Vi beräknar summan av vinklar och area av ett parallellogram: egenskaper och egenskaper. Parallellogram

Parallellogram. Tecken på ett parallellogram

Ett parallellogram är en fyrhörning vars motsatta sidor är parallella i par.

Sats.

Om diagonalerna på en fyrhörning skär varandra och delas av skärningspunkten, är fyrhörningen ett parallellogram.

Bevis.

Låt ABCD vara det givna parallellogrammet, O vara skärningspunkten för det givna parallellogrammets diagonaler.
Δ AOD = Δ COB enligt det första tecknet på likhet i trianglar (OD = OB, AO = OC enligt satsen, ∠ AOD = ∠ COB, som vertikala vinklar). Därför är ∠ OBC = ∠ ODA. Och de är inre korsvis för linjer AD och BC och sekanterar BD. Baserat på linjers parallellitet är linjerna AD och BC parallella. Vi bevisar också att AB och DC också är parallella. Per definition är denna fyrhörning ett parallellogram. Teoremet har bevisats.

Sats.

Om en fyrhörning har ett par motsatta sidor som är parallella och lika, så är fyrhörningen ett parallellogram.

Låt ABCD vara den givna fyrhörningen. AD är parallell med BC och AD = BC.
Då Δ ADB = Δ CBD enligt det första tecknet på likhet av trianglar (∠ ADB = ∠ CBD, som inre korsningar som ligger mellan linjerna AD och BC och sekanten DB, AD = BC per villkor, DB är generell).
Följaktligen är ∠ ABD = ∠ CDB, och dessa vinklar är inre vinklar som ligger korsvis för linjerna AB och CD och sekanten DB. Enligt parallellitetsteoremet är linjerna AB och CD parallella. Så ABCD är ett parallellogram. Teoremet har bevisats.

Sats.

Om motsatta vinklar i en fyrhörning är lika, är fyrhörningen ett parallellogram.

Bevis.

Låt en fyrhörning ABCD ges. ∠ DAB = ∠ BCD och ∠ ABC = ∠ CDA.

Låt oss rita diagonalen DB. Summan av vinklarna på en fyrhörning är lika med summan av vinklarna för trianglarna ABD och BCD. Eftersom summan av vinklarna i en triangel är 180º,
∠ DAB + ∠ BCD + ∠ ABC + ∠ CDA.= 360º. Eftersom motsatta vinklar i en fyrhörning är lika, då är ∠ DAB + #8736 ABC = 180º och ∠ BCD + ∠ CDA = 180º.
Vinklar BCD och CDA är ensidiga inre vinklar för linjer AD och BC och sekant DC, deras summa är lika med 180 º, därför är linjerna AD och BC parallella från följden till satsen på parallellitetstestet för linjer. Det är också bevisat att AB || DC. Sålunda är fyrhörning ABCD ett parallellogram per definition. Teoremet har bevisats.

Precis som i euklidisk geometri är en punkt och en rät linje huvudelementen i teorin om plan, så är ett parallellogram en av nyckelfigurerna för konvexa fyrhörningar. Från den, som trådar från en boll, flödar begreppen "rektangel", "fyrkantig", "rombus" och andra geometriska storheter.

Definition av parallellogram

konvex fyrhörning, som består av segment, av vilka varje par är parallella, är inom geometrin känt som ett parallellogram.

Hur ett klassiskt parallellogram ser ut skildras av en fyrhörning ABCD. Sidorna kallas baser (AB, BC, CD och AD), vinkelrät draget från valfri vertex till sidan mitt emot denna vertex kallas höjd (BE och BF), linjer AC och BD kallas diagonaler.

Uppmärksamhet! Kvadrat, romb och rektangel är specialfall av parallellogram.

Sidor och vinklar: egenskaper i förhållandet

Viktiga egenskaper, i stort, förutbestämd av själva beteckningen, de bevisas av satsen. Dessa egenskaper är följande:

Sidorna som är motsatta är identiska i par.
Vinklar mitt emot varandra är lika parvis.

