Agora vamos falar sobre como calcular média.
De uma forma clássica teoria geral as estatísticas nos oferecem uma versão das regras para a escolha do valor médio.
Primeiro, você precisa criar a fórmula lógica correta para calcular o valor médio (AFV). Para cada valor médio existe sempre apenas uma fórmula lógica para calculá-lo, por isso é difícil cometer erros aqui. Mas devemos sempre lembrar que o numerador (é o que está no topo da fração) contém a soma de todos os fenômenos, e o denominador (é o que está na parte inferior da fração) contém o número total de elementos.

Depois que a fórmula lógica for compilada, você poderá usar as regras (para facilitar o entendimento, iremos simplificá-las e encurtá-las):
1. Se os dados iniciais (determinados pela frequência) contiverem o denominador de uma fórmula lógica, o cálculo será realizado usando a fórmula da média aritmética ponderada.
2. Se o numerador de uma fórmula lógica for apresentado nos dados iniciais, o cálculo será realizado usando a fórmula da média harmônica ponderada.
3. Se o problema apresenta tanto o numerador quanto o denominador de uma fórmula lógica (isso raramente acontece), então realizamos o cálculo utilizando esta fórmula ou a fórmula da média aritmética simples.
Esta é a ideia clássica de escolher a fórmula certa para calcular a média. A seguir apresentamos a sequência de ações na resolução de problemas de cálculo do valor médio.

Algoritmo para resolução de problemas de cálculo do valor médio

A. Determine o método de cálculo do valor médio - simples ou ponderado . Se os dados forem apresentados em uma tabela, então utilizamos um método ponderado, se os dados são apresentados por uma enumeração simples, então utilizamos um método de cálculo simples.

B. Determinar ou organizar símbolos – x – opção, f – frequência . Opção é o fenômeno para o qual você deseja encontrar o valor médio. Os demais dados da tabela serão a frequência.

B. Determinamos a forma de cálculo do valor médio - aritmética ou harmônica . A determinação é realizada usando a coluna de frequência. A forma aritmética é usada se as frequências são especificadas por uma quantidade explícita (condicionalmente, você pode substituir a palavra peças, o número de elementos “peças”). A forma harmônica é usada se as frequências são especificadas não por uma quantidade explícita, mas por um indicador complexo (o produto da quantidade média e da frequência).

O mais difícil é adivinhar onde e quanto é dado, principalmente para um aluno inexperiente no assunto. Nessa situação, você pode usar um dos seguintes métodos. Para algumas tarefas (económicas), é adequada uma declaração desenvolvida ao longo de anos de prática (ponto B.1). Nas restantes situações terá que utilizar o ponto B.2.

B.1 Se a frequência for dada em unidades monetárias (em rublos), então a média harmônica é utilizada para o cálculo, esta afirmação é sempre verdadeira, se a frequência identificada for dada em dinheiro, nas demais situações esta regra não se aplica.

B.2 Utilize as regras para escolha do valor médio indicadas acima neste artigo. Se a frequência for dada pelo denominador da fórmula lógica de cálculo do valor médio, então calculamos pela forma da média aritmética; se a frequência for dada pelo numerador da fórmula lógica de cálculo do valor médio, então calculamos pela forma; forma média harmônica.

Vejamos exemplos de uso desse algoritmo.

R. Como os dados são apresentados em linha, usamos um método de cálculo simples.

B.V. Só temos dados sobre o valor das pensões, e serão a nossa opção - x. Os dados são apresentados como um número simples (12 pessoas), para cálculo utilizamos a média aritmética simples.

A pensão média de um pensionista é de 9.208,3 rublos.

B. Como precisamos encontrar tamanho médio pagamentos por filho, então as opções ficam na primeira coluna, coloque a designação x ali, a segunda coluna passa automaticamente a ser a frequência f.

B. A frequência (número de filhos) é dada por uma quantidade explícita (você pode substituir a palavra pedaços de crianças, do ponto de vista da língua russa esta é uma frase incorreta, mas, na verdade, é muito conveniente verificação), o que significa que a média aritmética ponderada é usada para o cálculo.

O mesmo problema pode ser resolvido não por um método estereotipado, mas por um método tabular, ou seja, inserindo todos os dados dos cálculos intermediários em uma tabela.

Como resultado, tudo o que precisa ser feito agora é separar os dois totais na ordem correta.

O pagamento médio por criança por mês foi de 1.910 rublos.

