บทเรียนวิดีโอ “วิธีแก้ปัญหากราฟิกของอสมการเชิงเส้นแบบโมดูลาร์ การแก้ระบบอสมการเชิงเส้นแบบกราฟิก

ให้อสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปรสองตัวได้รับและ

(1)

หากมีค่า และ ถือเป็นพิกัดของจุดบนระนาบ จากนั้นเซตของจุดบนระนาบที่พิกัดตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน (1) เรียกว่าโดเมนของการแก้อสมการนี้ ดังนั้น ขอบเขตของการแก้อสมการ (1) จึงเป็นระนาบครึ่งระนาบที่มีเส้นตรงขอบเขต
.

ตัวอย่างที่ 1

.

สารละลาย. การสร้างเส้นตรง
สองจุด เช่น โดยจุดตัดกับแกนพิกัด (0; 4) และ (6; 0) เส้นนี้แบ่งระนาบออกเป็นสองส่วน ได้แก่ ออกเป็นสองระนาบครึ่ง เรายึดจุดใด ๆ ของระนาบที่ไม่อยู่บนแนวที่สร้างขึ้น หากพิกัดของจุดเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนด พื้นที่การแก้ปัญหาจะเป็นระนาบครึ่งหนึ่งซึ่งมีจุดนี้อยู่ หากเราได้รับอสมการเชิงตัวเลขที่ไม่ถูกต้อง พื้นที่แก้โจทย์จะเป็นครึ่งหนึ่งของระนาบซึ่งจุดนี้ไม่อยู่ โดยปกติแล้วจุด (0; 0) จะถูกควบคุม

มาทดแทนกันเถอะ
และ
ถึงความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนด เราได้รับ
- ดังนั้น ระนาบครึ่งระนาบ “เข้าหาศูนย์” จึงเป็นขอบเขตของการแก้ความไม่เท่าเทียมกันนี้ (ส่วนที่แรเงาของรูปที่ 1)

ตัวอย่างที่ 2ค้นหาระนาบครึ่งระนาบที่กำหนดโดยอสมการ

.

สารละลาย. การสร้างเส้นตรง
เช่น ตามจุด (0; 0) และ (1; 3) เพราะ เส้นตรงผ่านจุดกำเนิดของพิกัดจุด (0; 0) แล้วคุณไม่สามารถควบคุมได้ ยกตัวอย่างเช่น จุด (– 2; 0) และแทนที่พิกัดของมันลงในอสมการที่กำหนด เราได้รับ
- นี่ไม่เป็นความจริง ซึ่งหมายความว่าขอบเขตของการแก้ปัญหาสำหรับความไม่เท่าเทียมกันนี้จะเป็นครึ่งระนาบซึ่งไม่มีจุดควบคุม (ส่วนที่แรเงาของรูปที่ 2)

2. โดเมนโซลูชันของระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น

ตัวอย่าง.ค้นหาพื้นที่แก้ปัญหาของระบบอสมการ:

สารละลาย. เราค้นหาขอบเขตของการแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมกันประการแรก (รูปที่ 1) และความไม่เท่าเทียมกันประการที่สอง (รูปที่ 2)

ทุกจุดของส่วนของระนาบที่มีการฟักไข่ซ้อนทับจะตอบสนองทั้งความไม่เท่าเทียมกันที่หนึ่งและที่สอง ดังนั้นจึงได้พื้นที่การแก้ปัญหาสำหรับระบบอสมการที่กำหนด (รูปที่ 3)

ถ้าเราบวกเงื่อนไขเข้ากับระบบอสมการที่กำหนด
และ
แล้วโดเมนคำตอบของระบบอสมการ
จะตั้งอยู่เฉพาะในไตรมาสที่ 1 ประสานงาน (รูปที่ 4)

หลักการหาคำตอบของระบบอสมการเชิงเส้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับจำนวนอสมการที่อยู่ในระบบ

บันทึก : หากมีขอบเขตโซลูชันที่ยอมรับได้ (ADA) นั้นจะเป็นรูปหลายเหลี่ยมนูนแบบปิดหรือแบบเปิด

3. อัลกอริทึมสำหรับวิธีการแก้ไขปัญหาแบบกราฟิก

หากปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นมีเพียงสองตัวแปร ก็สามารถแก้ไขได้แบบกราฟิกโดยดำเนินการต่อไปนี้:

ตัวอย่าง.แก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นแบบกราฟิก

สูงสุด

สารละลาย. ข้อจำกัดประการที่สามและสี่ของระบบคือความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า ให้เราแปลงให้เป็นรูปแบบที่คุ้นเคยมากขึ้นสำหรับปัญหาดังกล่าว
, นี้
และ
, ที่. ครั้งแรกของความไม่เท่าเทียมกันที่เกิดขึ้น
(หรือ
) หมายถึง ภาวะที่ไม่เป็นลบ และประการที่สอง
สู่ระบบข้อจำกัด เช่นเดียวกัน,
นี้
และ
.

