Frederick S. Mills (1892), etc.

På 30-tallet XX århundre og påfølgende år anses gjennomsnittsverdien som en sosialt signifikant egenskap, hvis informasjonsinnhold avhenger av dataenes homogenitet.

De mest fremtredende representantene for den italienske skolen, R. Benini (1862-1956) og C. Gini (1884-1965), som betraktet statistikk som en gren av logikk, utvidet anvendelsesområdet for statistisk induksjon, men de koblet sammen de kognitive prinsippene for logikk og statistikk med arten av fenomenene som studeres, etter tradisjonene for sosiologisk tolkning av statistikk.

I verkene til K. Marx og V. I. Lenin er gjennomsnittsverdier gitt en spesiell rolle.

K. Marx hevdet at gjennomsnittet kompenserer for individuelle avvik fra det generelle nivået og mellomnivå blir en generaliserende karakteristikk av et massefenomen. Gjennomsnittsverdien blir en slik karakteristikk av et massefenomen bare hvis det tas et betydelig antall enheter og disse enhetene er kvalitativt homogene. Marx skrev at gjennomsnittsverdien som ble funnet burde være gjennomsnittet av "...mange forskjellige individuelle verdier av samme type."

Gjennomsnittsverdien får spesiell betydning i forholdene markedsøkonomi. Det hjelper å bestemme den nødvendige og generelle, tendensen til mønsteret økonomisk utvikling direkte gjennom entall og tilfeldig.

Gjennomsnittlige verdier er generelle indikatorer som handlingen kommer til uttrykk i generelle betingelser, mønsteret til fenomenet som studeres.

Statistiske gjennomsnitt er beregnet på grunnlag av massedata fra statistisk korrekt organisert masseobservasjon. Hvis det statistiske gjennomsnittet beregnes fra massedata for en kvalitativt homogen populasjon (massefenomener), så vil det være objektivt.

Gjennomsnittsverdien er abstrakt, da den karakteriserer verdien av en abstrakt enhet.

Gjennomsnittet er abstrahert fra mangfoldet av egenskapen i individuelle objekter. Abstraksjon er scenen for vitenskapelig forskning. I gjennomsnittsverdien realiseres den dialektiske enheten mellom individet og det alminnelige.

Gjennomsnittsverdier bør brukes basert på en dialektisk forståelse av kategoriene individ og generell, individ og masse.

Den midterste viser noe vanlig som er inneholdt i et spesifikt enkelt objekt.

For å identifisere mønstre i masse sosiale prosesser gjennomsnittet er viktig.

Individets avvik fra det generelle er en manifestasjon av utviklingsprosessen.

Gjennomsnittsverdien gjenspeiler det karakteristiske, typiske, reelle nivået til fenomenene som studeres. Oppgaven til gjennomsnittsverdier er å karakterisere disse nivåene og deres endringer i tid og rom.

Den gjennomsnittlige indikatoren er en vanlig verdi, fordi den er dannet under normale, naturlige, generelle forhold for eksistensen av et spesifikt massefenomen, sett på som en helhet.

Den objektive egenskapen til en statistisk prosess eller et statistisk fenomen reflekteres av gjennomsnittsverdien.

De individuelle verdiene til det statistiske attributtet som studeres er forskjellige for hver enhet av befolkningen. Gjennomsnittsverdien av individuelle verdier av en type er et produkt av nødvendighet, som er resultatet av den kombinerte handlingen til alle enheter av befolkningen, manifestert i en masse gjentatte ulykker.

Noen individuelle fenomener har egenskaper som eksisterer i alle fenomener, men i forskjellige mengder - dette er høyden eller alderen til en person. Andre tegn på et individuelt fenomen er kvalitativt forskjellige i forskjellige fenomener, det vil si at de er til stede i noen og ikke observert i andre (en mann vil ikke bli en kvinne). Gjennomsnittsverdien beregnes for egenskaper som er kvalitativt homogene og kun kvantitativt forskjellige, som er iboende i alle fenomener i et gitt sett.