A. Como os dados são apresentados na tabela, utilizamos a forma ponderada para cálculo.

B. A frequência (custo de produção) é dada por uma quantidade implícita (a frequência é dada em rublos ponto do algoritmo B1), o que significa que a média harmônica ponderada é usada para o cálculo. Em geral, em essência, o custo de produção é um indicador complexo, que se obtém multiplicando o custo de uma unidade de um produto pela quantidade desses produtos, essa é a essência da média harmônica.

Para que este problema seja resolvido pela fórmula da média aritmética, é necessário que ao invés do custo de produção haja a quantidade de produtos com o custo correspondente.

Observe que a soma do denominador obtido após os cálculos é 410 (120+80+210), este é o número total de produtos produzidos.

O custo médio por unidade de produto foi de 314,4 rublos.

A. Como os dados são apresentados na tabela, utilizamos a forma ponderada para cálculo.

B. Como precisamos encontrar o custo médio por unidade de produto, as opções estão na primeira coluna, colocamos a designação x ali, a segunda coluna passa automaticamente a ser a frequência f.

B. A frequência (número total de faltas) é dada por uma quantidade implícita (este é o produto de dois indicadores do número de faltas e do número de alunos com esse número de faltas), o que significa que se utiliza a média harmónica ponderada para o cálculo. Usaremos o ponto do algoritmo B2.

Para que este problema seja resolvido pela fórmula da média aritmética, é necessário que no lugar do número total de faltas esteja o número de alunos.

Criamos uma fórmula lógica para cálculo da média de faltas por aluno.

Frequência por condição da tarefa Número total de omissões. Na fórmula lógica, este indicador está no numerador, o que significa que utilizamos a fórmula da média harmônica.

Observe que a soma no denominador, resultante dos cálculos 31 (18+8+5), é o número total de alunos.

A média de faltas por aluno é de 13,8 dias.

Disciplina: Estatística

Opção nº 2

Valores médios usados ​​em estatísticas

Introdução……………………………………………………………………………….3

Tarefa teórica

Valor médio nas estatísticas, sua essência e condições de aplicação.

1.1. A essência do tamanho médio e condições de uso………….4

1.2. Tipos de médias……………………………………………………8

Tarefa prática

Tarefa 1,2,3……………………………………………………………………………………14

Conclusão……………………………………………………………………………….21

Lista de referências……………………………………………………...23

Introdução

Esse teste consiste em duas partes – teórica e prática. Na parte teórica, será examinada detalhadamente uma categoria estatística tão importante como o valor médio, a fim de identificar sua essência e condições de aplicação, bem como destacar os tipos de médias e métodos para seu cálculo.

A estatística, como sabemos, estuda fenómenos socioeconómicos de massa. Cada um desses fenômenos pode ter uma expressão quantitativa diferente da mesma característica. Por exemplo, salários de trabalhadores da mesma profissão ou preços de mercado para o mesmo produto, etc. Os valores médios caracterizam os indicadores qualitativos da atividade comercial: custos de distribuição, lucro, rentabilidade, etc.

Para estudar qualquer população de acordo com características variadas (que mudam quantitativamente), a estatística usa valores médios.

Entidade de médio porte

O valor médio é uma característica quantitativa generalizante de um conjunto de fenômenos semelhantes com base em uma característica variável. Na prática económica, é utilizada uma vasta gama de indicadores, calculados como valores médios.

A propriedade mais importante do valor médio é que ele representa o valor de uma determinada característica em toda a população com um número, apesar de suas diferenças quantitativas em unidades individuais da população, e expressa o que é comum a todas as unidades da população em estudo . Assim, através das características de uma unidade de uma população, caracteriza toda a população como um todo.

Os valores médios estão relacionados à lei dos grandes números. A essência desta conexão é que durante o cálculo da média, os desvios aleatórios dos valores individuais, devido à ação da lei dos grandes números, se cancelam e a principal tendência de desenvolvimento, necessidade e padrão são revelados na média. Os valores médios permitem comparar indicadores relacionados a populações com diferentes números de unidades.

Nas condições modernas de desenvolvimento das relações de mercado na economia, as médias servem como ferramenta para estudar os padrões objetivos dos fenómenos socioeconómicos. No entanto, na análise económica não se pode limitar-se apenas aos indicadores médios, uma vez que as médias gerais favoráveis ​​​​podem esconder grandes deficiências graves nas actividades das entidades económicas individuais e os rebentos de uma nova e progressiva. Por exemplo, a distribuição da população por renda permite identificar a formação de novos grupos sociais. Portanto, juntamente com os dados estatísticos médios, é necessário levar em consideração as características de cada unidade da população.