Bevis: Betrakta ∆ABC och ∆ADC, som erhålls genom att dividera fyrhörningen ABCD med den räta linjen AC. ∠BCA=∠CAD och ∠BAC=∠ACD, eftersom AC är gemensamt för dem (vertikala vinklar för BC||AD respektive AB||CD). Av detta följer: ∆ABC = ∆ADC (det andra tecknet på trianglars likhet).

Segmenten AB och BC i ∆ABC motsvarar parvis linjerna CD och AD i ∆ADC, vilket betyder att de är identiska: AB = CD, BC = AD. Alltså ∠B motsvarar ∠D och de är lika. Eftersom ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, som också är parvis identiska, så är ∠A = ∠C. Fastigheten är bevisad.

Egenskaper för diagonalerna i en figur

Huvudsak av dessa linjer i ett parallellogram: skärningspunkten delar dem på mitten.

Bevis: Låt d.v.s. vara skärningspunkten mellan diagonalerna AC och BD i figur ABCD. De bildar två motsvarande trianglar - ∆ABE och ∆CDE.

AB=CD eftersom de är motsatser. Enligt linjerna och sekanten är ∠ABE = ∠CDE och ∠BAE = ∠DCE.

Enligt det andra jämlikhetskriteriet är ∆ABE = ∆CDE. Det betyder att elementen ∆ABE och ∆CDE: AE = CE, BE = DE och samtidigt är de proportionella delar av AC och BD. Fastigheten är bevisad.

Funktioner i intilliggande hörn

Intilliggande sidor har en summa av vinklar lika med 180°, eftersom de ligger på samma sida av parallella linjer och en tvärgående. För fyrhörning ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Egenskaper för bisektrisen:

, sänkta åt ena sidan, är vinkelräta;
motsatta hörn har parallella bisektorer;
triangeln som erhålls genom att rita en bisektrik kommer att vara likbent.

Bestämning av de karakteristiska egenskaperna hos ett parallellogram med hjälp av satsen

Egenskaperna för denna figur följer av dess huvudsats, som säger följande: en fyrhörning anses vara ett parallellogram i händelse av att dess diagonaler skär varandra, och denna punkt delar upp dem i lika stora segment.

Bevis: låt linjerna AC och BD i fyrhörningen ABCD skära i d.v.s. Eftersom ∠AED = ∠BEC och AE+CE=AC BE+DE=BD, då är ∆AED = ∆BEC (av det första kriteriet för trianglars likhet). Det vill säga ∠EAD = ∠ECB. De är också de inre korsvinklarna för sekanten AC för linjerna AD och BC. Således, per definition av parallellism - AD || b.c. En liknande egenskap hos raderna BC och CD härleds också. Teoremet har bevisats.

Beräkna arean av en figur

Arean av denna figur hittas med flera metoder en av de enklaste: multiplicera höjden och basen till vilken den dras.

Bevis: rita vinkelräta BE och CF från hörn B och C. ∆ABE och ∆DCF är lika, eftersom AB = CD och BE = CF. ABCD är lika stor som rektangeln EBCF, eftersom de består av motsvarande siffror: SABE och S EBCD, samt S DCF och S EBCD. Det följer av detta att arean för denna geometriska figur är densamma som en rektangel:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

För att bestämma den allmänna formeln för arean av ett parallellogram, låt oss beteckna höjden som hb, och sidan - b. Respektive:

Andra sätt att hitta område

Areaberäkningar genom parallellogrammets sidor och vinkeln, som de bildar, är den andra kända metoden.

Spr-ma - område;

a och b är dess sidor

α är vinkeln mellan segmenten a och b.

Denna metod är praktiskt taget baserad på den första, men om den är okänd. skär alltid av rät triangel, vars parametrar hittas av trigonometriska identiteter, det vill säga . Genom att omvandla relationen får vi . I ekvationen för den första metoden ersätter vi höjden med denna produkt och får ett bevis på giltigheten av denna formel.

Genom diagonalerna på ett parallellogram och vinkeln, som de skapar när de skär varandra kan du också hitta området.

Bevis: AC och BD skär varandra för att bilda fyra trianglar: ABE, BEC, CDE och AED. Deras summa är lika med arean av denna fyrhörning.