Gjennomsnittsverdien er en refleksjon av verdiene til karakteristikken som studeres og måles i samme dimensjon som denne karakteristikken.

Teorien om dialektisk materialisme lærer at alt i verden forandrer seg og utvikler seg. Og også egenskapene som er preget av gjennomsnittsverdier endres, og følgelig selve gjennomsnittene.

I livet er det en kontinuerlig prosess med å skape noe nytt. Bæreren av en ny kvalitet er enkeltobjekter, så øker antallet av disse objektene, og det nye blir masse, typisk.

Gjennomsnittsverdien karakteriserer populasjonen som studeres etter kun én egenskap. For en fullstendig og omfattende representasjon av befolkningen som studeres i henhold til en rekke spesifikke egenskaper, er det nødvendig å ha et system med gjennomsnittsverdier som kan beskrive fenomenet fra forskjellige vinkler.

2. Typer gjennomsnitt

I statistisk behandling av materiale oppstår det ulike problemer som må løses, og derfor brukes ulike gjennomsnittsverdier i statistisk praksis. Matematisk statistikk bruker ulike gjennomsnitt, for eksempel: aritmetisk gjennomsnitt; geometrisk gjennomsnitt; harmonisk middel; gjennomsnittlig firkant.

For å bruke en av de ovennevnte typene gjennomsnitt, er det nødvendig å analysere befolkningen som studeres, bestemme det materielle innholdet i fenomenet som studeres, alt dette gjøres på grunnlag av konklusjoner trukket fra prinsippet om meningsfullhet av resultater når veiing eller summering.

I studiet av gjennomsnitt brukes følgende indikatorer og notasjoner.

Tegnet som gjennomsnittet er funnet med kalles gjennomsnittskarakteristikk og er angitt med x; verdien av gjennomsnittskarakteristikken for enhver enhet i en statistisk populasjon kalles dens individuelle betydning, eller alternativer, og betegnet som x 1 , X 2 , x 3 ,... X n ; frekvens er repeterbarheten til individuelle verdier av en karakteristikk, angitt med bokstaven f.

Aritmetisk gjennomsnitt

En av de vanligste typene medium er aritmetisk gjennomsnitt, som beregnes når volumet av den gjennomsnittlige karakteristikken dannes som summen av dens verdier i individuelle enheter av den statistiske populasjonen som studeres.

For å beregne det aritmetiske gjennomsnittet deles summen av alle nivåer av attributtet på antallet.

Hvis noen alternativer forekommer flere ganger, kan summen av nivåene til attributtet oppnås ved å multiplisere hvert nivå med det tilsvarende antall enheter i populasjonen og deretter legge til det aritmetiske gjennomsnittet beregnet på denne måten, kalt vektet aritmetisk gjennomsnitt.

Formelen for det vektede aritmetiske gjennomsnittet er som følger:

hvor х i er alternativer,

f i – frekvenser eller vekter.

Et vektet gjennomsnitt bør benyttes i alle tilfeller hvor opsjonene har ulike tall.

Det aritmetiske gjennomsnittet fordeler så å si likt mellom individuelle objekter den totale verdien av attributten, som i realiteten varierer for hver av dem.

Beregningen av gjennomsnittsverdier utføres ved å bruke data gruppert i form av intervallfordelingsserier, når variantene av karakteristikken som gjennomsnittet beregnes fra, presenteres i form av intervaller (fra - til).

Egenskaper til aritmetikken betyr:

1) det aritmetiske gjennomsnittet av summen av varierende verdier er lik summen av de aritmetiske middelverdiene: Hvis x i = y i +z i, så

Denne egenskapen viser i hvilke tilfeller det er mulig å oppsummere gjennomsnittsverdier.

2) den algebraiske summen av avvik av individuelle verdier med varierende karakteristikk fra gjennomsnittet er lik null, siden summen av avvik i én retning kompenseres med summen av avvik i den andre retningen:

Denne regelen viser at gjennomsnittet er resultanten.

