Raqam tub ekanligini tushuning. Bosh sonlarni qanday topish mumkin


Ilyaning javobi to'g'ri, lekin juda batafsil emas. Aytgancha, 18-asrda bitta raqam hali ham tub son hisoblanardi. Masalan, Eyler va Goldbax kabi buyuk matematiklar. Goldbax ming yillikning ettita muammosidan biri - Goldbax gipotezasi muallifi. Dastlabki formulada aytilishicha, har bir juft son ikkita tub sonning yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin. Bundan tashqari, dastlab 1 tub son sifatida hisobga olingan va biz buni ko'ramiz: 2 = 1+1. Bu gipotezaning asl formulasini qondiradigan eng kichik misol. Keyinchalik u tuzatildi va so'z birikmasi bo'ldi zamonaviy ko'rinish: "4 dan boshlanadigan har bir juft son ikkita tub sonning yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin."

Keling, ta'rifni eslaylik. Tut son - bu faqat 2 xil tabiiy bo'luvchiga ega bo'lgan p natural soni: p o'zi va 1. Ta'rifdan kelib chiqadigan xulosa: p tub sonning faqat bitta tub bo'luvchisi bor - p ning o'zi.

Endi 1 tub son deb faraz qilaylik. Ta'rifga ko'ra, tub son faqat bitta tub bo'luvchiga ega - o'zi. Keyin ma'lum bo'ladiki, 1 dan katta har qanday tub son undan farqli tub songa (1 ga) bo'linadi. Lekin ikki xil tub sonni bir-biriga bo'lish mumkin emas, chunki aks holda ular tub sonlar emas, balki kompozit sonlardir va bu ta'rifga zid keladi. Ushbu yondashuv bilan ma'lum bo'lishicha, faqat 1 ta tub son - birlikning o'zi. Lekin bu absurd. Demak, 1 tub son emas.

1, shuningdek, 0 raqamlarning boshqa sinfini - algebraik maydonning ba'zi bir kichik to'plamidagi n-ariy operatsiyalarga nisbatan neytral elementlar sinfini tashkil qiladi. Bundan tashqari, qo'shish operatsiyasiga kelsak, 1 ham butun sonlar halqasini hosil qiluvchi element hisoblanadi.

Shu munosabat bilan tub sonlarning boshqa algebraik tuzilmalardagi analoglarini topish qiyin emas. Aytaylik, bizda 1: 2, 4, 8, 16, ... va hokazolardan boshlab 2 ning darajalaridan tashkil topgan multiplikativ guruhimiz bor. 2 bu yerda shakllantiruvchi element vazifasini bajaradi. Bu guruhdagi tub son eng kichik elementdan katta va faqat o'ziga va eng kichik elementga bo'linadigan sondir. Bizning guruhimizda faqat 4 tasi shunday xususiyatlarga ega. Guruhimizda boshqa tub raqamlar yo'q.

Agar bizning guruhimizda 2 ham tub son bo'lsa, unda birinchi xatboshiga qarang - yana faqat 2 tub son ekanligi ma'lum bo'ladi.

Maqolada tub va kompozit sonlar tushunchalari muhokama qilinadi. Bunday raqamlarning ta'riflari misollar bilan keltirilgan. Biz tub sonlar soni cheksiz ekanligiga dalil keltiramiz va uni Eratosfen usulidan foydalanib tub sonlar jadvaliga yozamiz. Sonning tub yoki birikma ekanligini aniqlash uchun dalillar keltiriladi.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Bosh va qo'shma sonlar - ta'riflar va misollar

Bosh va kompozit sonlar musbat butun sonlar sifatida tasniflanadi. Ular birdan katta bo'lishi kerak. Bo'luvchilar ham oddiy va qo'shma bo'linadi. Kompozit sonlar tushunchasini tushunish uchun, avvalo, bo‘luvchi va ko‘paytma tushunchalarini o‘rganishingiz kerak.

