Një trekëndësh është një shumëkëndësh me tre brinjë, ose një vijë e mbyllur e thyer me tre lidhje, ose një figurë e formuar nga tre segmente që lidhin tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë (shih Fig. 1).

Elementet bazë të trekëndëshit abc

Majat – pikat A, B dhe C;

Partitë – segmentet a = BC, b = AC dhe c = AB që lidhin kulmet;

Kënde – α, β, γ të formuar nga tre palë brinjë. Këndet shpesh përcaktohen në të njëjtën mënyrë si kulmet, me shkronjat A, B dhe C.

Këndi i formuar nga brinjët e një trekëndëshi dhe i shtrirë në zonën e brendshme të tij quhet kënd i brendshëm, dhe ai ngjitur me të është këndi fqinj i trekëndëshit (2, f. 534).

Lartësitë, mesataret, përgjysmuesit dhe mesin e një trekëndëshi

Përveç elementeve kryesore në një trekëndësh, konsiderohen edhe segmente të tjera me veti interesante: lartësitë, medianat, përgjysmuesit dhe vijat e mesit.

Lartësia

Lartësitë e trekëndëshit- këto janë pingule të rënë nga kulmet e trekëndëshit në anët e kundërta.

Për të përcaktuar lartësinë, duhet të kryeni hapat e mëposhtëm:

1) vizatoni një vijë të drejtë që përmban njërën nga anët e trekëndëshit (nëse lartësia është tërhequr nga kulmi i një këndi akut në një trekëndësh të mpirë);

2) nga kulmi që shtrihet përballë vijës së vizatuar, vizatoni një segment nga pika në këtë vijë, duke bërë një kënd prej 90 gradë me të.

Pika ku lartësia pret brinjën e trekëndëshit quhet bazë lartësie (shih Fig. 2).

Vetitë e lartësive të trekëndëshit

Në një trekëndësh kënddrejtë, lartësia e tërhequr nga kulmi kënd i drejtë, e ndan atë në dy trekëndësha të ngjashëm me trekëndëshin origjinal.

Në një trekëndësh akut, dy lartësitë e tij prenë trekëndësha të ngjashëm prej tij.

Nëse trekëndëshi është i mprehtë, atëherë të gjitha bazat e lartësive u përkasin brinjëve të trekëndëshit, dhe në një trekëndësh të mpirë, dy lartësi bien në vazhdimin e brinjëve.

Tri lartësi në një trekëndësh akut kryqëzohen në një pikë dhe kjo pikë quhet ortoqendër trekëndëshi.

mesatare

Mediat(nga latinishtja mediana - "mesi") - këto janë segmente që lidhin kulmet e trekëndëshit me pikat e mesme të anëve të kundërta (shih Fig. 3).

Për të ndërtuar median, duhet të kryeni hapat e mëposhtëm:

1) gjeni mesin e anës;

2) lidhni me një segment pikën që është mesi i brinjës së trekëndëshit me kulmin e kundërt.

Vetitë e medianave të trekëndëshit

Mediana ndan një trekëndësh në dy trekëndësha me sipërfaqe të barabartë.

Medianat e një trekëndëshi kryqëzohen në një pikë, e cila e ndan secilën prej tyre në një raport 2:1, duke llogaritur nga kulmi. Kjo pikë quhet qendra e gravitetit trekëndëshi.

I gjithë trekëndëshi ndahet me anësoret e tij në gjashtë trekëndësha të barabartë.

përgjysmues

Përgjysmues(nga latinishtja bis - dy herë dhe seko - prerë) janë segmentet e vijës së drejtë të mbyllur brenda një trekëndëshi që përgjysmojnë këndet e tij (shih Fig. 4).

Për të ndërtuar një përgjysmues, duhet të kryeni hapat e mëposhtëm:

1) ndërtoni një rreze që del nga kulmi i këndit dhe e ndan atë në dy pjesë të barabarta (përgjysmuesin e këndit);

2) gjeni pikën e kryqëzimit të përgjysmuesit të këndit të trekëndëshit me anën e kundërt;

3) zgjidhni një segment që lidh kulmin e trekëndëshit me pikën e kryqëzimit në anën e kundërt.

Vetitë e përgjysmuesve të trekëndëshit

Përgjysmuesja e një këndi të një trekëndëshi ndan anën e kundërt në një raport të barabartë me raportin e dy brinjëve ngjitur.

