Kontrollera primtal eller. Hur man hittar primtal

Sats.

Det finns oändligt många primtal.

Bevis.

Låt oss anta att det inte är det. Det vill säga, anta att det bara finns n primtal, och dessa primtal är p 1 , p 2 , …, p n . Låt oss visa att vi alltid kan hitta ett primtal som skiljer sig från de angivna.

Betrakta ett tal p lika med p 1 ·p 2 ·…·p n +1 . Det är tydligt att detta tal skiljer sig från var och en av primtalen p 1 , p 2 , …, p n . Om talet p är primtal, så är satsen bevisad. Om detta tal är sammansatt, så finns det, i kraft av föregående sats, en primtalsdelare för detta tal (låt oss beteckna det p n+1 ). Låt oss visa att denna divisor inte sammanfaller med något av talen p 1 , p 2 , …, p n .

Om detta inte vore fallet, skulle produkten p 1 ·p 2 ·…·p n vara delbar med p n+1 genom delbarhetens egenskaper. Men talet p är också delbart med p n+1, lika med summan p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Detta innebär att den andra termen av denna summa, som är lika med en, måste vara delbar med p n+1, och detta är omöjligt.

Sålunda är det bevisat att ett nytt primtal alltid kan hittas, som inte finns bland ett antal primtal som ges i förväg. Därför finns det oändligt många primtal.

Så, på grund av det faktum att det finns oändligt många primtal, begränsar de sig alltid ovanifrån vid sammanställning av primtalstabeller till något tal, vanligtvis 100, 1 000, 10 000, etc.

Sil av Eratosthenes

Nu ska vi diskutera sätt att sammanställa tabeller med primtal. Anta att vi behöver göra en tabell med primtal upp till 100 .

Den mest uppenbara metoden för att lösa detta problem är att sekventiellt kontrollera positiva heltal, som börjar med 2 och slutar med 100 , för närvaron av en positiv divisor som är större än 1 och mindre än talet som kontrolleras (från egenskaperna för delbarhet, vi vet att det absoluta värdet av divisorn inte överstiger det absoluta värdet av utdelningen, annorlunda än noll). Om en sådan divisor inte hittas, är numret som kontrolleras primtal, och det matas in i tabellen över primtal. Om en sådan divisor hittas, är talet som kontrolleras sammansatt, det matas INTE in i primtalstabellen. Efter det sker en övergång till nästa nummer, som på samma sätt kontrolleras för närvaron av en divisor.

Låt oss beskriva de första stegen.

Vi börjar med siffran 2. Talet 2 har inga positiva delare förutom 1 och 2 . Därför är det primtal, därför anger vi det i tabellen med primtal. Här ska det sägas att 2 är det minsta primtalet. Låt oss gå vidare till nummer 3. Dess möjliga positiva delare annan än 1 och 3 är 2 . Men 3 är inte delbart med 2, därför är 3 ett primtal, och det måste också anges i tabellen över primtal. Låt oss gå vidare till nummer 4. Dess positiva delare än 1 och 4 kan vara 2 och 3, låt oss kontrollera dem. Talet 4 är delbart med 2, därför är 4 ett sammansatt tal och behöver inte anges i tabellen över primtal. Observera att 4 är det minsta sammansatta talet. Låt oss gå vidare till nummer 5. Vi kontrollerar om minst ett av talen 2 , 3 , 4 är dess divisor. Eftersom 5 inte är delbart med vare sig 2, eller 3 eller 4, är det primtal, och det måste skrivas i tabellen över primtal. Sedan sker en övergång till siffrorna 6, 7 och så vidare upp till 100.

Detta tillvägagångssätt för att sammanställa en tabell med primtal är långt ifrån idealiskt. På ett eller annat sätt har han rätt att existera. Observera att med den här metoden för att konstruera en tabell med heltal kan du använda delbarhetskriterier, vilket kommer att påskynda processen att hitta divisorer något.

Det finns ett bekvämare sätt att sammanställa en tabell med primtal som heter . Ordet "sil" som finns i namnet är inte av misstag, eftersom åtgärderna i denna metod hjälper, så att säga, att "sila" genom sikten av Eratosthenes heltal, stora enheter, för att skilja enkla från sammansatta.

Låt oss visa Eratosthenes såll i aktion när vi sammanställer en tabell med primtal upp till 50.

Först skriver vi ner siffrorna 2, 3, 4, ..., 50 i ordning.

