Sinus tenglamasining umumiy formulasi. Eng oddiy trigonometrik tenglamalar

Trigonometrik tenglamalarni yechishning asosiy usullari quyidagilardir: tenglamalarni eng oddiyga qisqartirish (trigonometrik formulalar yordamida), yangi o'zgaruvchilarni kiritish va faktoring. Keling, ulardan foydalanishni misollar bilan ko'rib chiqaylik. Trigonometrik tenglamalar yechimlarini yozish formatiga e'tibor bering.

Trigonometrik tenglamalarni muvaffaqiyatli yechishning zaruriy sharti trigonometrik formulalarni bilishdir (6-ishning 13-mavzu).

Misollar.

1. Eng soddaga qisqartirilgan tenglamalar.

1) Tenglamani yeching

Yechim:

Javob:

2) tenglamaning ildizlarini toping

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, segmentga tegishli.

Yechim:

Javob:

2. Kvadratga keltiruvchi tenglamalar.

1) 2 sin 2 x – cosx –1 = 0 tenglamani yeching.

Yechim: sin 2 x = 1 – cos 2 x formulasidan foydalanib, biz olamiz

Javob:

2) cos 2x = 1 + 4 cosx tenglamasini yeching.

Yechim: cos 2x = 2 cos 2 x – 1 formulasidan foydalanib, olamiz

Javob:

3) tgx – 2ctgx + 1 = 0 tenglamasini yeching

Yechim:

Javob:

3. Bir jinsli tenglamalar

1) 2sinx – 3cosx = 0 tenglamasini yeching

Yechish: cosx = 0 bo'lsin, keyin 2sinx = 0 va sinx = 0 - sin 2 x + cos 2 x = 1 ekanligi bilan ziddiyat. Bu cosx ≠ 0 ni anglatadi va biz tenglamani cosx ga bo'lishimiz mumkin. olamiz

Javob:

2) 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x tenglamasini yeching

Yechim:

Biz 1 = sin 2 x + cos 2 x va sin 2x = 2 sinxcosx formulalaridan foydalanamiz, biz olamiz

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Cosx = 0 bo'lsin, keyin sin 2 x = 0 va sinx = 0 - sin 2 x + cos 2 x = 1 ekanligi bilan ziddiyat.
Bu cosx ≠ 0 degan ma'noni anglatadi va biz tenglamani cos 2 x ga bo'lishimiz mumkin . olamiz

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
tgx = y ni belgilaymiz
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arktan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arktan2 + 2 k, k .

Javob: arctg4 + 2 k, arktan2 + 2 k, k

4. Shaklning tenglamalari a sinx + b cosx = s, s≠ 0.

1) tenglamani yeching.

Yechim:

Javob:

5. Faktorlarga ajratish yo‘li bilan yechilgan tenglamalar.

1) sin2x – sinx = 0 tenglamasini yeching.

Tenglamaning ildizi f (X) = φ ( X) faqat 0 raqami sifatida xizmat qilishi mumkin. Keling, buni tekshiramiz:

cos 0 = 0 + 1 - tenglik to'g'ri.

0 raqami bu tenglamaning yagona ildizidir.

Javob: 0.

Muammoingizning batafsil yechimiga buyurtma berishingiz mumkin!!!

Trigonometrik funksiya (`sin x, cos x, tan x` yoki `ctg x`) belgisi ostida noma`lumni o`z ichiga olgan tenglik trigonometrik tenglama deyiladi va biz ularning formulalarini keyinroq ko`rib chiqamiz.

Eng oddiy tenglamalar `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a` deb ataladi, bu erda `x` - topiladigan burchak, `a` - istalgan son. Keling, ularning har biri uchun ildiz formulalarini yozamiz.

1. `sin x=a` tenglamasi.

`|a|>1` uchun uning yechimlari yo'q.

Qachon `|a| \leq 1` cheksiz sonli yechimlarga ega.

Ildiz formulasi: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. `cos x=a` tenglama

`|a|>1` uchun - sinus holatida bo'lgani kabi, haqiqiy sonlar orasida yechimlari yo'q.

Qachon `|a| \leq 1` cheksiz sonli yechimlarga ega.

Ildiz formulasi: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Grafiklarda sinus va kosinus uchun maxsus holatlar.

3. `tg x=a` tenglama

Har qanday `a` qiymatlari uchun cheksiz ko'p yechimlarga ega.

Ildiz formulasi: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. `ctg x=a` tenglama

Shuningdek, "a" ning har qanday qiymatlari uchun cheksiz ko'p echimlar mavjud.