Përgjysmuesit e këndeve të brendshme të një trekëndëshi priten në një pikë. Kjo pikë quhet qendra e rrethit të brendashkruar.

Përgjysmuesit e këndeve të brendshëm dhe të jashtëm janë pingul.

Nëse përgjysmuesja e një këndi të jashtëm të një trekëndëshi pret shtrirjen e anës së kundërt, atëherë ADBD=ACBC.

Përgjysmuesit e një këndi të brendshëm dhe dy këndit të jashtëm të një trekëndëshi priten në një pikë. Kjo pikë është qendra e njërit prej tre rretheve të këtij trekëndëshi.

Bazat e përgjysmuesve të dy këndeve të brendshme dhe një të jashtme të një trekëndëshi shtrihen në të njëjtën drejtëz nëse përgjysmuesja e këndit të jashtëm nuk është paralel me anën e kundërt të trekëndëshit.

Nëse përgjysmorët e këndeve të jashtëm të një trekëndëshi nuk janë paralel me anët e kundërta, atëherë bazat e tyre shtrihen në të njëjtën drejtëz.

Niveli i hyrjes

mesatare. Guidë vizuale (2019)

1. Çfarë është mesatarja?

Është shumë e thjeshtë!

Merrni një trekëndësh:

Shënoni mesin në njërën nga anët e saj.

Dhe lidheni me kulmin e kundërt!

Linja që rezulton dhe ka një mesatare.

2. Vetitë e medianës.

Çfarë veti të mira ka mediana?

1) Le të imagjinojmë se trekëndëshi është drejtkëndëshe. Ka gjëra të tilla, apo jo?

Pse??? Çfarë lidhje ka një kënd i drejtë me të?

Le të shikojmë me kujdes. Vetëm jo një trekëndësh, por... një drejtkëndësh. Pse, ju pyesni?

Por ju ecni në Tokë - a e shihni se është e rrumbullakët? Jo, sigurisht, për ta bërë këtë ju duhet të shikoni Tokën nga hapësira. Pra, ne shikojmë trekëndëshin tonë të drejtë "nga hapësira".

Le të vizatojmë një diagonale:

A ju kujtohet se diagonalet e një drejtkëndëshi të barabartë Dhe ndajnë pikë kryqëzimi në gjysmë? (Nëse nuk ju kujtohet, shikoni temën)

Kjo do të thotë se gjysma e diagonales së dytë është e jona mesatare. Diagonalet janë të barabarta, dhe gjysmat e tyre, natyrisht, gjithashtu. Kjo është ajo që ne do të marrim

Ne nuk do ta vërtetojmë këtë pohim, por për ta besuar, mendoni vetë: a ka ndonjë paralelogram tjetër me diagonale të barabarta përveç një drejtkëndëshi? Sigurisht që jo! Epo, kjo do të thotë se mesatarja mund të jetë e barabartë me gjysmën e anës vetëm brenda trekëndësh kënddrejtë.

Le të shohim se si kjo pronë ndihmon në zgjidhjen e problemeve.

Këtu, detyrë:
Në anët; . Vizatuar nga lart mesatare. Gjeni nëse.

Hora! Ju mund të aplikoni teoremën e Pitagorës! E shihni sa e mrekullueshme është? Nëse nuk do ta dinim mesatare e barabartë me gjysmën e anës

Ne zbatojmë teoremën e Pitagorës:

2) Dhe tani le të mos kemi një, por të tërë tre mediana! Si sillen?

Mbani mend shumë fakt i rëndësishëm:

E veshtire? Shikoni foton:

Medianat dhe kryqëzohen në një pikë.

Dhe….(ne e vërtetojmë këtë, por tani për tani mbaj mend!):

• - dy herë më shumë se;
• - dy herë më shumë se;
• - dy herë më shumë se.

Jeni lodhur akoma? A do të jeni mjaft të fortë për shembullin tjetër? Tani do të zbatojmë gjithçka për të cilën folëm!

Detyrë: Në një trekëndësh ka ndërmjetëse dhe që priten në një pikë. Gjeni nëse

Le të gjejmë duke përdorur teoremën e Pitagorës:

Tani le të zbatojmë njohuritë për pikën e kryqëzimit të medianave.

Le ta përcaktojmë. Segmenti, a. Nëse gjithçka nuk është e qartë, shikoni foton.

Ne e kemi gjetur tashmë atë.

Mjetet, ; .