Det första talet skrivet 2 är primtal. Nu från siffran 2 flyttar vi sekventiellt åt höger med två siffror och stryker över dessa siffror tills vi kommer till slutet av den sammanställda siffertabellen. Så alla tal som är multiplar av två kommer att strykas över.

Det första talet som inte är överstruket efter 2 är 3 . Detta tal är primtal. Nu, från siffran 3, flyttar vi sekventiellt till höger med tre siffror (med hänsyn till de redan överstrukna siffrorna) och stryker över dem. Så alla tal som är multiplar av tre kommer att strykas över.

Det första talet som inte är överstruket efter 3 är 5 . Detta tal är primtal. Nu, från siffran 5, flyttar vi sekventiellt till höger med 5 siffror (vi tar även hänsyn till siffrorna som ströks ut tidigare) och stryker över dem. Så alla tal som är multiplar av fem kommer att strykas över.

Därefter stryker vi ut tal som är multiplar av 7, sedan multiplar av 11, och så vidare. Processen avslutas när det inte finns några siffror kvar att stryka över. Nedan är en ifylld tabell med primtal upp till 50 erhållna med hjälp av sikten från Eratosthenes. Alla oöverkorsade tal är primtal och alla överstrukna tal är sammansatta.

Låt oss formulera och bevisa ett teorem som kommer att påskynda processen att sammanställa en tabell med primtal med hjälp av Eratosthenes sikt.

Sats.

Den minst positiva icke-en-delaren av ett sammansatt tal a överstiger inte , där är från a .

Bevis.

Vi betecknar med bokstaven b den minsta delaren av det sammansatta talet a som skiljer sig från enhet (talet b är primtal, vilket följer av satsen som bevisades i början av föregående stycke). Sedan finns det ett heltal q så att a=b q (här är q ett positivt heltal, vilket följer av reglerna för att multiplicera heltal), och (när b>q bryts villkoret att b är den minsta divisorn av a, eftersom q är också en divisor av a på grund av likheten a=q b ). Multiplicera båda sidor av olikheten med ett positivt och större än ett heltal b (vi får göra detta), får vi , varifrån och .

Vad ger den bevisade satsen oss angående Eratosthenes såll?

Först bör raderingen av sammansatta tal som är multiplar av ett primtal b börja med ett tal lika med (detta följer av olikheten ). Om du till exempel stryker över tal som är multiplar av två bör börja med talet 4, multiplar av tre - med talet 9, multiplar av fem - med talet 25, och så vidare.

För det andra kan sammanställningen av en tabell med primtal upp till talet n med hjälp av Eratosthenes sikt anses vara komplett när alla sammansatta tal som är multiplar av primtal som inte överstiger är överstrukna. I vårt exempel, n=50 (eftersom vi tabulerar primtal upp till 50 ) och , så sikten av Eratosthenes måste sålla bort alla sammansatta multiplar av primtal 2 , 3 , 5 och 7 som inte överstiger den aritmetiska kvadratroten av 50 . Det vill säga, vi behöver inte längre söka och stryka över tal som är multiplar av primtal 11 , 13 , 17 , 19 , 23 och så vidare upp till 47 , eftersom de redan kommer att vara överstrukna som multiplar av mindre primtal 2 , 3, 5 och 7.

Är detta tal primtal eller sammansatt?

Vissa uppgifter kräver att man tar reda på om ett givet tal är primtal eller sammansatt. I det allmänna fallet är denna uppgift långt ifrån enkel, särskilt för nummer vars post består av ett betydande antal tecken. I de flesta fall måste du leta efter något specifikt sätt att lösa det. Vi kommer dock att försöka ge riktning åt tankebanorna för enkla fall.

Utan tvekan kan man försöka använda delbarhetskriterier för att bevisa att ett givet tal är sammansatt. Om till exempel något delbarhetskriterium visar att det givna talet är delbart med något positivt heltal större än ett, då är det ursprungliga talet sammansatt.

Exempel.

Bevisa att numret 898 989 898 989 898 989 är sammansatt.

Lösning.

Summan av siffrorna i detta nummer är 9 8+9 9=9 17 . Eftersom talet lika med 9 17 är delbart med 9, kan man med kriteriet delbarhet med 9 hävda att det ursprungliga talet också är delbart med 9. Därför är det sammansatt.

En betydande nackdel med detta tillvägagångssätt är att kriterierna för delbarhet inte tillåter oss att bevisa enkelheten hos ett tal. När du kontrollerar ett tal för om det är primtal eller sammansatt måste du därför gå tillväga på ett annat sätt.