Ta'rif 1

Tub sonlar birdan katta bo'lgan va ikkita musbat bo'luvchiga, ya'ni o'zlari va 1 ga ega bo'lgan butun sonlardir.

Ta'rif 2

Kompozit sonlar - birdan katta bo'lgan va kamida uchta musbat bo'luvchiga ega bo'lgan butun sonlar.

Biri tub son ham, qo‘shma son ham emas. Uning faqat bitta musbat bo'luvchisi bor, shuning uchun u boshqa barcha ijobiy raqamlardan farq qiladi. Barcha musbat sonlar natural sonlar deyiladi, ya'ni hisoblashda ishlatiladi.

Ta'rif 3

Bosh sonlar faqat ikkita musbat bo'luvchiga ega bo'lgan natural sonlardir.

Ta'rif 4

Kompozit raqam ikkidan ortiq musbat boʻluvchiga ega boʻlgan natural son.

1 dan katta bo'lgan har qanday son tub yoki kompozit hisoblanadi. Bo'linish xususiyatidan bizda shunday bo'ladi: 1 va a soni har doim har qanday a soni uchun bo'luvchi bo'ladi, ya'ni u o'ziga va 1 ga bo'linadi. Butun sonlarga ta’rif beraylik.

Ta'rif 5

Tub bo'lmagan natural sonlar kompozit sonlar deyiladi.

Tub sonlar: 2, 3, 11, 17, 131, 523. Ular faqat o'ziga va 1 ga bo'linadi. Kompozit sonlar: 6, 63, 121, 6697. Ya'ni, 6 sonini 2 va 3 ga, 63 ni esa 1, 3, 7, 9, 21, 63 va 121 ni 11, 11 ga ajratish mumkin, ya'ni uning bo'luvchilari 1, 11, 121 bo'ladi. 6697 raqami 37 va 181 ga bo'linadi. E'tibor bering, tub sonlar va o'zaro tub sonlar tushunchalari turli tushunchalardir.

Foydalanishni osonlashtirish uchun tub sonlar, siz jadvaldan foydalanishingiz kerak:

Barcha mavjud natural sonlar uchun jadval haqiqiy emas, chunki ularning cheksiz soni mavjud. Raqamlar 10000 yoki 1000000000 o'lchamiga yetganda, siz Eratosfen elakidan foydalanishni o'ylab ko'rishingiz kerak.

Keling, oxirgi gapni tushuntiruvchi teoremani ko'rib chiqaylik.

Teorema 1

Birdan katta natural sonning 1 dan boshqa eng kichik musbat bo'luvchisi tub sondir.

Dalil 1

Faraz qilaylik, a 1 dan katta natural son, b a ning eng kichik bir bo‘lmagan bo‘luvchisi. Qarama-qarshilik usuli yordamida b tub son ekanligini isbotlash kerak.

Faraz qilaylik, b - kompozit son. Bundan kelib chiqadiki, b ning bo'luvchisi bor, u 1 dan ham, b dan farq qiladi. Bunday bo'luvchi b 1 bilan belgilanadi. Bu shart 1< b 1 < b yakunlandi.

Shartdan ko'rinib turibdiki, a ning b ga, b ning b ga bo'linishi 1 ga bo'linadi, ya'ni bo'linish tushunchasi quyidagicha ifodalanadi: a = b q va b = b 1 · q 1 , bu erdan a = b 1 · (q 1 · q) , bu erda q va q 1 butun sonlardir. Butun sonlarni ko'paytirish qoidasiga ko'ra, bizda butun sonlar ko'paytmasi a = b 1 · (q 1 · q) ko'rinishdagi tenglikka ega bo'lgan butun sondir. Ko'rinib turibdiki, b 1 a sonining bo'luvchisidir. Tengsizlik 1< b 1 < b Yo'q mos keladi, chunki b ning a ning eng kichik musbat va 1 bo'lmagan bo'luvchisi ekanligini topamiz.

Teorema 2

Cheksiz sonli tub sonlar mavjud.