Në problem pyetemi për një segment.

Në shënimin tonë.

Përgjigju: .

Ju pëlqeu? Tani përpiquni të zbatoni vetë njohuritë tuaja për mesataren!

MEDIANE. NIVELI I MESËM

1. Mesatarja e ndan anën në gjysmë.

Kjo është e gjitha? Apo ndoshta ajo ndan diçka tjetër në gjysmë? Imagjinoni atë!

2. Teorema: Mediana e ndan sipërfaqen përgjysmë.

Pse? Le të kujtojmë formën më të thjeshtë të sipërfaqes së një trekëndëshi.

Dhe ne e aplikojmë këtë formulë dy herë!

Shikoni, mediana është e ndarë në dy trekëndësha: dhe. Por! Ata kanë të njëjtën lartësi - ! Vetëm në këtë lartësi bie anash, dhe në - në anën e vazhdimit. Çuditërisht, edhe kjo ndodh: trekëndëshat janë të ndryshëm, por lartësia është e njëjtë. Dhe tani do ta zbatojmë formulën dy herë.

Çfarë do të thotë kjo? Shikoni foton. Në fakt, ka dy pohime në këtë teoremë. E keni vënë re këtë?

Deklarata e parë: mesataret kryqëzohen në një pikë.

Deklarata e dytë: Pika e kryqëzimit të medianës ndahet në një raport, duke llogaritur nga kulmi.

Le të përpiqemi të zbulojmë sekretin e kësaj teoreme:

Le të lidhim pikat dhe. Çfarë ndodhi?

Tani le të vizatojmë një vijë tjetër të mesme: shënoni mesin - vendosni një pikë, shënoni mesin - vendosni një pikë.

Tani - vija e mesme. Kjo është

1. paralele;

Keni vënë re ndonjë rastësi? Të dyja dhe janë paralele. Dhe, dhe.

Çfarë rrjedh nga kjo?

1. paralele;

Sigurisht, vetëm për një paralelogram!

Kjo do të thotë se është një paralelogram. Pra, çfarë? Le të kujtojmë vetitë e një paralelogrami. Për shembull, çfarë dini për diagonalet e një paralelogrami? Kjo është e drejtë, ato ndahen në gjysmë nga pika e kryqëzimit.

Le të shohim përsëri vizatimin.

Kjo do të thotë, mediana ndahet me pika në tre pjesë të barabarta. Dhe saktësisht e njëjta gjë.

Kjo do të thotë që të dy medianat u ndanë nga një pikë në raport, domethënë dhe.

Çfarë do të ndodhë me mesataren e tretë? Le të kthehemi në fillim. O tmerr?! Jo, tani gjithçka do të jetë shumë më e shkurtër. Le të hedhim jashtë mesataren dhe të bëjmë median dhe.

Tani imagjinoni që ne kemi kryer saktësisht të njëjtin arsyetim si për mesataret dhe. Çfarë atëherë?

Rezulton se mediana do ta ndajë mesataren në të njëjtën mënyrë: në një raport, duke numëruar nga pika.

Por sa pikë mund të ketë në një segment që e ndajnë atë në një raport, duke llogaritur nga pika?

Sigurisht, vetëm një! Dhe ne e kemi parë tashmë - kjo është çështja.

Çfarë ndodhi në fund?

Mesatarja definitivisht kaloi! Të tre mediat kaluan nëpër të. Dhe të gjithë ishin të ndarë në qëndrim, duke llogaritur nga lart.

Pra e zgjidhëm (provuam) teoremën. Zgjidhja doli të ishte një paralelogram i ulur brenda një trekëndëshi.

4. Formula për gjatësinë mesatare

Si të gjeni gjatësinë e mesatares nëse dihen anët? Jeni i sigurt që keni nevojë për këtë? Le të zbulojmë një sekret të tmerrshëm: kjo formulë nuk është shumë e dobishme. Por prapëseprapë, ne do ta shkruajmë, por nuk do ta vërtetojmë (nëse ju intereson prova, shihni nivelin tjetër).

Si mund ta kuptojmë pse ndodh kjo?

Le të shikojmë me kujdes. Jo vetëm një trekëndësh, por një drejtkëndësh.

Pra, le të shqyrtojmë një drejtkëndësh.

A e keni vënë re se trekëndëshi ynë është saktësisht gjysma e këtij drejtkëndëshi?