Det mest logiska tillvägagångssättet är att räkna upp alla möjliga delare av ett givet tal. Om ingen av de möjliga divisorerna är en sann divisor av ett givet tal, är det talet primtal, annars är det sammansatt. Av de satser som bevisats i föregående stycke följer att divisorerna för ett givet tal a måste sökas bland primtal som inte överstiger . Således kan det givna talet a successivt delas med primtal (som är bekvämt att ta från tabellen över primtal), och försöker hitta divisorn för talet a. Om en divisor hittas är talet a sammansatt. Om det bland primtalen inte överstiger , finns det ingen divisor för talet a, då är talet a primtal.

Exempel.

siffra 11 723 enkel eller sammansatt?

Lösning.

Låt oss ta reda på vilket primtal som divisorerna för talet 11 723 kan vara. För detta uppskattar vi .

Det är ganska uppenbart , sedan 200 2 \u003d 40 000 och 11 723<40 000 (при необходимости смотрите статью nummerjämförelse). De möjliga primtallarna på 11 723 är alltså mindre än 200. Detta förenklar redan vårt uppdrag avsevärt. Om vi ​​inte visste detta skulle vi behöva sortera igenom alla primtal inte upp till 200, utan upp till talet 11 723 .

Om så önskas kan du uppskatta mer exakt. Sedan 108 2 \u003d 11 664, och 109 2 \u003d 11 881, sedan 108 2<11 723<109 2 , следовательно, . Således är vilket som helst av primtal mindre än 109 potentiellt en primtalsdelare av det givna talet 11 723.

Nu kommer vi sekventiellt att dela upp talet 11 723 i primtal 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 5 , 5 , 5 , 6 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Om talet 11 723 delas helt med ett av de skrivna primtalen, blir det sammansatt. Om det inte är delbart med något av de skrivna primtalen, är det ursprungliga talet primtal.

Vi kommer inte att beskriva hela denna monotona och monotona splittringsprocess. Låt oss bara säga att 11 723

Det faktum att det finns tal som inte är delbara med något annat tal, visste man i antiken. Följden av primtal ser ut ungefär så här:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61 …

Beviset på att det finns oändligt många av dessa siffror gavs av Euklid, som levde år 300 f.Kr Ungefär samtidigt, en annan grekisk matematiker, Eratosthenes, kom med en ganska enkel algoritm för att erhålla primtal, vars kärna var den sekventiella raderingen av tal från tabellen. De återstående talen som inte var delbara med någonting var primtal. Algoritmen kallas "Eratosthenes sikt" och på grund av sin enkelhet (det finns inga multiplikations- eller divisionsoperationer i den, bara addition) används den fortfarande inom datorteknik.

Tydligen blev det redan under Eratosthenes tid klart att det inte finns något tydligt kriterium för om ett tal är primtal - detta kan bara verifieras experimentellt. Det finns olika sätt att förenkla processen (det är till exempel uppenbart att siffran inte ska vara jämn), men en enkel verifieringsalgoritm har inte hittats hittills, och kommer troligen inte att hittas: för att ta reda på om ett tal är primtal eller inte, man måste försöka dividera det med alla mindre tal.

Är primtal föremål för några lagar? Ja, och de är ganska nyfikna.

Till exempel den franske matematikern Mersenne redan på 1500-talet upptäckte han att många primtal har formen 2 ^ N - 1, dessa tal kallas Mersenne-tal. Inte långt innan detta, 1588, en italiensk matematiker Cataldi upptäckte ett primtal 2 19 - 1 = 524287 (enligt Mersens klassificering kallas det M19). Idag verkar denna siffra väldigt kort, men även nu med en miniräknare skulle det ta mer än en dag att kontrollera dess enkelhet, och för 1500-talet var det verkligen ett enormt jobb.

200 år senare matematiker Euler hittade ett annat primtal 2 31 - 1 = 2147483647. Återigen kan alla föreställa sig den nödvändiga mängden beräkningar för sig själv. Han lade också fram en hypotes (senare kallad "Euler-problemet", eller det "binära Goldbach-problemet"), vars kärna är enkel: varje jämnt tal större än två kan representeras som summan av två primtal.

Du kan till exempel ta 2 jämna nummer: 123456 och 888777888.

Med hjälp av en dator kan du hitta deras summa i form av två primtal: 123456 = 61813 + 61643 och 888777888 = 444388979 + 444388909. Det är intressant här att det exakta beviset för denna sats inte har hittats hittills, men med hjälp av datorer det har verifierats upp till siffror med 18 nollor.