Dalil 2

Taxminlarga ko'ra, biz cheklangan sonli n natural sonlarni olamiz va ularni p 1, p 2, …, p n deb belgilaymiz. Keling, ko'rsatilganlardan farqli tub sonni topish variantini ko'rib chiqaylik.

Keling, p 1, p 2, ..., p n + 1 ga teng bo'lgan p sonini hisobga olamiz. Bu p 1, p 2, ..., p n ko'rinishdagi tub sonlarga mos keladigan raqamlarning har biriga teng emas. p soni tub son. Shunda teorema isbotlangan deb hisoblanadi. Agar u kompozitsion bo'lsa, unda siz p n + 1 belgisini olishingiz kerak va bo'luvchi p 1, p 2, ..., p n ning hech biriga to'g'ri kelmasligini ko'rsating.

Agar bunday bo'lmasa, mahsulotning bo'linish xususiyatiga asoslanib p 1, p 2, ..., p n , pn + 1 ga bo'linishini topamiz. E'tibor bering, p n + 1 ifodasi p sonni bo'lish p 1, p 2, ..., p n + 1 yig'indisiga teng bo'ladi. Biz p n + 1 ifodasini olamiz Ushbu yig'indining 1 ga teng bo'lgan ikkinchi hadini bo'lish kerak, ammo bu mumkin emas.

Ko'rinib turibdiki, berilgan tub sonlar orasida har qanday tub sonni topish mumkin. Bundan kelib chiqadiki, tub sonlar cheksiz ko'p.

Ko'p tub sonlar bo'lgani uchun jadvallar 100, 1000, 10000 va hokazo raqamlar bilan chegaralangan.

Oddiy raqamlar jadvalini tuzishda, bunday vazifa 2 dan 100 gacha bo'lgan raqamlarni ketma-ket tekshirishni talab qilishini hisobga olish kerak. Agar bo'luvchi bo'lmasa, u jadvalga yoziladi, agar u kompozit bo'lsa, u holda jadvalga kiritilmaydi.

Keling, buni bosqichma-bosqich ko'rib chiqaylik.

Agar siz 2 raqamidan boshlasangiz, unda faqat 2 ta bo'luvchi mavjud: 2 va 1, ya'ni uni jadvalga kiritish mumkin. 3 raqami bilan bir xil. 4 raqami kompozitdir; uni 2 va 2 ga ajratish kerak. 5 raqami asosiy hisoblanadi, ya'ni uni jadvalda yozish mumkin. Buni 100 raqamiga qadar bajaring.

Bu usul noqulay va uzoq. Jadval yaratishingiz mumkin, lekin siz sarflashingiz kerak bo'ladi katta raqam vaqt. Bo'linish mezonlaridan foydalanish kerak, bu bo'linuvchilarni topish jarayonini tezlashtiradi.

Eratosthenes elakidan foydalanish usuli eng qulay hisoblanadi. Keling, quyidagi misol jadvallarini ko'rib chiqaylik. Boshlash uchun 2, 3, 4, ..., 50 raqamlari yoziladi.

Endi siz 2 ga karrali barcha raqamlarni kesib tashlashingiz kerak. Ketma-ket chizishlarni bajaring. Biz shunday jadval olamiz:

Biz 5 ga karrali raqamlarni kesib tashlashga o'tamiz. Biz olamiz:

7, 11 ga karrali sonlarni kesib tashlang. Oxir-oqibat, jadval o'xshaydi

Keling, teoremani shakllantirishga o'tamiz.

Teorema 3

Asosiy a sonining eng kichik musbat va 1 bo'lmagan bo'luvchisi a dan oshmaydi, bu erda a - berilgan sonning arifmetik ildizi.