ที่. ปัญหาก็จะเกิดเป็นรูปเป็นร่าง

สูงสุด

,

การแทนที่เครื่องหมายอสมการด้วยเครื่องหมายความเท่ากันทุกประการ เราสร้างขอบเขตของคำตอบที่ยอมรับได้โดยใช้สมการเส้นตรง:

;
;
;
.

ขอบเขตการแก้ปัญหาของอสมการคือรูปห้าเหลี่ยม เอบีดีอี.

มาสร้างเวกเตอร์กันดีกว่า
. ผ่านจุดกำเนิดตั้งฉากกับเวกเตอร์ วาดเส้นระดับ - แล้วเราจะเคลื่อนมันขนานกับตัวมันเอง ในทิศทางของเวกเตอร์ จนถึงจุดที่ออกจากขอบเขตของแนวทางแก้ไขที่เป็นไปได้ นี่จะเป็นประเด็น กับ- มาหาพิกัดของจุดนี้โดยการแก้ระบบที่ประกอบด้วยสมการของบรรทัดที่หนึ่งและสี่:

.

ลองแทนพิกัดของจุดดู กับเข้าไปในฟังก์ชันเป้าหมายแล้วค้นหาค่าสูงสุด
ตัวอย่าง.สร้างเส้นระดับ
และ
สำหรับปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้น:

สูงสุด (นาที)

สารละลาย. ขอบเขตของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้คือพื้นที่เปิด (รูปที่ 6) เส้นระดับ
ผ่านจุดหนึ่ง ใน- การทำงาน ซีมีขั้นต่ำ ณ จุดนี้ เส้นระดับ
ไม่สามารถสร้างได้ เนื่องจากไม่มีจุดออกจากขอบเขตของวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ นั่นหมายความว่า
.

การมอบหมายงานอิสระ.

ค้นหาพื้นที่แก้ปัญหาของระบบอสมการ:

ก) ข)

แก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นแบบกราฟิก

นาที

สร้างแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์-คณิตศาสตร์ และแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นแบบกราฟิก

บริษัทผลิตสินค้า 2 ประเภท คือ A และ B โดยสินค้าแต่ละประเภทได้รับการประมวลผลด้วยเครื่องจักร 2 เครื่อง (I และ II) เวลาในการประมวลผลของผลิตภัณฑ์หนึ่งรายการในแต่ละประเภทบนเครื่องจักร เวลาการทำงานของเครื่องจักรต่อกะงาน กำไรของบริษัทจากการขายผลิตภัณฑ์หนึ่งรายการประเภท A และประเภท B แสดงอยู่ในตาราง:

การศึกษาตลาดการขายพบว่าความต้องการสินค้าประเภท B ต่อวันไม่เกินความต้องการสินค้าประเภท A มากกว่า 40 หน่วยและความต้องการสินค้าประเภท A ไม่เกิน 90 หน่วยต่อวัน

กำหนดแผนการผลิตผลิตภัณฑ์ที่ให้ผลกำไรสูงสุด

ดูเพิ่มเติมที่ การแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นแบบกราฟิก รูปแบบ Canonical ของปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

ระบบข้อจำกัดสำหรับปัญหาดังกล่าวประกอบด้วยความไม่เท่าเทียมกันในตัวแปรสองตัว:
และฟังก์ชันวัตถุประสงค์มีรูปแบบ เอฟ = ค 1 x + ค 2 ยซึ่งจำเป็นต้องขยายให้ใหญ่สุด