Le të vizatojmë një diagonale

A ju kujtohet se diagonalet e një drejtkëndëshi janë të barabarta dhe përgjysmojnë pikën e kryqëzimit? (Nëse nuk ju kujtohet, shikoni temën)
Por një nga diagonalet është hipotenuza jonë! Kjo do të thotë se pika e kryqëzimit të diagonaleve është mesi i hipotenuzës. Quhej e jona.

Kjo do të thotë se gjysma e diagonales së dytë është mediana jonë. Diagonalet janë të barabarta, dhe gjysmat e tyre, natyrisht, gjithashtu. Kjo është ajo që ne do të marrim

Për më tepër, kjo ndodh vetëm në një trekëndësh kënddrejtë!

Ne nuk do ta vërtetojmë këtë pohim, por për ta besuar, mendoni vetë: a ka ndonjë paralelogram tjetër me diagonale të barabarta, përveç një drejtkëndëshi? Sigurisht që jo! Epo, kjo do të thotë se mesatarja mund të jetë e barabartë me gjysmën e brinjës vetëm në një trekëndësh kënddrejtë. Le të shohim se si kjo pronë ndihmon në zgjidhjen e problemeve.

Këtu është detyra:

Në anët; . Mediana është tërhequr nga kulmi. Gjeni nëse.

Hora! Ju mund të aplikoni teoremën e Pitagorës! E shihni sa e mrekullueshme është? Nëse nuk do ta dinim që mediana është gjysma e anës vetëm në një trekëndësh kënddrejtë, nuk ka si ta zgjidhim këtë problem. Dhe tani ne mundemi!

Ne zbatojmë teoremën e Pitagorës:

MEDIANE. SHKURTËZIM PËR GJËRAT KRYESORE

1. Mesatarja e ndan anën në gjysmë.

2. Teorema: mediana e ndan sipërfaqen përgjysmë

4. Formula për gjatësinë mesatare

Teorema e kundërt: nëse mediana është e barabartë me gjysmën e brinjës, atëherë trekëndëshi është kënddrejtë dhe kjo medianë tërhiqet në hipotenuzë.

Epo, tema mbaroi. Nëse po i lexoni këto rreshta, do të thotë se jeni shumë i lezetshëm.

Sepse vetëm 5% e njerëzve janë në gjendje të zotërojnë diçka vetë. Dhe nëse lexoni deri në fund, atëherë jeni në këtë 5%!

Tani gjëja më e rëndësishme.

Ju e keni kuptuar teorinë për këtë temë. Dhe, e përsëris, kjo... kjo është thjesht super! Ju jeni tashmë më mirë se shumica dërrmuese e bashkëmoshatarëve tuaj.

Problemi është se kjo mund të mos jetë e mjaftueshme ...

Për çfarë?

Për të suksesshme dhënien e Provimit të Unifikuar të Shtetit, për pranim në kolegj me një buxhet dhe, MË E RËNDËSISHME, për gjithë jetën.

Unë nuk do t'ju bind për asgjë, do të them vetëm një gjë ...

Njerëzit që kanë marrë një arsim të mirë fitojnë shumë më tepër se ata që nuk e kanë marrë atë. Kjo është statistika.

Por kjo nuk është gjëja kryesore.

Kryesorja është se ata janë MË TË LËZUAR (ka studime të tilla). Ndoshta sepse shumë më tepër mundësi hapen para tyre dhe jeta bëhet më e ndritshme? nuk e di...

Por mendoni vetë...

Çfarë duhet për t'u siguruar që të jesh më i mirë se të tjerët në Provimin e Unifikuar të Shtetit dhe në fund të fundit të jesh... më i lumtur?

FITO DORA TUAJ DUKE ZGJIDHUR PROBLEMET NË KËTË TEMË.

Nuk do t'ju kërkohet teori gjatë provimit.

Do t'ju duhet zgjidh problemet me kohën.

Dhe, nëse nuk i keni zgjidhur ato (SHUMË!), patjetër që do të bëni një gabim budalla diku ose thjesht nuk do të keni kohë.

Është si në sport - duhet ta përsërisni shumë herë për të fituar me siguri.

Gjeni koleksionin ku të dëshironi, detyrimisht me zgjidhje, analiza të detajuara dhe vendosni, vendosni, vendosni!

Ju mund të përdorni detyrat tona (opsionale) dhe ne, natyrisht, i rekomandojmë ato.