Arean av var och en av dessa ∆ kan hittas av uttrycket , där a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Eftersom beräkningarna använder ett enda sinusvärde. Det vill säga . Eftersom AE+CE=AC= d 1 och BE+DE=BD= d 2, reduceras areaformeln till:

Tillämpning i vektoralgebra

Funktionerna hos de ingående delarna av denna fyrhörning har funnit tillämpning i vektoralgebra, nämligen tillägget av två vektorer. Parallellogramregeln säger det om givna vektorerOchInteär kolinjära, kommer deras summa att vara lika med diagonalen för denna figur, vars baser motsvarar dessa vektorer.

Bevis: från en godtyckligt vald början - d.v.s. - konstruera vektorer och . Därefter konstruerar vi ett parallellogram OASV, där segmenten OA och OB är sidor. Således ligger OS på vektorn eller summan.

Formler för att beräkna parametrarna för ett parallellogram

Identiteterna anges under följande villkor:

a och b, α - sidor och vinkeln mellan dem;
d 1 och d 2, γ - diagonaler och vid skärningspunkten;
h a och h b - höjder sänkta till sidorna a och b;

Parameter	Formel
Att hitta sidorna
längs diagonalerna och cosinus för vinkeln mellan dem
längs diagonaler och sidor
genom höjden och det motsatta hörnet
Hitta längden på diagonalerna
på sidorna och storleken på spetsen mellan dem

Sign-ki pa-ral-le-lo-gram-ma

1. Definition och grundläggande egenskaper för ett parallellogram

Låt oss börja med att påminna om definitionen av para-ral-le-lo-gram.

Definition. Parallellogram- what-you-re-gon-nick, som har varannan pro-ti-falska sidor som är parallella (se fig. .1).

Ris. 1. Pa-ral-le-lo-gram

Låt oss komma ihåg grundläggande egenskaper hos pa-ral-le-lo-gram-ma:

För att kunna använda alla dessa egenskaper måste du vara säker på att fi-gu-ra, om någon -roy vi pratar om, - par-ral-le-lo-gram. För att göra detta är det nödvändigt att känna till sådana fakta som tecken på pa-ral-le-lo-gram-ma. Vi tittar på de två första av dem nu.

2. Det första tecknet på ett parallellogram

Sats. Det första tecknet på pa-ral-le-lo-gram-ma. Om i ett fyrkol de två motsatta sidorna är lika och parallella, då detta smeknamn för fyrkol - parallellogram. .

Ris. 2. Det första tecknet på pa-ral-le-lo-gram-ma

Bevis. Vi satte dia-go-nalen i fyra-reh-kol-ni-ke (se fig. 2), hon delade den i två tri-coal-ni-ka. Låt oss skriva ner vad vi vet om dessa trianglar:

enligt det första tecknet på trianglarnas likhet.

Av likheten mellan de angivna trianglarna följer att, genom tecknet på parallelliteten hos räta linjer när de korsar, ch-nii deras s-ku-shchi. Vi har det:

Gör-ka-za-men.

3. Andra tecknet på ett parallellogram

Sats. Det andra tecknet är pa-ral-le-lo-gram-ma. Om i ett fyrhörn varannan pro-ti-falsk sida är lika, så är detta fyra hörn parallellogram. .

Ris. 3. Det andra tecknet på pa-ral-le-lo-gram-ma

Bevis. Vi sätter diagonalen i fyrhörnet (se fig. 3), hon delar upp den i två trianglar. Låt oss skriva ner vad vi vet om dessa trianglar, baserat på teorins form:

enligt det tredje tecknet på trianglarnas likhet.

Av likheten mellan trianglar följer att, genom tecknet på parallella linjer, när de skär dem s-ku-shchey. Låt oss äta:

par-ral-le-lo-gram per definition. Q.E.D.

Gör-ka-za-men.

4. Ett exempel på användning av den första parallellogramfunktionen

Låt oss titta på ett exempel på användningen av tecken på paral-le-lo-gram.

Exempel 1. I utbuktningen finns inga kol Hitta: a) kolens hörn; b) hundra-ro-brunn.