Det finns en annan matematiksats Pierre Fermat, upptäckt 1640, som säger att om ett primtal har formen 4 * k + 1, så kan det representeras som summan av kvadraterna av andra tal. Så, till exempel, i vårt exempel är primtalet 444388909 = 4*111097227 + 1. Med hjälp av en dator kan du faktiskt se att 444388909 = 19197*19197 + 8710*8710.

Teoremet bevisades av Euler bara 100 år senare.

Och slutligen Bernhard Riemann 1859 lades fram den så kallade "Riemannhypotesen" om antalet fördelningar av primtal som inte överstiger ett visst antal. Denna hypotes har inte bevisats hittills, den ingår i listan över sju "millennieproblem", för lösningen av var och en av vilka Clay Mathematical Institute i Cambridge är redo att betala en belöning på en miljon amerikanska dollar.

Så det är inte så enkelt med primtal. Det finns också fantastiska fakta. Till exempel 1883 en rysk matematiker DEM. Pervushin från Perm-distriktet bevisade enkelheten i talet 2 61 - 1 = 2305843009213693951 . Inte ens nu kan hushållsräknare fungera med så långa siffror, men på den tiden var det ett riktigt gigantiskt arbete, och hur det gjordes är fortfarande inte särskilt klart. Även om det verkligen finns människor som har unika hjärnförmågor - till exempel är autister kända för att kunna hitta 8-siffriga primtal i sina sinnen (!) Hur de gör det är oklart.

Modernitet

Är primtal relevanta idag? Och hur! Primtal är grunden för modern kryptografi, så de flesta använder dem varje dag utan att ens tänka på det. Alla autentiseringsprocesser, som att registrera en telefon i nätverket, bankbetalningar och så vidare, kräver kryptografiska algoritmer.

Kärnan i idén här är extremt enkel och ligger bakom algoritmen RSA föreslog redan 1975. Avsändare och mottagare väljer gemensamt en så kallad "privat nyckel", som förvaras på en säker plats. Denna nyckel är, som läsarna kanske har gissat, ett primtal. Den andra delen - den "offentliga nyckeln", också ett primtal, bildas av avsändaren och överförs som en produkt tillsammans med meddelandet i klartext, det kan till och med publiceras i en tidning. Kärnan i algoritmen är att utan att känna till den "stängda delen" är det omöjligt att få fram källtexten.

Till exempel, om vi tar två primtal 444388979 och 444388909, så kommer den "privata nyckeln" att vara 444388979, och produkten 197481533549433911 (444388979 * 444388909) kommer att sändas offentligt. Bara genom att känna till själsfränden kan du beräkna det saknade numret och dechiffrera texten med det.

Vad är tricket här? Och det faktum att produkten av två primtal är lätt att beräkna, men den omvända operationen existerar inte - om du inte känner till den första delen, kan en sådan procedur endast utföras genom uppräkning. Och om du tar riktigt stora primtal (till exempel 2000 tecken långa), så kommer avkodningen av deras produkt att ta flera år även på en modern dator (då kommer meddelandet att ha blivit irrelevant under lång tid).

Genialiteten med detta schema är att det inte finns något hemligt i själva algoritmen - den är öppen och all data ligger på ytan (både algoritmen och tabellerna med stora primtal är kända). Själva chiffret, tillsammans med den publika nyckeln, kan överföras på vilket sätt som helst, i vilken öppen form som helst. Men utan att veta den hemliga delen av nyckeln som avsändaren valde kommer vi inte att få chiffertexten. Till exempel kan vi säga att beskrivningen av RSA-algoritmen publicerades i en tidning 1977, och där gavs även ett exempel på ett chiffer. Först 1993, med hjälp av distribuerad beräkning på 600 volontärers datorer, fick man rätt svar.

Så primtal visade sig inte vara så enkla alls, och deras historia slutar uppenbarligen inte där.

Artikeln behandlar begreppen primtal och sammansatta tal. Definitioner av sådana tal med exempel ges. Vi ger ett bevis på att antalet primtal är obegränsat och gör en post i tabellen över primtal med hjälp av Eratosthenes metod. Bevis kommer att ges på om ett tal är primtal eller sammansatt.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Primtal och sammansatta tal - Definitioner och exempel

Primtal och sammansatta tal klassificeras som positiva heltal. De måste vara större än en. Divisorer är också indelade i enkla och sammansatta. För att förstå begreppet sammansatta tal är det nödvändigt att först studera begreppen divisorer och multipler.