Në mënyrë që të përmirësoheni në përdorimin e detyrave tona, ju duhet të ndihmoni për të zgjatur jetën e librit shkollor YouClever që po lexoni aktualisht.

Si? Ka dy opsione:

1. Zhbllokoni të gjitha detyrat e fshehura në këtë artikull - 299 fshij.
2. Zhbllokoni aksesin në të gjitha detyrat e fshehura në të 99 artikujt e librit shkollor - 999 fshij.

Po, ne kemi 99 artikuj të tillë në librin tonë shkollor dhe qasja në të gjitha detyrat dhe të gjitha tekstet e fshehura në to mund të hapen menjëherë.

Në rastin e dytë ne do t'ju japim simulator "6000 probleme me zgjidhje dhe përgjigje, për secilën temë, në të gjitha nivelet e kompleksitetit." Do të jetë padyshim e mjaftueshme për të marrë duart për zgjidhjen e problemeve për çdo temë.

Në fakt, ky është shumë më tepër sesa thjesht një imitues - një program i tërë trajnimi. Nëse është e nevojshme, mund ta përdorni edhe FALAS.

Qasja në të gjitha tekstet dhe programet ofrohet për TË GJITHË periudhën e ekzistencës së sajtit.

Dhe në përfundim ...

Nëse nuk ju pëlqejnë detyrat tona, gjeni të tjera. Vetëm mos u ndalni në teori.

"Kuptuar" dhe "Unë mund të zgjidh" janë aftësi krejtësisht të ndryshme. Ju duhen të dyja.

Gjeni problemet dhe zgjidhni ato!

Shënim. Ky mësim paraqet materiale teorike dhe zgjidhje për problemet e gjeometrisë me temën "mediana në një trekëndësh kënddrejtë". Nëse keni nevojë të zgjidhni një problem gjeometrie që nuk është këtu, shkruani për të në forum. Kursi pothuajse me siguri do të plotësohet.

Vetitë e medianes së një trekëndëshi kënddrejtë

Përcaktimi i mesatares

• Medianat e një trekëndëshi priten në një pikë dhe ndahen nga kjo pikë në dy pjesë në një raport 2:1, duke numëruar nga kulmi i këndit. Pika e kryqëzimit të tyre quhet qendra e gravitetit të trekëndëshit (relativisht rrallë në probleme termi "centroid" përdoret për të përcaktuar këtë pikë),
• Mediana ndan një trekëndësh në dy trekëndësha me madhësi të barabartë.
• Një trekëndësh ndahet nga tre mediana në gjashtë trekëndësha të barabartë.
• Ana më e madhe e trekëndëshit korrespondon me mesataren më të vogël.

Problemet gjeometrike të propozuara për zgjidhje përdorin kryesisht sa vijon vetitë e medianes së një trekëndëshi kënddrejtë.

• Shuma e katrorëve të medianave të rënë në këmbët e një trekëndëshi kënddrejtë është e barabartë me pesë katrorë të mesatares të rënë në hipotenuzë (Formula 1)
• Mediana ra në hipotenuzën e një trekëndëshi kënddrejtë e barabartë me gjysmën e hipotenuzës(Formula 2)
• Medianaja e hipotenuzës së një trekëndëshi kënddrejtë është e barabartë me rrezen e rrethit të rrethuar përreth jepet trekëndësh kënddrejtë (Formula 2)
• Mesatarja e rënë në hipotenuzë është e barabartë me gjysmën e rrënjës katrore të shumës së katrorëve të këmbëve(Formula 3)
• Mesatarja e ulur në hipotenuzë është e barabartë me herësin e gjatësisë së këmbës të ndarë me dy sinus të këndit akut përballë këmbës (Formula 4)
• Mesatarja e ulur në hipotenuzë është e barabartë me herësin e gjatësisë së këmbës të ndarë me dy kosinus të këndit akut ngjitur me këmbën (Formula 4)
• Shuma e katrorëve të brinjëve të një trekëndëshi kënddrejtë është e barabartë me tetë katrorë të mesatares të rënë në hipotenuzë të tij (Formula 5)