O valor médio é a resultante de todos os fatores que influenciam o fenômeno em estudo. Ou seja, no cálculo dos valores médios, anula-se a influência de fatores aleatórios (perturbação, individuais) e, assim, é possível determinar o padrão inerente ao fenômeno em estudo. Adolphe Quetelet enfatizou que o significado do método das médias é a possibilidade de transição do individual para o geral, do aleatório para o regular, e a existência de médias é uma categoria da realidade objetiva.

A estatística estuda fenômenos e processos de massa. Cada um desses fenômenos tem propriedades comuns a todo o conjunto e propriedades especiais e individuais. A diferença entre fenômenos individuais é chamada de variação. Outra propriedade dos fenômenos de massa é a semelhança inerente de características dos fenômenos individuais. Assim, a interação dos elementos de um conjunto leva a uma limitação da variação de pelo menos parte de suas propriedades. Esta tendência existe objetivamente. É na sua objetividade que reside a razão da mais ampla utilização de valores médios na prática e na teoria.

O valor médio nas estatísticas é um indicador geral que caracteriza o nível típico de um fenômeno em condições específicas de lugar e tempo, refletindo o valor de uma característica variável por unidade de uma população qualitativamente homogênea.

Na prática económica, é utilizada uma vasta gama de indicadores, calculados como valores médios.

Usando o método das médias, a estatística resolve muitos problemas.

O principal significado das médias reside na sua função generalizadora, ou seja, na substituição de muitos valores individuais diferentes de uma característica por um valor médio que caracteriza todo o conjunto de fenômenos.

Se o valor médio generaliza valores qualitativamente homogêneos de uma característica, então é uma característica típica da característica em uma determinada população.

Porém, é incorreto reduzir o papel dos valores médios apenas à caracterização de valores típicos de características em populações homogêneas para uma determinada característica. Na prática, com muito mais frequência as estatísticas modernas usam valores médios que generalizam fenômenos claramente homogêneos.

A renda nacional média per capita, o rendimento médio de grãos em todo o país, o consumo médio de diversos produtos alimentícios - essas são as características do estado como um sistema econômico nacional único, essas são as chamadas médias do sistema.

As médias do sistema podem caracterizar tanto sistemas espaciais ou de objetos que existem simultaneamente (estado, indústria, região, planeta Terra, etc.) quanto sistemas dinâmicos estendidos ao longo do tempo (ano, década, estação, etc.).

A propriedade mais importante do valor médio é que ele reflete o que é comum a todas as unidades da população em estudo. Os valores dos atributos de unidades individuais de uma população flutuam em uma direção ou outra sob a influência de muitos fatores, entre os quais podem ser básicos e aleatórios. Por exemplo, o preço das ações de uma empresa como um todo é determinado pela sua situação financeira. Ao mesmo tempo, em determinados dias e em determinadas bolsas, estas ações, devido às circunstâncias prevalecentes, poderão ser vendidas a uma taxa superior ou inferior. A essência da média reside no fato de anular os desvios dos valores característicos das unidades individuais da população causados ​​​​pela ação de fatores aleatórios e levar em consideração as mudanças causadas pela ação dos fatores principais. Isso permite que a média reflita o nível típico da característica e abstraia das características individuais inerentes às unidades individuais.

O cálculo da média é uma das técnicas de generalização mais comuns; o indicador médio reflete o que é comum (típico) para todas as unidades da população em estudo, ao mesmo tempo que ignora as diferenças das unidades individuais. Em cada fenômeno e em seu desenvolvimento há uma combinação de acaso e necessidade.

A média é uma característica resumida das leis do processo nas condições em que ocorre.

Cada média caracteriza a população em estudo de acordo com qualquer característica, mas para caracterizar qualquer população, descrever suas características típicas e características qualitativas, é necessário um sistema de indicadores médios. Assim, na prática das estatísticas nacionais, para estudar os fenómenos socioeconómicos, via de regra, calcula-se um sistema de indicadores médios. Assim, por exemplo, o indicador do salário médio é avaliado em conjunto com indicadores de produção média, relação capital-trabalho e relação energia-trabalho, grau de mecanização e automação do trabalho, etc.

