Vídeo aula “Solução gráfica da desigualdade linear modular. Resolvendo graficamente sistemas de desigualdades lineares
Seja dada uma desigualdade linear com duas variáveis e 
(1)
Se os valores 
E 
considerados como coordenadas de pontos no plano, então o conjunto de pontos no plano cujas coordenadas satisfazem a desigualdade (1) é chamado de domínio de soluções para essa desigualdade. Consequentemente, o domínio de soluções para a desigualdade (1) é um semiplano com uma linha reta limite 
.
Exemplo 1.
.
Solução. Construindo uma linha reta 
por dois pontos, por exemplo, pelos pontos de intersecção com os eixos coordenados (0; 4) e (6; 0). Esta linha divide o plano em duas partes, ou seja, em dois semiplanos. Tomamos qualquer ponto do plano que não esteja na linha construída. Se as coordenadas de um ponto satisfazem a desigualdade dada, então a região de solução é o semiplano no qual esse ponto está localizado. Se obtivermos uma desigualdade numérica incorreta, então a área da solução é o semiplano ao qual este ponto não pertence. Normalmente o ponto (0; 0) é considerado para controle.
Vamos substituir 
E 
para a desigualdade dada. Nós conseguimos 
. Consequentemente, o semiplano “em direção a zero” é a região de soluções para esta desigualdade (parte sombreada da Fig. 1).
Exemplo 2. Encontre o semiplano definido pela desigualdade
.
Solução. Construindo uma linha reta 
, por exemplo, pelos pontos (0; 0) e (1; 3). Porque a linha reta passa pela origem das coordenadas, o ponto (0; 0), então você não pode controlá-la. Tomemos, por exemplo, o ponto (– 2; 0) e substituamos suas coordenadas na desigualdade dada. Nós conseguimos 
. Isto não é verdade. Isto significa que a região de soluções para esta desigualdade será o semiplano ao qual o ponto de controle não pertence (parte sombreada da Fig. 2).
2. Domínio de solução de um sistema de desigualdades lineares.
Exemplo. Encontre a área de solução do sistema de desigualdades:
Solução. Encontramos a região de soluções para a primeira desigualdade (Fig. 1) e a segunda desigualdade (Fig. 2).
Todos os pontos da parte do plano onde a hachura é sobreposta satisfarão tanto a primeira quanto a segunda desigualdade. Assim, obtém-se a área de solução para um determinado sistema de desigualdades (Fig. 3).
Se adicionarmos as condições a um determinado sistema de desigualdades 
E 
, então o domínio de solução do sistema de desigualdades 
estará localizado apenas no trimestre de coordenadas I (Fig. 4).
O princípio de encontrar uma solução para um sistema de desigualdades lineares não depende do número de desigualdades incluídas no sistema.
Observação : Se existir uma região de solução admissível (ADA), é um polígono convexo fechado ou aberto.
3. Algoritmo para método gráfico de resolução de problemas
Se um problema de programação linear contém apenas duas variáveis, então ele pode ser resolvido graficamente realizando as seguintes operações:
Exemplo. Resolva um problema de programação linear graficamente
máx.
Solução. A terceira e quarta restrições do sistema são desigualdades duplas; vamos transformá-las numa forma mais familiar para tais problemas; 
, Esse 
E 
, Que. a primeira das desigualdades resultantes 
(ou 
) refere-se à condição de não negatividade, e a segunda 
a um sistema de restrições. Da mesma maneira, 
Esse 
E 
.
Que. o problema assumirá a forma
máx.
,
Substituindo os sinais de desigualdade por sinais de igualdade exatos, construímos uma região de soluções admissíveis usando equações de reta:
;
;
;
.
A região de solução das desigualdades é um pentágono ABCDE.
Vamos construir um vetor 
.
Através da origem perpendicular ao vetor 
desenhe uma linha de nível 
. E então vamos movê-lo paralelamente a si mesmo na direção do vetor 
ao ponto de saída da região de soluções viáveis. Este será o ponto COM. Vamos encontrar as coordenadas deste ponto resolvendo um sistema composto pelas equações da primeira e quarta linhas:
.
Vamos substituir as coordenadas do ponto COM na função objetivo e encontre seu valor máximo 
Exemplo. Construir linhas de nível 
E 
para um problema de programação linear:
máx.
(min)
Solução. A região de soluções viáveis é uma região aberta (Fig. 6). Linha de nível 
passa por um ponto EM. Função Z tem um mínimo neste momento. Linha de nível 
não pode ser construído, uma vez que não há ponto de saída da região de soluções viáveis, isso significa que 
.