3) hvis alle opsjoner i en serie økes eller reduseres med samme tall?, vil gjennomsnittet øke eller reduseres med samme tall?:

4) hvis alle varianter av serien økes eller reduseres med A ganger, vil gjennomsnittet også øke eller reduseres med A ganger:

5) den femte egenskapen til gjennomsnittet viser oss at den ikke avhenger av størrelsen på skalaene, men avhenger av forholdet mellom dem. Ikke bare relative, men også absolutte verdier kan tas som skalaer.

Hvis alle frekvenser i en serie er delt eller multiplisert med det samme tallet d, vil ikke gjennomsnittet endres.

Harmonisk middel. For å bestemme det aritmetiske gjennomsnittet er det nødvendig å ha en rekke alternativer og frekvenser, dvs. verdier X Og f.

La oss anta at de individuelle verdiene til karakteristikken er kjent X og fungerer X/, og frekvenser f er ukjent, så for å beregne gjennomsnittet, betegner vi produktet = X/; hvor:

Gjennomsnittet i denne formen kalles det harmoniske vektede gjennomsnittet og betegnes x skade. opp

Følgelig er det harmoniske gjennomsnittet identisk med det aritmetiske gjennomsnittet. Det gjelder når de faktiske vektene er ukjente f, og arbeidet er kjent f.eks = z

Når det fungerer f.eks enheter er like eller like (m = 1), det harmoniske enkle gjennomsnittet brukes, beregnet med formelen:

Hvor X- separate alternativer;

n- nummer.

Geometrisk gjennomsnitt

Hvis det er n vekstkoeffisienter, er formelen for gjennomsnittskoeffisienten:

Dette er den geometriske gjennomsnittsformelen.

Det geometriske gjennomsnittet er lik roten av potensen n fra produktet av vekstkoeffisienter som karakteriserer forholdet mellom verdien av hver påfølgende periode til verdien av den forrige.

Hvis verdier uttrykt i form av kvadratiske funksjoner er gjenstand for gjennomsnittsberegning, brukes middelkvadraten. For eksempel, ved å bruke rotmiddelkvadrat, kan du bestemme diameteren på rør, hjul osv.

Det enkle gjennomsnittlige kvadratet bestemmes ved å ta kvadratroten av kvotienten for å dele summen av kvadrater av de individuelle verdiene av attributtet med deres tall.

Det veide gjennomsnittlige kvadratet er lik:

3. Strukturelle gjennomsnitt. Modus og median

For å karakterisere strukturen til en statistisk populasjon brukes indikatorer som kalles strukturelle gjennomsnitt. Disse inkluderer modus og median.

Mote (M O ) - det vanligste alternativet. Mote er verdien av attributtet som tilsvarer maksimumspunktet til den teoretiske fordelingskurven.

Mote representerer den hyppigst forekommende eller typiske betydningen.

Mote brukes i kommersiell praksis for å studere forbrukernes etterspørsel og rekordpriser.

I en diskret serie er modus varianten med høyest frekvens. I en intervallvariasjonsserie anses modusen for å være den sentrale varianten av intervallet, som har høyest frekvens (særlighet).

Innenfor intervallet må du finne verdien av attributtet som er modusen.

Hvor X O– nedre grense for det modale intervallet;

h– verdien av det modale intervallet;

f m– frekvensen av det modale intervallet;

f t-1 – frekvensen av intervallet før det modale;

f m+1 – frekvensen til intervallet etter det modale.

Modusen avhenger av størrelsen på gruppene og den nøyaktige plasseringen av gruppegrensene.

Mote– tallet som faktisk forekommer oftest (er en bestemt verdi), har i praksis størst anvendelse (den vanligste typen kjøper).

Median (M e er en mengde som deler tallet på en bestilt variasjonsserie i to like deler: den ene delen har verdier av den varierende karakteristikken som er mindre enn gjennomsnittsvarianten, og den andre har større verdier.

Median- et element som er større enn eller lik og samtidig mindre enn eller lik lik halvparten de resterende elementene i distribusjonsserien.