A média deverá ser calculada tendo em conta o conteúdo económico do indicador em estudo. Portanto, para um indicador específico utilizado na análise socioeconómica, apenas um valor verdadeiro da média pode ser calculado com base no método científico de cálculo.

O valor médio é um dos mais importantes indicadores estatísticos generalizantes, caracterizando um conjunto de fenômenos semelhantes segundo alguma característica quantitativamente variável. As médias nas estatísticas são indicadores gerais, números que expressam as dimensões características típicas dos fenômenos sociais de acordo com uma característica quantitativamente variável.

Tipos de médias

Os tipos de valores médios diferem principalmente em qual propriedade, qual parâmetro da massa variável inicial de valores individuais do atributo deve ser mantido inalterado.

Média aritmética

A média aritmética é o valor médio de uma característica, durante o cálculo do qual o volume total da característica no agregado permanece inalterado. Caso contrário, podemos dizer que a média aritmética é o termo médio. Ao calculá-lo, o volume total do atributo é mentalmente distribuído igualmente entre todas as unidades da população.

A média aritmética é usada se os valores da característica que está sendo calculada a média (x) e o número de unidades populacionais com um determinado valor da característica (f) forem conhecidos.

A média aritmética pode ser simples ou ponderada.

Média aritmética simples

Simples é usado se cada valor do atributo x ocorre uma vez, ou seja, para cada x o valor do atributo é f=1, ou se os dados de origem não estão ordenados e não se sabe quantas unidades possuem determinados valores de atributo.

A fórmula da média aritmética é simples:

,

Para efeitos de análise e obtenção de conclusões estatísticas com base nos resultados do resumo e agrupamento, são calculados indicadores generalizantes - valores médios e relativos.

Problema de médias – caracterizar todas as unidades de uma população estatística com um valor característico.

Valores médios caracterizam indicadores de qualidade atividade empreendedora: custos de distribuição, lucro, lucratividade, etc.

Valor médio- esta é uma característica generalizante de unidades da população de acordo com alguma característica variável.

Os valores médios permitem comparar os níveis da mesma característica em diferentes populações e encontrar as razões para essas discrepâncias.

Na análise dos fenômenos em estudo, o papel dos valores médios é enorme. O economista inglês W. Petty (1623-1687) utilizou amplamente valores médios. V. Petty queria usar valores médios como medida do custo das despesas com a alimentação média diária de um trabalhador. A estabilidade do valor médio é reflexo da regularidade dos processos em estudo. Ele acreditava que a informação pode ser transformada, mesmo que não haja dados originais suficientes.

O cientista inglês G. King (1648-1712) utilizou valores médios e relativos ao analisar dados sobre a população da Inglaterra.

Os desenvolvimentos teóricos do estatístico belga A. Quetelet (1796-1874) baseiam-se na natureza contraditória dos fenómenos sociais - altamente estáveis ​​​​nas massas, mas puramente individuais.

Segundo A. Quetelet, as causas constantes atuam igualmente sobre cada fenômeno estudado e tornam esses fenômenos semelhantes entre si, criando padrões comuns a todos eles.

Uma consequência dos ensinamentos de A. Quetelet foi a identificação dos valores médios como principal técnica de análise estatística. Ele disse que as médias estatísticas não representam uma categoria da realidade objetiva.

A. Quetelet expressou suas opiniões sobre a média em sua teoria do homem médio. Uma pessoa média é aquela que possui todas as qualidades de um tamanho médio (mortalidade média ou taxa de natalidade, altura média e peso, velocidade média de corrida, inclinação média para casamento e suicídio, para boas ações, etc.). Para A. Quetelet pessoa média- Este é o ideal de uma pessoa. A inconsistência da teoria da pessoa média de A. Quetelet foi comprovada na literatura estatística russa no final dos séculos XIX e XX.

O famoso estatístico russo Yu. E. Yanson (1835-1893) escreveu que A. Quetelet assume a existência na natureza de um tipo de pessoa média como algo dado, do qual a vida desviou as pessoas comuns de uma determinada sociedade e de um determinado tempo. , e isso o leva a uma visão completamente mecânica e às leis do movimento da vida social: o movimento é um aumento gradual nas propriedades médias de uma pessoa, uma restauração gradual do tipo; conseqüentemente, tal nivelamento de todas as manifestações da vida do corpo social, além do qual cessa qualquer movimento progressivo.