Shënimi në formula:

a, b- këmbët e një trekëndëshi kënddrejtë

c- hipotenuza e trekëndëshit kënddrejtë

Nëse shënojmë një trekëndësh si ABC, atëherë

BC = A

(dmth anët a,b,c- janë të kundërta me këndet përkatëse)

m a- mesatarja e tërhequr në këmbë a

m b- mesatarja e tërhequr në këmbë b

m c - mediana e një trekëndëshi kënddrejtë, të tërhequr në hipotenuzë me

α (alfa)- këndi CAB ana e kundërt a

Problem në lidhje me mesataren në trekëndëshin kënddrejtë

Mesatarja e një trekëndëshi kënddrejtë të tërhequr në këmbët është e barabartë me 3 cm dhe 4 cm, përkatësisht. Gjeni hipotenuzën e trekëndëshit

Zgjidhje

Para se të fillojmë të zgjidhim problemin, le t'i kushtojmë vëmendje raportit të gjatësisë së hipotenuzës së një trekëndëshi kënddrejtë dhe mesatares, e cila është ulur mbi të. Për ta bërë këtë, le t'i drejtohemi formulave 2, 4, 5 vetitë e medianës në një trekëndësh kënddrejtë. Këto formula tregojnë qartë raportin e hipotenuzës dhe mesatares, i cili ulet mbi të si 1 me 2. Prandaj, për lehtësinë e llogaritjeve të ardhshme (të cilat nuk do të ndikojnë në korrektësinë e zgjidhjes në asnjë mënyrë, por do ta bëjnë atë më shumë i përshtatshëm), ne shënojmë gjatësitë e këmbëve AC dhe BC me variablat x dhe y si 2x dhe 2y (jo x dhe y).

Konsideroni trekëndëshin kënddrejtë ADC. Këndi C është i drejtë sipas kushteve të problemit, këmba AC është e zakonshme me trekëndëshin ABC dhe kema CD është e barabartë me gjysmën BC sipas vetive të mesatares. Pastaj, sipas teoremës së Pitagorës

AC 2 + CD 2 = AD 2

Meqenëse AC = 2x, CD = y (pasi mediana ndan këmbën në dy pjesë të barabarta), atëherë
4x 2 + y 2 = 9

Në të njëjtën kohë, merrni parasysh trekëndëshin kënddrejtë EBC. Ajo gjithashtu ka një kënd të drejtë C sipas kushteve të problemit, këmba BC është e zakonshme me këmbën BC të trekëndëshit origjinal ABC, dhe këmba EC, nga vetia e mesatares, është e barabartë me gjysmën e këmbës AC të trekëndëshit origjinal. ABC.
Sipas teoremës së Pitagorës:
EC 2 + BC 2 = BE 2

Meqenëse EC = x (mesatarja e ndan këmbën në gjysmë), BC = 2y, atëherë
x 2 + 4y 2 = 16

Meqenëse trekëndëshat ABC, EBC dhe ADC janë të ndërlidhura nga brinjë të përbashkëta, të dy ekuacionet rezultuese janë gjithashtu të ndërlidhura.
Le të zgjidhim sistemin e ekuacioneve që rezulton.
4x 2 + y 2 = 9
x 2 + 4y 2 = 16

1. Mediana ndan një trekëndësh në dy trekëndësha me sipërfaqe të barabartë.

2. Medianat e trekëndëshit priten në një pikë, e cila e ndan secilën prej tyre në një raport 2:1, duke llogaritur nga kulmi. Kjo pikë quhet qendra e gravitetit trekëndëshi.

3. I gjithë trekëndëshi ndahet me anësoret e tij në gjashtë trekëndësha të barabartë.

Vetitë e përgjysmuesve të trekëndëshit

1. Përgjysmuesja e një këndi është vendndodhja e pikave të barabarta nga anët e këtij këndi.

2. Përgjysmuesja e këndit të brendshëm të trekëndëshit e ndan anën e kundërt në segmente proporcionale me brinjët ngjitur: .

3. Pika e prerjes së përgjysmuesve të një trekëndëshi është qendra e rrethit të brendashkruar në këtë trekëndësh.

Vetitë e lartësive të trekëndëshit

1. Në një trekëndësh kënddrejtë, lartësia e tërhequr nga kulmi i këndit të drejtë e ndan atë në dy trekëndësha të ngjashëm me atë origjinal.

2. Në një trekëndësh akut, dy nga lartësitë e tij prenë të ngjashme prej tij trekëndëshat.

Vetitë e përgjysmuesve pingulë të një trekëndëshi

1. Çdo pikë e përgjysmuesit pingul me një segment është në distancë të barabartë nga skajet e këtij segmenti. E kundërta është gjithashtu e vërtetë: çdo pikë e barabartë nga skajet e një segmenti shtrihet në përgjysmuesin pingul me të.