Egenskapen til medianen er at summen av de absolutte avvikene til attributtverdiene fra medianen er mindre enn fra noen annen verdi.

Ved å bruke medianen kan du få mer nøyaktige resultater enn å bruke andre former for gjennomsnitt.

Rekkefølgen for å finne medianen i en intervallvariasjonsserie er som følger: vi ordner de individuelle verdiene til karakteristikken i henhold til rangering; vi bestemmer de akkumulerte frekvensene for en gitt rangert serie; Ved å bruke de akkumulerte frekvensdataene finner vi medianintervallet:

Hvor x meg– nedre grense for medianintervallet;

jeg Meg– verdien av medianintervallet;

f/2– halv sum av frekvenser i serien;

S Meg-1 – summen av akkumulerte frekvenser før medianintervallet;

f Meg– frekvensen av medianintervallet.

Medianen deler tallet på en serie i to, derfor er det der den akkumulerte frekvensen er halvparten eller mer enn halvparten av den totale summen av frekvenser, og den forrige (akkumulerte) frekvensen er mindre enn halvparten av populasjonens antall.

Gjennomsnittsverdien er den mest verdifulle fra et analytisk synspunkt og en universell uttrykksform for statistiske indikatorer. Det vanligste gjennomsnittet - det aritmetiske gjennomsnittet - har en rekke matematiske egenskaper som kan brukes i beregningen. Samtidig, når du beregner et spesifikt gjennomsnitt, er det alltid tilrådelig å stole på dens logiske formel, som er forholdet mellom volumet av attributtet og volumet av befolkningen. For hvert gjennomsnitt er det bare ett ekte innledende forhold, hvis implementering, avhengig av tilgjengelige data, kan kreve forskjellige former for gjennomsnitt. Men i alle tilfeller der karakteren av verdien som gjennomsnittsberegnes tilsier tilstedeværelsen av vekter, er det umulig å bruke deres uvektede formler i stedet for vektede gjennomsnittsformler.

Gjennomsnittsverdien er den mest karakteristiske verdien av attributtet for populasjonen og størrelsen på attributtet til populasjonen fordelt på like deler mellom enheter av befolkningen.

Karakteristikken som gjennomsnittsverdien beregnes for kalles gjennomsnitt .

Gjennomsnittsverdien er en indikator som beregnes ved å sammenligne absolutte eller relative verdier. Gjennomsnittsverdien er angitt

Gjennomsnittsverdien gjenspeiler påvirkningen av alle faktorer som påvirker fenomenet som studeres og er resultatet for dem. Med andre ord, ved å slukke individuelle avvik og eliminere påvirkningen av tilfeller, fungerer gjennomsnittsverdien, som gjenspeiler det generelle målet for resultatene av denne handlingen, som et generelt mønster av fenomenet som studeres.

Betingelser for bruk av gjennomsnittsverdier:

Ø homogenitet i befolkningen som studeres. Hvis noen elementer i en populasjon som er utsatt for påvirkning av en tilfeldig faktor har verdier av karakteristikken som studeres som er vesentlig forskjellig fra resten, vil disse elementene påvirke størrelsen på gjennomsnittet for denne populasjonen. I dette tilfellet vil ikke gjennomsnittet uttrykke den mest typiske verdien av attributtet for populasjonen. Hvis fenomenet som studeres er heterogent, krever det inndeling i grupper som inneholder homogene elementer. I i dette tilfellet gruppegjennomsnitt beregnes - gruppegjennomsnitt, som uttrykker den mest karakteristiske verdien av fenomenet i hver gruppe, og deretter beregnes den totale gjennomsnittsverdien for alle elementer, som karakteriserer fenomenet som helhet. Det beregnes som gjennomsnittet av gruppegjennomsnitt, vektet med antall befolkningselementer som inngår i hver gruppe;

Ø et tilstrekkelig antall enheter totalt;

Ø maksimums- og minimumsverdiene for egenskapen i befolkningen som studeres.

Gjennomsnittlig verdi (indikator)er en generalisert kvantitativ karakteristikk av en egenskap i et systematisk aggregat under spesifikke forhold for sted og tid.