Ildiz formulasi: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Jadvaldagi trigonometrik tenglamalarning ildizlari uchun formulalar

Sinus uchun:
Kosinus uchun:
Tangens va kotangens uchun:
Teskari trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan tenglamalarni yechish formulalari:

Trigonometrik tenglamalarni yechish usullari

Har qanday trigonometrik tenglamani yechish ikki bosqichdan iborat:

• uni eng oddiyga aylantirish yordamida;
• yuqorida yozilgan ildiz formulalari va jadvallar yordamida olingan eng oddiy tenglamani yeching.

Keling, misollar yordamida asosiy yechim usullarini ko'rib chiqaylik.

Algebraik usul.

Bu usul o'zgaruvchini almashtirish va uni tenglikka almashtirishni o'z ichiga oladi.

Misol. Tenglamani yeching: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

almashtiring: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, keyin `2y^2-3y+1=0`,

biz ildizlarni topamiz: `y_1=1, y_2=1/2`, undan ikkita holat kelib chiqadi:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Javob: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizatsiya.

Misol. Tenglamani yeching: `sin x+cos x=1`.

Yechim. Tenglikning barcha shartlarini chapga siljiymiz: `sin x+cos x-1=0`. dan foydalanib, biz chap tomonni aylantiramiz va faktorlarga ajratamiz:

`sin x — 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Javob: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Bir jinsli tenglamaga keltirish

Birinchidan, ushbu trigonometrik tenglamani ikkita shakldan biriga qisqartirishingiz kerak:

`a sin x+b cos x=0` (birinchi darajali bir jinsli tenglama) yoki `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (ikkinchi darajali bir jinsli tenglama).

Keyin ikkala qismni birinchi holat uchun "cos x \ne 0" ga, ikkinchisi uchun "cos^2 x \ne 0" ga bo'ling. Biz `tg x` uchun tenglamalarni olamiz: `a tg x+b=0` va `a tg^2 x + b tg x +c =0`, ularni ma'lum usullar yordamida yechish kerak.

Misol. Tenglamani yeching: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Yechim. O'ng tomonni `1=sin^2 x+cos^2 x` shaklida yozamiz:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Bu ikkinchi darajali bir hil trigonometrik tenglama bo'lib, biz uning chap va o'ng tomonlarini `cos^2 x \ne 0` ga ajratamiz, biz quyidagilarni olamiz:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. `t^2 + t - 2=0` ga olib keladigan `tg x=t` almashtirishni kiritamiz. Bu tenglamaning ildizlari `t_1=-2` va `t_2=1`. Keyin:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Javob. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Yarim burchakka o'tish

Misol. Tenglamani yeching: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Yechim. Ikki burchakli formulalarni qo‘llaymiz, natijada: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Yuqorida tavsiflangan algebraik usulni qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Javob. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Yordamchi burchakning kiritilishi

`a sin x + b cos x =c` trigonometrik tenglamada a,b,c koeffitsientlar va x o'zgaruvchi bo'lib, ikkala tomonni `sqrt (a^2+b^2)` ga bo'ling:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.

Chap tarafdagi koeffitsientlar sinus va kosinus xossalariga ega, ya'ni kvadratlari yig'indisi 1 ga teng, modullari esa 1 dan katta emas. Ularni quyidagicha belgilaymiz: `\frac a(sqrt (a^2). +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, keyin:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Keling, quyidagi misolni batafsil ko'rib chiqaylik:

Misol. Tenglamani yeching: `3 sin x+4 cos x=2`.

Yechim. Tenglikning ikkala tomonini `sqrt (3^2+4^2)` ​​ga ajratsak, biz quyidagilarga erishamiz:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt) (3^2+4^2))`

`3/5 sin x+4/5 cos x=2/5`.

`3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi` ni belgilaymiz. `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0` bo`lgani uchun yordamchi burchak sifatida `\varphi=arcsin 4/5` ni olamiz. Keyin tengligimizni quyidagi shaklda yozamiz:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Sinus uchun burchaklar yig'indisi formulasini qo'llagan holda, biz tengligimizni quyidagi shaklda yozamiz:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Javob. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Kasrli ratsional trigonometrik tenglamalar

Bular soni va maxraji trigonometrik funktsiyalarni o'z ichiga olgan kasrlar bilan tenglikdir.

Misol. Tenglamani yeching. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Yechim. Tenglikning o'ng tomonini `(1+cos x)` ga ko'paytiring va bo'ling. Natijada biz quyidagilarni olamiz:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Maxraj nolga teng bo'lmasligini hisobga olsak, Z`da `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \ni olamiz.

Kasrning ayiruvchisini nolga tenglashtiramiz: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Keyin `sin x=0` yoki `1-sin x=0`.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` ekanligini hisobga olsak, yechimlar `x=2\pi n, n \da Z` va `x=\pi /2+2\pi n` bo`ladi. , `n \in Z`.