มาตอบคำถามกัน: ตัวเลขคู่ใด ( x; ย) เป็นวิธีการแก้ปัญหาของระบบความไม่เท่าเทียมกัน กล่าวคือ พวกมันตอบสนองความไม่เท่าเทียมกันแต่ละอย่างไปพร้อมๆ กันหรือไม่? กล่าวอีกนัยหนึ่ง การแก้ปัญหาระบบแบบกราฟิกหมายถึงอะไร?
ก่อนอื่นคุณต้องเข้าใจว่าอะไรคือคำตอบของอสมการเชิงเส้นตัวหนึ่งกับค่าไม่ทราบสองตัว
การแก้อสมการเชิงเส้นโดยไม่ทราบค่าสองตัวหมายถึงการกำหนดค่าที่ไม่ทราบค่าคู่ทั้งหมดซึ่งมีความไม่เท่าเทียมกันอยู่
ตัวอย่างเช่น ความไม่เท่าเทียมกัน 3 x – 5ย≥ 42 คู่ที่ตอบสนอง ( x , ย) : (100, 2); (3, –10) ฯลฯ ภารกิจคือค้นหาคู่ดังกล่าวทั้งหมด
ลองพิจารณาความไม่เท่าเทียมกันสองประการ: ขวาน + โดย≤ ค, ขวาน + โดย≥ ค- ตรง ขวาน + โดย = คแบ่งระนาบออกเป็นสองระนาบครึ่งเพื่อให้พิกัดของจุดหนึ่งในนั้นเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน ขวาน + โดย >คและความไม่เท่าเทียมกันอื่นๆ ขวาน + +โดย <ค.
จริงๆ เรามาจับประเด็นเรื่องการประสานงานกันดีกว่า x = x 0 ; แล้วมีจุดนอนอยู่บนเส้นและมีฝี x 0 มีลำดับ

ปล่อยให้มั่นใจ ก< 0, ข>0, ค>0. ทุกจุดมีแอบซิสซา x 0 นอนอยู่เหนือ ป(เช่น จุด ม), มี คุณเอ็ม>ย 0 และทุกจุดที่อยู่ต่ำกว่าจุด ป, กับแอบซิสซา x 0 มี ใช่<ย 0 . เนื่องจาก x 0 เป็นจุดใดก็ได้ โดยจะมีจุดอยู่ที่ด้านหนึ่งของเส้นตรงเสมอ ขวาน+ โดย > คก่อตัวเป็นระนาบครึ่งและอีกด้านหนึ่ง - ชี้ไปที่ ขวาน + โดย< ค.

รูปที่ 1

เครื่องหมายอสมการในครึ่งระนาบขึ้นอยู่กับตัวเลข ก, ข , ค.
นี่แสดงถึงวิธีการต่อไปนี้สำหรับการแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้นแบบกราฟิกในตัวแปรสองตัว ในการแก้ปัญหาระบบที่คุณต้องการ:

1. สำหรับอสมการแต่ละอย่าง ให้เขียนสมการที่สอดคล้องกับอสมการนี้
2. สร้างเส้นตรงที่เป็นกราฟของฟังก์ชันที่ระบุโดยสมการ
3. สำหรับแต่ละบรรทัด ให้กำหนดครึ่งระนาบซึ่งกำหนดโดยอสมการ ในการทำเช่นนี้ ให้ใช้จุดใดก็ได้ที่ไม่อยู่บนเส้นและแทนที่พิกัดของมันให้เป็นอสมการ ถ้าความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง แล้วครึ่งหนึ่งของระนาบที่มีจุดที่เลือกจะเป็นวิธีแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิม หากอสมการเป็นเท็จ แสดงว่าครึ่งระนาบที่อยู่อีกด้านหนึ่งของเส้นตรงคือเซตของคำตอบสำหรับอสมการนี้
4. ในการแก้ปัญหาระบบอสมการนั้น จำเป็นต้องหาพื้นที่ตัดกันของระนาบครึ่งระนาบทั้งหมดที่เป็นคำตอบของอสมการแต่ละระบบ

พื้นที่นี้อาจกลายเป็นพื้นที่ว่างเปล่า จากนั้น ระบบความไม่เท่าเทียมก็ไม่มีวิธีแก้ปัญหาและไม่สอดคล้องกัน ใน มิฉะนั้นเป็นระบบที่บอกว่าให้ความร่วมมือ
อาจมีคำตอบจำนวนจำกัดหรือจำนวนอนันต์ก็ได้ พื้นที่อาจเป็นรูปหลายเหลี่ยมปิดหรือไม่มีขอบเขตก็ได้

ลองดูตัวอย่างที่เกี่ยวข้องสามตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1 แก้ระบบแบบกราฟิก:
x + คุณ – 1 ≤ 0;
–2เอ็กซ์ – 2ย + 5 ≤ 0.

• พิจารณาสมการ x+y–1=0 และ –2x–2y+5=0 ที่สอดคล้องกับอสมการ
• มาสร้างเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการเหล่านี้กัน

รูปที่ 2

ให้เรานิยามระนาบครึ่งที่กำหนดโดยอสมการ ลองใช้จุดใดก็ได้, ให้ (0; 0) ลองพิจารณาดู x+ คุณ– 1 0 แทนจุด (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0 ซึ่งหมายความว่าในระนาบครึ่งระนาบที่จุด (0; 0) อยู่ x + ย – 1 ≤ 0 เช่น ระนาบครึ่งหนึ่งที่อยู่ต่ำกว่าเส้นคือวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันประการแรก แทนที่จุดนี้ (0; 0) ลงในวินาทีเราจะได้: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0 เช่น ในระนาบครึ่งระนาบซึ่งมีจุด (0; 0) อยู่ –2 x – 2ย+ 5≥ 0 และเราถูกถามว่าอยู่ที่ไหน –2 x – 2ยดังนั้น + 5 ≤ 0 ดังนั้นในอีกครึ่งระนาบ - ในระนาบที่อยู่เหนือเส้นตรง
ลองหาจุดตัดของระนาบครึ่งระนาบทั้งสองนี้กัน เส้นขนานกัน ดังนั้นระนาบจึงไม่ตัดกันที่ใดเลย ซึ่งหมายความว่าระบบของความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ไม่มีวิธีแก้ปัญหาและไม่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหาวิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกสำหรับระบบอสมการ:

รูปที่ 3
1. เขียนสมการที่สอดคล้องกับอสมการและสร้างเส้นตรง
x + 2ย– 2 = 0

x	2	0
ย	0	1

ย – x – 1 = 0

x	0	2
ย	1	3

ย + 2 = 0;
ย = –2.
2. เมื่อเลือกจุด (0; 0) เราจะกำหนดสัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันในระนาบครึ่ง:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0 เช่น x + 2ย– 2 ≤ 0 ในระนาบครึ่งระนาบใต้เส้นตรง
0 – 0 – 1 ≤ 0 เช่น ย –x– 1 ≤ 0 ในระนาบครึ่งระนาบใต้เส้นตรง
0 + 2 =2 ≥ 0 เช่น ย+ 2 ≥ 0 ในระนาบครึ่งระนาบเหนือเส้นตรง
3. จุดตัดของระนาบครึ่งทั้งสามนี้จะเป็นพื้นที่ที่เป็นรูปสามเหลี่ยม การค้นหาจุดยอดของภูมิภาคเป็นจุดตัดของเส้นที่เกี่ยวข้องนั้นไม่ใช่เรื่องยาก


ดังนั้น, ก(–3; –2), ใน(0; 1), กับ(6; –2).

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่งซึ่งไม่จำกัดโดเมนโซลูชันผลลัพธ์ของระบบ

ระบบประกอบด้วยความไม่เท่าเทียมกันในสองตัวแปร:

ในการแก้ปัญหาระบบที่คุณต้องการ:

1. สำหรับอสมการแต่ละอัน ให้เขียนสมการที่สอดคล้องกับอสมการนี้

2. สร้างเส้นตรงซึ่งเป็นกราฟของฟังก์ชันที่ระบุโดยสมการ

3. สำหรับแต่ละบรรทัด ให้กำหนดครึ่งระนาบซึ่งกำหนดโดยอสมการ ในการทำเช่นนี้ ให้ใช้จุดใดก็ได้ที่ไม่อยู่บนเส้นและแทนที่พิกัดของมันให้เป็นอสมการ ถ้าความไม่เท่าเทียมกันเป็นจริง แล้วครึ่งหนึ่งของระนาบที่มีจุดที่เลือกจะเป็นวิธีแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมกันดั้งเดิม หากอสมการเป็นเท็จ แสดงว่าครึ่งระนาบที่อยู่อีกด้านหนึ่งของเส้นตรงคือเซตของคำตอบสำหรับอสมการนี้

4. ในการแก้ปัญหาระบบอสมการนั้นจำเป็นต้องหาพื้นที่ตัดกันของระนาบครึ่งระนาบทั้งหมดที่เป็นคำตอบของอสมการแต่ละระบบ

พื้นที่นี้อาจกลายเป็นพื้นที่ว่างเปล่า จากนั้น ระบบความไม่เท่าเทียมก็ไม่มีวิธีแก้ปัญหาและไม่สอดคล้องกัน มิฉะนั้นจะบอกว่าระบบมีความสม่ำเสมอ อาจมีคำตอบจำนวนจำกัดหรือจำนวนอนันต์ก็ได้ พื้นที่อาจเป็นรูปหลายเหลี่ยมปิดหรือไม่มีขอบเขตก็ได้

ตัวอย่างที่ 3แก้ไขระบบแบบกราฟิก:

พิจารณาสมการ x + y–1 = 0 และ –2x – 2y + 5 = 0 ซึ่งสอดคล้องกับอสมการ มาสร้างเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการเหล่านี้กัน (รูปที่ 3)

รูปที่ 3 – รูปภาพของเส้นตรง

ให้เรานิยามระนาบครึ่งที่กำหนดโดยอสมการ ลองใช้จุดใดก็ได้, ให้ (0; 0) พิจารณา x+ y– 1 ≤ 0 แทนจุด (0; 0): 0 + 0 – 1 ≤ 0 ซึ่งหมายความว่าในระนาบครึ่งระนาบซึ่งมีจุด (0; 0) อยู่ x + y – 1 ≤ 0 , เช่น. . ระนาบครึ่งหนึ่งที่อยู่ต่ำกว่าเส้นคือวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันประการแรก แทนที่จุดนี้ (0; 0) ลงในวินาทีเราจะได้: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≤ 0 เช่น ในระนาบครึ่งซึ่งมีจุด (0; 0) อยู่ –2x – 2y + 5≥ 0 และเราถูกถามว่า –2x – 2y + 5 ≤ 0 อยู่ที่ใด ดังนั้นในระนาบครึ่งอื่น – ในระนาบหนึ่ง เหนือเส้นตรง

ลองหาจุดตัดของระนาบครึ่งระนาบทั้งสองนี้กัน เส้นขนานกัน ดังนั้นระนาบจึงไม่ตัดกันที่ใดเลย ซึ่งหมายความว่าระบบของความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ไม่มีวิธีแก้ปัญหาและไม่สอดคล้องกัน

ตัวอย่างที่ 4ค้นหาวิธีแก้ปัญหาแบบกราฟิกสำหรับระบบอสมการ:

1. เขียนสมการที่สอดคล้องกับอสมการและสร้างเส้นตรง (รูปที่ 4)

x + 2y– 2 = 0 x 2 0

y – x – 1 = 0 x 0 2

y + 2 = 0; ย = –2.

รูปที่ 4 – รูปภาพของเส้นตรง

2. เมื่อเลือกจุด (0; 0) เราจะกำหนดสัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันในระนาบครึ่ง:

0 + 2 ∙ 0 – 2 ≤ 0 เช่น x + 2y– 2 ≤ 0 ในระนาบครึ่งระนาบใต้เส้นตรง

0 – 0 – 1 ≤ 0 เช่น y –x– 1 ≤ 0 ในระนาบครึ่งระนาบใต้เส้นตรง

0 + 2 =2 ≥ 0 เช่น y + 2 ≥ 0 ในระนาบครึ่งระนาบเหนือเส้นตรง

3. จุดตัดของระนาบครึ่งทั้งสามนี้จะเป็นพื้นที่ที่เป็นรูปสามเหลี่ยม การค้นหาจุดยอดของภูมิภาคเป็นจุดตัดของเส้นที่เกี่ยวข้องนั้นไม่ใช่เรื่องยาก

ดังนั้น A(–3; –2), B(0; 1), C(6; –2)

ลองพิจารณาอีกตัวอย่างหนึ่งที่โดเมนโซลูชันผลลัพธ์ของระบบไม่จำกัด

ตัวอย่างที่ 5แก้ปัญหาระบบแบบกราฟิก

มาเขียนสมการที่สอดคล้องกับอสมการและสร้างเส้นตรง (รูปที่ 5)

รูปที่ 5 – รูปภาพของเส้นตรง

x + y – 1 = 0 x 0 1

y – x – 1 = 0 x 0 –1

ให้เรากำหนดสัญญาณแบบครึ่งระนาบ มาเลือกจุด (0; 0):

0 – 0 – 1 ≤ 0 เช่น y – x – 1 ≤ 0 ต่ำกว่าเส้นตรง

0 + 0 – 1 ≤ 0 เช่น x + y – 1 ≤ 0 ต่ำกว่าเส้นตรง

จุดตัดของระนาบครึ่งระนาบสองอันคือมุมที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด A(0;1) ภูมิภาคที่ไร้ขอบเขตนี้เป็นวิธีแก้ปัญหาของระบบความไม่เท่าเทียมดั้งเดิม

อนุญาต ฉ(x,y)และ ก.(x, ย)- สองนิพจน์พร้อมตัวแปร เอ็กซ์และ ที่และขอบเขต เอ็กซ์- แล้วความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม ฉ(x, ย) > ก.(x, ย)หรือ ฉ(x, ย) < ก.(x, ย)เรียกว่า อสมการที่มีตัวแปรสองตัว .

ความหมายของตัวแปร เอ็กซ์, ยจากหลาย ๆ คน เอ็กซ์ซึ่งอสมการกลายเป็นอสมการเชิงตัวเลขที่แท้จริงเรียกว่า การตัดสินใจ และถูกกำหนดไว้ (x, ย). แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน - นี่หมายถึงการค้นหาคู่ดังกล่าวมากมาย

ถ้าแต่ละคู่มีเลข (x, ย)จากชุดการแก้ปัญหาไปจนถึงความไม่เท่าเทียมกันให้ตรงประเด็น ม(x, ย)เราได้เซตของคะแนนบนระนาบที่ระบุโดยอสมการนี้ พวกเขาเรียกเขาว่า กราฟของความไม่เท่าเทียมกันนี้ - กราฟของความไม่เท่าเทียมกันมักเป็นพื้นที่บนระนาบ

เพื่อพรรณนาชุดวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน ฉ(x, ย) > ก.(x, ย)ให้ดำเนินการดังนี้ ขั้นแรก ให้แทนที่เครื่องหมายอสมการด้วยเครื่องหมายเท่ากับแล้วหาเส้นตรงที่มีสมการ ฉ(x,y) = ก.(x,ย)- เส้นนี้แบ่งเครื่องบินออกเป็นหลายส่วน หลังจากนี้ก็เพียงพอแล้วที่จะหยิบจุดหนึ่งในแต่ละส่วนและตรวจสอบว่าจุดนี้เป็นที่พอใจหรือไม่ ฉ(x, ย) > ก.(x, ย)- หากดำเนินการ ณ จุดนี้ ก็จะถูกดำเนินการในส่วนทั้งหมดที่จุดนี้อยู่ เมื่อรวมส่วนต่างๆ ดังกล่าวเข้าด้วยกัน ทำให้เราพบวิธีแก้ปัญหามากมาย

งาน. ย > x.

สารละลาย.ขั้นแรก เราแทนที่เครื่องหมายอสมการด้วยเครื่องหมายเท่ากับ และสร้างเส้นตรงในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่มีสมการ ย = x.

เส้นนี้แบ่งเครื่องบินออกเป็นสองส่วน หลังจากนี้ให้หยิบจุดหนึ่งในแต่ละส่วนและตรวจสอบว่าตรงจุดนี้หรือไม่ ย > x.

งาน.แก้อสมการแบบกราฟิก
เอ็กซ์ 2 + ที่ 2 25 ปอนด์

ข้าว. 18.

สารละลาย.ขั้นแรก ให้แทนที่เครื่องหมายอสมการด้วยเครื่องหมายเท่ากับแล้วลากเส้น เอ็กซ์ 2 + ที่ 2 = 25 นี่คือวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและมีรัศมี 5 วงกลมที่ได้จะแบ่งระนาบออกเป็นสองส่วน การตรวจสอบความพึงพอใจของความไม่เท่าเทียมกัน เอ็กซ์ 2 + ที่ 2 ปอนด์ ในแต่ละส่วน เราพบว่ากราฟเป็นเซตของจุดบนวงกลมและส่วนของระนาบภายในวงกลม

ปล่อยให้เกิดความไม่เท่าเทียมกันสองประการ ฉ 1(x, ย) > ก 1(x, ย)และ ฉ 2(x, ย) > ก 2(x, ย).

ระบบเซตอสมการที่มีตัวแปรสองตัว

ระบบความไม่เท่าเทียมกัน แสดงถึง ตัวคุณเอง การรวมกันของความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ โซลูชั่นระบบ คือทุกความหมาย (x, ย)ซึ่งเปลี่ยนอสมการแต่ละรายการให้เป็นอสมการเชิงตัวเลขที่แท้จริง โซลูชั่นมากมาย ระบบ อสมการคือจุดตัดของชุดคำตอบสำหรับอสมการที่ก่อตัวเป็นระบบที่กำหนด

ชุดของความไม่เท่าเทียมกัน แสดงถึง ตัวคุณเอง การแยกจากกันของสิ่งเหล่านี้ ความไม่เท่าเทียมกัน ตั้งค่าโซลูชัน คือทุกความหมาย (x, ย)ซึ่งแปลงชุดของอสมการอย่างน้อยหนึ่งชุดให้เป็นอสมการเชิงตัวเลขที่แท้จริง โซลูชั่นมากมาย จำนวนทั้งสิ้น คือการรวมกันของเซตของคำตอบสำหรับอสมการที่ก่อตัวเป็นเซต

งาน.แก้ระบบอสมการแบบกราฟิก

สารละลาย. ย = xและ เอ็กซ์ 2 + ที่ 2 = 25 เราแก้อสมการของระบบแต่ละข้อ

กราฟของระบบจะเป็นเซตของจุดบนระนาบที่เป็นจุดตัด (ฟักคู่) ของเซตของคำตอบของอสมการที่หนึ่งและสอง

งาน.แก้ชุดอสมการแบบกราฟิก

สารละลาย.ขั้นแรก เราแทนที่เครื่องหมายอสมการด้วยเครื่องหมายเท่ากับแล้วลากเส้นในระบบพิกัดเดียว ย = x+4 และ เอ็กซ์ 2 + ที่ 2 = 16. แก้ความไม่เท่าเทียมกันของประชากรแต่ละอย่าง กราฟของประชากรจะเป็นเซตของจุดบนระนาบ ซึ่งเป็นการรวมกันของเซตของคำตอบของอสมการที่หนึ่งและสอง

แบบฝึกหัดสำหรับงานอิสระ

1. แก้ความไม่เท่าเทียมกันแบบกราฟิก: ก) ที่> 2x- ข) ที่< 2x + 3;

วี) x 2+ ย 2 > 9; ช) x 2+ ย 2 4 ปอนด์

2. แก้ระบบอสมการแบบกราฟิก:

ก) ข)

วิธีแก้ปัญหาอสมการโดยประมาณ

คำตอบแบบกราฟิกของอสมการที่ไม่ทราบค่า

คำตอบแบบกราฟิกของระบบอสมการที่ไม่ทราบค่าสองตัว

จุดตัดของโซลูชั่น

การแสดงฟังก์ชันแบบกราฟิกช่วยให้ ประมาณตัดสินใจความไม่เท่าเทียมกันด้วย สิ่งหนึ่งที่ไม่รู้จักและระบบความไม่เท่าเทียมกันด้วยหนึ่งและ สองคนที่ไม่รู้จัก เพื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันแบบกราฟิกโดยไม่ทราบค่า, จำเป็นต้องโอนสมาชิกทั้งหมดไปเป็นส่วนหนึ่งนั่นคือจ - นำไปสู่:

ฉ ( x ) > 0 ,

และพลอตฟังก์ชันย = ฉ(x ). หลังจากนี้ คุณสามารถค้นหาโดยใช้กราฟที่สร้างขึ้น ฟังก์ชันศูนย์(ดู) ซึ่งจะแบ่งแกนเอ็กซ์เป็นเวลาหลายช่วง x, จากนี้ เราจะกำหนดช่วงเวลาภายในซึ่งเครื่องหมายฟังก์ชันสอดคล้องกับเครื่องหมายอสมการ ตัวอย่างเช่น,เลขศูนย์ของฟังก์ชันของเรา:ก และข (รูปที่ 30)แล้วจากกราฟ เห็นได้ชัดว่าเป็นช่วงระยะเวลาหนึ่งซึ่ง (x ) > 0: x < เลขศูนย์ของฟังก์ชันของเรา:ก x > และฉ (ถูกเน้นด้วยลูกศรตัวหนา) จะเห็นป้ายชัดเจนว่า > < , .

นี่คือเงื่อนไข; อาจมีอย่างอื่นแทน: ถึงแก้ระบบความไม่เท่าเทียมกันแบบกราฟิก กับจ สิ่งหนึ่งที่ไม่รู้จัก คุณต้องโอนข้อกำหนดทั้งหมดในแต่ละข้อออกเป็นส่วนเดียวนั่นคือ

- นำความไม่เท่าเทียมกันมาสู่รูปแบบ:และสร้างกราฟฟังก์ชัน ( x ), ย = ฉ = ย (x ) , ... , ย = ฉ = ก (x). ชม. แต่ละของความไม่เท่าเทียมกันเหล่านี้ได้รับการแก้ไขโดยวิธีกราฟิกที่อธิบายไว้ข้างต้น หลังจากนั้น จำเป็นต้อง หาจุดตัดของการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมดเช่น

จ.

ส่วนร่วมของพวกเขาตัวอย่าง แก้ระบบอสมการแบบกราฟิก: = - 2 / 3 xวิธีแก้ปัญหา ก่อนอื่น เรามาพลอตฟังก์ชันกันก่อน

ตัวอย่าง แก้ระบบอสมการแบบกราฟิก: = x 2 ย

+2 และ- 1 (รูปที่ 31):x> 3, การตัดสินใจครั้งแรกx < - 1 и xความไม่เท่าเทียมกันคือช่วงเวลา

ระบุในรูปที่ 31 ด้วยลูกศรสีดำ คำตอบของอสมการที่สองประกอบด้วยสองช่วง:> 1 ระบุในรูปที่ 31 ด้วยลูกศรสีเทา จากกราฟจะเห็นได้ชัดเจนอะไรจุดตัดของคำตอบทั้งสองนี้คือช่วงเวลา

x

1) > 3. นี่คือคำตอบของระบบความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนดในการแก้ระบบของอสมการสองแบบด้วยค่าไม่ทราบสองค่าแบบกราฟิก คุณต้อง:

ในแต่ละข้อจะย้ายคำศัพท์ทั้งหมดไปไว้ในส่วนเดียวนั่นคือ

2) จ. นำมาฉ (ความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม:สร้างกราฟของฟังก์ชันที่ระบุโดยปริยาย: เอ็กซ์, ย (ความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม:) = 0;

3) ) = 0 และ

ก กราฟแต่ละกราฟจะแบ่งระนาบพิกัดออกเป็นสองส่วน: ที่จะตัดสินใจ

ความไม่เท่าเทียมกันแต่ละรายการแบบกราฟิกก็เพียงพอแล้วที่จะตรวจสอบ

ความถูกต้องของความไม่เท่าเทียมกัน ณ จุดใดจุดหนึ่งภายในจุดใดก็ได้

ส่วนของเครื่องบิน หากความไม่เท่าเทียมกันเกิดขึ้น ณ จุดนี้แล้ว

ส่วนนี้ ประสานงานเครื่องบินคือการตัดสินใจของเขาถ้าไม่เป็นเช่นนั้น

คำตอบคือส่วนตรงข้ามของระนาบ ;

4) วิธีแก้ปัญหาของระบบอสมการที่กำหนดคือจุดตัด

(พื้นที่ทั่วไป) ส่วนของระนาบพิกัด

ตัวอย่าง แก้ระบบอสมการ:

วิธีแก้ปัญหา ขั้นแรก เราสร้างกราฟของฟังก์ชันเชิงเส้น: 5x – 7 ตัวอย่าง แก้ระบบอสมการแบบกราฟิก:= - 11 และ

2 x + 3 ตัวอย่าง แก้ระบบอสมการแบบกราฟิก:= 10 (รูปที่ 32) เราพบระนาบครึ่งระนาบสำหรับแต่ละคน

ภายในซึ่งสอดคล้องกันได้รับความไม่เท่าเทียมกัน

ยุติธรรม. เรารู้ว่าการตรวจสอบความเป็นธรรมก็เพียงพอแล้ว

ความไม่เท่าเทียมกัน ณ จุดใดจุดหนึ่งในภูมิภาค ในนี้

ในกรณีนี้ วิธีที่ง่ายที่สุดคือใช้ที่มาของพิกัดสำหรับสิ่งนี้ โอ(0, 0 ).

วางกรอบเขา ประสานเข้ากับความไม่เท่าเทียมกันของเราแทนxและ ย = ฉ,

เราได้รับ: 5 0 – 7 0 = 0 > - 11 จึงต่ำกว่า

ครึ่งระนาบ (สีเหลือง) คือทางแก้ในข้อแรก

อสมการ; 2 0 + 3 0 = 0< 10, поэтому второе ความไม่เท่าเทียมกัน

วิธีแก้ปัญหาของมันยังมีระนาบครึ่งล่าง (สีฟ้า

สี - จุดตัดของระนาบครึ่งระนาบเหล่านี้ ( พื้นที่สีเทอร์ควอยซ์)

คือทางออก ระบบความไม่เท่าเทียมกันของเรา