2. Pika e prerjes së përgjysmuesve pingulë të tërhequr në brinjët e trekëndëshit është qendra e rrethit të rrethuar rreth këtij trekëndëshi.

Vetia e vijës së mesit të një trekëndëshi

Vija e mesit të një trekëndëshi është paralele me njërën nga brinjët e tij dhe e barabartë me gjysmën e asaj brinjë.

Ngjashmëria e trekëndëshave

Dy trekëndësha të ngjashme nëse quhet një nga kushtet e mëposhtme Shenjat e ngjashmërisë:

· dy kënde të një trekëndëshi janë të barabartë me dy kënde të një trekëndëshi tjetër;

· dy brinjët e një trekëndëshi janë proporcionale me dy brinjët e një trekëndëshi tjetër dhe këndet e formuara nga këto brinjë janë të barabarta;

· tre brinjët e një trekëndëshi janë përkatësisht proporcionale me tre brinjët e një trekëndëshi tjetër.

Në trekëndëshat e ngjashëm, vijat përkatëse (lartësitë, medianat, përgjysmuesit, etj.) janë proporcionale.

Teorema e sinuseve

Teorema e kosinusit

a 2= b 2+ c 2- 2para Krishtit cos

Formulat e sipërfaqes së trekëndëshit

1. Trekëndëshi i lirë

a, b, c - anët; - këndi midis anëve a Dhe b; - gjysmë-perimetri; R- rrezja e rrethuar e rrethuar; r- rrezja e rrethit të brendashkruar; S- katror; h a - lartësia e tërhequr në anësor a.

S = ah a

S = ab mëkat

S = pr

2. Trekëndësh kënddrejtë

a, b - këmbët; c- hipotenuzë; h c - lartësia e tërhequr anash c.

S = ch c S = ab

3. Trekëndësh barabrinjës

Katërkëndëshat

Vetitë e një paralelogrami

· anët e kundërta janë të barabarta;

· këndet e kundërta janë të barabarta;

· diagonalet ndahen përgjysmë nga pika e kryqëzimit;

· shuma e këndeve ngjitur me njërën anë është 180°;

Shuma e katrorëve të diagonaleve është e barabartë me shumën e katrorëve të të gjitha anëve:

d 1 2 +d 2 2 =2(a 2 +b 2).

Një katërkëndësh është një paralelogram nëse:

1. Dy anët e tij të kundërta janë të barabarta dhe paralele.

2. Brinjët e kundërta janë të barabarta në çifte.

3. Këndet e kundërta janë të barabartë në çifte.

4. Diagonalet ndahen përgjysmë me pikën e prerjes.

Vetitë e një trapezi

· vija e mesme e saj është paralele me bazat dhe e barabartë me gjysmën e shumës së tyre;

· nëse trapezi është dykëndor, atëherë diagonalet e tij janë të barabarta dhe këndet në bazë janë të barabarta;

· nëse trapezi është dykëndor, atëherë rreth tij mund të përshkruhet një rreth;

· nëse shuma e bazave është e barabartë me shumën e brinjëve, atëherë në të mund të futet një rreth.

Vetitë e drejtkëndëshit

Diagonalet janë të barabarta.

Një paralelogram është një drejtkëndësh nëse:

1. Një nga këndet e tij është i drejtë.

2. Diagonalet e tij janë të barabarta.

Vetitë e rombit

· të gjitha vetitë e një paralelogrami;

Diagonalet janë pingule;

Diagonalet janë përgjysmuesit e këndeve të saj.

1. Një paralelogram është një romb nëse:

2. Dy brinjët e tij ngjitur janë të barabarta.

3. Diagonalet e tij janë pingule.

4. Njëra nga diagonalet është përgjysmuesja e këndit të saj.

Vetitë e një katrori

· të gjitha cepat e sheshit janë të drejta;

· Diagonalet e një katrori janë të barabarta, reciproke pingule, pika e kryqëzimit përgjysmon dhe përgjysmon këndet e katrorit.

Një drejtkëndësh është një katror nëse ka ndonjë karakteristikë të një rombi.

Formulat bazë

1. Çdo katërkëndësh konveks
d 1,d 2 - diagonale; - këndi ndërmjet tyre; S- katrore.

S = d 1 d 2 mëkat