Definition 1

Primtal är heltal som är större än ett och har två positiva delare, det vill säga sig själva och 1.

Definition 2

Sammansatta tal är heltal som är större än ett och har minst tre positiva delare.

Det ena är varken ett primtal eller ett sammansatt tal. Den har bara en positiv divisor, så den skiljer sig från alla andra positiva tal. Alla positiva heltal kallas naturliga, det vill säga används vid räkning.

Definition 3

primtalär naturliga tal som bara har två positiva delare.

Definition 4

Sammansatt talär ett naturligt tal som har fler än två positiva delare.

Alla tal som är större än 1 är antingen primtal eller sammansatt. Från egenskapen delbarhet har vi att 1 och talet a kommer alltid att vara divisorer för vilket tal a som helst, det vill säga det kommer att vara delbart med sig självt och med 1. Vi ger definitionen av heltal.

Definition 5

Naturliga tal som inte är primtal kallas sammansatta tal.

Primtal: 2, 3, 11, 17, 131, 523. De är bara delbara med sig själva och med 1. Sammansatta nummer: 6, 63, 121, 6697. Det vill säga, talet 6 kan delas upp i 2 och 3, och 63 till 1, 3, 7, 9, 21, 63 och 121 till 11, 11, det vill säga dess delare kommer att vara 1, 11, 121. Siffran 6697 kommer att delas upp i 37 och 181. Observera att begreppen primtal och relativt primtal är olika begrepp.

För att göra det lättare att använda primtal måste du använda en tabell:

En tabell för alla befintliga naturliga tal är orealistisk, eftersom det finns ett oändligt antal av dem. När siffrorna når storlekar på 10000 eller 1000000000, då bör du tänka på att använda sikten från Eratosthenes.

Betrakta ett teorem som förklarar det sista påståendet.

Sats 1

Den minsta positiva delaren av ett naturligt tal större än 1 annat än 1 är ett primtal.

Bevis 1

Antag att a är ett naturligt tal större än 1, b är den minsta icke-en-delaren av a. Vi måste bevisa att b är ett primtal med hjälp av motsägelsemetoden.

Låt oss säga att b är ett sammansatt tal. Härifrån har vi att det finns en divisor för b , som skiljer sig från 1 såväl som från b . En sådan divisor betecknas som b 1 . Det är nödvändigt att villkor 1< b 1 < b har slutförts.

Det framgår av villkoret att a är delbart med b, b är delbart med b 1, vilket innebär att begreppet delbarhet uttrycks på detta sätt: a = b q och b = b 1 q 1, varav a = b 1 (q 1 q), där q och q 1är heltal. Enligt regeln om multiplikation av heltal har vi att produkten av heltal är ett heltal med en likhet på formen a = b 1 · (q 1 · q) . Det kan ses att b 1 är divisor för a. Ojämlikhet 1< b 1 < b Inte matchar, eftersom vi får att b är den minsta positiva icke-1-delaren av a.

Sats 2

Det finns oändligt många primtal.

Bevis 2

Antag att vi tar ett ändligt antal naturliga tal n och betecknar som p 1 , p 2 , … , p n . Låt oss överväga en variant av att hitta ett primtal som skiljer sig från de angivna.

Betrakta talet p, som är lika med p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Det är inte lika med vart och ett av de tal som motsvarar primtal av formen p 1 , p 2 , … , p n . Talet p är primtal. Då anses satsen vara bevisad. Om det är sammansatt måste vi ta notationen p n + 1 och visa divisorfelmatchning med någon av p 1 , p 2 , … , p n .

Om detta inte var fallet, baserat på produktens delbarhetsegenskap p 1 , p 2 , … , p n , vi får att det skulle vara delbart med p n + 1 . Observera att uttrycket p n + 1 talet p delas är lika med summan p 1 , p 2 , … , p n + 1 . Vi får att uttrycket p n + 1 den andra termen av denna summa, som är lika med 1, måste delas, men detta är omöjligt.

Det kan ses att vilket primtal som helst kan hittas bland valfritt antal givna primtal. Därav följer att det finns oändligt många primtal.

Eftersom det finns många primtal är tabellerna begränsade till nummer 100, 1000, 10000 och så vidare.

När man sammanställer en tabell med primtal bör man ta hänsyn till att en sådan uppgift kräver en sekventiell kontroll av tal, från 2 till 100. Om det inte finns någon divisor, registreras den i tabellen, om den är sammansatt skrivs den inte in i tabellen.