A essência desta teoria encontrou seu desenvolvimento adicional nas obras de vários teóricos estatísticos como uma teoria de quantidades verdadeiras. A. Quetelet teve seguidores - o economista e estatístico alemão V. Lexis (1837-1914), que transferiu a teoria dos valores verdadeiros para os fenômenos econômicos da vida social. Sua teoria é conhecida como teoria da estabilidade. Outra versão da teoria idealista das médias baseia-se na filosofia

Seu fundador é o estatístico inglês A. Bowley (1869–1957) - um dos teóricos mais proeminentes dos últimos tempos no campo da teoria das médias. Seu conceito de médias é descrito em seu livro Elements of Statistics.

A. Boley considera os valores médios apenas do lado quantitativo, separando assim a quantidade da qualidade. Determinando o significado dos valores médios (ou “sua função”), A. Boley apresenta o princípio de pensamento de Mach. A. Boley escreveu que a função dos valores médios deveria expressar um grupo complexo

com a ajuda de alguns números primos. Os dados estatísticos devem ser simplificados, agrupados e reduzidos a médias. Estas opiniões: partilhadas por R. Fisher (1890-1968), J. Yule (1871 - 1951), Frederick S. Mills (1892), etc.

Na década de 30 Século XX e anos subsequentes, o valor médio é considerado uma característica socialmente significativa, cujo conteúdo informativo depende da homogeneidade dos dados.

Os representantes mais proeminentes da escola italiana, R. Benini (1862-1956) e C. Gini (1884-1965), considerando a estatística um ramo da lógica, ampliaram o âmbito de aplicação da indução estatística, mas conectaram os princípios cognitivos da lógica e estatística com a natureza dos fenômenos em estudo, seguindo as tradições de interpretação sociológica das estatísticas.

Nas obras de K. Marx e V. I. Lenin, os valores médios desempenham um papel especial.

K. Marx argumentou que a média compensa os desvios individuais do nível geral e nível intermediário torna-se uma característica generalizante de um fenômeno de massa. O valor médio torna-se uma característica de um fenômeno de massa somente se um número significativo de unidades for considerado e essas unidades forem qualitativamente homogêneas. Marx escreveu que o valor médio encontrado deveria ser a média de “...muitos valores individuais diferentes do mesmo tipo”.

O valor médio adquire especial significado nas condições economia de mercado. Ajuda a determinar a tendência necessária e geral do padrão desenvolvimento econômico diretamente através do singular e do aleatório.

Valores médios são indicadores gerais nos quais a ação se expressa condições gerais, o padrão do fenômeno que está sendo estudado.

As médias estatísticas são calculadas com base em dados de massa provenientes de observações de massa estatisticamente organizadas de forma correta. Se a média estatística for calculada a partir de dados de massa para uma população qualitativamente homogênea (fenômenos de massa), então será objetiva.

O valor médio é abstrato, pois caracteriza o valor de uma unidade abstrata.

A média é abstraída da diversidade da característica em objetos individuais. A abstração é a etapa da pesquisa científica. No valor médio, realiza-se a unidade dialética do individual e do geral.

Os valores médios devem ser aplicados com base na compreensão dialética das categorias de indivíduo e geral, individual e de massa.

O do meio exibe algo comum que está contido em um único objeto específico.

Para identificar padrões em massa processos sociais a média é importante.

O desvio do indivíduo em relação ao geral é uma manifestação do processo de desenvolvimento.

O valor médio reflete o nível característico, típico e real dos fenômenos em estudo. A tarefa dos valores médios é caracterizar esses níveis e suas mudanças no tempo e no espaço.

O indicador médio é um valor comum, pois se forma nas condições normais, naturais e gerais de existência de um determinado fenômeno de massa, considerado como um todo.

A propriedade objetiva de um processo ou fenômeno estatístico é refletida pelo valor médio.

Os valores individuais do atributo estatístico em estudo são diferentes para cada unidade da população. O valor médio dos valores individuais de um tipo é um produto da necessidade, que é o resultado da ação combinada de todas as unidades da população, manifestada em uma massa de acidentes repetidos.

Alguns fenômenos individuais têm características que existem em todos os fenômenos, mas em quantidades diferentes - esta é a altura ou a idade de uma pessoa. Outros sinais de um fenômeno individual são qualitativamente diferentes em fenômenos diferentes, ou seja, estão presentes em alguns e não são observados em outros (um homem não se tornará mulher). O valor médio é calculado para características qualitativamente homogêneas e diferentes apenas quantitativamente, inerentes a todos os fenômenos de um determinado conjunto.