Lösning. Illustration Fig. 4.

pa-ral-le-lo-gram enligt det första tecknet på pa-ral-le-lo-gram-ma.

A. genom egenskapen av ett par-ral-le-lo-gram om pro-ti-falska vinklar, genom egenskapen av ett par-ral-le-lo-gram om summan av vinklar, när man ligger åt sidan.

B. av karaktären av jämlikhet mellan pro-falska sidor.

re-tiy tecken pa-ral-le-lo-gram-ma

5. Granskning: Definition och egenskaper för ett parallellogram

Låt oss komma ihåg det parallellogram- detta är en fyrkantig hörn, som har pro-ti-falska sidor i par. Det vill säga om - par-ral-le-lo-gram, alltså (se fig. 1).

Parallell-le-lo-grammet har ett antal egenskaper: pro-ti-falska vinklar är lika (), pro-ti-falska vinklar -vi är lika ( ). Dessutom delas dia-go-na-li pa-ral-le-lo-gram-ma vid punkten för re-se-che-niya enligt summan av vinklarna, at-le- pressande mot någon sida pa-ral-le-lo-gram-ma, lika osv.

Men för att dra nytta av alla dessa egenskaper är det nödvändigt att vara helt säker på att ri-va-e-my th-you-rekh-coal-nick - pa-ral-le-lo-gram. För detta ändamål finns det tecken på par-ral-le-lo-gram: det vill säga de fakta från vilka man kan dra en enda värdefull slutsats, att det-du-rekh-kol-nick är ett par-ral- le-lo-gram-mamma. I förra lektionen tittade vi redan på två tecken. Nu tittar vi på tredje gången.

6. Det tredje tecknet på ett parallellogram och dess bevis

Om det i en fyrkol finns en dia-go-on vid punkten för re-se-che-niya de gör-by-lams, då är det givna fyra-du Roh-coal-nicket en pa-ral-le -lo-gram-mamma.

Given:

Vad-du-re-kol-nick; ; .

Bevisa:

Parallellogram.

Bevis:

För att bevisa detta faktum är det nödvändigt att visa parternas parallellitet till par-le-lo-gram. Och parallelliteten hos räta linjer uppträder oftast genom likheten mellan inre tvärliggande vinklar vid dessa räta vinklar. Så här är nästa metod för att erhålla det tredje tecknet på par-ral -le-lo-gram-ma: genom trianglarnas likhet .

Låt oss se hur dessa trianglar är lika. Av villkoret följer faktiskt: . Dessutom, eftersom vinklarna är vertikala, är de lika. Som är:

(första tecknet på jämlikhettri-coal-ni-cov- längs två sidor och hörnet mellan dem).

Från trianglarnas likhet: (eftersom de inre tvärliggande vinklarna vid dessa raka linjer och tvärsnitt är lika). Dessutom följer av trianglarnas likhet att . Det betyder att vi förstår att i fyrkol är tvåhundra lika och parallella. Enligt det första tecknet, pa-ral-le-lo-gram-ma: - pa-ral-le-lo-gram.

Gör-ka-za-men.

7. Exempel på ett problem på tredje tecknet i ett parallellogram och generalisering

Låt oss titta på exemplet med att använda det tredje tecknet på paral-le-lo-gram.

Exempel 1

Given:

- parallellogram; . - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na (se fig. 2).

Bevisa:- pa-ral-le-lo-gram.

Bevis:

Detta betyder att i fyra-kol-no-dia-go-on-var vid punkten av re-se-che-niya de gör-för-lam. Av det tredje tecknet på pa-ral-le-lo-gram, följer det av detta att - pa-ral-le-lo-gram.

Gör-ka-za-men.

Om du analyserar det tredje tecknet på pa-ral-le-lo-gram, så kan du märka att detta tecken är med-vet- har egenskapen par-ral-le-lo-gram. Det vill säga det faktum att dia-go-na-li de-la-xia inte bara är en egenskap hos par-le-lo-grammet, och dess distinkta, kha-rak-te-ri-sti-che- egendom, varigenom det kan skiljas från uppsättningen vad-du-rekh-kol-ni-cov.