Javob. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometriya, xususan, trigonometrik tenglamalar geometriya, fizika va texnikaning deyarli barcha sohalarida qo'llaniladi. O'qish 10-sinfda boshlanadi, har doim yagona davlat imtihoniga topshiriqlar mavjud, shuning uchun trigonometrik tenglamalarning barcha formulalarini eslab qolishga harakat qiling - ular sizga albatta foydali bo'ladi!

Biroq, ularni eslab qolishning hojati yo'q, asosiysi, mohiyatni tushunish va uni chiqarib olishdir. Bu ko'rinadigan darajada qiyin emas. Videoni tomosha qilib o'zingiz ko'ring.

Eng oddiy trigonometrik tenglamalar tenglamalardir

Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a

cos(x) = a tenglama

Tushuntirish va asoslash

1. cosx = a tenglamaning ildizlari. Qachon | a | > 1 tenglamaning ildizi yo'q, chunki | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 yoki a da< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

Keling | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. Intervalda y = cos x funksiya 1 dan -1 gacha kamayadi. Ammo kamayuvchi funktsiya o'zining har bir qiymatini faqat ta'rif sohasining bir nuqtasida oladi, shuning uchun cos x = a tenglama bu oraliqda faqat bitta ildizga ega bo'lib, arkkosin ta'rifi bo'yicha quyidagilarga teng: x 1 = arccos a (va bu ildiz uchun cos x = A).

Kosinus juft funksiya, shuning uchun [-n oraliqda; 0] tenglama cos x = va faqat bitta ildizga ega - x 1 ga qarama-qarshi raqam, ya'ni

x 2 = -arccos a.

Shunday qilib, [-n oraliqda; p] (uzunligi 2p) tenglama cos x = a | bilan a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

y = cos x funktsiyasi 2n davri bilan davriydir, shuning uchun boshqa barcha ildizlar 2n (n € Z) bilan topilganlardan farq qiladi. cos x = a qachon tenglamaning ildizlari uchun quyidagi formulani olamiz

x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.

1. cosx = a tenglamani yechishning maxsus holatlari.

Cos x = a qachon tenglamaning ildizlari uchun maxsus belgilarni eslab qolish foydalidir

a = 0, a = -1, a = 1, uni mos yozuvlar sifatida birlik doirasi yordamida osongina olish mumkin.

Kosinus birlik doiraning mos nuqtasining abssissasiga teng bo'lganligi sababli, birlik doiraning mos nuqtasi A nuqta yoki B nuqta bo'lgandagina cos x = 0 ni olamiz.

Xuddi shunday, cos x = 1, agar birlik aylananing mos keladigan nuqtasi C nuqta bo'lsa, demak,

x = 2p, k € Z.

Shuningdek, cos x = -1, agar birlik doiraning mos nuqtasi D nuqtasi bo'lsa, shuning uchun x = n + 2n,

tenglama sin(x) = a

Tushuntirish va asoslash

1. sinx = a tenglamaning ildizlari. Qachon | a | > 1 tenglamaning ildizi yo'q, chunki | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 yoki a da< -1 не пересекает график функции y = sinx).

Maxfiyligingizni saqlash biz uchun muhim. Shu sababli, biz sizning ma'lumotlaringizdan qanday foydalanishimiz va saqlashimizni tavsiflovchi Maxfiylik siyosatini ishlab chiqdik. Iltimos, maxfiylik amaliyotlarimizni ko'rib chiqing va savollaringiz bo'lsa, bizga xabar bering.

Shaxsiy ma'lumotlarni to'plash va ulardan foydalanish

Shaxsiy ma'lumotlar ma'lum bir shaxsni aniqlash yoki unga murojaat qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan ma'lumotlarni anglatadi.

Biz bilan bog'langaningizda istalgan vaqtda shaxsiy ma'lumotlaringizni taqdim etishingiz so'ralishi mumkin.

Quyida biz to'plashimiz mumkin bo'lgan shaxsiy ma'lumotlar turlari va bunday ma'lumotlardan qanday foydalanishimiz mumkinligiga ba'zi misollar keltirilgan.

Biz qanday shaxsiy ma'lumotlarni yig'amiz:

• Saytda ariza topshirganingizda, biz turli xil ma'lumotlarni, jumladan ismingiz, telefon raqamingiz, elektron pochta manzilingiz va hokazolarni to'plashimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlaringizdan qanday foydalanamiz:

• Biz to'playdigan shaxsiy ma'lumotlar noyob takliflar, aktsiyalar va boshqa tadbirlar va kelgusi tadbirlar haqida siz bilan bog'lanishimizga imkon beradi.
• Vaqti-vaqti bilan biz sizning shaxsiy ma'lumotlaringizdan muhim xabarlar va xabarlarni yuborish uchun foydalanishimiz mumkin.
• Shuningdek, biz shaxsiy ma'lumotlardan biz taqdim etayotgan xizmatlarni yaxshilash va sizga xizmatlarimiz bo'yicha tavsiyalar berish uchun auditlar, ma'lumotlarni tahlil qilish va turli tadqiqotlar o'tkazish kabi ichki maqsadlarda foydalanishimiz mumkin.
• Agar siz sovrinlar o'yinida, tanlovda yoki shunga o'xshash aksiyada ishtirok etsangiz, biz siz taqdim etgan ma'lumotlardan bunday dasturlarni boshqarish uchun foydalanishimiz mumkin.