I statistikk brukes følgende former (typer) av gjennomsnitt, kalt kraft og strukturelle:

Ø aritmetisk gjennomsnitt(enkel og vektet);

Forelesning 5. Gjennomsnittsverdier

Begrepet gjennomsnitt i statistikk

Aritmetisk gjennomsnitt og dets egenskaper

Andre typer effektgjennomsnitt

Modus og median

Kvartiler og desiler

Gjennomsnittsverdier er mye brukt i statistikk. Gjennomsnittlige verdier kjennetegner de kvalitative indikatorene for kommersiell aktivitet: distribusjonskostnader, fortjeneste, lønnsomhet, etc.

Gjennomsnittlig– Dette er en av de vanlige generaliseringsteknikkene. En riktig forståelse av essensen av gjennomsnittet bestemmer dets spesielle betydning i en markedsøkonomi, når gjennomsnittet, gjennom det individuelle og tilfeldige, gjør det mulig å identifisere det generelle og nødvendige, for å identifisere trenden med mønstre for økonomisk utvikling.

Gjennomsnittlig verdi- dette er generaliserende indikatorer der effektene av generelle forhold og mønstre av fenomenet som studeres kommer til uttrykk.

Gjennomsnittlig verdi (i statistikk) – en generell indikator som karakteriserer den typiske størrelsen eller nivået av sosiale fenomener per enhet av befolkningen, alt annet likt.

Ved å bruke metoden for gjennomsnitt kan følgende løses: hovedoppgaver:

1. Kjennetegn på utviklingsnivået av fenomener.

2. Sammenligning av to eller flere nivåer.

3. Studie av sammenhengene mellom sosioøkonomiske fenomener.

4. Analyse av lokalisering av sosioøkonomiske fenomener i verdensrommet.

Statistiske gjennomsnitt er beregnet på grunnlag av massedata fra korrekt statistisk organisert masseobservasjon (kontinuerlig og selektiv). Det statistiske gjennomsnittet vil imidlertid være objektivt og typisk dersom det beregnes ut fra massedata for en kvalitativt homogen populasjon (massefenomener). For eksempel hvis du regner ut gjennomsnittet lønn i samvirkeforetak og statseide virksomheter, og resultatet utvides til hele befolkningen, så er gjennomsnittet fiktivt, siden det ble regnet ut fra en heterogen befolkning, og et slikt gjennomsnitt mister all mening.

Ved hjelp av gjennomsnittet utjevnes forskjeller i verdien av en egenskap som oppstår av en eller annen grunn i individuelle observasjonsenheter. For eksempel avhenger gjennomsnittlig produktivitet til en selger av mange årsaker: kvalifikasjoner, tjenestetid, alder, tjenesteform, helse, etc.

Essensen av gjennomsnittet ligger i det faktum at det kansellerer avvikene i de karakteristiske verdiene til individuelle enheter av befolkningen forårsaket av virkningen av tilfeldige faktorer, og tar hensyn til endringene forårsaket av virkningen av hovedfaktorene. Dette gjør at gjennomsnittet kan reflektere det typiske nivået til egenskapen og abstrahere fra de individuelle egenskapene som ligger i individuelle enheter.

Gjennomsnittsverdien er en refleksjon av verdiene til karakteristikken som studeres, derfor måles den i samme dimensjon som denne karakteristikken.

Hver gjennomsnittsverdi karakteriserer populasjonen som studeres i henhold til en hvilken som helst egenskap. For å få en fullstendig og helhetlig forståelse av befolkningen som studeres i henhold til en rekke essensielle egenskaper, er det generelt nødvendig å ha et system med gjennomsnittsverdier som kan beskrive fenomenet fra forskjellige vinkler.

Det er forskjellige gjennomsnitt:

Aritmetisk gjennomsnitt;

Geometrisk gjennomsnitt;

Harmonisk middel;

Gjennomsnittlig kvadrat;

Gjennomsnittlig kronologisk.