O valor médio é um reflexo dos valores da característica em estudo e é medido na mesma dimensão desta característica.

A teoria do materialismo dialético ensina que tudo no mundo muda e se desenvolve. E também mudam as características que se caracterizam pelos valores médios e, consequentemente, as próprias médias.

Na vida existe um processo contínuo de criação de algo novo. Os portadores da nova qualidade são objetos únicos, então o número desses objetos aumenta, e o novo torna-se massivo, típico.

O valor médio caracteriza a população estudada segundo apenas uma característica. Para uma representação completa e abrangente da população estudada de acordo com uma série de características específicas, é necessário ter um sistema de valores médios que possa descrever o fenômeno sob diferentes ângulos.

2. Tipos de médias

No processamento estatístico do material surgem vários problemas que precisam ser resolvidos e, portanto, vários valores médios são utilizados na prática estatística. A estatística matemática utiliza diversas médias, tais como: média aritmética; média geométrica; média harmônica; quadrado médio.

Para aplicar um dos tipos de média acima, é necessário analisar a população em estudo, determinar o conteúdo material do fenômeno em estudo, tudo isso é feito com base nas conclusões tiradas do princípio da significância dos resultados quando pesando ou somando.

No estudo das médias, são utilizados os seguintes indicadores e notações.

O sinal pelo qual a média é encontrada é chamado característica média e é denotado por x; o valor da característica média para qualquer unidade de uma população estatística é chamado seu significado individual, ou opções, e denotado como x 1 , X 2 , x 3 ,… X n ; frequência é a repetibilidade dos valores individuais de uma característica, indicada pela letra f.

Média aritmética

Um dos tipos mais comuns de mídia é média aritmética, que é calculado quando o volume da característica média é formado como a soma de seus valores em unidades individuais da população estatística em estudo.

Para calcular a média aritmética, a soma de todos os níveis do atributo é dividida pelo seu número.

Se algumas opções ocorrerem várias vezes, então a soma dos níveis do atributo pode ser obtida multiplicando cada nível pelo número correspondente de unidades na população e depois somando os produtos resultantes, a média aritmética calculada desta forma é chamada de ponderada; média aritmética.

A fórmula para a média aritmética ponderada é a seguinte:

onde estou opções,

f i – frequências ou pesos.

Uma média ponderada deve ser utilizada em todos os casos em que as opções tenham números diferentes.

A média aritmética, por assim dizer, distribui igualmente entre os objetos individuais o valor total do atributo, que na realidade varia para cada um deles.

O cálculo dos valores médios é realizado a partir de dados agrupados na forma de séries de distribuição intervalar, quando as variantes da característica a partir da qual a média é calculada são apresentadas na forma de intervalos (de - até).

Propriedades da média aritmética:

1) a média aritmética da soma de quantidades variáveis ​​​​é igual à soma das quantidades médias aritméticas: Se x i = y i +z i, então

Esta propriedade mostra em quais casos é possível resumir valores médios.

2) a soma algébrica dos desvios dos valores individuais de uma característica variável da média é igual a zero, pois a soma dos desvios em uma direção é compensada pela soma dos desvios na outra direção:

Esta regra demonstra que a média é a resultante.

3) se todas as opções de uma série forem aumentadas ou diminuídas no mesmo número?, a média aumentará ou diminuirá no mesmo número?:

4) se todas as variantes da série forem aumentadas ou diminuídas em A vezes, então a média também aumentará ou diminuirá em A vezes:

5) a quinta propriedade da média nos mostra que ela não depende do tamanho da balança, mas depende da relação entre elas. Não apenas valores relativos, mas também valores absolutos podem ser considerados como pesos.

Se todas as frequências da série forem divididas ou multiplicadas pelo mesmo número d, a média não mudará.

Média harmônica. Para determinar a média aritmética, é necessário ter uma série de opções e frequências, ou seja, valores X E f.

Suponhamos que os valores individuais da característica sejam conhecidos X e funciona X/, e frequências f são desconhecidos, então para calcular a média, denotamos o produto = X/; onde:

A média nesta forma é chamada de média ponderada harmônica e é denotada x dano. acima

Conseqüentemente, a média harmônica é idêntica à média aritmética. É aplicável quando os pesos reais são desconhecidos f, e o trabalho é conhecido efeitos = z

Quando as obras efeitos unidades idênticas ou iguais (m = 1), utiliza-se a média harmônica simples, calculada pela fórmula:

Onde X– opções separadas;

n- número.