Tarefas para trabalho independente.
Encontre a área de solução do sistema de desigualdades:
UM) 
b) 
Resolva um problema de programação linear graficamente
min
Criar um modelo econômico-matemático e resolver graficamente um problema de programação linear
A empresa produz produtos de dois tipos, A e B. Os produtos de cada tipo são processados em duas máquinas (I e II). O tempo de processamento de um produto de cada tipo nas máquinas, o tempo de operação das máquinas por turno de trabalho, o lucro da empresa com a venda de um produto do tipo A e do tipo B estão listados na tabela:
Um estudo do mercado de vendas mostrou que a demanda diária por produtos do tipo B nunca excede a demanda por produtos do tipo A em mais de 40 unidades, e a demanda por produtos do tipo A não excede 90 unidades por dia.
Determine o plano de produção do produto que proporciona o maior lucro.
veja também Resolvendo graficamente um problema de programação linear, Forma canônica de problemas de programação linear
O sistema de restrições para tal problema consiste em desigualdades em duas variáveis:
e a função objetivo tem a forma F = C 1 x + C 2 sim que precisa ser maximizado.
Vamos responder à pergunta: quais pares de números ( x; sim) são soluções para o sistema de desigualdades, ou seja, satisfazem cada uma das desigualdades simultaneamente? Em outras palavras, o que significa resolver um sistema graficamente?
Primeiro você precisa entender qual é a solução para uma desigualdade linear com duas incógnitas.
Resolver uma desigualdade linear com duas incógnitas significa determinar todos os pares de valores desconhecidos para os quais a desigualdade é válida.
Por exemplo, desigualdade 3 x
– 5sim≥ 42 pares satisfatórios ( x , sim) : (100, 2); (3, –10), etc. A tarefa é encontrar todos esses pares.
Vamos considerar duas desigualdades: machado
+ por≤ c, machado + por≥ c. Direto machado + por = c divide o plano em dois semiplanos de modo que as coordenadas dos pontos de um deles satisfaçam a desigualdade machado + por >c, e a outra desigualdade machado + +por <c.
Na verdade, tomemos um ponto com coordenadas x = x 0; então um ponto situado em uma linha e tendo uma abcissa x 0, tem uma ordenada
Deixe com certeza um< 0, b>0,
c>0. Todos os pontos com abscissa x 0 deitado acima P(por exemplo, ponto M), ter e M>sim 0 e todos os pontos abaixo do ponto P, com abscissa x 0, tem e N<sim 0. Desde x 0 é um ponto arbitrário, então sempre haverá pontos em um lado da linha para os quais machado+ por > c, formando um semiplano, e do outro lado - pontos para os quais machado + por< c.
Figura 1
O sinal de desigualdade no semiplano depende dos números um, b , c.
Isto implica o seguinte método para resolver graficamente sistemas de desigualdades lineares em duas variáveis. Para resolver o sistema você precisa:
- Para cada desigualdade, escreva a equação correspondente a esta desigualdade.
- Construa linhas retas que sejam gráficos de funções especificadas por equações.
- Para cada reta, determine o semiplano, que é dado pela desigualdade. Para fazer isso, pegue um ponto arbitrário que não esteja na reta e substitua suas coordenadas na desigualdade. se a desigualdade for verdadeira, então o semiplano que contém o ponto escolhido é a solução da desigualdade original. Se a desigualdade for falsa, então o semiplano do outro lado da reta é o conjunto de soluções para essa desigualdade.
- Para resolver um sistema de desigualdades, é necessário encontrar a área de intersecção de todos os semiplanos que são a solução para cada desigualdade do sistema.
Esta área pode ficar vazia, então o sistema de desigualdades não tem soluções e é inconsistente. EM de outra forma o sistema é dito cooperativo.
Pode haver um número finito ou um número infinito de soluções. A área pode ser um polígono fechado ou ilimitado.
Vejamos três exemplos relevantes.
Exemplo 1. Resolva o sistema graficamente:
x + você – 1 ≤ 0;
–2x- 2sim + 5 ≤ 0.
- considere as equações x+y–1=0 e –2x–2y+5=0 correspondentes às desigualdades;
- Vamos construir linhas retas dadas por essas equações.
Figura 2
Vamos definir os semiplanos definidos pelas desigualdades. Tomemos um ponto arbitrário, seja (0; 0). Vamos considerar x+ você– 1 0, substitua o ponto (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Isso significa que no semiplano onde está o ponto (0; 0), x + sim –
1 ≤ 0, ou seja, o semiplano abaixo da linha é uma solução para a primeira desigualdade. Substituindo este ponto (0; 0) no segundo, obtemos: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, ou seja, no semiplano onde está o ponto (0; 0), –2 x – 2sim+ 5≥ 0, e nos perguntaram onde –2 x
– 2sim+ 5 ≤ 0, portanto, no outro semiplano - naquele acima da reta.
Vamos encontrar a intersecção desses dois semiplanos. As retas são paralelas, portanto os planos não se cruzam em lugar nenhum, o que significa que o sistema dessas desigualdades não tem solução e é inconsistente.
Exemplo 2. Encontre soluções gráficas para o sistema de desigualdades: 
Figura 3
1. Vamos escrever as equações correspondentes às desigualdades e construir retas.
x + 2sim– 2 = 0
| x | 2 | 0 |
| sim | 0 | 1 |
sim – x – 1 = 0
| x | 0 | 2 |
| sim | 1 | 3 |
sim + 2 = 0;
sim = –2.
2. Escolhido o ponto (0; 0), determinamos os sinais das desigualdades nos semiplanos:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, ou seja, x + 2sim– 2 ≤ 0 no semiplano abaixo da reta;
0 – 0 – 1 ≤ 0, ou seja, sim –x– 1 ≤ 0 no semiplano abaixo da reta;
0 + 2 =2 ≥ 0, ou seja, sim+ 2 ≥ 0 no semiplano acima da reta.
3. A intersecção destes três semiplanos será uma área que é um triângulo. Não é difícil encontrar os vértices da região como pontos de intersecção das linhas correspondentes
Por isso, UM(–3; –2), EM(0; 1), COM(6; –2).
Consideremos outro exemplo em que o domínio de solução resultante do sistema não é limitado.
O sistema consiste em desigualdades em duas variáveis:
Para resolver o sistema você precisa:
1. Para cada desigualdade, escreva a equação correspondente a esta desigualdade.
2. Construa linhas retas, que são gráficos de funções especificadas por equações.
3. Para cada reta, determine o semiplano, que é dado pela desigualdade. Para fazer isso, pegue um ponto arbitrário que não esteja na reta e substitua suas coordenadas na desigualdade. se a desigualdade for verdadeira, então o semiplano que contém o ponto escolhido é a solução da desigualdade original. Se a desigualdade for falsa, então o semiplano do outro lado da reta é o conjunto de soluções para essa desigualdade.
4. Para resolver um sistema de desigualdades, é necessário encontrar a área de intersecção de todos os semiplanos que são a solução para cada desigualdade do sistema.
Esta área pode ficar vazia, então o sistema de desigualdades não tem soluções e é inconsistente. Caso contrário, o sistema é dito consistente. Pode haver um número finito ou um número infinito de soluções. A área pode ser um polígono fechado ou ilimitado.
Exemplo 3. Resolva o sistema graficamente: 
Considere as equações x + y–1 = 0 e –2x – 2y + 5 = 0, correspondentes às desigualdades. Vamos construir retas dadas por essas equações (Fig. 3).
Figura 3 – Imagem de retas
Vamos definir os semiplanos definidos pelas desigualdades. Tomemos um ponto arbitrário, seja (0; 0). Considere x+ y– 1 ≤ 0, substitua o ponto (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0. Isso significa que no semiplano onde está o ponto (0; 0), x + y – 1 ≤ 0 , ou seja . o semiplano abaixo da linha é uma solução para a primeira desigualdade. Substituindo este ponto (0; 0) no segundo, obtemos: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0, ou seja, no semiplano onde está o ponto (0; 0), –2x – 2y + 5≥ 0, e nos perguntaram onde –2x – 2y + 5 ≤ 0, portanto, no outro semiplano – naquele acima da linha reta.
Vamos encontrar a intersecção desses dois semiplanos. As retas são paralelas, portanto os planos não se cruzam em lugar nenhum, o que significa que o sistema dessas desigualdades não tem solução e é inconsistente.
Exemplo 4. Encontre soluções gráficas para o sistema de desigualdades:
1. Vamos escrever as equações correspondentes às desigualdades e construir retas (Fig. 4).
x + 2y– 2 = 0 x 2 0
y – x – 1 = 0 x 0 2
y + 2 = 0; y = –2.
Figura 4 – Imagem de retas
2. Escolhido o ponto (0; 0), determinamos os sinais das desigualdades nos semiplanos:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0, ou seja, x + 2y– 2 ≤ 0 no semiplano abaixo da reta;
0 – 0 – 1 ≤ 0, ou seja, y –x– 1 ≤ 0 no semiplano abaixo da reta;
0 + 2 =2 ≥ 0, ou seja, y + 2 ≥ 0 no semiplano acima da linha reta.
3. A intersecção destes três semiplanos será uma área que é um triângulo. Não é difícil encontrar os vértices da região como pontos de intersecção das linhas correspondentes
Assim, A(–3; –2), B(0; 1), C(6; –2).
Consideremos outro exemplo em que o domínio de solução resultante do sistema é ilimitado.
Exemplo 5. Resolva o sistema graficamente
Vamos escrever as equações correspondentes às desigualdades e construir retas (Fig. 5).
Figura 5 – Imagem de retas
x + y – 1 = 0 x 0 1
y – x – 1 = 0 x 0 –1
Vamos definir sinais em semiplanos. Vamos selecionar o ponto (0; 0):
0 – 0 – 1 ≤ 0, ou seja, y – x – 1 ≤ 0 abaixo da reta;
0 + 0 – 1 ≤ 0, ou seja, x + y – 1 ≤ 0 abaixo da linha reta.
A intersecção de dois semiplanos é um ângulo com seu vértice no ponto A(0;1). Esta região ilimitada é a solução para o sistema original de desigualdades.
Deixar f(x,y) E g(x, y)- duas expressões com variáveis X E no e escopo X. Então desigualdades da forma f(x, y) > g(x, y) ou f(x, y) < g(x, y) chamado desigualdade com duas variáveis .
Significado das Variáveis x, você de muitos X, em que a desigualdade se transforma em uma verdadeira desigualdade numérica, é chamada decisão e é designado (x, y). Resolva a desigualdade - isso significa encontrar muitos desses pares.
Se cada par de números (x, y) do conjunto de soluções para a desigualdade, combine o ponto M(x, y), obtemos o conjunto de pontos do plano definido por esta desigualdade. Eles o chamam gráfico desta desigualdade . O gráfico de uma inequação é geralmente uma área de um plano.
Para representar o conjunto de soluções para a desigualdade f(x, y) > g(x, y), proceda da seguinte forma. Primeiro, substitua o sinal de desigualdade por um sinal de igual e encontre uma reta que tenha a equação f(x,y) = g(x,y). Esta linha divide o avião em várias partes. Depois disso, basta pegar um ponto em cada parte e verificar se a desigualdade é satisfeita neste ponto f(x, y) > g(x, y). Se for executado neste ponto, então será executado em toda a parte onde se encontra este ponto. Combinando essas peças, obtemos muitas soluções.
Tarefa. sim > x.
Solução. Primeiro, substituímos o sinal de desigualdade por um sinal de igual e construímos uma linha em um sistema de coordenadas retangulares que tem a equação sim = x.
Esta linha divide o plano em duas partes. Depois disso, pegue um ponto em cada parte e verifique se a desigualdade é satisfeita neste ponto sim > x.
Tarefa. Resolva graficamente a desigualdade
X 2 + no 2 £ 25.
|
Solução. Primeiro, substitua o sinal de desigualdade por um sinal de igual e desenhe uma linha X 2 + no 2 = 25. Este é um círculo com centro na origem e raio 5. O círculo resultante divide o plano em duas partes. Verificando a satisfatibilidade da desigualdade X 2 + no 2 £ 25 em cada parte, descobrimos que o gráfico é um conjunto de pontos em um círculo e partes de um plano dentro do círculo. Sejam dadas duas desigualdades f 1(x, y) > g 1(x, y) E f 2(x, y) > g 2(x, y).
Sistemas de conjuntos de desigualdades com duas variáveis
Sistema de desigualdades representa você mesmo conjunção dessas desigualdades. Solução do sistema é todo significado (x, y), o que transforma cada uma das desigualdades em uma verdadeira desigualdade numérica. Muitas soluções sistemas desigualdades é a intersecção de conjuntos de soluções para desigualdades que formam um determinado sistema.
Conjunto de desigualdades representa você mesmo disjunção destes desigualdades Definir solução é todo significado (x, y), que converte pelo menos uma do conjunto de desigualdades em uma verdadeira desigualdade numérica. Muitas soluções totalidade é uma união de conjuntos de soluções para desigualdades que formam um conjunto.
Tarefa. Resolva graficamente o sistema de desigualdades 
Solução. y = x E X 2 + no 2 = 25. Resolvemos cada desigualdade do sistema.
O gráfico do sistema será o conjunto de pontos do plano que são a intersecção (hachurado duplo) dos conjuntos de soluções da primeira e da segunda desigualdades.
Tarefa. Resolva graficamente um conjunto de desigualdades 
Exercícios para trabalho independente
1. Resolva graficamente as desigualdades: a) no> 2x; b) no< 2x + 3;
V) x 2+ você 2 > 9; G) x 2+ você 2 £ 4.
2. Resolva graficamente sistemas de desigualdades:
a)b) 
Solução aproximada de desigualdades.
Solução gráfica de desigualdades com uma incógnita.
Solução gráfica de sistemas de desigualdades com duas incógnitas.
Intersecção de soluções.
A representação gráfica de funções permite aproximadamente decidir
desigualdades com uma incógnita e sistemas de desigualdades com um e duas incógnitas. Para resolver graficamente uma inequação com uma incógnita, é necessário transferir todos os seus membros em uma parte, ou seja, e . levar a:f ( x ) > 0 ,
e plote a função e = f(x ). Depois disso, Usando o gráfico construído, você pode encontrar zeros de função(veja), que dividirá o eixoX por vários intervalos. x, Agora, com base nisso, determinamos os intervalosdentro do qual o sinal de função corresponde ao sinal de desigualdade. Por exemplo,zeros da nossa função: um E b (Fig. 30). Então do gráfico é óbvio que os intervalos dentro dos quais (x ) > 0: x < zeros da nossa função: um x > E f (eles estão destacados com setas em negrito). É claro que o sinal > < , .
aqui é condicional; em vez disso, pode haver qualquer outro: Para resolver graficamente o sistema de desigualdades Com e um desconhecido, você precisa transferir todos os termos de cada um deles em uma parte, ou seja,
. traga as desigualdades para a forma: e construir gráficos de funções ( x ), e = f = sim (x ) , ... , e = f = g (x). h Cada dessas desigualdades é resolvida pelo método gráfico descrito acima. Depois disso precisa encontrar intersecção de soluções todas as desigualdades, ou seja,
e.
sua parte comum.EXEMPLO Resolva graficamente o sistema de desigualdades: = - 2 / 3 x Solução Primeiro, vamos representar graficamente as funções.
EXEMPLO Resolva graficamente o sistema de desigualdades: = x 2 sim
+ 2 e- 1 (Fig. 31):x> 3, A decisão do primeirox < - 1 и xdesigualdade é o intervalo
indicado na Fig. 31 por uma seta preta; a solução para a segunda desigualdade consiste em dois intervalos:> 1, indicado na Fig. 31 por setas cinzas. Pelo gráfico fica claroO quea interseção dessas duas soluções é o intervalo
x
1) > 3. Esta é a solução para o determinado sistema de desigualdades. Para resolver graficamente um sistema de duas desigualdades com duas incógnitas, é necessário:
em cada um deles, mova todos os termos para uma parte, ou seja,
2) e. trazer f (desigualdades na forma: construir gráficos de funções especificadas implicitamente: x, você (desigualdades na forma:) = 0;
3) ) = 0 e
g Cada um desses gráficos divide o plano de coordenadas em duas partes: decidir
graficamente cada uma dessas desigualdades, basta verificar
validade da desigualdade em um ponto arbitrário dentro de qualquer
partes do avião; se a desigualdade ocorrer neste ponto, então
esta parte plano coordenado a decisão é dele, se não, então
a solução é a parte oposta do plano ;
4) a solução para um determinado sistema de desigualdades é a intersecção
(área geral) de partes do plano de coordenadas.
EXEMPLO Resolva o sistema de desigualdades:
Solução Primeiro, construímos gráficos de funções lineares: 5.x – 7 EXEMPLO Resolva graficamente o sistema de desigualdades:= - 11 e
2 x + 3 EXEMPLO Resolva graficamente o sistema de desigualdades:= 10 (Fig. 32). Para cada um deles encontramos um semiplano,
dentro do qual o correspondentedada a desigualdade
justo. Sabemos que basta verificar a justiça
Desigualdades num ponto arbitrário da região; nesta
Neste caso, é mais fácil usar a origem das coordenadas para este Ó(0, 0 ).
Enquadrando-o coordenadas em nossas desigualdades em vez dissox E e = f,
Obtemos: 5 0 – 7 0 = 0 > - 11, portanto, menor
meio plano (amarelo) é a solução para o primeiro
Desigualdades; 2 0 + 3 0 = 0< 10, поэтому второе desigualdade
Sua solução também possui o semiplano inferior ( azul
cores ). A interseção desses semiplanos ( área de cor turquesa)
é a solução nosso sistema de desigualdades.