KÄLLA

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma

http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg

http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg

http://wwww.tepka.ru/geometriya/16.1.gif

22.10.2014 Coolt jobb .

Lektionens ämne "", stycke 43.

jag." Arbetsbok»

11.

II . Atanasyan, nr 376 (b, d), 372 (a, b), 371(b)

TECKEN PARALLELLOGRAM.

III . TECKN PÅ ETT PARALLELOGRAM

1 0 . Om i en fyrhörning ,

då är denna fyrhörningparallellogram .

2 0 . Om i en fyrhörningmotsatta sidor är lika i par , då är denna fyrhörningparallellogram.

3 0 . Om i en fyrhörningdiagonaler skär och halverar i skärningspunkten , sedan denna fyrhörning– parallellogram .

Läxa för lärare 2016

Lär dig teorin: punkterna 42, 43

Uppgifter:Grundnivå: nr 371 (a), 372 (c), 376 (c, d)

Ökad nivå:

1 0 . Om i en fyrhörningtvå sidor är lika och parallella , då är denna fyrhörning ett parallellogram.

Givet: 1) ABCD-fyrhörning

2) AB|| CD, AB= CD.

Bevisa det ABCD– parallellogram

Bevis:

1) Ytterligare konstruktion: diagonal AC.

2) Tänk på ABC Och CDA

AC – gemensam sida

AB=CD, enligt villkoret

(korsvinklar för räta linjer AB||CD och sekant AC )

Medel, ABC = CDA ( )

Men
- tvärliggande vinklar för raka linjer BC ochAD och sekant AC , betyder sol || AD

4) I en fyrkantABCDmotsatta sidor AB||CD, sol || AD, betyder, ABCD– parallellogram (av definition )

För läraren 2016

3 0 . Om diagonalerna för en fyrhörning skär varandra och delas på mitten av skärningspunkten, är denna fyrhörningparallellogram.

Givet: 1) ABCD-fyrhörning

2) AB|| CD, AB= CD.

Bevisa det ABCD– parallellogram

Bevis:

1) Låt oss överväga AOBOch TORSK.

AO=OS, efter villkor

VO=ОD, enligt villkoret

som vertikala vinklar

Medel, AOB =TORSK. (på två sidor och vinkeln mellan dem )

3) Motsvarande element i trianglarna är alltså likaAB = CD, , Men AB Och CD och sekant A.C., betyder AB|| CD(baserat på parallella linjer)

4) I en fyrkantABCDmotstående sidorAB || CD, AB = CD, betyder, ABCD– parallellogram (avfunktion 1 0 )

2 0 . Om i en fyrhörning motsatta sidor är lika i par, så är denna fyrhörning ett parallellogram

Givet: 1) ABCD-fyrhörning

2) BC = A D, AB= CD.

Bevisa det ABCD– parallellogram

Bevis:

1) Ytterligare konstruktion:diagonal AC

2) Tänk på ABC = CDA (på tre sidor), sedan

AC – gemensam sida

AB=CD, enligt villkoret

BC=AD, enligt villkoret

3) Motsvarande element i trianglarna är alltså lika, Men
- tvärgående vinklar i räta vinklarAB Och CD och sekant A.C., betyder AB || CD(baserat på parallella linjer)

4) I en fyrkantABCDmotstående sidorAB || CD, AB = CD, betyder, ABCD– parallellogram (avfunktion 1 0 )

2014-10-22 Coolt arbete . Lektionens ämne "", stycke 43I. "Arbetsbok" 8 . IparallellogramABCDhitta: a) sidorna om BC är 8 cm större än sidan AB och omkretsen är 64 cm; b) vinklar, if . 9 .IparallellogramABCDdiagonal AC, lika med 24 cm, bildar med sidaAD vinkel 30°, O- skärningspunkten för diagonalerna ACiBD, . Hitta längden på segmentet OE.
10 . Bisektor av vinkel AparallellogramABCDskär sidan BC i punkten P, och BP = RS. Hitta sidorna på ett parallellogram om dess omkrets är 54 cm.
11. Diagonaler av ett parallellogramABCDskär i punkt O. Parallellogrammets omkrets är 12 och skillnaden i omkrets LIKA 2. Hitta parallellogrammets sidor.
12. På bilden i fyrhörningenABCD .Bevisa det ABCDparallellogram.

II . Atanasyan , nr 376 (b, d), 372 (a, b),371(b)

Uppgift 371(b) låter oss dra en slutsats om formen av en konvex fyrhörning, vilket betyder att vi har övervägt PARALLELOGRAM KARAKTERISTIK

III . TECKEN PÅ ETT PARALLELOGRAM (enligt presentation)

1 0 . Om i en fyrhörning _______________

___________________________________________ ,

då är denna fyrhörning ______________________ .

2 0 . Om i en fyrhörning ____________________

_______________________________________________ ,

då är denna fyrhörning ______________________

3 0 . Om i en fyrhörning ______________

_________________________________________

____________________________,

då är denna fyrhörning ______________________ .

Läxa för elever i årskurs 8 2016

Lär dig teorin: punkterna 42, 43

Uppgifter: Grundnivå: lärobok (Atanasyan) nr 371 (a), 372 (c), 376 (c, d)

Ökad nivå:

8. I fig. 121,ABCD- parallellogram,P MNKP = 20 cm HittaMN, MP.

9. I fig. 122BNDM-parallellogramAB: b.c.=4:5, P ABCD = 18 cm.FindAD, CD

1 0 . Om i en fyrhörning _________________________________________________

_______________________________ , då är denna fyrhörning ___________________ .

Givet: 1) ABCD-fyrhörning

2) AB|| CD, AB= CD.

Bevisa det ABCD– parallellogram

Bevis:

1) Ytterligare formation:_____________________

Detta är en fyrhörning vars motsatta sidor är parallella i par.

Fastighet 1. Varje diagonal i ett parallellogram delar det i två lika trianglar.

Bevis . Enligt II-karaktäristiken (korsvinklar och gemensam sida).

Teoremet är bevisat.

Fastighet 2. I ett parallellogram är motsatta sidor lika och motsatta vinklar lika.

Bevis .
Likaledes,

Teoremet är bevisat.

Egenskap 3. I ett parallellogram halveras diagonalerna av skärningspunkten.

Bevis .

Teoremet är bevisat.

Fastighet 4. Vinkelhalveringslinjen för ett parallellogram, som korsar den motsatta sidan, delar det i en likbent triangel och en trapets. (Ch. ord - vertex - två likbenta? -ka).

Bevis .

Teoremet är bevisat.

Fastighet 5. I ett parallellogram halveras ett linjesegment med ändar på motsatta sidor som passerar genom skärningspunkten för diagonalerna av denna punkt.

Bevis .

Teoremet är bevisat.

Fastighet 6. Vinkeln mellan höjderna som faller från spetsen på en trubbig vinkel på ett parallellogram är lika med en spetsig vinkel på ett parallellogram.

Bevis .

Teoremet är bevisat.

Fastighet 7. Summan av vinklarna för ett parallellogram intill en sida är 180°.

Bevis .

Teoremet är bevisat.

Konstruera bisektrisen för en vinkel. Egenskaper för vinkelhalveringslinjen i en triangel.

1) Konstruera en godtycklig stråle DE.

2) På en given stråle, konstruera en godtycklig cirkel med ett centrum i spetsen och samma
med centrum i början av den konstruerade strålen.

3) F och G - skärningspunkter för cirkeln med sidorna av en given vinkel, H - skärningspunkt för cirkeln med den konstruerade strålen

Konstruera en cirkel med mitten i punkten H och radien lika med FG.

5) I är skärningspunkten för den konstruerade balkens cirklar.

6) Rita en rak linje genom spetsen och I.

IDH är den nödvändiga vinkeln.
)

Fastighet 1. Halslinjen för en vinkel i en triangel delar den motsatta sidan i proportion till de intilliggande sidorna.

Bevis . Låt x, y vara segment av sidan c. Låt oss fortsätta strålen BC. På strålen BC plottar vi från C ett segment CK lika med AC.