Dalil 3

a kompozit sonning eng kichik bo'luvchisini b belgilash kerak. q butun soni mavjud, bu erda a = b · q va bizda b ≤ q bor. Shaklning tengsizliklari qabul qilinishi mumkin emas b > q, chunki shart buzilgan. b ≤ q tengsizlikning ikkala tomonini 1 ga teng bo'lmagan istalgan musbat b soniga ko'paytirish kerak. Biz b · b ≤ b · q ni olamiz, bu erda b 2 ≤ a va b ≤ a.

Tasdiqlangan teoremadan ko'rinib turibdiki, jadvaldagi raqamlarni kesib tashlash b 2 ga teng va b 2 ≤ a tengsizligini qanoatlantiradigan raqamdan boshlash zarurligiga olib keladi. Ya'ni, agar siz 2 ga karrali sonlarni kesib tashlasangiz, jarayon 4 dan boshlanadi va 3 ning ko'paytmalari 9 dan boshlanadi va 100 ga qadar davom etadi.

Bunday jadvalni Eratosfen teoremasi yordamida tuzish shuni ko'rsatadiki, barcha kompozit sonlar chizilganda, n dan oshmaydigan tub sonlar qoladi. n = 50 bo'lgan misolda bizda n = 50 bor. Bu erdan biz Eratosthenes elakining qiymati 50 ning ildiz qiymatidan katta bo'lmagan barcha kompozit raqamlarni elakdan o'tkazganini tushunamiz. Raqamlarni qidirish chizib tashlash orqali amalga oshiriladi.

Yechishdan oldin bu son tub yoki kompozit ekanligini aniqlashingiz kerak. Ko'pincha bo'linish mezonlari qo'llaniladi. Keling, buni quyidagi misolda ko'rib chiqaylik.

1-misol

898989898989898989 soni kompozit ekanligini isbotlang.

Yechim

Berilgan sonning raqamlari yig'indisi 9 8 + 9 9 = 9 17 ga teng. Bu shuni anglatadiki, 9 · 17 soni 9 ga bo'linish testi asosida 9 ga bo'linadi. Bundan kelib chiqadiki, u kompozitsion.

Bunday belgilar sonning tubligini isbotlashga qodir emas. Agar tekshirish kerak bo'lsa, boshqa choralar ko'rish kerak. Raqamlarni sanashning eng mos usuli. Jarayon davomida siz tub va kompozit sonlarni topishingiz mumkin. Ya'ni, raqamlar qiymatdan oshmasligi kerak. Ya'ni, a soni tub omillarga ajratilishi kerak. agar bu qanoatlansa, a sonini tub deb hisoblash mumkin.

2-misol

11723 kompozit yoki tub sonni aniqlang.

Yechim

Endi siz 11723 raqamining barcha bo'luvchilarini topishingiz kerak. 11723 ni baholash kerak.

Bu erdan biz 11723 ekanligini ko'ramiz< 200 , то 200 2 = 40 000 , va 11 723< 40 000 . Получаем, что делители для 11 723 kamroq raqam 200 .

11723 raqamini aniqroq baholash uchun siz 108 2 = 11 664 ifodasini yozishingiz kerak va 109 2 = 11 881 , Bu 108 2 < 11 723 < 109 2 . Bundan kelib chiqadiki, 11723< 109 . Видно, что любое число, которое меньше 109 считается делителем для заданного числа.

Kengaytirilganda, biz 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 - hammasi tub sonlar. Bu butun jarayonni ustunga bo'linish sifatida tasvirlash mumkin. Ya'ni 11723 ni 19 ga bo'ling. 19 raqami uning omillaridan biridir, chunki biz qoldiqsiz bo'linamiz. Keling, bo'linishni ustun sifatida ko'rsatamiz:

Bundan kelib chiqadiki, 11723 kompozit sondir, chunki uning o'ziga va 1 ga qo'shimcha ravishda 19 ga bo'luvchisi bor.