Ma'lumotni uchinchi shaxslarga oshkor qilish

Biz sizdan olingan ma'lumotlarni uchinchi shaxslarga oshkor etmaymiz.

Istisnolar:

• Agar kerak bo'lsa - qonun hujjatlariga muvofiq, sud tartibida, sud jarayonida va / yoki Rossiya Federatsiyasi hududidagi davlat organlarining so'rovlari yoki so'rovlari asosida shaxsiy ma'lumotlaringizni oshkor qilish. Shuningdek, biz siz haqingizdagi ma'lumotlarni oshkor qilishimiz mumkin, agar bunday oshkor qilish xavfsizlik, huquqni muhofaza qilish yoki boshqa jamoat ahamiyatiga ega bo'lgan maqsadlar uchun zarur yoki mos ekanligini aniqlasak.
• Qayta tashkil etish, qo'shilish yoki sotilgan taqdirda, biz to'plagan shaxsiy ma'lumotlarni tegishli vorisi uchinchi shaxsga o'tkazishimiz mumkin.

Shaxsiy ma'lumotlarni himoya qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringizni yo'qotish, o'g'irlash va noto'g'ri foydalanish, shuningdek ruxsatsiz kirish, oshkor qilish, o'zgartirish va yo'q qilishdan himoya qilish uchun ma'muriy, texnik va jismoniy ehtiyot choralarini ko'ramiz.

Shaxsiy hayotingizni kompaniya darajasida hurmat qilish

Shaxsiy ma'lumotlaringiz xavfsizligini ta'minlash uchun biz maxfiylik va xavfsizlik standartlarini xodimlarimizga yetkazamiz va maxfiylik amaliyotlarini qat'iy tatbiq qilamiz.

"A olish" video kursi matematika bo'yicha Yagona davlat imtihonini 60-65 ball bilan muvaffaqiyatli topshirish uchun zarur bo'lgan barcha mavzularni o'z ichiga oladi. Matematika bo'yicha profil yagona davlat imtihonining 1-13-sonli barcha topshiriqlarini to'liq bajaring. Matematika bo'yicha asosiy yagona davlat imtihonini topshirish uchun ham javob beradi. Agar siz Yagona Davlat imtihonini 90-100 ball bilan topshirmoqchi bo'lsangiz, 1-qismni 30 daqiqada va xatosiz hal qilishingiz kerak!

10-11-sinflar uchun, shuningdek, o'qituvchilar uchun yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik kursi. Matematika bo'yicha yagona davlat imtihonining 1-qismini (birinchi 12 ta masala) va 13-muammoni (trigonometriya) hal qilish uchun kerak bo'lgan hamma narsa. Va bu Yagona davlat imtihonida 70 balldan oshadi va na 100 ball to'plagan talaba, na gumanitar fanlar talabasi ularsiz qila olmaydi.

Barcha kerakli nazariya. Yagona davlat imtihonining tezkor echimlari, tuzoqlari va sirlari. FIPI vazifalar bankining 1-qismining barcha joriy vazifalari tahlil qilindi. Kurs 2018 yilgi Yagona davlat imtihonining talablariga to'liq javob beradi.

Kurs har biri 2,5 soatdan iborat 5 ta katta mavzuni o'z ichiga oladi. Har bir mavzu noldan, sodda va tushunarli tarzda berilgan.

Yuzlab yagona davlat imtihon topshiriqlari. So'z muammolari va ehtimollar nazariyasi. Muammolarni hal qilish uchun oddiy va eslab qolish oson algoritmlar. Geometriya. Yagona davlat imtihonining barcha turlari nazariyasi, ma'lumotnomasi, tahlili. Stereometriya. Ayyor echimlar, foydali varaqlar, fazoviy tasavvurni rivojlantirish. Trigonometriya noldan muammoga 13. Tiklash o'rniga tushunish. Murakkab tushunchalarning aniq tushuntirishlari. Algebra. Ildizlar, darajalar va logarifmlar, funksiya va hosila. Yagona davlat imtihonining 2-qismining murakkab muammolarini hal qilish uchun asos.