Låt oss överväga steg för steg.

Om du börjar med talet 2, så har det bara 2 divisorer: 2 och 1, vilket betyder att det kan skrivas in i tabellen. Även med siffran 3 . Siffran 4 är sammansatt, den bör delas upp i 2 och 2. Siffran 5 är primtal, vilket betyder att den kan fixeras i tabellen. Gör detta upp till siffran 100.

Denna metod är obekväm och tidskrävande. Du kan göra ett bord, men du kommer att behöva spendera mycket tid. Det är nödvändigt att använda delbarhetskriterier, vilket kommer att påskynda processen att hitta divisorer.

Metoden som använder Eratosthenes sikt anses vara den mest bekväma. Låt oss ta en titt på tabellerna nedan. Till att börja med skrivs siffrorna 2, 3, 4, ..., 50.

Nu måste du stryka över alla tal som är multiplar av 2. Gör sekventiell genomstrykning. Vi får en tabell med formen:

Låt oss gå vidare till att stryka ut tal som är multiplar av 5. Vi får:

Vi stryker över talen som är multiplar av 7, 11. Äntligen ser tabellen ut

Låt oss gå över till formuleringen av satsen.

Sats 3

Den minsta positiva och icke-1 divisor av bastalet a överstiger inte a , där a är den aritmetiska roten av det givna talet.

Bevis 3

Det är nödvändigt att beteckna b som den minsta delaren av ett sammansatt tal a. Det finns ett heltal q , där a = b · q , och vi har att b ≤ q . En ojämlikhet i formen b > q eftersom villkoret är brutet. Båda sidorna av olikheten b ≤ q ska multipliceras med ett positivt tal b som inte är lika med 1 . Vi får att b b ≤ b q , där b 2 ≤ a och b ≤ a .

Det kan ses av den bevisade satsen att raderingen av tal i tabellen leder till att man måste börja med ett tal som är lika med b 2 och uppfyller olikheten b 2 ≤ a . Det vill säga, om du stryker ut tal som är multiplar av 2, så börjar processen från 4, och de som är multiplar av 3 börjar från 9, och så vidare upp till 100.

Att sammanställa en sådan tabell med Eratosthenes sats säger att när alla sammansatta tal är överstrukna kommer det att finnas kvar primtal som inte överstiger n. I exemplet där n = 50 har vi att n = 50 . Härifrån får vi att sikten av Eratosthenes sållar bort alla sammansatta tal som inte är större i värde än värdet av roten av 50. Sökningen efter siffror görs genom att stryka över.

Innan du löser är det nödvändigt att ta reda på om talet är primtal eller sammansatt. Delbarhetskriterier används ofta. Låt oss titta på detta i exemplet nedan.

Exempel 1

Bevisa att 898989898989898989 är ett sammansatt nummer.

Lösning

Summan av siffrorna i det givna talet är 9 8 + 9 9 = 9 17 . Så talet 9 17 är delbart med 9, baserat på delbarhetens tecken med 9. Av detta följer att den är sammansatt.

Sådana tecken kan inte bevisa ett nummers primeness. Om verifiering behövs bör andra åtgärder vidtas. Det lämpligaste sättet är att räkna upp siffror. Under processen kan primtal och sammansatta tal hittas. Det vill säga att siffror i värde inte bör överstiga en . Det vill säga att talet a måste delas upp i primtalsfaktorer. om detta är sant kan talet a betraktas som primtal.

Exempel 2

Bestäm det sammansatta eller primtal 11723.

Lösning

Nu måste du hitta alla divisorer för talet 11723. Behöver utvärdera 11723 .

Härifrån ser vi att 11723< 200 , то 200 2 = 40 000 och 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 меньше числа 200 .

För en mer exakt uppskattning av talet 11723 är det nödvändigt att skriva uttrycket 108 2 = 11 664, och 109 2 = 11 881 , Den där 108 2 < 11 723 < 109 2 . Av detta följer att 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

Vid nedbrytning får vi att 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 7 , 7 , 7 , 7 , 7 , 7 , 7 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 är alla primtal. Hela denna process kan avbildas som en uppdelning med en kolumn. Det vill säga dividera 11723 med 19. Siffran 19 är en av dess faktorer, eftersom vi får division utan rest. Låt oss skildra uppdelningen med en kolumn:

Av detta följer att 11723 är ett sammansatt tal, eftersom det förutom sig självt och 1 har en divisor 19 .

Svar: 11723 är ett sammansatt nummer.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter