En triangel är en polygon med tre sidor, eller en sluten streckad linje med tre länkar, eller en figur som bildas av tre segment som förbinder tre punkter som inte ligger på samma räta linje (se fig. 1).

Grundläggande element i triangeln abc

Toppar – punkterna A, B och C;

Fester – segmenten a = BC, b = AC och c = AB som förbinder hörnen;

Vinklar – α, β, γ bildade av tre par sidor. Vinklar betecknas ofta på samma sätt som hörn, med bokstäverna A, B och C.

Vinkeln som bildas av en triangels sidor och som ligger i dess inre område kallas en inre vinkel, och den intill den är triangelns intilliggande vinkel (2, s. 534).

En triangels höjder, medianer, bisektrar och mittlinjer

Förutom huvudelementen i en triangel, beaktas även andra segment med intressanta egenskaper: höjder, medianer, bisektrar och mittlinjer.

Höjd

Triangelhöjder- dessa är vinkelräta vinkelräta från triangelns hörn till motsatta sidor.

För att rita höjden måste du utföra följande steg:

1) rita en rak linje som innehåller en av triangelns sidor (om höjden dras från spetsen av en spetsig vinkel i en trubbig triangel);

2) från spetsen som ligger mittemot den ritade linjen, rita ett segment från punkten till denna linje och gör en vinkel på 90 grader med den.

Punkten där höjden skär triangelns sida kallas höjd bas (se fig. 2).

Egenskaper för triangelhöjder

I en rätvinklig triangel, höjden ritad från vertex rät vinkel, delar upp den i två trianglar som liknar den ursprungliga triangeln.

I en spetsig triangel skär dess två höjder av liknande trianglar från den.

Om triangeln är spetsig, hör alla höjdernas baser till triangelns sidor, och i en trubbig triangel faller två höjder på fortsättningen av sidorna.

Tre höjder i en spetsig triangel skär varandra vid en punkt och denna punkt kallas ortocenter triangel.

Median

Medianer(från latin mediana - "mitten") - dessa är segment som förbinder triangelns hörn med mittpunkterna på de motsatta sidorna (se fig. 3).

För att konstruera medianen måste du utföra följande steg:

1) hitta mitten av sidan;

2) koppla ihop punkten som är mitten av sidan av triangeln med motsatt vertex med ett segment.

Egenskaper för triangelmedian

Medianen delar en triangel i två trianglar med lika stor yta.

Medianerna i en triangel skär varandra i en punkt, som delar var och en av dem i förhållandet 2:1, räknat från vertex. Denna punkt kallas tyngdpunkten triangel.

Hela triangeln delas med sina medianer i sex lika stora trianglar.

Bisektris

Bisektorer(från latin bis - två gånger och seko - cut) är de raka linjesegmenten inneslutna i en triangel som delar dess vinklar (se fig. 4).

För att konstruera en bisektrik måste du utföra följande steg:

1) konstruera en stråle som kommer ut från vinkelns spets och dela den i två lika delar (vinkelns bisektrik);

2) hitta skärningspunkten för bisekturen av triangelns vinkel med den motsatta sidan;

3) välj ett segment som förbinder triangelns spets med skärningspunkten på motsatt sida.

Egenskaper för triangelhalveringslinjer

Halslinjen för en vinkel i en triangel delar den motsatta sidan i ett förhållande som är lika med förhållandet mellan de två intilliggande sidorna.

Halvledarna för de inre vinklarna i en triangel skär varandra i en punkt. Denna punkt kallas mitten av den inskrivna cirkeln.

Bisektorerna för de inre och yttre vinklarna är vinkelräta.

Om halveringslinjen för en yttre vinkel av en triangel skär förlängningen av den motsatta sidan, då ADBD=ACBC.

Halvledarna för en inre och två yttre vinklar i en triangel skär varandra i en punkt. Denna punkt är mitten av en av de tre cirklarna i denna triangel.

Baserna för halveringslinjen för två inre och en yttre vinklar i en triangel ligger på samma räta linje om bisektrisen för den yttre vinkeln inte är parallell med den motsatta sidan av triangeln.

Om bisektrarna för de yttre vinklarna i en triangel inte är parallella med motsatta sidor, ligger deras baser på samma räta linje.

Ingångsnivå

Median. Visuell guide (2019)

1. Vad är medianen?

Det är väldigt enkelt!

Ta en triangel:

Markera mitten på ena sidan.

Och anslut till motsatt vertex!

Den resulterande raden och det finns en median.

2. Egenskaper för medianen.

Vilka bra egenskaper har medianen?

1) Låt oss föreställa oss att triangeln är rektangulär. Det finns sådana saker, eller hur?

Varför??? Vad har en rät vinkel med det att göra?

Låt oss titta noga. Bara inte en triangel, utan... en rektangel. Varför, frågar du?

Men du går på jorden - ser du att den är rund? Nej, naturligtvis, för att göra detta måste du titta på jorden från rymden. Så vi kommer att titta på vår högra triangel "från rymden".

Låt oss rita en diagonal:

Kommer du ihåg att diagonalerna i en rektangel lika Och dela skärningspunkt itu? (Om du inte kommer ihåg, titta på ämnet)

Det betyder att hälften av den andra diagonalen är vår median. Diagonalerna är lika, och deras halvor, naturligtvis, också. Det är vad vi kommer att få

Vi kommer inte att bevisa detta påstående, men för att tro det, tänk själv: finns det någon annan parallellogram med lika diagonaler än en rektangel? Självklart inte! Tja, det betyder att medianen kan vara lika med halva sidan bara in rät triangel.

Låt oss se hur den här egenskapen hjälper till att lösa problem.

Här, uppgift:
Till sidorna; . Ritad från toppen median. Hitta om.

Hurra! Du kan tillämpa Pythagoras sats! Ser du hur bra det är? Om vi ​​inte visste det median lika med en halv sida

Vi tillämpar Pythagoras sats:

2) Och låt oss nu inte ha en, utan hela tre medianer! Hur beter de sig?

Kom ihåg väldigt mycket viktigt faktum:

Svår? Titta på bilden:

Medianer och skär varandra vid en punkt.

Och...(vi bevisar detta i, men för nu komma ihåg!):

• - dubbelt så mycket som;
• - dubbelt så mycket som;
• - dubbelt så mycket som.

Är du trött än? Kommer du att vara stark nog för nästa exempel? Nu ska vi tillämpa allt vi pratat om!

Uppgift: I en triangel ritas medianer och, som skär varandra i en punkt. Hitta om

Låt oss hitta med Pythagoras sats:

Låt oss nu tillämpa kunskapen om skärningspunkten för medianerna.

Låt oss definiera det. Segment, a. Om allt inte är klart, titta på bilden.

Det har vi redan hittat.

Betyder, ; .

I problemet får vi frågan om ett segment.

I vår notation.

Svar: .

Gillade du det? Försök nu att tillämpa din kunskap om medianen själv!

MEDIAN. MEDELNIVÅ

1. Medianen delar sidan på mitten.

Det är allt? Eller delar hon kanske upp något annat på mitten? Föreställ dig det!

2. Sats: Medianen delar arean på mitten.

Varför? Låt oss komma ihåg den enklaste formen av arean av en triangel.

Och vi tillämpar denna formel två gånger!

Titta, medianen är uppdelad i två trianglar: och. Men! De har samma höjd -! Endast på denna höjd faller den åt sidan, och vid - på fortsättningssidan. Överraskande nog händer detta också: trianglarna är olika, men höjden är densamma. Och nu kommer vi att tillämpa formeln två gånger.

Vad skulle detta betyda? Titta på bilden. Faktum är att det finns två påståenden i denna sats. Har du märkt detta?

Första uttalandet: medianerna skär varandra vid en punkt.

Andra påståendet: Skärningspunkten för medianen är uppdelad i ett förhållande, räknat från vertex.

Låt oss försöka reda ut hemligheten bakom denna sats:

Låt oss koppla ihop prickarna och. Vad hände?

Låt oss nu rita en annan mittlinje: markera mitten - sätta en prick, markera mitten - sätta en prick.

Nu - mittlinjen. Som är

1. parallell;

Har du märkt några tillfälligheter? Båda och är parallella. Och, och.

Vad följer av detta?

1. parallell;

Naturligtvis bara för ett parallellogram!

Detta betyder att det är ett parallellogram. Så vad? Låt oss komma ihåg egenskaperna hos ett parallellogram. Till exempel, vad vet du om diagonalerna i ett parallellogram? Det stämmer, de delar skärningspunkten på mitten.

Låt oss titta på ritningen igen.

Det vill säga att medianen delas med prickar i tre lika stora delar. Och exakt samma.

Detta betyder att båda medianerna separerades av en punkt i förhållandet, det vill säga och.

Vad kommer att hända med den tredje medianen? Låt oss gå tillbaka till början. Åh, skräck?! Nej, nu blir allt mycket kortare. Låt oss kasta ut medianen och göra medianen och.

Föreställ dig nu att vi har genomfört exakt samma resonemang som för medianer och. Vad då?

Det visar sig att medianen kommer att dela medianen på exakt samma sätt: i ett förhållande, räknat från punkten.

Men hur många poäng kan det finnas på ett segment som delar det i ett förhållande, räknat från punkten?

Självklart bara en! Och vi har redan sett det - det är meningen.

Vad hände till slut?

Medianen gick definitivt igenom! Alla tre medianerna passerade genom den. Och alla var splittrade i attityd, räknat från toppen.

Så vi löste (bevisade) satsen. Lösningen visade sig vara ett parallellogram som sitter inuti en triangel.

4. Formel för medianlängd

Hur hittar man längden på medianen om sidorna är kända? Är du säker på att du behöver detta? Låt oss avslöja en hemsk hemlighet: denna formel är inte särskilt användbar. Men ändå kommer vi att skriva det, men vi kommer inte att bevisa det (om du är intresserad av beviset, se nästa nivå).

Hur kan vi förstå varför detta händer?

Låt oss titta noga. Bara inte en triangel, utan en rektangel.

Så låt oss betrakta en rektangel.

Har du märkt att vår triangel är exakt hälften av denna rektangel?

Låt oss rita en diagonal

Kommer du ihåg att diagonalerna i en rektangel är lika och halverar skärningspunkten? (Om du inte kommer ihåg, titta på ämnet)
Men en av diagonalerna är vår hypotenusa! Detta betyder att skärningspunkten för diagonalerna är mitten av hypotenusan. Den kallades vår.

Det betyder att hälften av den andra diagonalen är vår median. Diagonalerna är lika, och deras halvor, naturligtvis, också. Det är vad vi kommer att få

Dessutom sker detta bara i en rätvinklig triangel!

Vi kommer inte att bevisa detta påstående, men för att tro det, tänk själv: finns det något annat parallellogram med lika diagonaler, förutom en rektangel? Självklart inte! Tja, det betyder att medianen kan vara lika med en halv sida bara i en rätvinklig triangel. Låt oss se hur den här egenskapen hjälper till att lösa problem.

Här är uppgiften:

Till sidorna; . Medianen dras från vertexet. Hitta om.

Hurra! Du kan tillämpa Pythagoras sats! Ser du hur bra det är? Om vi ​​inte visste att medianen är halva sidan endast i en rätvinklig triangel, det finns inget sätt att lösa det här problemet. Och nu kan vi!

Vi tillämpar Pythagoras sats:

MEDIAN. KORT OM DE VIKTIGASTE SAKERNA

1. Medianen delar sidan på mitten.

2. Sats: medianen delar arean på mitten

4. Formel för medianlängd

Converse teorem: om medianen är lika med halva sidan så är triangeln rätvinklig och denna median dras till hypotenusan.

Nåväl, ämnet är över. Om du läser dessa rader betyder det att du är väldigt cool.

Eftersom bara 5% av människor kan bemästra något på egen hand. Och om du läser till slutet, då är du i dessa 5%!

Nu det viktigaste.

Du har förstått teorin om detta ämne. Och jag upprepar, det här... det här är bara super! Du är redan bättre än de allra flesta av dina kamrater.

Problemet är att det kanske inte räcker...

För vad?

För framgångsrik klara Unified State Exam, för antagning till college på en budget och, VIKTIGAST, för livet.

Jag ska inte övertyga dig om någonting, jag säger bara en sak...

Människor som har fått en bra utbildning tjänar mycket mer än de som inte fått den. Det här är statistik.

Men detta är inte huvudsaken.

Huvudsaken är att de är GLADARE (det finns sådana studier). Kanske för att många fler möjligheter öppnar sig framför dem och livet blir ljusare? Vet inte...

Men tänk själv...

Vad krävs för att vara säker på att vara bättre än andra på Unified State Exam och i slutändan vara... lyckligare?

FÅ DIN HAND GENOM ATT LÖSA PROBLEM OM DETTA ÄMNET.

Du kommer inte att bli tillfrågad om teori under tentamen.

Du kommer att behöva lösa problem mot tiden.

Och om du inte har löst dem (MYCKET!), kommer du definitivt att göra ett dumt misstag någonstans eller helt enkelt inte ha tid.

Det är som i sport - du behöver upprepa det många gånger för att vinna säkert.

Hitta samlingen var du vill, nödvändigtvis med lösningar, detaljerad analys och bestäm, bestäm, bestäm!

Du kan använda våra uppgifter (valfritt) och vi rekommenderar dem naturligtvis.

För att bli bättre på att använda våra uppgifter behöver du hjälpa till att förlänga livslängden på den YouClever-lärobok du just nu läser.

Hur? Det finns två alternativ:

1. Lås upp alla dolda uppgifter i den här artikeln - 299 rub.
2. Lås upp åtkomst till alla dolda uppgifter i alla 99 artiklar i läroboken - 999 rubel.

Ja, vi har 99 sådana artiklar i vår lärobok och tillgång till alla uppgifter och alla dolda texter i dem kan öppnas direkt.

I det andra fallet vi kommer att ge dig simulator "6000 problem med lösningar och svar, för varje ämne, på alla nivåer av komplexitet." Det kommer definitivt att räcka för att få tag på att lösa problem i vilket ämne som helst.

I själva verket är detta mycket mer än bara en simulator - ett helt träningsprogram. Om det behövs kan du också använda det GRATIS.

Tillgång till alla texter och program ges under HELA perioden av webbplatsens existens.

Och avslutningsvis...

Om du inte gillar våra uppgifter, hitta andra. Stanna bara inte vid teorin.

"Förstå" och "Jag kan lösa" är helt olika färdigheter. Du behöver båda.

Hitta problem och lös dem!

Notera. Den här lektionen presenterar teoretiska material och lösningar på geometriproblem i ämnet "median i en rätvinklig triangel." Om du behöver lösa ett geometriproblem som inte finns här, skriv om det i forumet. Kursen kommer med största sannolikhet att kompletteras.

Egenskaper för medianen för en rätvinklig triangel

Fastställande av medianen

• Medianerna i en triangel skär varandra i en punkt och delas av denna punkt i två delar i förhållandet 2:1, räknat från vinkelns spets. Punkten för deras skärningspunkt kallas triangelns tyngdpunkt (relativt sällan i problem används termen "tyngdpunkt" för att beteckna denna punkt),
• Medianen delar en triangel i två lika stora trianglar.
• En triangel delas med tre medianer i sex lika stora trianglar.
• Den större sidan av triangeln motsvarar den mindre medianen.

De geometriproblem som föreslås för lösning använder huvudsakligen följande egenskaper för medianen för en rätvinklig triangel.

• Summan av kvadraterna av medianerna som faller på benen i en rätvinklig triangel är lika med fem kvadrater av medianen som faller på hypotenusan (formel 1)
• Medianen sjönk till hypotenusan i en rätvinklig triangel lika med halva hypotenusan(Formel 2)
• Medianen för hypotenusan i en rätvinklig triangel är lika med radien på cirkeln omskriven given rät triangel (formel 2)
• Medianen sjunkit till hypotenusan är lika med halva kvadratroten av summan av benens kvadrater(Formel 3)
• Medianen sänkt till hypotenusan är lika med kvoten av benets längd dividerat med två sinus i den spetsiga vinkeln mittemot benet (formel 4)
• Medianen sänkt till hypotenusan är lika med kvoten av benets längd dividerat med två cosinus av den spetsiga vinkeln intill benet (Formel 4)
• Summan av kvadraterna på sidorna i en rätvinklig triangel är lika med åtta kvadrater av medianen sjunkit till dess hypotenusa (formel 5)

Notation i formler:

a, b- ben i en rätvinklig triangel

c- hypotenusa i en rätvinklig triangel

Om vi ​​betecknar en triangel som ABC, då

BC = A

(som är sidorna a,b,c- är motsatta mot motsvarande vinklar)

m a- median dras till ben a

m b- median dras till benet b

m c - medianen av en rätvinklig triangel, dras till hypotenusan med

α (alfa)- vinkel CAB motsatt sida a

Problem om median i rät triangel

Medianerna för en rätvinklig triangel som dras till benen är lika med 3 cm respektive 4 cm. Hitta hypotenusan för triangeln

Lösning

Innan vi börjar lösa problemet, låt oss vara uppmärksamma på förhållandet mellan längden på hypotenusan i en rätvinklig triangel och medianen, som sänks ner på den. För att göra detta, låt oss vända oss till formlerna 2, 4, 5 egenskaper hos medianen i en rätvinklig triangel. Dessa formler indikerar tydligt förhållandet mellan hypotenusan och medianen, som sänks till den som 1 till 2. Därför, för att underlätta framtida beräkningar (vilket inte kommer att påverka lösningens korrekthet på något sätt, men kommer att göra det mer bekvämt), betecknar vi längderna på benen AC och BC med variablerna x och y som 2x och 2y (inte x och y).

Betrakta den rätta triangeln ADC. Vinkel C är rätt enligt förutsättningarna för problemet, ben AC är vanligt med triangel ABC, och ben CD är lika med halva BC enligt medianens egenskaper. Sedan, enligt Pythagoras sats

AC 2 + CD 2 = AD 2

Eftersom AC = 2x, CD = y (eftersom medianen delar benet i två lika delar), då
4x 2 + y 2 = 9

Tänk samtidigt på den högra triangeln EBC. Den har också en rät vinkel C enligt villkoren för problemet, ben BC är vanligt med ben BC i den ursprungliga triangeln ABC, och ben EC, med egenskapen för medianen, är lika med hälften av ben AC i den ursprungliga triangeln ABC.
Enligt Pythagoras sats:
EC 2 + BC 2 = BE 2

Eftersom EC = x (medianen delar benet på mitten), BC = 2y, alltså
x 2 + 4y 2 = 16

Eftersom trianglarna ABC, EBC och ADC är sammankopplade av gemensamma sidor, är båda resulterande ekvationer också sammankopplade.
Låt oss lösa det resulterande ekvationssystemet.
4x 2 + y 2 = 9
x 2 + 4y 2 = 16

1. Medianen delar en triangel i två trianglar med samma area.

2. Triangelns medianer skär varandra i en punkt, som delar var och en av dem i förhållandet 2:1, räknat från vertex. Denna punkt kallas tyngdpunkten triangel.

3. Hela triangeln delas med sina medianer i sex lika stora trianglar.

Egenskaper för triangelhalveringslinjer

1. En vinkels bisektris är platsen för punkter som är lika långt från sidorna av denna vinkel.

2. Bisekturen av en triangels inre vinkel delar den motsatta sidan i segment som är proportionella mot de intilliggande sidorna: .

3. Skärningspunkten för en triangels bisektrar är mitten av den cirkel som är inskriven i denna triangel.

Egenskaper för triangelhöjder

1. I en rätvinklig triangel delar höjden från spetsen av den räta vinkeln den i två trianglar som liknar den ursprungliga.

2. I en spetsig triangel skär två av dess höjder av liknande höjder från den trianglar.

Egenskaper för vinkelräta bisektrar i en triangel

1. Varje punkt i den vinkelräta bisektrisen till ett segment är lika långt från ändarna på detta segment. Det omvända är också sant: varje punkt på samma avstånd från ändarna av ett segment ligger på den vinkelräta bisektrisen till den.

2. Skärningspunkten för de vinkelräta bisektrarna dragna till triangelns sidor är mitten av cirkeln omskriven kring denna triangel.

Egenskapen för mittlinjen i en triangel

En triangels mittlinje är parallell med en av dess sidor och lika med hälften av den sidan.

Likhet mellan trianglar

Två trianglar liknande om något av följande villkor, kallas tecken på likhet:

· två vinklar i en triangel är lika med två vinklar i en annan triangel;

· två sidor av en triangel är proportionella mot två sidor av en annan triangel, och vinklarna som bildas av dessa sidor är lika;

· tre sidor av en triangel är respektive proportionella mot tre sidor av en annan triangel.

I liknande trianglar är motsvarande linjer (höjder, medianer, bisektrar, etc.) proportionella.

Sinussats

Cosinussatsen

en 2= b 2+ c 2- 2b.c cos

Formler för triangelarea

1. Gratis triangel

a, b, c - sidor; - vinkel mellan sidorna a Och b; - semi-perimeter; R- omskriven cirkelradie; r- radien för den inskrivna cirkeln; S- fyrkant; h a - höjd dras till sida a.

S = ah a

S = ab sin

S = pr

2. Rätt triangel

a, b - ben; c- hypotenusa; h c - höjd dragen åt sidan c.

S = lm c S = ab

3. Liksidig triangel

Fyrhörningar

Egenskaper för ett parallellogram

· motsatta sidor är lika;

· motstående vinklar är lika;

· diagonaler delas på mitten av skärningspunkten;

· summan av vinklar intill en sida är 180°;

Summan av kvadraterna på diagonalerna är lika med summan av kvadraterna på alla sidor:

d12+d22=2(a2+b2).

En fyrhörning är ett parallellogram om:

1. Dess två motsatta sidor är lika och parallella.

2. Motstående sidor är lika i par.

3. Motsatta vinklar är lika parvis.

4. Diagonalerna delas på mitten av skärningspunkten.

Egenskaper hos en trapets

· dess mittlinje är parallell med baserna och lika med deras halvsumma;

· om trapetsen är likbent, så är dess diagonaler lika och vinklarna vid basen lika;

· om trapetsen är likbent, kan en cirkel beskrivas runt den;

· om summan av baserna är lika med summan av sidorna, kan en cirkel inskrivas i den.

Rektangelegenskaper

Diagonalerna är lika.

Ett parallellogram är en rektangel om:

1. En av dess vinklar är rak.

2. Dess diagonaler är lika.

Egenskaper hos en romb

· alla egenskaper hos ett parallellogram;

Diagonaler är vinkelräta;

Diagonalerna är bisektorerna för dess vinklar.

1. Ett parallellogram är en romb om:

2. Dess två intilliggande sidor är lika.

3. Dess diagonaler är vinkelräta.

4. En av diagonalerna är bisektrisen av dess vinkel.

Egenskaper hos en kvadrat

· alla hörn av torget är rätt;

· diagonalerna på en kvadrat är lika, ömsesidigt vinkelräta, skärningspunkten halverar och halverar kvadratens hörn.

En rektangel är en kvadrat om den har några egenskaper hos en romb.

Grundläggande formler

1. Varje konvex fyrhörning
d 1,d 2 - diagonaler; - vinkeln mellan dem; S- fyrkant.

S = d 1 d 2 synd