Javob: 11723 - kompozit raqam.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Bo'luvchilarni sanab o'tish. Ta'rifga ko'ra, raqam n faqat 2 ga va 1 va o'zidan tashqari boshqa butun sonlarga teng bo'linmasagina tub hisoblanadi. Yuqoridagi formula keraksiz qadamlarni olib tashlaydi va vaqtni tejaydi: masalan, raqam 3 ga bo'linish yoki bo'linmasligini tekshirgandan so'ng, uning 9 ga bo'linishini tekshirishning hojati yo'q.

  • Floor(x) funksiyasi x ni x dan kichik yoki teng bo'lgan eng yaqin butun songa yaxlitlaydi.

Modulli arifmetika haqida bilib oling.“X mod y” (mod lotincha “modulo”, yaʼni “modul” soʻzining qisqartmasi) operatsiyasi “x ni y ga boʻlib, qolganini toping” degan maʼnoni bildiradi. Boshqacha qilib aytganda, modulli arifmetikada ma'lum bir qiymatga erishilganda, bu deyiladi modul, raqamlar yana nolga "aylanadi". Masalan, soat 12 moduli bilan vaqtni ushlab turadi: u soat 10, 11 va 12 ni ko'rsatadi va keyin 1 ga qaytadi.

  • Ko'pgina kalkulyatorlarda mod kaliti mavjud. Ushbu bo'limning oxirida ushbu funktsiyani katta raqamlar uchun qo'lda qanday baholash mumkinligi ko'rsatilgan.

  • Fermaning kichik teoremasining tuzoqlari haqida bilib oling. Sinov shartlari bajarilmagan barcha raqamlar kompozitsion, ammo qolgan raqamlar faqat ehtimol oddiy deb tasniflanadi. Agar siz noto'g'ri natijalardan qochishni istasangiz, qidiring n"Karmichael raqamlari" (ushbu testni qondiradigan kompozit raqamlar) va "soxta tub Fermat raqamlari" ro'yxatida (bu raqamlar faqat ba'zi qiymatlar uchun sinov shartlariga javob beradi. a).

    Agar qulay bo'lsa, Miller-Rabin testidan foydalaning. Ushbu usul qo'lda hisoblash juda og'ir bo'lsa-da, u ko'pincha ishlatiladi kompyuter dasturlari. U qabul qilinadigan tezlikni ta'minlaydi va Fermat usuliga qaraganda kamroq xatoliklarni keltirib chiqaradi. Qiymatlarning ¼ dan ko'prog'i uchun hisob-kitoblar amalga oshirilsa, kompozit son tub son sifatida qabul qilinmaydi. a. Agar siz tasodifiy tanlasangiz turli ma'nolar a va ularning barchasi uchun test ijobiy natija beradi, biz juda yuqori darajadagi ishonch bilan taxmin qilishimiz mumkin n tub sondir.

  • Katta sonlar uchun modulli arifmetikadan foydalaning. Agar qo'lingizda modli kalkulyatoringiz bo'lmasa yoki kalkulyatoringiz bunday katta raqamlarni boshqarish uchun mo'ljallanmagan bo'lsa, hisob-kitoblarni osonlashtirish uchun quvvatlar va modulli arifmetika xususiyatlaridan foydalaning. Quyida misol keltirilgan 3 50 (\displaystyle 3^(50)) mod 50:

    • Ifodani qulayroq shaklda qayta yozing: mod 50. Qo'lda hisob-kitoblarni amalga oshirayotganda, qo'shimcha soddalashtirishlar kerak bo'lishi mumkin.
    • (3 25 ∗ 3 25) (\displaystyle (3^(25)*3^(25))) mod 50 = mod 50 mod 50) mod 50. Bu yerda modulli ko‘paytirish xususiyatini hisobga oldik.
    • 3 25 (\displaystyle 3^(25)) mod 50 = 43.
    • (3 25 (\displaystyle (3^(25))) mod 50 ∗ 3 25 (\displaystyle *3^(25)) mod 50) mod 50 = (43 ∗ 43) (\displaystyle (43*43)) mod 50.
    • = 1849 (\displaystyle =1849) mod 50.
    • = 49 (\displaystyle =49).