Média geométrica

Se houver n coeficientes de crescimento, então a fórmula para o coeficiente médio é:

Esta é a fórmula da média geométrica.

A média geométrica é igual à raiz do expoente n do produto dos coeficientes de crescimento que caracterizam a razão entre o valor de cada período subsequente e o valor do anterior.

Se os valores expressos na forma de funções quadráticas estiverem sujeitos à média, o quadrado médio será usado. Por exemplo, usando a raiz quadrada média, você pode determinar os diâmetros de tubos, rodas, etc.

A média quadrada simples é determinada calculando a raiz quadrada do quociente da divisão da soma dos quadrados dos valores individuais do atributo pelo seu número.

O quadrado médio ponderado é igual a:

3. Médias estruturais. Moda e mediana

Para caracterizar a estrutura de uma população estatística, são utilizados indicadores chamados médias estruturais. Isso inclui moda e mediana.

Moda (M Ó ) - a opção mais comum. Modaé o valor do atributo que corresponde ao ponto máximo da curva de distribuição teórica.

A moda representa o significado típico ou que ocorre com mais frequência.

A moda é utilizada na prática comercial para estudar a demanda do consumidor e registrar preços.

Numa série discreta, o modo é a variante com a frequência mais alta. Em uma série de variação intervalar, a moda é considerada a variante central do intervalo, que possui a maior frequência (particularidade).

Dentro do intervalo, você precisa encontrar o valor do atributo que é a moda.

Onde X Ó– limite inferior do intervalo modal;

h– o valor do intervalo modal;

f-m– frequência do intervalo modal;

Ft-1 – frequência do intervalo anterior ao modal;

f-m+1 – frequência do intervalo seguinte ao modal.

O modo depende do tamanho dos grupos e da posição exata dos limites do grupo.

Moda– o número que realmente ocorre com mais frequência (é um valor definido), na prática tem a aplicação mais ampla (o tipo de comprador mais comum).

Mediana (M eé uma quantidade que divide o número de uma série de variação ordenada em duas partes iguais: uma parte possui valores da característica variável menores que a variante média e a outra possui valores maiores.

Mediana- um elemento que é maior ou igual e ao mesmo tempo menor ou igual a igual à metade os restantes elementos da série de distribuição.

A propriedade da mediana é que a soma dos desvios absolutos dos valores dos atributos da mediana é menor do que qualquer outro valor.

Usar a mediana permite obter resultados mais precisos do que usar outras formas de médias.

A ordem de localização da mediana em uma série de variação intervalar é a seguinte: organizamos os valores individuais da característica de acordo com a classificação; determinamos as frequências acumuladas para uma determinada série ordenada; Usando os dados de frequência acumulados, encontramos o intervalo mediano:

Onde x eu– limite inferior do intervalo mediano;

eu Meu– o valor do intervalo mediano;

f/2– meia soma das frequências da série;

S Meu-1 – soma das frequências acumuladas anteriores ao intervalo mediano;

f Meu– frequência do intervalo mediano.

A mediana divide o número de uma série pela metade, portanto, é onde a frequência acumulada é a metade ou mais da metade da soma total das frequências, e a frequência anterior (acumulada) é menor que a metade do número da população.

O valor médio é o mais valioso do ponto de vista analítico e uma forma universal de expressão para indicadores estatísticos. A média mais comum - a média aritmética - possui uma série de propriedades matemáticas que podem ser utilizadas em seu cálculo. Ao mesmo tempo, no cálculo de uma média específica, é sempre aconselhável confiar na sua fórmula lógica, que é a razão entre o volume do atributo e o volume da população. Para cada média existe apenas uma relação inicial verdadeira, cuja implementação, dependendo dos dados disponíveis, pode exigir diferentes formas de médias. No entanto, em todos os casos em que a natureza do valor calculado implica a presença de pesos, é impossível utilizar as suas fórmulas não ponderadas em vez de fórmulas de média ponderada.

O valor médio é o valor mais característico do atributo para a população e o tamanho do atributo da população distribuído em proporções iguais entre as unidades da população.

A característica para a qual o valor médio é calculado é chamada média .

O valor médio é um indicador calculado pela comparação de valores absolutos ou relativos. O valor médio é denotado

O valor médio reflete a influência de todos os fatores que influenciam o fenômeno em estudo e é a resultante deles. Ou seja, extinguindo os desvios individuais e eliminando a influência dos casos, o valor médio, refletindo a medida geral dos resultados desta ação, funciona como um padrão geral do fenômeno em estudo.

Condições para usar valores médios:

Ø homogeneidade da população em estudo. Se alguns elementos de uma população sujeita à influência de um fator aleatório tiverem valores da característica em estudo significativamente diferentes dos demais, então esses elementos afetarão o tamanho da média dessa população. Neste caso, a média não expressará o valor mais típico do atributo para a população. Se o fenômeno em estudo for heterogêneo, requer sua divisão em grupos contendo elementos homogêneos. EM nesse caso são calculadas as médias dos grupos - médias dos grupos, expressando o valor mais característico do fenômeno em cada grupo, e a seguir é calculado o valor médio geral para todos os elementos, caracterizando o fenômeno como um todo. É calculado como a média das médias dos grupos, ponderada pelo número de elementos da população incluídos em cada grupo;

Ø um número suficiente de unidades no total;

Ø os valores máximo e mínimo da característica na população em estudo.

Valor médio (indicador)é uma característica quantitativa generalizada de uma característica em um agregado sistemático sob condições específicas de lugar e tempo.

Nas estatísticas, são utilizadas as seguintes formas (tipos) de médias, chamadas de potência e estruturais:

Ø média aritmética(simples e ponderado);

Aula 5. Valores médios

O conceito de média nas estatísticas

Média aritmética e suas propriedades

Outros tipos de médias de potência

Moda e mediana

Quartis e decis

Os valores médios são amplamente utilizados em estatísticas. Os valores médios caracterizam os indicadores qualitativos da atividade comercial: custos de distribuição, lucro, rentabilidade, etc.

Média- Esta é uma das técnicas comuns de generalização. Uma correta compreensão da essência da média determina o seu significado especial numa economia de mercado, quando a média, através do individual e do aleatório, permite identificar o geral e o necessário, para identificar a tendência dos padrões de desenvolvimento económico.

Valor médio- são indicadores generalizantes nos quais se expressam os efeitos das condições gerais e dos padrões do fenômeno em estudo.

Valor médio (nas estatísticas) – um indicador geral que caracteriza o tamanho ou nível típico dos fenômenos sociais por unidade da população, sendo todos os outros fatores iguais.

Usando o método das médias, o seguinte pode ser resolvido: tarefas principais:

1. Características do nível de desenvolvimento dos fenômenos.

2. Comparação de dois ou mais níveis.

3. Estudo das inter-relações dos fenómenos socioeconómicos.

4. Análise da localização dos fenómenos socioeconómicos no espaço.

As médias estatísticas são calculadas com base em dados de massa provenientes de observação de massa corretamente organizada estatisticamente (contínua e seletiva). No entanto, a média estatística será objectiva e típica se for calculada a partir de dados de massa para uma população qualitativamente homogénea (fenómenos de massa). Por exemplo, se você calcular a média remunerações nas cooperativas e nas empresas estatais, e o resultado é estendido a toda a população, então a média é fictícia, pois foi calculada com base em uma população heterogênea, e tal média perde todo o sentido.

Com a ajuda da média, as diferenças no valor de uma característica que surgem por um motivo ou outro em unidades individuais de observação são suavizadas. Por exemplo, a produtividade média de um vendedor depende de vários motivos: qualificação, tempo de serviço, idade, forma de serviço, saúde, etc.

A essência da média reside no fato de anular os desvios dos valores característicos das unidades individuais da população causados ​​​​pela ação de fatores aleatórios e levar em consideração as mudanças causadas pela ação dos fatores principais. Isso permite que a média reflita o nível típico da característica e abstraia das características individuais inerentes às unidades individuais.

O valor médio é um reflexo dos valores da característica em estudo, portanto, é medido na mesma dimensão desta característica.

Cada valor médio caracteriza a população em estudo de acordo com qualquer característica. Para obter uma compreensão completa e abrangente da população em estudo segundo uma série de características essenciais, em geral é necessário ter um sistema de valores médios que possa descrever o fenômeno sob diferentes ângulos.

Existem diferentes médias:

Média aritmética;

Média geométrica;

Média harmônica;

Média quadrada;

Cronológico médio.